Brückenkurs Mathematik

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1 Beweise und Beweisstrategien Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015

2 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden!

3 Ein einfaches Beispiel aus der Anwendung Voraussetzung: Ein roter Zug fährt um von Graz nach Wien mit 100 km/h und hat nur 22 Passagiere. 10 Minuten später fährt ein blauer Zug von Wien nach Graz mit 100 Passagieren und 80 km/h. Die Wegstrecke beträgt 220 km. Frage: Wann treffen sie auf der Strecke aufeinander? Der Mathematiker fängt an zu arbeiten Welche Informationen braucht er? (Zeit, Geschwindigkeit, Strecke) 2. Welchen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit gibt es (...)? 3. Er übersetzt die Informationen in mathematische Gleichungen. 4. Er untersucht die Gleichungen. 5. Er löst die Gleichungen. 6. Der Mathematiker antwortet.

4 Warum beweisen?

5 Beweistheorie und Metamathematik Die Beweistheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Beweise sind dort mathematische Objekte. Erste Arbeiten: Frege, Russel,... Moderne Beweistheorie: David Hilbert ( Wir müssen wissen, wir werden wissen ). MP3 Rede. Arten von Beweise: i) Formale Beweise. ii) Informale Beweise.

6 Formale Beweise Richtige Beweise im Sinne einer Beweistheorie. Endliche Anzahl von Sätzen Logische Formeln in einer formalen Sprache. Jeder Satz ist entweder 1. Ein Axiom. 2. Folgt aus vorhergehenden Sätzen durch Schlussregeln. Problem: Aufwendig und kompliziert! Überprüfung: z.b. Computer Beispiel 2 ist irrational.

7 Informale Beweise In der Mathematik üblich. Skizzen, die es erlauben, formale Beweise zu konstruieren. Problem: Welche Skizzen sind erlaubt? Überprüfung: Peer Review. Große Hürde beim Studieneinstieg! Daher: Jeder Satz wird bewiesen. Lernen am Beispiel. Den eigenen Beweis von Kollegen überprüfen lassen.

8 Wir lernen zu beweisen...

9 Beweistypen I Direkter Beweis Der Satz S wird direkt bewiesen. Abbildung : Form eines direkten Beweises Voraussetzung: p. Zu zeigende Aussage: q. p wird als wahr angenommen und durch logische Schlussfolgerungen wird q gezeigt. Also zeige: p q.

10 Beweistypen I Direkter Beweis Beispiel I Definition Sei n N. Wir nennen n ungerade genau dann, wenn ( m N) : n = 2m + 1. Theorem Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl. Beweis. Übersetzen in den Formalismus Zu zeigen: ( n N) : n ungerade }{{} p n 2 N mit n 2 ungerade. }{{} q Sei n N ungerade. Dann existiert ein m N, sodass n = 2m + 1. Dann ist n 2 = (2m + 1) 2 = (2m + 1)(2m + 1) (Definition der Quadratzahl) und n 2 = 4m 2 + 4m + 1 = 2(2m 2 + 2m) + 1. Wir setzen l := (2m 2 + 2m). Dann ist n 2 = 2l + 1. Also ist n 2 eine ungerade Zahl. n 2 N, weil n 2 das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist.

11 Beweistypen I Direkter Beweis Beispiel II Theorem Die Summe dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist ein Vielfaches der Zahl 3. Beweis. Übersetzen in den Formalismus Zu zeigen: n N }{{} p ( m N): n + (n + 1) + (n + 2) = 3m. }{{} q Sein n N. Dann ist n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). m N, weil es ein Produkt von natürlichen Zahlen geschrieben werden kann. Wir setzen m := (n + 1). Also ist n + (n + 1) + (n + 2) = 3m.

12 Beweistypen I Direkter Beweis Beispiel Theorem Sei n N ungerade. Dann existieren k, l N, sodass n = k 2 l 2. Beweis. Übung für den geneigten Hörer. Tipp: Betrachte ( ) n+1 2 ( 2 und n 1 ) 2. 2

13 Beweistypen II Beweis durch Kontraposition Der Satz S wird durch den Beweis der Negation der zu zeigenden Aussage bewiesen. Abbildung : Form eines indirekten Beweises Voraussetzung: p. Zu zeigende Aussage: q. Wir möchten wieder zeigen: p q. p q ist äquivalent zu q p. Wir zeigen also: q p.

14 Beweistypen II Beweis durch Kontraposition Beispiel I Theorem Sei n N. Ist n 2 gerade, so ist auch n gerade. Beweis. Übersetzen in den Formalismus Zu zeigen: ( n N) : Dies ist aber äquivalent zu ( n N): Und das haben wir bereits gezeigt! n 2 gerade n gerade.. }{{}}{{} p q n ungerade n 2 ungerade.. }{{}}{{} q p

15 Beweistypen II Beweis durch Kontraposition Beispiel II Theorem Sei f P(R, R) eine reellwertige Polynomfunktion mit f (x) = x 2 5x + 6. Dann gilt: Für z R mit z < 0 ist f (z) 0. Beweis. Übersetzen in den Formalismus Zu zeigen: ( z R): z < 0 }{{} p f (z) 0 ( z R): }{{} q f (z) = 0 }{{} q z 0. }{{} p Sei z R mit f (z) = 0. Wir erhalten z 2 5z + 6 = (z 3)(z 2) = 0. Also ist z = 3 oder z = 2. Insbesondere ist z 0.

16 Beweistypen III Beweis durch Widerspruch Der Satz S wird durch Erzeugen eines Widerspruches bewiesen (reductio ad absurdum). Abbildung : Form eines indirekten Beweises Wir nehmen an, dass S nicht stimmt und erzeugen einen Widerspruch. Formal aufwendiger darzustellen. Z.B. Clason, Grundbegriffe der Mathematik, S. 34 und 43.

17 Beweistypen III Beweis durch Widerspruch Theorem Die Quadratwurzel von 2 ist irrational. Beweis. Angenommen, 2 ist rational. Dann gibt es k Z, l Z\{0}, sodass 2 = k. l O.B.d.A. ist k ein elementar gekürzter Bruch und somit sind k und l l teilerfremd. k 2 = 2 = k2 l l 2l 2 = k 2. 2 Also ist k gerade (warum?) und es existiert ein m Z mit k = 2m. Es gilt also 4m 2 = 2l 2 und 2m 2 = l 2. Also ist l 2 gerade und somit l (warum?). Also ist 2 ein Teiler von k und l. Dies ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme und 2 kann nicht rational sein.

18 Vollständige Induktion Motivation Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: Ligget se. Wolfgang Sartorius von Waltershausen Worum geht es? = 100 i=1 i = 5050 (rechnen oder nachdenken!) Aber: n i=1 i =?. Es gilt: n i=1 i = n(n+1) 2 Problem: Wie beweisen? Denn: Eine Überprüfung für jedes n N ist nicht möglich.

19 Vollständige Induktion Das Prinzip Wir möchten zeigen: n N : p(n). Es gilt: [p (1) (( n N) : p(n) p (n + 1))] [( n N): p (n)]. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: i) Induktionsbeginn: Zeige: p(1). ii) Induktionsschluss: Für ein beliebiges n N nehme p(n) (Induktionsvoraussetzung) an und zeige damit, dass p(n + 1) gilt.

20 Vollständige Induktion Ein Beispiel Lemma Für alle n N 0 ist 3 ein Teiler von n 3 n. Beweis. Wir beweisen das Lemma mit Induktion nach n. 1. IA n = 0: Wir zeigen: 3 ist Teiler von = 0. Dies ist aber trivial (warum?). 2. IS n 0, n n + 1: Wir zeigen: 3 ist Teiler von (n + 1) 3 (n + 1) und nutzen dabei die Annahme aus, dass 3 ein Teiler von n 3 n ist. (n + 1) 3 (n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n + 1 n 1 = (n 3 n) + (3n 2 + 3n) = (n 3 n) + 3(n + 1) Laut (IV) gilt 3 (n 3 + 3) und offensichtlich gilt 3 3(n + 1). Also gilt: 3 (n + 1) 3 (n + 1). Daraus folgt die Behauptung.

21 Vollständige Induktion Ein Beispiel Lemma Für alle n N gilt: n i = i=1 n(n 1) 2. Beweis. Übung!

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