Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS, L3M-RF)

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1 Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS, L3M-RF) Prof. Dr. Martin Möller SoSe 2011 // 05. Juli 2011 Kontrollieren Sie, ob Sie alle Blätter (12 einschließlich zweier Deckblätter) erhalten haben, und geben Sie alle Blätter zusammen ab. Achtung: Bitte beide Deckblätter ausfüllen! Versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehen Bereich auf den Aufgabenblättern. Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie bitte auf der Rückseite weiter. Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen! Bearbeitungszeit: 110 Minuten Name: Matrikelnummer: Studiengang: Tutor: Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher nach Abschnitt VI 30(5) der Bachelor-Studienordnung von zwei Prüfenden zu bewerten. Aufgabe Gesamt Punkte erreicht Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 1

2 Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS, L3M-RF) Prof. Dr. Martin Möller SoSe 2011 // 05. Juli 2011 Kontrollieren Sie, ob Sie alle Blätter (12 einschließlich zweier Deckblätter) erhalten haben, und geben Sie alle Blätter zusammen ab. Achtung: Bitte beide Deckblätter ausfüllen! Versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehen Bereich auf den Aufgabenblättern. Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie bitte auf der Rückseite weiter. Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen! Bearbeitungszeit: 110 Minuten Name: Matrikelnummer: Studiengang: Tutor: Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher nach Abschnitt VI 30(5) der Bachelor-Studienordnung von zwei Prüfenden zu bewerten. Aufgabe Gesamt Punkte erreicht Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 2

3 Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Menge aller (u,w) R 2, sodass die reelle Matrix ( ) 4+u 1+w A = 2+u w die Fundamentalmatrix eines Skalarprodukts ist. Die Matrix ist Fundamentalmatrix eines Skalarprodukts, wenn sie symmetrisch und positiv definit ist. Die erste Bedingung ist äquivalent zu 2+u = 1+w, i.e. zu w = u+1. Nach dem Hurwitzschen Definitheitskriterium ist die genau dann der Fall wenn die Hauptminoren positiv sind, also 4+u > 0 und det(a) = u > 0 sind. Die zweite Ungleichung impliziert offenbar die erste. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 3

4 Aufgabe 2 Sei V der Vektorraum aller schiefsymmetrischen (d.h. A T = A), reellen 3 3- Matrixen und A,B = Spur(A T B). Verwenden Sie, dass, ein Skalarprodukt auf V ist. Zu A V sei die Abbildung f A : V V, X AX XA gegeben. Zeigen Sie, dass f A die zu f A adjungierte Abbildung ist. Es ist nachzurechnen, dass für alle X,Y V gilt oder nach Definition f A (X),Y = X, f A (Y) Spur(AX XA) T Y = SpurX T (YA AY). Nach ausmultiplizieren ist dies Äquivalent zu Spur(X T A T Y) Spur(A T X T Y) = Spur(X T YA) SpurX T AY. Der erste Term links fällt gegen den zweiten rechts wg A T = A weg, für das Wegfallen der anderen Terme benutzt man dies und Spur(CD) = Spur(DC). Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 4

5 Aufgabe 3 Gegeben sei die Matrix A = R 3 3. Verwenden Sie, dass A die Abbildungsmatrix einer Isometrie des R 3 bzgl. dem Standardskalarprodukt ist und dass A nicht den Eigenwert 1 hat. a) Berechnen Sie die Spur von A. b) Bestimmen Sie die Normalform der durch A bestimmten Isometrie. Die Spur ist 2. Die Normalform besteht nicht aus der Einheitsmatrix, sonst wäre diespurgleich3.alsobestehtsieauseiner1undeinemdrehkästchenzumwinkel 2cos(ϕ) = 1, also ϕ = 1/2 und daher sin(ϕ) = 3/2. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 5

6 Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt auf V = R 2 gibt, dessen zugehörige Norm die Abbildung ist. : R 2 R, (x 1,x 2 ) 4 x 4 1 +x 4 2 Wenn es so ein Skalarprodukt gäbe dann müsste die Parallelogrammidentität erfüllen. x+y 2 + x y 2 = 2 x 2 +2 y 2 Es genügt also zwei Vektoren in R 2 anzugeben, für den dies nicht gilt, z.b. x = (1,0) und y = (0,1), denn dann ist die rechte Seite 4 und die linke 2 2. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 6

7 Aufgabe 5 Der Vektorraum V = R 3 sei mit dem Skalarprodukt mit Fundamentalmatrix A = R versehen. Weiter ist der Untervektorraum W = 0, 1 gegeben. Bestimmen 1 2 Sie eine Basis des orthogonalen Komplements von W in V. Da dim(w) = 2 und dim(v) = 3, genügt es einen von Null verschiedenen Vektor v 1 v = v 2 V zu finden, der auf W senkrecht steht. Es muss also v 3 0 v v, 1 = v = v 1 +v 2 +2v 3 = 0 2 v und 1 v 1 v, 0 = v 2 1 v = 4v 2 +5v 3 = 0 2 gelten. Das kann man z.b. als v 2 = 5 4 v 3 und v 1 = 3 4 v 3 auflösen. Also ist 3 W = 5. 4 Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 7

8 Aufgabe 6 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen euklidschen Vektorräumen mit der Eigenschaft, dass wenn für x, y V die Gleichheit x = y gilt, so gilt auch f(x) = f(y). Zeigen Sie, dass f die Nullabbildung ist, oder dass es ein c R und eine Isometrie g : V W gibt mit f = c g. Ist f nicht die Nullabbildung, so gibt es v V mit f(v) = 0. Also nimm g(x) = f(x)/c mit c = f(v) / v. Die Abbildung g ist wieder linear, denn für alle x,y V gilt g(ax+y) = f(ax+y)/c = (af(x)+y)/c = ag(x)+g(y). Ausserdem ist g eine Isometrie, denn nach Wahl von c ist g(v) = c f(v) = v. Ist x = v, so ist nach Voraussetzung g(x) = g(v) = v = x. Für beliebiges x 0 hat v x die gleiche Norm wie v, also ist aufgrund der x Linearität und der vorigen Zeile g(x) = x v g( v x x) = x v v x = x. x Das ist die definierende Bedingung einer Isometrie und für x = 0 ist sie sowieso erfüllt. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 8

9 Aufgabe 7 Sei A ein affiner Raum zu einem R-Vektorraum V und B eine Teilmenge von A. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen: a) B ist ein affiner Unterraum von A. b) B ist nicht leer und für alle P,Q B und λ R ist P +λ PQ B. Zunächst zeigen wir, dass (a) die Behauptung (b) impliziert. Wir schreiben den affinen Unterraum als B = {X A : OP W}. Daraus fogt, das OP W, OW W, also auch OP +λ PQ = OP +λ( OQ OP) W. Daher ist P +λ PQ = O + OP +λ PQ B. Für die umgekehrte Implikation sei O B ein beliebiger Punkt. Es ist zu zeigen, dass die Menge M = { OP : P B} einen Vektorraum bildet. Ist v = OP M, so ist auch für alle λ R nach Voraussetzung O+λ OP B und daher λ OP M. Seien nun v = OP M und w = OQ M: Wir wollen zeigen, dass v + w in M liegt. Es liegen P = O +2v und Q = O +2w in B nach Voraussetzung. Die Voraussetzung impliziert, dass R = P + 1 P Q B. Es ist 2 OR = OP + 1 P Q = 2v ( Q OP ) = 2v + 1 (w v) = v +w. 2 Also ist v +w M. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 9

10 Aufgabe 8 Es sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad höchstens 1 mit reellen Koeffizienten, also der Raum V = {a+bx a,b R} versehen mit dem Skalarprodukt F(f,g) = 1 Bestimmen Sie den Abstand der Geraden 0 xf(x)g(x)dx. g 1 = {1+x+tx t R} und g 2 = {2 x+5sx s R}. Die beiden Unterräume W und W zu den Geraden sind gleich, aufgespannt durch x V. Mit dem Ansatz für Lotfußpunkte l 1 = 1+x+t 0 x g 1, l 2 = 2 x+5s o x g 2 muss man t 0,s 0 bestimmen, sodass l 1 l 2 [x] Diese Bedingung ist bedeutet 0 = l 1 l 2,x = 1 0 x(1+(2 +5s 0 t 0 )x)xdx = s 0 t o. 4 Die Lösung davon ist nicht eindeutig, es muss nur t 0 = s 0 gelten (, auch für eine konkrete Lösung). Für jede Lösung ist l 1 l 2 = 1 4 x. Also ist 3 d(g 1,g 2 ) 2 = l 1 l 2 2 = 1 Also ist d(g 1,g 2 ) = = x(1 4 3 x)2 = Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 10

11 Aufgabe 9 Im euklidische Vektorraum V = R 3 mit Standardskalarprodukt gibt es genau eine Orthogonalprojektion Π : V V mit dim(bildπ) = 2 und 2 1 Π( 2 ) = Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A von Π bezüglich der Standardbasis. Das Bild der Orthogonalprojection ist der Orthogonalraum zu Π( 2 ) = 2 2 = Dieser wird aufgespannt z.b. von 0 und 1. Diese zwei Vektoren lässt Π 1 0 invariant. Also ist A = Daraus folgt 1/2 0 1/2 A = /2 0 1/2 Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 11

12 Aufgabe 10 Sei A 3 ein affiner Raum mit zugrundeliegendem Vektorraum R 3, sei a R 3 und A R 3 3. Gegeben sei weiter eine affine Abbildung durch F : A 3 A 3, F(x) = Ax+a. a) Zeigen Sie, dass F genau einen Fixpunkt x (d.h. F(x) = x) hat, genau dann wenn A I 3 regulär ist. (I 3 ist die Einheitsmatrix in R 3.) b) Für welche t hat die Abbildung F genau einen Fixpunkt, falls t A = 0 2 2, a = c) Bestimmen Sie in den Fällen aus (b), in denen F genau einen Fixpunkt hat, den Fixpunkt. a) F(x) = x genau dann wenn (A I 3 )x = a. Wenn (A I 3 ) eine Inverse besitzt, so ist x = (A I 3 ) 1 a der eindeutige Fixpunkt Andernfalls ist der Lösungsraum leer oder mindestens 1-dim, der Fixpunkt also nicht eindeutig b) Nach a) ist dies genau dann der Fall, wenn t 1 0 ist. c) Es ist das linear Gleichungssystem t x = zu lösen. Die Lösung ist x = 14/(t 1) 5 2. Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2011 Blatt 12