Die ausgefrorene freie Energie des Sherrington Kirkpatrick Modells 1

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1 Die ausgefrorene freie Energie des Sherrington Kirkpatrick Modells Vorbemerkung In der Statistischen hysik können magnetische Materialien als System von miteinander wechselwirkender Elementarmagneten, sogenannter Spins, beschrieben werden. Im einfachsten Fall wird dabei ein Spin durch eine zweiwertige Variable, im Folgenden mit dem Wertebereich {,}, modelliert. Der Zustand in dem sich ein aus N N Spins bestehendes System befindet, ist daher durch die Werte der N Spinvariablen S S,...,S N ) {,} N bestimmt. Man bezeichnet S als die Spinkonfiguration des Systems. Ein konkretes Modell wird nun durch die Angabe einer Energie- oder Hamilton Funktion H N : {,} N charakterisiert, welche jeder Spinkonfiguration einen Energiewert zuordnet. Weiter ist mit dieser die spezifische) freie Energie eines Systems, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Wärmebad der Temperatur k B β) > 0 befindet k B > 0 ist die Boltzmann Konstante), durch den Ausdruck gegeben, wobei Z N β) die sogenannte Zustandssumme f N β) : βn ln Z Nβ), ) Z N β) : {S} exp [ βh N S)] ) bezeichnet. Die Summe in der Definition ist dabei als Summe über alle N Spinkonfigurationen S {,} N zu verstehen. Da das Interesse in der Statistischen hysik vor allem großen, d.h. makroskopischen Systemen gilt, wird die freie Energie im sogenannten makroskopischen oder thermodynamischen) Limes fβ) : lim f Nβ) 3) N betrachtet. Dessen Existenz ist allerdings apriori nicht sicher und muß für ein gegebenes System erst bewiesen werden. Die makroskopische) freie Energie ist in der Thermodynamik von zentraler Bedeutung, da es möglich ist, aus ihr alle thermodynamisch relevanten Größen eines Systems zu gewinnen. Das Sherrington Kirkpatrick Modell Im Jahre 975 schlugen Sherrington und Kirkpatrick zur Beschreibung bestimmter magnetisch ungeordneter Materialien sogenannter Spingläser) das folgende, später nach ihnen Copyright c 00 ainer uder und Wolfgang Spitzer. Alle echte vorbehalten. Das Attribut spezifisch bedeutet, das eine thermodynamische Größe in Bezug zur Systemgröße gesetzt wird. Dies entspricht in der Definition der spezifischen freien Energie hier dem Faktor /N. Da hier jedoch stets die spezifische freie Energie betrachtet wird, wird im weiteren spezifisch nicht mehr explizit genannt.

2 benannte, Modell vor: H N S) : N i<j N J ij S i S j, N. 4) In diesem sind jeweils zwei Spins, S i und S j, miteinander gekoppelt, wobei die Stärke der Kopplung durch die Kopplungskonstante J ij gegeben ist. Die Besonderheit des Sherrington Kirkpatrick Modells kurz SK Modell) ist nun, daß in diesem, um die magnetische Unordnung zu modellieren, die Kopplungskonstanten zufällig sind. Genauer, ist J {J ij : i < j N} eine Familie von voneinander stochastisch unabhängigen, standard-gaußverteilten Zufallsvariablen, d.h. es gilt für den Mittelwert E[J ij ] 0 und für die Varianz E[J ij ) ]. Es sei noch darauf hingewiesen, daß der Skalierungsfaktor / N entscheidend das asymptotische Verhalten der freien Energie im makroskopischen Limes bestimmt. Ein stärkerer Abfall, z. B. /N, ergäbe für die freie Energie stets den konstanten Wert ln /β, wohingegen für einen schwächeren Abfall diese divergierte. Als Funktionen von J ij sind auch die Hamiltonfunktion H N sowie die Zustandssumme Z N β) und die freie Energie f N β) Zufallsvariablen. Aus physikalischer Sicht ist es allerdings nicht zu erwarten, daß die freie Energie eines makroskopischen Systems von der konkreten ealisierung der Unordnung auf mikroskopischer Ebene, d.h. den Kopplungskonstanten J ij, abhängt, denn dies würde bedeuten, daß zwei roben desselben Materials unterschiedliches physikalisches Verhalten zeigen könnten. Vielmehr erwartet man, daß die Fluktuationen der freien Energie bezüglich der Unordnung im makroskopischen Limes verschwinden und diese gegen ihren Mittelwert konvergiert ein Verhalten, das als Selbstmittelung bezeichnet wird. In der Tat konnten astur und Shcherbina im Jahre 99 zeigen, daß die freie Energie selbstmittelnd ist, ihre Varianz bezüglich der Unordnung also im makroskopischen Limes verschwindet: lim E[ f N β) E[f N β)] ) ] 0. 5) N Der Mittelwert der freien Energie, die sogenannte eingefrorene freie Energie, E [ f N β) ] βn E[ ln Z N β) ], 6) ist allerdings ein mathematisch äußerst schwieriges Objekt. So konnte z. B. erst 00 durch eine Arbeit von Guerra und Toninelli bewiesen werden, daß die eingefrorene freie Energie des SK Modells im makroskopischen Limes im gesamten Temperaturbereich, d. h. für alle β > 0, überhaupt existiert. Im Gegensatz dazu ist der Mittelwert der Zustandssumme eine viel einfachere Größe und die damit definierte ausgeheilte oder ausgefrorene freie Energie, βn ln E[ Z N β) ], 7)

3 kann sogar leicht explizit berechnet werden. Ein- und ausgefrorene freie Energie sind im allgemeinen verschieden und es besteht aufgrund der Jensen Ungleichung folgender Zusammenhang: E[f N β)] βn E[ln Z Nβ)] βn ln E[Z Nβ)]. 8) Es kann allerdings gezeigt werden, daß für hohe Temperaturen β < ) die ausgefrorene freie Energie mit der eingefrorenen im makroskopischen Limes übereinstimmt. Dies soll im nächsten Abschnitt bewiesen werden. Die Hochtemperaturphase des SK Modells Im Jahre 987 erschien eine Arbeit von Aizenman, Lebowitz und uelle, in der diese u.a. zeigen konnten, daß für hohe Temperaturen im makroskopischen Limes die freie Energie des SK Modells gegen dessen ausgefrorene freie Energie konvergiert. Da sich diese zudem leicht berechnen läßt, war damit die freie Energie des SK Modells in der Hochtemperaturphase explizit bestimmt. THEOEM Aizenman Lebowitz uelle, 987). Für β < gilt fβ) β lim N N ln E[Z Nβ)] β 4 ln. 9) β Es sei vorab bemerkt, daß der nachstehende Beweis des Theorems zum einen nicht in allen Details vollständig ausgeführt wird, sondern nur die wesentliche Beweisidee skizziert, zum anderen diese nicht die ursprüngliche Beweisidee aus der Originalarbeit von Aizenman, Lebowitz und uelle darstellt. Beweis des Theorems. Wir beginnen damit, die zweite Gleichheit in 9) zu zeigen und rechnen hierfür den Mittelwert der Zustandssumme aus: E[Z N β)] {S} E [ exp βh N S) )] 0) {S} β exp E[ H N S) ) ] ) ) β ) exp 4 N ) {S} β N N ) exp 4 ) ), 3) wobei in ) verwendet wurde, daß für eine zentrierte gaußsche Zufallsvariable X E [ exp ax) ] a exp E[ X ]), a, 4) gilt siehe Anhang ). Nach Logarithmieren und Multiplikation mit /βn), βn ln E[Z Nβ)] β ln β ) 4 N 3 5)

4 folgt die Behauptung durch Limesbildung N. Um die erste Gleichheit in 9) zu beweisen, bedienen wir uns der sogenannten Methode des zweiten Moments, die im Anhang näher erläutert wird. Nach dieser ist es möglich, falls das zweite Moment E[ZN ] durch das Quadrat des ersten E[Z N ] ) multiplizert mit einer von N unabhängigen Konstanten Cβ) > 0 beschränkt werden kann, auf die Wahrscheinlichkeitsaussage [f N β) β 4 ] β ln 4Cβ) > 0 6) zu schließen. Um zu verstehen, inwiefern mit Hilfe der Ungleichung 6) das Theorem bewiesen werden kann, bemerken wir zunächst, daß wegen 8) und 5) β 4 β ln E[f Nβ)] 7) gilt. Veranschaulichen wir uns die Lage der drei Größen f N β), E[f N β)] und β 4 β ln auf der reellen Achse: Aufgrund der Selbstmittelung der freien Energie 5) die wir als bewiesen voraussetzen wollen), konvergieren f N β) und E[f N β)] im makroskopischen Limes gegeneinander. Da nun β 4 β ln mit nicht-verschwindender Wahrscheinlichkeit, unabhängig von N, zwischen f N β) und E[f N β)] liegt, müßen alle drei Größen im makroskopischen Limes zusammenfallen. Wir wollen es bei dieser Beweisskizze belassen, die Details nicht näher ausführen und uns vielmehr der Frage widmen, ob die Voraussetzung der Methode des. Moments erfüllt ist, d.h. ob eine endliche) von N unabhängige Konstante Cβ) existiert, für die [ ZN E β) ) ] Cβ) E[Z N β)] ) 8) gilt. Berechnen wir zunächst das zweite Moment E[ Z N β) ) ]. Unter erneuter Verwendung von 4) ergibt sich [ ZN E β) ) ] [ exp β H N S) + H N Ŝ)))] 9) E {S} {Ŝ} β β N ) ) exp E[ H N S) + H N Ŝ)) ]) 0) {S},{Ŝ} exp β E [ H N S)H N Ŝ)]). ) 4

5 Ein Vergleich mit 5) zeigt, daß sich der erste Faktor zu N E[Z N β)] ) ergibt. Es bleibt daher zu zeigen, daß der zweite Term endlich ist. Hierfür betrachten wir zunächst den Erwartungswert im Exponenten: E H N S)H N Ŝ)) [ N E ] J ij J lm S i S j Ŝ l Ŝ m ) wobei N N i<j N l<m N i<j N S i S j Ŝ i Ŝ j 3) QN S,Ŝ)), 4) Q N S,Ŝ) : N i N S i Ŝ i 5) die sogenannte Überlappfunktion bezeichnet. Wir erhalten also die für alle N gültige Ungleichung ZN E[ β) ) ] E [ Z N β) ]) β N ) QN N S,Ŝ)), 6) wobei wir exp ) β verwendet haben. QN tritt quadratisch im Exponenten auf, doch durch Verwendung der Identität exp ax ) a dy exp axy ay ), a > 0,x, 7) π können wir diesen Term linearisieren man nennt dies gaußsche Linearisierung, siehe dazu Anhang ) und damit die Berechnung der Summen {S},{Ŝ} erheblich vereinfachen: β N π β N π β N π β N ) QN S,Ŝ)) 8) dy exp β Ny ) dy exp β Ny ) {S},{Ŝ} i β Ny Q N S,Ŝ)) 9) N exp β ) y S i Ŝ i 30) dy exp β Ny ) 4cosh β y )) N. 3) Als nächster Schritt soll der Cosinus hyperbolicus abgeschätzt werden. Wie sich durch vollständige Induktion leicht zeigen läßt, gilt n)! n! n für n N 0 und damit coshx) n0 x n n)! x n x ) n n! exp, x. n0 5

6 Das somit erhaltene Gauß Integral läßt sich leicht berechnen ) QN S,Ŝ)) β N π β N N exp {S},{Ŝ} β dy exp β Ny + β4 Ny ) 3) 33) und ist für β < endlich. Anhang. Zu gaußschen Zufallsvariablen Sei X eine gaußsche Zufallsvariable mit Mittelwert E[X] : µ und Varianz E [ X E[X] ) ] : σ, µ,σ, σ 0. Für eine reelle Zahl a gilt nun dx E[expaX)] exp x ) µ) πσ σ expax) dx exp x xµ + aσ ) + µ ) πσ σ exp aµ + a σ ) exp ae[x] + a ) E[X ], dx exp x µ aσ ) ) πσ σ wobei nur quadratisches Ergänzen im Exponenten und die Tatsache, daß die Gauß Integrale normiert sind, verwendet wurden. Übrigens kann in dieser Gleichung die Jensen Ungleichung für die Expontialfunktion herausgelesen werden, denn da a E[ X E[X] ) ] 0 ist, gilt wegen der Monotonie der Exponentialfunktion: ) E[expaX)] exp ae[x]. Durch dieselbe echnung ist es auch möglich, eine im Exponenten einer Exponentialfunktion quadratisch auftretende Größe zu linearisieren. Betrachten wir hierfür den Term exp ax ) mit x und a > 0. Um x im Exponenten zu linearisieren führen wir eine standard- 6

7 gaußsche Zufallsvariable Y ein, d.h. E[Y ] 0 und E[Y ], und schreiben: exp ax ) E[exp a xy )] 34) dy exp y / + a xy ) 35) π a π dy exp ay + axy ) 36) siehe Formel 7)). Durch die Einführung des Gauß Integrals ist somit erreicht worden, daß x nur noch linear auftritt. Auch wenn der Integralausdruck zunächst komplizierter aussieht, ist er dennoch oftmals leichter zu berechnen. Dieses häufig verwendete Verfahren wird als gaußsche Linearisierung bezeichnet.. Die Methode des zweiten Moments Durch die Methode des. Moments kann die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung einer positiven) Zufallsvariable von ihrem Mittelwert E[X] durch deren zweites Moment beschränkt werden. Kern dieser Methode ist die ayley Zygmund Ungleichung: THEOEM ayley Zygmund, 93). Sei X eine reellwertige positive Zufallsvariable, so gilt: [X ] E[X] ) E[X] 4 E [ X ]. Beweis. Sei { falls x A, χ A x) : 0 falls x / A. } die Indikatorfunktion der Menge A. Für A : {X E[X] gilt dann E[X] [Xχ A ] + E[Xχ A c], } wobei A c das Komplement von A bezeichnet. Da A c {X < E[X], gilt offensichtlich E[Xχ A c] E[X] und mit Hilfe der Cauchy Schwarz Ungleichung E[Xχ A ] E[X ] ) E[χ A c]) E[X ] ) [X ]) E[X]. Damit ergibt sich E[X] E[X] + E[X ] ) [X ]) E[X], woraus die Behauptung folgt. 7