3. Die pythagoräische Geometrie.

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1 II. Geometrie. 3. Die pythagoräische Geometrie. Neben der Zahlenlehre haben sich die Pythagoräer auch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist ja der bekannte Satz des Pythagoras eng mit ihrem Namen verbunden. Eine ganz besondere edeutung hatte für die Pythagoräer, wie schon erwähnt, das regelmäßige Fünfeck, das sog. Pentagon. Damit wollen wir uns jetzt beschäftigen. Man vermutet, dass das Studium des Pentagons die

2 2 I. Elementare Mathematik 1 Pythagoräer wahrscheinlich zur Entdeckung des Irrationalen gebracht hat. Eine Entdeckung die gleichzeitig eine Grundlagenkrise ihrer eigenen Philosphie ausgelöst haben muss, die ja von dem Grundsatz ausgegangen ist, dass alles Zahl d.h. alles rational ist. Wechselwegnahme im Pentagon Die Pythagoräer haben nämlich entdeckt, dass (im rechten Pentagon) die beiden einmal gestrichenen Strecken gleich sind (Euklid, XIII,8). lso ist (im unteren Pentagon) = D. Weiter sind alle vier eingezeichneten Winkel (im unteren Pentagon) gleich, denn (wie wir später sehen werden) teilen die Diagonalen jeden Winkel des Fünfecks in drei gleiche Teile. Demnach bildet F ein gleichschenkliges Dreieck. Insbesondere ist = F. Damit haben wir die folgende (geometrische)

3 3 Pythagoräische Geometrie 3 Wechselwegnahme im Pentagon: D E F Wechselwegnahme im Pentagon (E,) (E,) (E D,) (DE,D) (DE,D DE) (DE,D ) (DE,D) (D,D) (,D) (F,D) Die Wechselwegnahme von (Diagonale,Seite) des großen Fünfecks führt so zur Wechselwegnahme von (Diagonale,Seite) des kleinen Fünfecks. Der Prozess wie-

4 4 I. Elementare Mathematik 1 derholt sich und kommt niemals zum Halten. Er findet also kein gemeinsames Maß. Es folgt, dass Diagonale und Seite des Fünfecks kein gemeinsames Maß haben können; ihr Verhältnis ist irrational. Man glaubt, dass die Pythagoräer auf diese Weise das Irrationale entdeckt haben. Philosophische Konsequenz: Die Existenz der Irrationalen konnten die griechischen Philosophen nun heranziehen, um zu beweisen, dass eine tomlehre, wie etwa die von Demokrit, nicht richtig sein kann, denn die Existenz von Irrationalen schließt die Existenz von kleinsten usdehnungen (tome) aus. Um dies aber auf ein wissenschaftliches Fundament zu stellen, muss man die Existenz des Fünfecks beweisen. Wann existiert das Fünfeck. ntwort der Pythagoräer: Wenn es mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. In diesem Kapitel wird die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe von Zirkel und Lineal gezeigt. Diese Konstruktion geht zurück auf die Pythagoräer (die ja sogar die fünf platonischen Körper konstruiert haben). Sie findet sich, nach einer Reihe von vorbereitenden Sätzen, als ussage 11 in [Euklid, Die Elemente].

5 3 Pythagoräische Geometrie 5 Einige Winkel-Sätze im Kreis. Satz. [ Euklid, III, 20 ] In der folgenden Figur ist E = 2. E F Der Mittelpunktswinkel ist das Doppelte aller Umfangswinkel eweis. Wir haben 180 o = E + EF und 180 o = ( E + E)+ E = 2 E + E (da E = E) lso und so 180 o = 2 E +(180 o EF) 2 E = EF.

6 6 I. Elementare Mathematik 1 Satz. [ Euklid, III, 21] Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich. D lle Umfangswinkel sind gleich eweis. Die Umfangswinkel D und ) sind beide halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne (nach Euklid, III, 20]. Damit sind die Umfangswinkel gleich, d.h. D =.

7 3 Pythagoräische Geometrie 7 Satz. [Euklid, III, 22] Für jedes Viereck im Kreis ist die Summe von gegenüberliegenden Winkeln 180 o. D Winkelsummen gegenüberliegender Winkel sind gleich zwei Rechte eweis. Wir haben + + = 180 o Weiter gilt (nach Euklid, III, 21]) D = D = und somit D = D + D = + D + = + + = 180 o

8 8 I. Elementare Mathematik 1 Satz. [Euklid, III, 29] Sehnen gegenüber gleichen Umfangswinkeln in gleichen Kreisen sind gleich, d.h. = =. D D Gleiche Sehnen bei gleichen Winkeln eweis. Sei = und seien D,D die Mittelpunkte der (gleichen) Kreise. Dann haben wir und so D = D und D = D und D = D = (nach dem Kongruenzsatz SWS). lso insbesondere =.

9 Tangenten. 3 Pythagoräische Geometrie 9 Satz. [Euklid, III, 36a] Sei D Strecke in einer Tangente und sei die Strecke durch den Mittelpunkt des Kreises. Dann gilt: = D 2. D P Eine Tangenten Eigenschaft eweis. D 2 = P 2 DP 2 = (P +DP) (P DP) = (P +P) (P P) =.

10 10 I. Elementare Mathematik 1 Satz. [Euklid, III, 36b] = F 2. P F K Eine verallgemeinerte Tangenten Eigenschaft eweis. = (K +K) (K K) = K 2 K 2. +K 2 = K 2 +(K 2 +KP 2 ) = K 2 +KP 2 +P 2 = P 2 +PF 2 = P 2 +PF 2 = F 2 +PF 2 = F 2.

11 3 Pythagoräische Geometrie 11 Satz. [Euklid, III, 36c] Seien, und, die Schnittpunkte zweier Geraden, die durch den Punkt gehen, mit dem Kreis. Dann gilt =. F Eine Invariante am Kreis eweis. = F 2 =.

12 12 I. Elementare Mathematik 1 Satz. [Tangenten Kriterium] [ Euklid, III, 37 ] In der unteren Figur gilt = D 2 D ist tangential zum Kreis. D F E Das Tangenten Kriterium eweis. [ Euklid, III, 37 ] Wir ziehen, als Hilfslinie, die Tangente von nach E. Dann ist = E 2 (Euklid, III, 36) = D 2 (nach Voraussetzung) und so lso E = D FE = FD (nach Kongruenzsatz SSS). Insbesondere DF = EF = 90 o.

13 3 Pythagoräische Geometrie 13 Satz. [ Euklid, III, 32 ] DE = D. D E Tangentenwinkel F eweis. Wir haben DF = D. (die Schenkel der Winkel stehen paarweise aufeinander senkrecht) und (nach Euklid, III, 22) lso insgesamt DF + DE = 180 o, D + D = 180 o, DF + DE = D + D Demnach = DF + D DE = D.

14 14 I. Elementare Mathematik 1 Konstruktion des Pentagons. Den Griechen waren im Prinzip an der Konstruktion aller regulären Polygone interessiert. Die Konstruktion von 3-Eck, 4-Eck und 6-Eck ist natürlich einfach. Die erste wirklich schwierige ufgabe ist die Konstruktion des 5-Ecks. Mit der Konstruktion des 7-Ecks sind die Griechen nicht zu Rande gekommen. Nicht ohne Grund. Man kann nämlich beweisen, dass das 7-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Die Konstruktion des Pentagons (= 5-Eck) ist äquivalent zur Konstruktion eines asisdreicks, d.h. zur Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks (,,) dessen asiswinkel an den Ecken, doppelt so groß sind wie der Winkel an der Spitze : Das asisdreieck für das Fünfeck denn dann ist 5 = 5 72 o = 360 o.

15 3 Pythagoräische Geometrie 15 Konstruktion des asisdreiecks. ufgabe. Man teile eine Strecke mit einem Punkt so dass = 2. G H D E F Konstruktion. [ Euklid, II, 11 ] (1) Konstruiere das Quadrat, D, über. (2) Halbiere die Seite D durch den Punkt E. (3) Trage die Strecke E als EF ab. eh. FD F+E 2 = EF 2. Dies wird wie folgt mit Hilfe eines Gnomons (schattiert) gezeigt: P Q R K L M N F E D

16 16 I. Elementare Mathematik 1 E = ED MD = LE = PL KD = MD +KE = FD F = Gnomon FD F+E 2 = Gnomon+E 2 = FE 2. eh. Die Strecke = F ist die gesuchte Lösung. etrachte das Diagramm der ufgabe. Nach voriger eh. gilt: FD F+E 2 = EF 2 FD F+E 2 = E 2 FD F+E 2 = 2 +E 2 FD F = 2 FD FG = 2 Man nehme nun das Rechteck D sowohl vom Rechteck HD als auch vom Quadrat D weg und erhält: = G = F 2 = 2 und damit ist der gesuchte Punkt.

17 3 Pythagoräische Geometrie 17 ufgabe. Konstruiere das asisdreieck. Konstruktion. (1) Ziehe den Kreis mit Radius. (2) Konstruiere auf mit = 2. (3) Konstruiere die Sehne D mit D =. D Konstruktion des asisdreiecks eh. Das Dreieck D ist ein asisdreieck. eweis. [Euklid, IV, 10] Wir müssen zeigen, dass 2 D = D.

18 18 I. Elementare Mathematik 1 Wir beweisen diese ehauptung unter der folgenden Winkel nnahme D = D. Es gilt: D D + D = 180 o = D + D + D D = D + D = D + D = D und so D = D. ber dann ist D = D = (nach Konstruktion) und deshalb D = D und D = D. lso 2 D = D Damit ist mit D das gesuchte asisdreieck konstruiert.

19 3 Pythagoräische Geometrie 19 Wir müssen jetzt noch den eweis der Winkel nnahme D = D nachtragen. Der eweis der Winkel nnahme benutzt einen Trick. Der Trick besteht darin, die Winkel-nnahme als einen Satz über Winkel im Kreis zu formulieren, aber in einem Kreis der verschieden ist von dem bisher benutzten. Zum eweis konstruieren wir also einen neuen Kreis und zwar den Kreis durch die drei Punkte,,D (wie konstruiert man dies mit Zirkel und Lineal? Übung) D Zum eweis der Winkel-nnahme

20 20 I. Elementare Mathematik 1 Die entscheidende Eigenschaft, die uns weiterbringt, ist die folgende eh. D ist Tangente zum Kreis D. eweis der eh. Wir haben = 2 = D 2 lso folgt die ehauptung aus dem Tangenten Kriteriums [Euklid, III, 37]. Somit folgt die Winkelannahme aus [Euklid, III, 32]. Damit ist alles bewiesen, d.h. das asisdreieck (und somit das Pentagon) ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Literatur. Euklid, Elemente, Wissenschaftliche uchgesellschaft 1981