Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin

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1 Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin Mathematik von 1200 bis 2004 Stefan Kühling, Fachbereich Mathematik fsmath.mathematik.uni-dortmund.de Schnupper Uni 26. August

2 1 Goldener Schnitt Definition und Satz 1.1 (Goldener Schnitt) Sei AB die Strecke zwischen den Punkten A und B. Ein Punkt S von AB teilt AB im Goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke M (Major) zur kleineren Teilstrecke m (minor) so verhält wie die Gesamtstrecke a := AB zum größeren Teil M. In Formeln: M m = a M und a = m + M. Das Verhältnis M m hat den Wert , und wird im Allgemeinen mit τ (griechisch: tau) bezeichnet. 2

3 Beweis: Wir haben: a M = M m (1) und a = (m + M). (2) 3

4 Beweis: Wir haben: a M = M m (1) und a = (m + M). (2) Multiplizieren wir (1) mit dem gemeinsamen Nenner: mm am = M 2. 3-a

5 Beweis: Wir haben: a M = M m (1) und a = (m + M). (2) Multiplizieren wir (1) mit dem gemeinsamen Nenner: Setzen wir nun Gleichung (2) ein: mm am = M 2. a=(m+m) (m + M) m = m 2 + mm = M 2 ; 3-b

6 Beweis: Wir haben: a M = M m (1) und a = (m + M). (2) Multiplizieren wir (1) mit dem gemeinsamen Nenner: Setzen wir nun Gleichung (2) ein: und teilen durch m 2 : mm am = M 2. a=(m+m) (m + M) m = m 2 + mm = M 2 ; :m M m = ( M m ) 2. 3-c

7 Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung ( ) 2 M M m m 1 = 0. 4

8 Daraus ergibt sich die quadratische Gleichung ( ) 2 M M m m 1 = 0. Welche für M m die Lösungen (pq Formel) und hat, die positive Lösung ist gleich τ q.e.d. 4-a

9 1.1 Fibonacci Folge Eine enge Verbundenheit mit dem Goldenen Schnitt zeigt die Fibonacci Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa ( ) genannt Fibonacci. Der Namen leitet sich von Filius Bonacci Sohn des Bonacci ab. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika lernte er die arabische Wissenschaft kennen. Fortan verwendete er konsequent die indisch arabischen Ziffern und zeigte damit auch die Vorteile des dekadischen Stellensystems auf. 5

10 Definition 1.2 (Folge) Eine Zuordnung f : oder f : heißt Folge. Die Werte a n := f (n) heißen Folgenglieder und man schreibt f = (a n ). 6

11 Definition 1.2 (Folge) Eine Zuordnung f : oder f : heißt Folge. Die Werte a n := f (n) heißen Folgenglieder und man schreibt f = (a n ). Definition 1.3 (Fibonacci Folge) Eine Fibonacci Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied gleich der Summe aus den zwei vorhergehenden Gliedern ist: f 1 = 1 und f 2 = 1, f n = f n 2 + f n 1. Diese Definition ist rekursiv, weshalb die Voraussetzungen f 1 = 1 und f 2 = 1 zur vollständigen Definition gehören. Die ersten Folgenglieder sind: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... 6-a

12 Man veranschaulicht diese Folge besonders gern mit Kaninchenpopulationen. Dazu wird die Nachkommenschaft eines Kaninchenpaares unter folgenden Voraussetzungen betrachtet: 1) Jedes Kaninchen wird im Alter von 2 Monaten gebärfähig. 2) Jedes Paar bringt jeden Monat ein neues Paar zur Welt. 3) Alle Kaninchen leben ewig. Mit der Fibonacci Folge lässt sich also ausrechnen, wie viele Nachkommen ein Kaninchenpaar nach einer bestimmten Anzahl von Monaten hat. 7

13 Was hat das aber mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Sehr viel, wie wir bald sehen werden. Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder f n+1 f n, so merkt man, dass sich dieser immer mehr an τ = annähert. 8

14 Was hat das aber mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Sehr viel, wie wir bald sehen werden. Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder f n+1 f n, so merkt man, dass sich dieser immer mehr an τ = annähert. Zuerst geben wir der Folge der Quotienten einen Namen: q n := f n+1 f n. Und beweisen dann, dass q n gegen τ strebt: q n n τ oder lim n q n = τ. 8-a

15 Vorerst müssen wir die Folge (q n ) genauer untersuchen. Das Einzige, was uns dafür zur Verfügung steht, ist das Bildungsgesetz (die Rekursionsformel) der Fibonacci Folge. Damit folgt: q n = f n+1 f n = f n + f n 1 f n = 1 + f n 1 f n = q n 1. 9

16 Vorerst müssen wir die Folge (q n ) genauer untersuchen. Das Einzige, was uns dafür zur Verfügung steht, ist das Bildungsgesetz (die Rekursionsformel) der Fibonacci Folge. Damit folgt: q n = f n+1 f n = f n + f n 1 f n = 1 + f n 1 f n = q n 1. Definition 1.4 (Grenzwert einer Folge) Eine Folge (a n ) in (, ) heißt konvergent gegen einen Grenzwert oder Limes a, falls für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl Nε existiert, so daß aus n N ε stets a n a < ε folgt. ε > 0 N ε n N ε : a n a < ε 9-a

17 Nehmen wir an die Folge (q n ) habe einen Grenzwert, welcher immer eindeutig ist. Gehen wir auf beiden Seiten der Rekursionsformel für die q n zum Grenzwert über, so erhalten wir die Gleichung q = q also q 2 q 1 = 0. 10

18 Nehmen wir an die Folge (q n ) habe einen Grenzwert, welcher immer eindeutig ist. Gehen wir auf beiden Seiten der Rekursionsformel für die q n zum Grenzwert über, so erhalten wir die Gleichung q = q also q 2 q 1 = 0. Für diese Gleichung haben wir bereits in Satz und Definition 1.1 die Lösungen und τ = bestimmt. Die erste negative Lösung scheidet aus, da die Folge nie negativ wird. D.h. falls die Folge (q n ) konvergiert, so hat sie den Grenzwert τ. 10-a

19 Also ist ab n = 2 Wir betrachten 1 < q n 2. q n+1 q n = f n+2 f n+1 f n+1 f n = f n+2 f n f 2 n+1 f n+1 f n =: Die ersten Werte von z n sind 1, 1, 1, 1, 1. z n f n+1 f n. 11

20 Also ist ab n = 2 1 < q n 2. Wir betrachten q n+1 q n = f n+2 f n+1 f n+1 f n = f n+2 f n f 2 n+1 f n+1 f n =: Die ersten Werte von z n sind 1, 1, 1, 1, 1. z n f n+1 f n. Tatsächlich lässt sich z n auf z n 1 zurückführen, denn es ist z n + z n 1 = f n+2 f n fn f n+1 f n 1 fn 2 = (f n+1 + f n ) f n fn f n+1 f n 1 fn 2 = f n+1 (f n f n+1 ) + f n+1 f n 1 = f n+1 (f n (f n + f n 1 )) + f n+1 f n 1 = f n+1 f n 1 + f n+1 f n 1 = a

21 Also ist für alle n z n = ( 1) n. Das bedeutet, dass die Folge q n abwechselnd steigt und fällt, und zwar um immer kleinere Beträge (nämlich um 1 f n+1 f n ); und diese gehen sogar gegen Null, da f n gegen unendlich strebt. 12

22 Eine solche Folge hat stets einen Grenzwert. Er wird von den Folgen q 2n und q 2n+1 eingeschachtelt, d.h. er liegt zwischen je zwei aufeianderfolgenden Gliedern. Nennen wir ihn q. Aus den vorigen Betrachtungen folgt dann q = q und, weil q n > 0 ist q = τ =

23 Eine solche Folge hat stets einen Grenzwert. Er wird von den Folgen q 2n und q 2n+1 eingeschachtelt, d.h. er liegt zwischen je zwei aufeianderfolgenden Gliedern. Nennen wir ihn q. Aus den vorigen Betrachtungen folgt dann q = q und, weil q n > 0 ist q = τ = Bemerkung 1.5 (Binetsche Formel) Wenn man ein bestimmtes Glied f n der Fibonacci Folge ausrechnen will, kann man auch die Binetsche Formel anwenden: f n = 1 ( τ n ( τ) n) a

24 1.2 Das Pentagramm Mit am eindrucksvollsten tritt der Goldene Schnitt im regulären Fünfeck in Erscheinung: Im regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel sind 108. Die Diagonalen sind ebenfalls gleich lang und teilen sich paarweise im Goldenen Verhältnis: Der längere Diagonalenabschnitt ist so lang wie eine Seite Diagonale und Seite stehen im Verhältnis τ. 14

25 Verlängert man die Seiten, bis sie sich schneiden, so entsteht das Sternfünfeck, auch Pentagramm genannt. Es ist (bis auf Spiegelung) die τ 2 fache Vergrößerung des blauen Pentagramms, welches aus den Diagonalen des ursprünglichen Fünfecks besteht. 15

26 Das gleichschenklige Dreieck, bei dem die Schenkel τ mal so lang sind wie die Basis, nennt man goldenes Dreieck. D.h. jede Sternspitze des Pentagramms ist ein goldenes Dreieck τ 16

27 Das gleichschenklige Dreieck, bei dem die Schenkel τ mal so lang sind wie die Basis, nennt man goldenes Dreieck. D.h. jede Sternspitze des Pentagramms ist ein goldenes Dreieck τ 1 1 τ Zusammen mit dem zweiten vorkommenden Dreieck bilden sie die Grundlage für die Penrose Pflasterung. 16-a

28 2 Penrose Dreiecke Wenn wir mit diesen beiden Dreiecken weiterarbeiten wollen, müssen wir eine Markierung an die Dreiecke anbringen, um die Symmetrie zu brechen, so daß die Abbildung der Dreiecke eindeutig wird: π 5 3π 5 B Sir Roger Penrose A π 5 π 5 2π 5 2π 5 17

29 2.1 Erste Inflation Als Abbildung verwenden wir die Inflation, d.h. wir bauen die Dreiecke aus sich selbst nach. Die nullte Inflation ist dann gleich den Steinen selbst: infl 0 (A) = A und infl 0 (B) = B. 18

30 2.1 Erste Inflation Als Abbildung verwenden wir die Inflation, d.h. wir bauen die Dreiecke aus sich selbst nach. Die nullte Inflation ist dann gleich den Steinen selbst: infl 0 (A) = A und infl 0 (B) = B. Die ersten Inflationen (dies sind die Definierenden der Inflation) sind: infl 1 (A): infl 1 (B): 18-a

31 2.2 Zweite Inflation Wir betrachten ab jetzt nur noch das Dreieck B. infl 2 (B): 19

32 2.3 Sechste Inflation infl 6 (B): 20

33 2.4 Dreiecke Romben Aus je zwei gleichen Dreiecken wird jetzt durch Löschung der Mittelgeraden ein Rombus: 21

34 2.4 Dreiecke Romben Aus je zwei gleichen Dreiecken wird jetzt durch Löschung der Mittelgeraden ein Rombus: und 21-a

35 Aus infl 6 (B) wird nun: 22

36 Aus infl 6 (B) wird nun: Diese Penrose Pflasterung ist z.b. im Foyer des Audimax zu sehen. 22-a

37 2.5 Die zwei Rosen Ohne die Markierungen wären die Unterschiede bei den beiden rot markierten Rosen nicht zu erkennen: 23

38 2.6 Ecksterne In dieser Penrose Inflation haben wir die folgenden Ecksterne: 24

39 3 Alexanderplatz Über diese Ecksterne werden jetzt folgende 4 Steine gelegt: A B 1 B 2 C Bestehend aus zwei Längen im Verhältnis 2 + τ a b und drei Winkeln

40 3.1 Markierte Romben Diese Überdeckung wird mittels zusätzlich markierter Romben vollzogen: 26

41 3.1 Markierte Romben Diese Überdeckung wird mittels zusätzlich markierter Romben vollzogen: und 26-a

42 Also wird aus den Ecksternen: 27

43 Also wird aus den Ecksternen: 28

44 29

45 30

46 4 Auf Wiedersehen Herr Danzer und ich danken für Ihre Aufmerksamkeit. 31

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