Lösungen zu den Übungen 76. Lösungen zu den Tests 117. Stichwortverzeichnis 128

Transkript

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2 Inhalt 1 Ausmultiplizieren und Faktorisieren 6 2 Binomische Formeln 8 3 Äquivalenzumformungen 10 4 Anwendungsaufgaben zu Gleichungen 12 5 Lineare Funktionen: Wertetabelle und Graph 14 6 Bestimmung linearer Funktionen 16 7 Anwendungsaufgaben zu linearen Funktionen 18 8 Gleichungen mit zwei Variablen 20 9 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Gleichsetzungs-und Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Anwendungen zu Gleichungssstemen Gleichungsssteme mit drei Variablen Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken Flächeninhalte zusammengesetzter Figuren Oberfläche und Rauminhalt von Prismen Anwendungsaufgaben zu Flächen- und Volumenberechnungen Tangente und Sekante Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel Baumdiagramme Mittelwerte und Boplotdiagramme Bruchterme Grundrechenarten mit Bruchtermen Lösen von Bruchgleichungen Quadratwurzeln 54

3 26 Reinquadratische Funktionen Gemischtquadratische Funktionen Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen 62 Test 1 zu Kapitel 1 bis 4 (Terme und Gleichungen) 64 Test 2 zu Kapitel 5 bis 7 (Lineare Funktionen) 66 Test 3 zu Kapitel 8 bis 13 (Lineare Gleichungsssteme) 68 Test 4 zu Kapitel 14 bis 19 (Umfang, Fläche, Volumen, Kreise) 70 Test 5 zu Kapitel 22 bis 24 (Bruchgleichungen) 72 Test 6 zu Kapitel 25 bis 29 (Quadratische Funktionen und Gleichungen) 74 Lösungen zu den Übungen 76 Lösungen zu den Tests 117 Stichwortverzeichnis 128

4 6 1 Ausmultiplizieren und Faktorisieren Bei der Multiplikation einer Summe (oder Differenz) mit einem weiteren Faktor ( 0) wird jeder Summand mit dem Faktor multipliziert ( Distributivgesetz). Man spricht von ausmultiplizieren. a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c Multipliziert man zwei Summen miteinander, so wird jeder Summand der ersten Summe mit jedem Summanden der 2. Summe multipliziert. Differenzen kann man als Summe von negativen Zahlen betrachten. (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d Besteht umgekehrt ein Term aus mehreren Summanden, die alle einen gemeinsamen Faktor ( 0) enthalten, so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern. Dabei kann es sich um eine Zahl, eine Variable oder einen Term handeln. Da die ursprüngliche Summe in ein Produkt verwandelt wird, spricht man von faktorisieren. a b + a c = a (b + c) Ausmultiplizieren: 6 ( 2 ) = 6 12 (5 z 9 k) k 2 = 5 z k 2 9 k k 2 = 5 k 2 z 9 k 3 (12 a 3 b)(b 2 c) = 12 a b 24 a c 3 b b c Faktorisieren: = + 5 = (1 + 5 ) 9 z z² 15 z = 3 z 2 3 z + 2 z 3 z 5 3 z = 3 z (3 z z 5) a b a c + b d c d = a (b c) + d (b c) = (b c) (a + d) Beim Ausklammern von Variablen muss nicht nur der Variablenbuchstabe identisch sein, sondern auch seine Potenz. 1. Vereinfache durch Ausmultiplizieren. a) (8 + 3 s) 5 s = b) 6 2 ( ) = c) (7 z + 3 ) (2 + z) =

5 7 d) 9 p (p u p 3 ) = e) ( 3 z) (2 z²) = f) b b (a 10 b) = 2. Multipliziere die Summen und Differenzen miteinander. a) ( + ) ( + z) = b) ( ) ( z) = + c) ( + ) ( z) = + d) ( ) ( + z) = + 3. Achte besonders auf die Vorzeichen. a) ( ) ( ) = b) ( ) ( 10) = 4. Klammere aus. a) = b) = 2 3 c) = d) z z z 2 = Klammere aus und fasse zusammen. a) a + b + 2 a + 2 b = b) a + b + a + b = c) a b a + b = d) 3 a c 2 3 a d 3 b c + 3b d = e) 15 a a =

6 8 2 Binomische Formeln Werden zwei gleiche Summen miteinander multipliziert, kann man sie als Quadrat schreiben. Durch Zusammenfassen der beim Aus multiplizieren entstehenden Summanden entstehen vereinfachte Terme. (a b) 2 = (a b) (a b) = a a a b b a + b b = a 2 2 a b + b² Auf diese Weise erhält man die drei binomischen Formeln: (a + b) 2 = a a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Auch die binomischen Formeln kann man durch Rückwärtslesen zum Faktorisieren verwenden. ( + 7) 2 = = (4 g h) 2 = (4 ) 2 2 (4 ) (g h) + (g h) 2 = g h + g 2 h 2 (9 + 3 k) (9 3 k) = 9 2 (3 k) 2 = 81 9 k 2 1 } } = 1 } } } 5 4 ² } = } ² + } 1 4 ³ + } Anwendung der binomischen Formeln zur Vereinfachung von Rechnungen: 48 2 = (50 2) 2 = = = = (20 1) (20 + 1) = = 399 Bei Kombinationen aus Variablen und Zahlen müssen sowohl die Zahl als auch die Variable quadriert werden. Dazu hilft dir ein Zwischenschritt mit Klammerschreibweise. 1. Verwende die binomischen Formeln zur Berechnung der Produkte. a) = ( ) ( + ) = ( ) = b) = ( ) ( + ) = ( ) = c) 52 2 = ( + ) 2 = + + = d) 27 2 = ( ) 2 = + =

7 9 2. Forme unter Verwendung der binomischen Formeln die Produkte in Summen um. a) (z + 2 k)² = b) (9 4 )² = c) (5 + 2 v) (5 2 v) = d) ( z w²) ( z + w²) = 3. Berechne. a) 0,3 (a b) 2 = b) (0,3 a 0,3 b) 2 = c) 1 5 a } 4 6 } = d) } = 4. Welche binomische Formel erkennst du? a) ( a b) keine b) (a + b) (a b) keine c) (a + b) ( b + a) keine d) [(a + b) 3] [(a + b) + 3] keine 5. Führe die folgenden Terme auf binomische Formeln zurück, falls dies möglich ist. Überprüfe stets die Vorzeichen und ob sich der mittlere Term in der Form 2 schreiben lässt. a) = b) = c) = d) 25 + a 2 = e) = f) = g) = h) =

8 10 3 Äquivalenzumformungen Zwei Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge für die Variable haben, heißen zueinander äquivalent. In jedem Fall erhält man eine äquivalente Gleichung, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung folgende Operationen ( Äquivalenzumformungen) durchführt: 1. Addition einer Zahl, Variablen oder eines Terms 2. Subtraktion einer Zahl, Variablen oder eines Terms 3. Multiplikation mit einer Zahl, Variablen oder einem Term 4. Division durch eine Zahl, Variable oder einen Term ( 0) 5. Kehrwertbildung 6. Termumformungen 7. Vertauschen der Seiten der Gleichung Zum Lösen einer Gleichung sammelt man durch Äquivalenzumformungen alle Terme mit Variablen auf einer Seite der Gleichung und alle Zahlen auf der anderen Seite. Die durchgeführte Äquivalenzumformung wird neben der Gleichung (durch einen senkrechten Strich getrennt) vermerkt. So bleiben die Rechnungen jederzeit nachvollziehbar. 5 ( + 8) = 3 9 Ausmultiplizieren = = = 49 : 2 = 24,5 L = { 24,5} 1. Führe die angegebenen Äquivalenzumformungen durch. a) = Zusammenfassen = + 30 = 33 = :( 20) = L = H J

9 11 b) = Zusammenfassen = 13 = 9 = : 2 = L = H J 2. Welche Umformungen wurden vorgenommen? a) (4 + 10) = 8 (4 7) = = = 35 = } L = H 7 } b) 8 2 ( + 3) = ( 8) = = 18 6 = 24 = 4 L = {4} 6 J 3. Löse die Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen. Es gilt G = Q. a) 8 ( + 2) = (5 + 6) 5 2 b) 8 ( + 2) = (5 + 8) 5 2 c) 8 ( + 2) = (5 + 8) d) 8 ( + 2) = 2 (5 + 8) e) ( + 3) ( 4) + 8 = ( 1) ( + 2) f) 5 ( + 2) ( 3) = 5 2 g) 6 ( 1) ( + 2) + 8 = 6 ( 3) h) 3 (2 + 5) (4 6) = 5 (2 + 6) (3 8) 6 2

10 12 4 Anwendungsaufgaben zu Gleichungen Anwendungsprobleme werden in der Regel durch eine Gleichung gelöst. Es gilt also, die Aussagen des Tetes in eine Gleichung zu verwandeln, die dann durch Äquivalenzumformungen gelöst wird. Gehe wie folgt vor: 1. Lies zunächst den Aufgabentet komplett durch. 2. Bezeichne die gesuchte Größe mit einer Variablen (z. B. ). 3. Stelle (tabellarisch) alle bekannten Größen zusammen. 4. Übersetze die Angaben in eine Gleichung, die die Variable enthält und löse sie durch Äquivalenzumformungen. 5. Ermittle die Lösungsmenge und prüfe, ob dein Ergebnis schlüssig ist (d. h. ob es eine sinnvolle Lösung zur Aufgabenstellung ist). 6. Gib einen Antwortsatz an. In einer Kiesgrube wird ein LKW samt Ladung gewogen. Ein LKW transportiert 6 t Kies in zwei Ladungen ab. Dabei wiegt er bei der ersten Fahrt 5250 kg, bei der zweiten Fahrt 5550 kg. 1. Gesucht wird das Leergewicht des LKW. Wir bezeichnen es mit der Variablen. 2. Bekannt sind: Gesamtgewicht der Ladung: 6 t = 6000 kg 1. Ladungsteil + LKW = 5250 kg 2. Ladungsteil + LKW = 5550 kg 3. Gleichung aufstellen: Die beiden Teilwägungen entsprechen der Gesamtladung + 2 LKW-Leergewichte: = oder auch (5250 ) + (5550 ) = Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen: = Zusammenfassen = = 2 : = L = {2400} 5. Antwortsatz: Der LKW wiegt ohne Ladung 2400 kg.

11 13 Bei geometrischen Aufgaben hilft oft eine kleine Skizze. 1. Addiert man zum Doppelten einer Zahl 5, erhält man 17, Eine um 5 vermehrte Zahl wird verdoppelt. Dann wird 10 addiert. Man erhält Anna hat doppelt so viele CDs wie Karin. Tanja hat doppelt so viele CDs wie Karin und Anna zusammen. Gemeinsam haben sie 72 CDs. Wie viele CDs haben Anna, Tanja und Karin? 4. Heute ist Oma sechsmal so alt wie Tina. Vor zwei Jahren war Oma siebenmal so alt wie Tina. Wie alt sind Tina und Oma heute? Wie alt waren Tina und Oma vor sieben Jahren? 5. Ein Zug fährt die erste halbe Stunde mit der konstanten Geschwindigkeit 80 } km. h Um wie viel muss die Geschwindigkeit erhöht werden, damit die Gesamtstrecke von 360 km in drei Stunden geschafft werden kann? 6. Der Umfang eines Quadrats beträgt 84 cm. Berechne die Fläche des Quadrats. 7. Zwei Kanten eines Quaders haben die Länge 30 cm bzw. 20 cm. Das Volumen des Quaders beträgt 2400 cm 3. Berechne die dritte Kante und die Oberfläche des Quaders. 8. Verlängert man die Seiten eines Quadrats um 1 m, dann nimmt der Flächeninhalt um 21 m 2 zu. Wie lang sind die Seiten und die Flächen des alten und des neuen Quadrats? 9. Die Innenmaße eines quaderförmigen Beckens sind: 5000 cm, 400 cm und 100 cm. Wie lange benötigt eine Pumpe, die pro Minute 400 l pumpt, um das Becken zu füllen?

12 14 5 Lineare Funktionen: Wertetabelle und Graph Lineare Funktionen treten immer dann auf, wenn ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen vorliegt. Sie haben die Form f () = m. Dabei nennt man den Faktor m die Steigung der Geraden. Man unter scheidet steigende Geraden (m > 0) und fallende Geraden (m < 0 ) f () = 1,5 m = 1,5 2 4 m = 2 f() = 2 Trägt man die Wertepaare in eine Tabelle ein, so wird bei Erhöhung der -Koordinate um eine Einheit immer der Steigungsfaktor m (hier: m = 1,5) zur -Koordinate addiert ,5 6 4,5 3 1,5 0 1,5 3 + m + m + m Geraden müssen nicht not wen digerweise durch den Ursprung verlaufen. Ist eine Gerad e um b Einheiten nach oben oder unten verschoben, so erhält man als Geradengleichung f () = m + b. Die Zahl b wird -Achsenabschnitt genannt f() = 1, f() = Willst du obige Wertetabelle einer linearen Funktion in einen Funktionsgraphen umsetzen, wählst du einfach zwei Punkte der Tabelle aus, trägst sie ins Koordinatensstem ein und zeichnest eine Gerade durch diese beiden Punkte. Durch Einzeichnen der Punkte (0 3) und (2 0) erhältst du oben die grün eingezeichnete Gerade. Um die Gerade mit der Gleichung = 0,5 + 2 in ein Koordinatensstem einzutragen, beginnst du am einfachsten am -Achsenabschnitt und errechnest einen zweiten Geradenpunkt, indem du für eine beliebige Zahl einsetzt und die zugehörige -Koordinate bestimmst. In unserem Beispiel könntest du z. B. = 2 einsetzen und damit = 1 errechnen. Die Gerade muss dann durch den -Achsenabschnitt A (0 2) und den Punkt B (2 1) verlaufen A (0 2) B (2 1) 2 4 = 0,5 + 2

13 15 1. Zeichne folgende lineare Funktionen in ein Koordinatensstem. a) f () = b) f () = 2 4 c) f () = } d) f () = } 1 1 e) f () = Gegeben ist die Gleichung = 8. Die Gleichung der zugehörigen Gerade lautet: = Es liegt direkte Proportionalität vor. Berechne die fehlenden Werte ,5 24 2,4 9, Gegeben ist die lineare Funktion = a) Berechne ihre Nullstelle (Schnittpunkt mit der - Achse ). N = 1 2 b) Prüfe, ob die Punkte oberhalb (o), unterhalb (u) oder auf dem Graph der Funktion (p) liegen. P (2 10) Q (2 14) R (2 20) 5. Zeichne die Funktionen = t t für t = 1 und t = 1 in das Koordinatensstem ein. Zeige, dass alle Geraden den gemeinsamen Punkt (3 2) besitzen

14 16 6 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder 2 Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1 1 ) und P 2 ( 2 2 ) auf der Geraden aus, deren Koordinaten gut ablesbar sind. Dann bestimmt man die Steigung mithilfe der Steigungsformel m = 2 1 } 2 1 Neben der Steigung benötigt man den -Achsenabschnitt b. Man errechnet ihn, indem man in die Geradengleichung = m + b die bereits berechnete Steigung m sowie die Koordinaten eines Punktes (z. B. P 1 ) einsetzt und nach b auflöst: b = 1 m 1 Abschließend wird die Geradengleichung in der üblichen Form = m + b mit den für m und b ermittelten Zahlenwerten notiert. Wie lautet die Geradengleichung einer linearen Funktion, die durch die Punkte A ( 2 5) und B (4 7) verläuft? 1. Berechnung der Steigung: m = 2 1 } 6 = 2 2. Berechnung des -Achsenabschnitts: b = 5 ( 2) ( 2) = 5 4 = 1 3. Aufstellen der Geradengleichung: = = } 7 5 = } 12 4 ( 2) Bei der Berechnung der Steigung ist es ohne Bedeutung, welchen der beiden Punkte man als ersten und welchen als zweiten Punkt in die Formel einsetzt. 1. Bestimme die Gleichungen der eingezeichneten linearen Funktionen. 8 6 rot: 4 blau: grün: hellblau: pink: 6 schwarz: 8

15 17 2. Berechne die Geradengleichung, indem du zwei Kurvenpunkte abliest m = b = } = = Gegeben sind die lineare Funktion = 3 + b und der Geradenpunkt (5 8). Bestimme b: b =. 4. Gegeben sind die lineare Funktion = m + 8 und der Geradenpunkt (4 12). Bestimme m: m =. 5. Gegeben ist die Gerade g: = a) Zeige, dass der Punkt (5 9) nicht auf der Geraden liegt. b) Berechne die Gerade durch den Punkt (5 9), die parallel zur Geraden = ist. 6. Trage die Punkte und deren Geraden in ein Koordinatensstem ein. Stelle die Geraden in der Form = m + b dar, falls dies möglich ist. a) P ( 2,5 2,5); Q (3 14) b) R (2 2); S (2 14) c) T ( 10 2); U (18 2)

16 18 7 Anwendungsaufgaben zu linearen Funktionen Bei Anwendungsaufgaben zu linearen Funktionen geht es in der Regel darum, eine geeignete Funktionsvorschrift für den dargestellten Sachverhalt zu finden, um dann anschließend unbekannte Werte für oder zu errechnen. Gehe wie folgt vor: 1. Welche beiden Größen werden in einen Zusammenhang gebracht? Welches ist die vorgegebene Größe () und welches die zugeordnete Größe ()? 2. Welche Informationen finden sich über die Steigung der linearen Funktion? Ist sie direkt gegeben oder muss sie über zwei gegebene Punkte errechnet werden? 3. Welche Informationen finden sich über den -Achsenabschnitt? Ist er direkt gegeben (als Startwert an der Stelle 0) oder muss man ihn ebenfalls errechnen? 4. Stelle die Geradengleichung auf. 5. Berechne fehlende Werte durch Einsetzen gegebener - und -Werte in die Geradengleichung. Ein Taiunternehmer berechnet 3,50 Standgebühr sowie 0,40 je gefahrenem Kilometer. a) Wie viel muss Herr Wahl für eine 14 km lange Taifahrt bezahlen? b) Wie weit ist Frau Hinz gefahren, wenn sie 6,30 bezahlen muss? 1. Hier wird der zurückgelegten Strecke der Fahrtpreis zugeordnet. 2. Die Steigung ist mit 0,4 ( je gefahrenem Kilometer) bereits gegeben. 3. Die Standgebühr ist der Preis für 0 km, also der -Achsenabschnitt. 4. Die Geradengleichung lautet: = 0,4 + 3,50 5. a) = 14 = 0, ,50 = 9,10 Herr Wahl muss 9,10 bezahlen. b) = 6,3 6,3 = 0,4 + 3,5 2,8 = 0,4 = 7 Frau Hinz ist eine Strecke von 7 km gefahren. 1. Ein Passagierflugzeug hat noch Liter Kerosin an Bord. Es verbraucht pro Minute 200 Liter Kraftstoff. Wie viel Kerosin befindet sich nach 15 Minuten noch im Tank?

17 19 2. Eine 20 cm lange brennende Kerze wird pro Stunde 2,5 cm kürzer. Wann ist die Kerze abgebrannt? 3. Gegeben ist die Funktion = f () = } Der Eckpunkt eines Rechtecks liegt auf der Geraden wie im Bild gezeigt. a) Wie lang können die Seiten des Rechtecks höchstens sein? = b) Berechne den Umfang U = U () des Rechtecks allgemein und für = 15. c) Berechne die Fläche A = A () des Rechtecks allgemein und für = 15. d) Für welches ist das Rechteck ein Quadrat? e) Wie groß ist die Fläche des Quadrats? f) Für welches und hat der Umfang 24 Längeneinheiten? g) Wie groß ist die Fläche des Rechtecks, wenn der Umfang 24 Längeneinheiten beträgt? 4. Holger probiert sein neues Fahrrad auf einer geraden Strecke aus. Er fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v 1 = 4 } m s von Punkt A nach B. Nach 10 s startet sein Freund Malte. Er fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v 2 = 6 } m s von A nach B. a) Gib eine Funktion an, die Holgers zurückgelegten Weg (in Abhängigkeit von der Zeit) beschreibt. b) Gib eine Funktion an, die Maltes zurückgelegten Weg (in Abhängigkeit von der Zeit) beschreibt. c) Zeichne die Funktionen aus a) und b) im Intervall [0; 40 s] in ein gemeinsames Koordinatensstem. Lege dabei die Zeit t auf die -Achse. d) Wann wird Holger von Malte eingeholt? e) Wo treffen sich die beiden Freunde? 5. Firma Klotz will Ware einkaufen und bekommt zwei Angebote. Firma A: Pro Teil 1,60 Euro plus Versandkosten von 20 Euro. Firma B: Pro Teil 1,20 Euro plus Versandkosten von 80 Euro. a) Stelle für die beiden Angebote die Funktion auf und zeichne die Graphen in ein gemeinsames Koordinatensstem. b) Ab welcher Menge ist das Angebot von Firma B günstiger?

18 20 8 Gleichungen mit zwei Variablen Gleichungen des Tps a + b = c nennt man lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Ihre Lösungen bestehen immer aus Wertepaaren ( ). Jede Gleichung hat unendlich viele Lösungen, die man durch Einsetzen überprüfen kann. Alle Wertepaare, die zur Lösungsmenge gehören, liegen im Koordinatensstem auf einer Geraden. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung = 50. Häufig findet man zwei Lösungspaare durch Probieren, hier z. B. (2 4) oder (4 3), denn das Einsetzen liefert = 50 und = 50. Da alle Lösungen auf einer Geraden liegen, muss sie durch diese beiden Punkte verlaufen. Jetzt kannst du weitere Lösungen der Gleichung als Geraden punkte ablesen, z. B. (0 5) oder ( 2 6). Alle Lösungen findest du durch Umstellen der Gleichung zu einer Geradengleichung, d. h. Auflösen nach der Variablen = = : 10 = 0,5 + 5 Jetzt kannst du zu jedem beliebigen den zugehörigen -Wert des Lösungspaares berechnen. 3 2 ( 2 6) (0 5) (2 4) (4 3) Prüfe, welche der angegebenen Wertepaare Lösungen zu der gegebenen Gleichung mit zwei Variablen sind. Streiche die falschen Lösungen. a) = 12 (2 1); ( 1 3); (0 2); ( 3 4); ( 0,5 3); (3 0) b) 3 7 = 21 (7 0); (0 3); (28 5); ( 14 3); ( 4 1) c) 1 } 4 = 5 (4 6); ( 8 3); (2 4,5); (40 5); } 4 2 d) 1,6 0,4 = 4 (10 40); (0 10); (1 14); ( 5 10); (0,25 11) e) + = 3 } } ; 1 3 } 2 1 } 2 2 ; 1 3 } ; } 4 2 ; (2 3)

19 21 2. Löse zuerst nach auf und berechne dann die dazugehörigen -Werte. a) + 4 = 0 = ,6 0,4 0,75 b) + 4 = 12 = ,7 c) = 12 = d) = 12 = ,44 0, Löse zuerst nach auf und berechne dann die dazugehörigen -Werte. a) + 4 = 0 = b) + 4 = 1 = ,66 0,5 0,75 c) = 6 = ,66 0,4 4 d) = 12 = ,3 3,6

20 22 9 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Müssen zwei Gleichungen mit zwei Variablen gleichzeitig erfüllt sein, spricht man von einem Gleichungssstem. Die Lösungen für ein Gleichungssstem sind Wertepaare ( ). Da jede der Gleichungen eine Gerade beschreibt, ist die Lösung eines Gleichungssstems gleichbedeutend mit den Koordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Geraden. Es gibt also entweder nur eine Lösung (die Geraden schneiden sich in einem Punkt), keine Lösung (die Geraden verlaufen parallel) oder unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch). eine Lösung 1 Wertepaar ( ) P ( ) keine Lösung unendlich viele Lösungen Ermittle grafisch die Lösung des Gleichungssstems (1) + 3 = 9 (2) 10 = Um die beiden Geraden, die diesen Gleichungen entsprechen, zeichnen zu können, bringst du sie zunächst in die übliche Form = m + b. (I) = 1 } (II) = 2 4 Diese beiden Geraden zeichnest du nun in ein Koordinatensstem. Es ergibt sich ein Schnittpunkt mit den Koordinaten S (3 2). Dieser ist gleichzeitig die Lösung des Gleichungssstems, also L = {(3 2)} Zeichne die Graphen der Funktion in das Koordinatensstem ein. Gib den Schnittpunkt S mit der eingezeichneten Geraden an, falls ein solcher eistiert.

21 128 Stichwortverzeichnis A Additionsverfahren 26 Anwendungsaufgaben 12, 18, 28, 38 Äquivalenz umformungen 10 Ausklammern 6 Ausmultiplizieren 6 B Baumdiagramm 44 Binomische Formeln 8 Boplotdiagramme 46 Bruchgleichungen 52 Bruchterme 48, 50 D Definitionsmenge 48 Distributivgesetz 6 Drachen 32 Dreieck 32 Dreieckprisma 36 E Einsetzungsverfahren 24 F Faktorisieren 6 Flächeninhalt 32, 34, 38 G Gemischtquadratische Funktionen 58 Geometrieaufgabe 28 Geraden 14 Geradengleichung 16 Gleich setzungs verfahren 24 Gleichungen 64 mit zwei Variablen 20 Gleichungssstem mit zwei Variablen 22 mit drei Variablen 30 I Intervallschachtelung 54 Irrationale Zahl 54 K Koordinatensstem 14 Kreissehne 40 L Lineare Funktionen 14, 16 mit zwei Variablen 20 Lösungsmenge 52 M Median 46 Mittelpunktswinkel 42 Mittelwert 46 Multiplikations-Pfadregel 44 N Normalform 58, 62 Normalparabel 56 Nullstelle 15 O Oberfläche 36 P p-q-formel 62 Parabeln 58 Parallelogramm 32 Passante 40 Pfad 44 Prismen 36 Proportionaler Zusammenhang 14 Q Quader 36 Quadratfunktion 56 Quadratische Gleichungen 60, 62 Quadratwurzeln 54 R Rauminhalt 36 Reinquadratische Funktionen 56 S Scheitelpunkt 56 Scheitelpunktform 58 Sechseckprisma 36 Sehne 42 Sehnenviereck 43 Sekante 40 Steigung 14, 16 Steigungsformel 16 Summand 6 Summenregel 44 T Tangente 40 Trapez 32, 34 U Umfang 32 Umfangswinkel 42 Umkreis 43 V Vieleck 34 Volumen 38 W Wertepaare 14 Wertetabelle 14 Wertetripel 30 Y -Achsenabschnitt 14, 16 Z Zentralwert 46 Zufallseperimente 44 Zusammengesetzte Figuren 34