HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 1 von 8. Vektorrechnung in 3D: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Gerade, Schnittpunkt...

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1 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite von 8 Name und -adresse Nietrost Bernhard, bernhard.nietrost@htl-steyr.ac.at Fullerene, Fußball Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Vektorrechnung in 3D: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Gerade, Schnittpunkt... Kurzzusammenfassung Anwendung der Vektorrechnung in 3D auf ein praktisches Problem Didaktische Überlegungen / Zeitaufwand: ausgehend von einem einfachen Objekt (ev. einen Fußball als Anschauungobjekt mitnehmen) eine Fragestellung entwickeln [ - 4 h je nach Art des Unterrichsgestaltung ] Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Angewandte Mathematik,. Jahrgang, alle Abteilungen - vor allem Maschinenbau, Maschineningenieurwesen, Mechatronik, Chemie,... Mathcad-Version: Mathcad 5 Literaturangaben: Timschl: Ingenieurmathematik Anmerkungen bzw. Sonstiges: Anstelle der Vektorschreibweise werden Vektoren in MCD FETT geschrieben! Die Punkte werden in der Rechnung als Ortsvektoren verwendet und daher Fett geschrieben! zum Beispiel: F = F A= OA

2 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite von 8 Fullerene, "Fußball" ist eine Molekül, dass aus 6 C-Atomen besteht. Die C-Atome sind in Fünfecken, die jeweils von 5 Sechsecken umgeben sind, angeordnet. ( Fünfecke und Sechsecke) Eine makroskopische Entsprechung ist der klassische Fußball, dessen Umfang 7cm sein sollte. Das Molekül C 6 und ein Fußball mit der charakteristischen Anordnung der Fünf- und Sechsecke.. Skizze der Anordnung der Fünf- und Sechsecke Als willkürlicher Ursprung des Koordinatensystems wird eine Ecke des Fußballs ausgewählt. 8 Skizze (,,)

3 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 3 von 8 Im Folgenden werden zum einfacheren Rechnen die Seitenlängen mit der Länge angenommen. Die Winkel im Fünfeck sind 7 in einem gleichschenkeligen Dreieck vom Mittelpunkt aus gemessen bzw. 8 zwischen benachbarten Seiten. Im Sechseck sind die entsprechenden Winkel 6 bzw. Diese Anordnung ist nur räumlich möglich, da in einem Eckpunkt die Winkelsumme < 36, dh während das Fünfeck in der Zeichenebene liegt, müssen die Sechsecke aus dieser Ebene herausschauen.. Berechnung der Seitenvektoren Zur Berechnung braucht man drei ( in Skizze rot eingezeichneten) Seitenvektoren, die von einem Eckpunkt (=Ursprung) ausgehen. Zwei Vektoren liegen in der xy - Ebene: a:= hat nur eine x-koordinate b:= sin( 8Grad) cos( 8Grad) hat eine x und y Koordinate, die sich aus einem rechtwinkeligen Dreieck (rot strichliert in Skizze ) und dem Winkel zwischen den Vektoren von 8 ergeben. Die Berechnung von c ist eine klassische Grundaufgabe der Vektorrechnung, da die Winkel zu den anderen Vektoren und die Länge bekannt sind. c x ergibt sich aus dem Winkel zwischen a und c = und wird über das Skalarprodukt bestimmt. cos( Grad) = a c= = c x c x := cos( Grad) c x c y c z c y ergibt sich aus dem Winkel zwischen b und c = cos( Grad) = b c Vorgabe = sin( 8 Grad) cos( 8 Grad) cos( Gad) c y c z cos( Grad) = sin( 8 Grad) cos( Grad) + cos( 8Grad) c y cos( Grad) + cos( Grad) sin( 8 Grad) c y := Suchen( c y ) c y =.69 cos( 8 Grad) c ergibt sich aus der Länge: = c z x + c y + c z c z := c x c y

4 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 4 von 8 c x c y c ist somit:c:= bzw. c=.69 mit a c=.5 bzw b c=.5 (die beiden c z.5.53 Skalarprodukte entsprechen dem Winkel ) sowie c =. Die Geometrie des Moleküls:. Die Winkel zwischen den Ebenen Zunächst werden mit Hilfe des Kreuzprodukts die Normalvektoren des Fünfecks und der beiden Sechsecke berechnet, welche von den Vektoren a,b,c gebildet werden. n F := a b n S := c a n S := b c.5 n F = n S =.53 n S = Die Winkel zwischen den Normalvektoren entsprechen auch den Winkeln zwischen den Ebenen in denen das Fünfeck bzw. die Sechsecke liegen. Als weitere Lösung ist auch 8 α möglich. (siehe Skizze ) n F n S α F_S := acos α F_S = Grad 8 α F_S = 4.6 n F n S n F n S α F_S := acos α F_S = Grad 8 α F_S = 4.6 n F n S n S n S α S_S := acos α S_S = 4.8 Grad 8 α S_S = 38.9 n S n S Die Winkel zwischen dem Fünfeck und Sechseck sind natürlich gleich, der Winkel zwischen den Secksecken ist etwas größer.

5 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 5 von 8. Winkel zwischen Ebene und Kante In diesem Fall ist noch zu berücksichtigen, dass der Normalvektor unter einem Winkel von 9 ( π ) zur Ebene steht. α KS_F acos c n F := n F π + = 48.8 Grad α KS_F α KF_S acos b n S := n S π + = Grad α KF_S.3 Mittelpunkte der Flächen Fünfeck: Aus elementargeometrischen Überlegungen folgt der Mittelpunkt des Fünfecks. (Von einem Eckpunkt des Fünfecks aus gesehen -> Skizze ) M F.5 := tan 54Grad ( ) M F =.69 Sechseck: Der Mittelpunkt ist mit einem gleichseitigen Dreieck problemlos zu bestimmen. 3 Da die Fläche nicht in der Ebene des Fünfecks liegt, benötigt man weitere Überlegungen. (siehe Skizze )

6 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 6 von 8 M 4 Skizze M Die x-koordinate bleibt unverändert, während durch den Winkel zwischen den Flächen (α F_S = bzw. 8 α F_S = 4.6 ) die zweite Koordinate mit einem rechtwinkeligen Dreieck in y (negativ) und z Koordinate aufgeteilt werden. 3.5 Mittelpunkt des Sechsecks ist bei. M S := cos( α F_S ) M S = sin( α F_S ).4 Mittelpunkt des Fussballs Man schneidet zwei Gerade, die durch die Mittelpunkte von Fünf- bzw. Sechseck mit der Richtung des jeweiligen Normalvektors, gehen. Die Gerade lautet g: P= M F + t n F Die Gerade lautet g: P= M S + r n S Anm: Es gibt durch die drei Koordinaten drei Gleichungen mit nur zwei Unbekannten. Die x-koordinate leifert kein sinnvolles Ergebnis, da beide Gerade in der Ebene mit x =.5 liegen. r:= t:= Startwerte zum Lösen des Gleichungssystems Vorgabe y - Koordinaten:

7 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 7 von 8 M F + t n F = M S + r n S,,,, z - Koordinaten: M F + t n F = M S + r n S,,,, r t.6 := Suchen( r, t) = Parameter der Geraden g und g.45 M:= M F + t n F M = M:= M S + r n S M = Beide Parameter liefern natürlich den gleichen Mittelpunkt des Fußballs..5 Durchmesser/Radius des Fußballs Der Radius eines Fußballs ist in diesem Modell nicht eindeutig definiert, da das Fullerenemolekül ein 6-eck ist. Daher kann der Radius festgelegt werden als: Mittelpunkt zu Eckpunkt: r Ecke := M Mittelpunkt zu Mittelpunkt des Fünfecks: r Fünfeck := Mittelpunkt zu Mittelpunkt des Sechsecks: r Sechseck := M M S M M F r Ecke =.48 r Fünfeck =.33 r Sechseck =.7 Als Radius im Sinne des Fußballs am besten geeignet ist r Ecke =.48, da beim Aufpumpen dieser Radius erhalten bleibt, während die Fünf- und Sechsecke sich nach außen wölben. 3. Bemerkenswertes zum Fußball / Fullerene Der Fußball ist aus Sicht der Geometrie ein abgestupftes Ikosaeder (Vielflächer aus gleichseitigen Dreiecken, dessen Ecken abgetrennt werden) mit Fünfecken und Sechsecken als Begrenzungsflächen. Der Fußball ist von der Grundform ein 6 - Eck (C 6 ), der durch das Aufpumpen mit Luft ungefähr die Form einer Kugel annimmt. Die Anzahl der Ecken + Anzahl der Flächen - Anzahl der Kanten = (Euler'scher Polyedersatz) Daher ergibt sich: 6 Ecken + 3 Flächen - = 9 Kanten. Da r Ecke =.48 und die Kantenlänge mit angenommen wurde gilt als Faustformel: 5 x Kantenlänge der Vielecke = Durchmesser des Fußballs

8 HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 8 von 8 4. Herstellung eines Fußballes im Unterricht Ein Fußball kann verhältnismäßig einfach von den Schülern in Gruppenarbeit von ungefähr 4 Schülern in ca. Stunden aus Papier (etwas dicker zb. g oder g) ausgeschnitten werden. 7cm Um einen Fußball mit Umfang 7 cm zu erhalten ergibt sich für den Radius = 4.5 cmdie π r Ecke erforderliche Kantenlänge der Fünf- und Sechsecke. Mit Hilfe eines längs geklebten Klebestreifens können die Verbindungen zwischen den einzelnen Flächen hergestellt werden. Unter Berücksichtigung dass ein Fünfeck von 5 Sechsecken umgeben ist entsteht ein Modell eines Fußballs.