Ansicht 10 P. Aufsicht 12 P m m 12 P 2 P 4 P 4 P 4 P m 7.50 m

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1 Berechnng FEMrämlichen Fachwerks eines Beisiel zr ehrveranstaltng Ein der Finite Elemente Methode Grndlagen Systembeschreibng Geometrie nd Abmessngen des Systems.... Materialarameter Skizzen nd Diskretisierng des Systems..... asten astfälle Einzellast Windlast Diskretisierng notenkoordinaten nd Elementzordnng... Ensemblierng Transformation in globale oordinaten ösng der Systemgleichng ösngsstrategie astfall I astfall II astfall III Diskssion Alternative Generierng der globalen Elementsteifigkeitsmatrix Bochm Rhr-Universität für Statik nd Dynamik ehrsthl Aflager der drei Fachwerkstäbe bilden ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge ffl =; m a Das Fachwerk besteht as Rohrrofilen einem tleren Drchmesser von d m =; ffl nd einer Blechdicke von t =; cm cm ) A =; cm diesen Angaben lassen sich, nach Festlegng des oordinatenrsrngs, die oordinaten As Systemknoten berechnen. aller den folgenden Abbildngen sind die Abmessngen des Tragwerks, sowie die angreifenden In dargestellt. Ferner sind hier die Nmmerierngen der noten nd Fachwerkstabelemente asten Einzellast symbolisiert die Zgkraft eines Stahlseils, das am noten befestigt ist. se Wirkngsrichtng liegt in einer Ebene arallel zr X /X -Ebene. Sie besitzt also Ihre ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar Stdienblatt Einleitng Folgenden soll ein gleichseitiger Tetraeder als rämliches Fachwerk tels der Methode Im finiten Elemente berechnet werden. verwendeten -knotigen, isoarametrischen Sta- der besitzen lineare Ansätze. Im Mittelnkt soll dabei die Transformation der lokalen belemente in das globale Bezgssystem sowie die Ensemblierng zr Strktr- Elementsteifigkeitsmatrizen steifigkeitsmatrix stehen. Systembeschreibng Christian Becker nd Detlef hl. Geometrie nd Abmessngen des Systems ffl änge aller Fachwerkstäbe beträgt =; m. Aflage,. Janar Inhaltsverzeichnis Einleitng. Materialarameter. Systemlastvektor Der verwendete Bastahl besitzt einen E-Modl von ffl =: kn=cm E. okale Elementsteifigkeitsmatrix Skizzen nd Diskretisierng des Systems. Ensemblierngsrozess gegeben. age nd Orientierng des oordinatenrsrngs ist den Skizzen z entnehmen. asten asten, die af das Ramfachwerk wirken sind ffl Einzellast F keinen raftanteil in globaler X -Richtng. ffl Windlast w Windlast wirkt in ositive, globale X -Richtng Univ. Prof. Dr. techn. G. Meschke

2 folgen die asten am noten z: Hieras x =P F Berechnng der äqivalenten notenlasten as der Windlast gestaltet sich afgrnd der Orientierng der Stäbe als schwierig, ist aber möglich. In diesem Rahmen werden rämlichen den obigen Daten ergibt sich der astvektor der Einzellasten bzw. äqivalenten Einzellasten As einzelnen astfälle z: der r W ind = [P P P P ] T noten X X X ; ; ; ; ; q noten noten Element linearen Ansätze der Verschiebng führen z folgender Elementsteifigkeitsmatrix, die für Stäbe identisch ist: alle e = E A k die Ensemblierng zm Gesamtsystem drchgeführt werden kann, müssen die lokalen Elementfreiheitsgrade Bevor der einzelnen Stäbe in globale Freiheitsgrade überführt werden. Ein lokaler setzt sich as drei globalen Freiheitsgraden zsammen. Transformationsbeziehngen Freiheitsgrad des Verschiebngsvektors nd der Elementsteifigkeitsmatrix lateten: " ff cos ff cos ff cos cos ff cos ff cos ff Xe i = i X e i ff cos ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode Ansicht P P. Systemlastvektor. m P Afsicht X. m X P r Seil = [ P P ] T P P P X. m. m P X P P r Ges = r Seil + r Wind =[P P P P P P ] T () Diskretisierng. notenkoordinaten nd Elementzordnng Abbildng : An- nd Afsicht des statischen Systems. astfälle noten der Fachwerkstäbe notenkoordinaten [m] folgende Berechnng soll folgende astfälle berücksichtigen: ; ffl F I: Zgkraft as Stahlseil ffl F II: Windlast. okale Elementsteifigkeitsmatrix ffl F III: Zgkraft as Stahlseil nd Windlast # " (). Einzellast Einzellast F wird in ihre globalen omonenten zerlegt: Ensemblierng. Transformation in globale oordinaten F y = P F z = P. Windlast e = T e k e = T T k e T () sofort die äqivalenten notenlasten angegeben. Strich kennzeichnet die globalen Verschiebngen. Transformationsmatrix setzt sich as Der Richtngscosini zsammen, die wiederm Hilfe der hysikalischen oordinaten der Ele- den mentknoten berechnet werden können. noten : F x =P # () noten bis : T = F x =P

3 Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode Tabellarische Zsammenfassng der Richtngscosini: Element cos ff cos ff cos ff q q q sind die Einträge der einzelnen Transformationsmatrizen bestimmt Daras ergeben sich Da globale Elementsteifigkeitsmatrizen (af die Strich-Indizierng wird im folgenden ver- folgende zichtet): = k = k = k. Ensemblierngsrozess werden die Elementfreiheitsgrade den Systemfreiheitsgraden gekoelt, m säter zr Hier z gelangen. elementsezifische Inzidenzmatrix ergibt sich as der Strktrsteifigkeitsmatrix Beziehng e = a e (8) () () () ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar der Vektor die Systemfreiheitsgrade beinhaltet. Es werden nn die Elementinzidenzmatrizen wobei afgestellt. = ; a = a ; = a dieser Inzidenzmatrizen können nn die einzelnen Elementsteifigkeitsmatrizen, die sich Mittels asschließlich af die Elementfreiheitsgrade beziehen, so transformiert werden, daß sie bisher Bezg zm Gesamtsystem besitzen. se Matrizen haben diesselbe Größe wie die Strktrsteifigkeitsmatrix. einen einzelnen Steifigkeitsterme werden drch die Inzidenzmatrizen af ih- richtigen" Platz im System gebracht. Strktrsteifigkeitsmatrix ergibt sich as der ren ( Addition ) aller transformierten Elementsteifigkeitsmatrizen. Das bedetet an- Serosition eine Addition der einzelnen Steifigkeiten bei olng von mehreren Elementen. se schalich smmierenden Matrizen berechnen sich nach: z e = a et k e a e () folgt eine Aflistng dieser Matrizen: Es = = (9) () ()

4 = = : : : der Ensemblierng erhält man ein lineares Gleichngssystem af Systemebene, das zr Nach von Dirichlet Randbedingngen entsrechend vorgeschriebener nd z berechnender Einbindng r r rr r :Vektor der nbekannten notenfreiheitsgrade :Vektor der vorgeschriebenen notenfreiheitsgrade r :Vektor der angreifenden asten r :Vektor der angreifenden asten nd nbekannten Aflagerkräfte r r r r r der zweiten Gleichng in der Vektorgleichng () können die nbekannten notenfreiheitsgrade Mittels berechnet werden. Einsetzen dieser in die erste Gleichng liefert die Aflagergrößen Dirichlet-Rand. Im Normalfall mß der Vektor noch so msortiert werden, daß vorgeschriebene am nd nbekannte notenfreiheitsgrade wie in Gleichng () ntereinanderositioniertsind. nserem Beisiel ist dies nicht nötig, da eine solche Sortierng drch diewahl der notennmmerierng In schon erfolgt ist. nbekannten notenfreiheitsgrade am noten ergeben sich - bei vollständiger Serrng Freiheitsgrade der noten,, ( = ) - as der zweiten Zeile von Gleichng () wo aller r = rr r r r = r r () rr = : : rr = : : hier lediglich homogene Dirichlet Randbedingngen berücksichtigt werden mßten, sind die Da Umformngen der Streichng der Salten nd Zeilen - 9 identisch. obigen immer as dem Prodkt von einem beliebigen astvektor. Das heißt, für verschiede- astfälle, die af nser Tragwerk wirken, bracht diese Inversion nr einmal drchgeführt ne werden. Ertlng der nbekannten notendeformationen verbleibt die Ertlng der Systemaflagerreaktionen. Nach Der Vektor r beinhaltet sowohl die Aflagerreaktionen r als ach Anteile r = r r r A r = verbleibt die konkrete Unterschng der gegebenen astfälle. Bei der folgenden Analyse des Es werden znächst die astvektoren nach () in die Anteile r r nd r A artioniert n Tragwerks die Verschiebngslösng r nach Gleichng () nd die Aflagerreaktionen r anschließend Gleichng (8) berechnet. nach ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode () die asten am Dirichlet-Rand ebenfalls Gleichng () bestimmt werden können. () Strktrsteifigkeitsmatrix = + + ergibt sich z: : : Wie in Gleichng () z erkennen ist, ergeben sich die nbekannten notendeformationen rr () der vorgeschriebenen asten as Wind r A (r = r + r A ). (8) ösng der Systemgleichng. ösngsstrategie Verschiebngen nd r artitioniert wird. = r () =

5 8 Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode. astfall I = P Seil r r rseil = P r A Seil = P. astfall II r Seil = P r A Wind = P P = rwind r rwind = P r Wind = P (9) () () () ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar 9. astfall III Ges = r rseil + r r Wind = P r r rges = P. Diskssion r Ges = P r AGes = r A Seil + r A Wind = P räftegleichgewichtsbedingngen bestätigen die Ergebnisse der Gleichngen (,,). Mit ertelten Ergebnissen kann die Gültigkeit des Serositionsrinzis anhand dieses Bei- den überrüft werden. Betrachtet man die Vektoren ri sowie r i, so stellt man folgenden siels fest: Zsammenhang rges = rseil + rwind () r Ges = r Seil + r Wind () () nd () bestätigen die Gültigkeit des Serositionsrinzis, also die Überlagerngsmöglichkeit Gleichngen einzelner astfälle. ses Prinzi gilt neingeschränkt für lineare Betrachtngen. () ()

6 Art der Generierng basiert af der geometrisch nichtlinearen agrange'schen Formlierng se des Prinzis der virtellen Verschiebngen, angewandt af die sezielle inematik des der geometrisch nichtlinearen Betrachtngsweise werden sämtliche Verschiebngen bei der Bei der Verzerrngen berücksichtigt. Bei geometrisch linearer Betrachtngsweise ist dies Ertlng Ein Stab der an einem noten lediglich eine Verschiebng orthogonal zr Stabachse anders. ist geometrisch linear betrachtet nicht verzerrt worden (" = ), obwohl sich dieänge erfährt, geometrisch nichtlineare Betrachtngsweise ermöglicht es so hier, Verzerrngen Hilfe Elementortsvektoren der Referenz- nd Momentankonfigration z bestimmen, nabhängig der Z ; = l E = l () I I I I X e X e Zsammenhang nd die Symmetrieeigenschaft der Matrix A werden bentzt, m die ser Steifigkeitsmatrix z erhalten. materielle Elementsteifigkeitsmatrix ergibt sich z: materielle e m( e )= k [A (X e + e )] (X e + e ) T A Λ () elastische Elementsteifigkeitsmatrix k e e ergibt sich as der materiellen Elementsteifigkeitsmatrix drch Vorgabe verschwindender Elementverschiebngen e =. e e = k [A X e ] X et A Λ () Folgenden soll nn die elastische Elementsteifigkeitsmatrix eines beliebigen Stabes generiert Im werden. X X X X X X X X X + X X + X X + X x e x e X X X X X X ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode. Alternative Generierng der globalen Elementsteifigkeitsmatrix nd den Elementortsvektoren () x e = X e = globale Elementsteifigkeitsmatrix wrde bisher as der lokalen Elementsteifigkeitsmatrix Transformation ins globale oordinatensystem generiert. Alternativ kann die globale Ele- drch mentsteifigkeitsmatrix direkt generiert werden. Stabes. Bedetng der Matrix A (Pythagoras) möge der interessierte eser drch Asführen von () verifizieren. Da der Elementortsvektor der Momentankonfigration im allgemei- Gleichng nen nbekannt ist, wird er ersetzt drch x e = X e + e () des Stabes ändert (Pythagoras). von der Art der notenverschiebngen. Zerst wird die innere virtelle Arbeit betrachtet. ffie (X ) S (X ) Ad = ffie S () ffiw e int = Das Verzerrngsmaß ergibt sich z: Elementortsvektor: E = ; + ; ; (8) (9) X e = X e = Einsetzen in das Verzerrngsmaß nd anschließende Umformng ergibt: (8) ängenqadrate der Referenz- nd Momentankonfigration werden wie folgt gebildet: Der Term A X e ergibt sich z: = X e A X e () l = x e A x e () (9) A X e = A = I = ()

7 Der Term (X e ) T X e ) T A =» X X X X X X X + X X + X X + X (X X ) (X X )(X X ) (X X )(X X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X X ) (X X ) (X X )(X X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X X ) (X X )(X X ) (X X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X ) (X X )(X + X )(X X )(X + X )(X X )(X + X ) (X + X ) (X + X )(X + X )(X + X )(X + X ) (X X )(X + X )(X X )(X + X )(X X )(X + X )(X + X )(X + X ) (X + X ) (X + X )(X + X ) (X X )(X + X )(X X )(X + X )(X X )(X + X )(X + X )(X + X )(X + X )(X + X ) (X + X ) Einsetzen der jeweiligen notenkoordinaten der drei Stäbe erhält man diesselben globalen Drch Elementsteifigkeitsmatrizen wie bei der Transformation der lokalen Steifigkeitsmatrizen e +r w r e +r w r r e +r w ehrsthl für Statik nd Dynamik, Rhr-Universität Bochm,. Janar Becker & hl, Grndlagen der Finite Elemente Methode A =(A X e ) T ergibt sich z: Formel für WEB-age () = () Gleichng () ergibt sich die elastische Steifigkeitsmatrix z: As e e = k (exlizite Berechnng nach der direkten Methode: siehe Mathematica-File).