Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Transkript

1 Jürgen Roth Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Modul 5: Fachdidaktische Bereiche Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.1

2 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen 1 Ziele und Inhalte 2 Natürliche Zahlen N 3 Ganze Zahlen Z 4 Rationale Zahlen Q 5 Reelle Zahlen R 6 Komplexe Zahlen C 7 Hyperkomplexe Zahlen Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.2

3 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel 5: Reelle Zahlen R Inkommensurabilität Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.3

4 Einführung reeller Zahlen Einführung reeller Zahlen Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen. Köln: Aulis Verlag Deubner, S. 90 Lässt sich nicht aus praktischen Messaufgaben rechtfertigen. In realen Situationen (z. B. bei Messungen) treten irrationale Zahlen niemals direkt auf. Entscheidung, ob eine Maßzahl/Gleichungslösung rational ist Kann nicht experimentell-empirisch erfolgen. Kann nicht durch Ausrechnen mittels Computer erfolgen. Nur mit theoretischen Argumentation möglich. Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen Eine theoretische zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs. Sichert, dass für manche geometrische und algebraische Probleme anschaulich vorhandene Lösungen auch in der Theorie als wohlbestimmte Objekte existieren (z. B. Bestimmung der Länge der Diagonalen eines Quadrats oder des Kreisumfangs). Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.4

5 Reelle Zahlen Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen. Köln: Aulis Verlag Deubner Die reellen Zahlen entsprechen eineindeutig den sämtlichen Punkten der Zahlengeraden. Arnold Kirsch Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.5

6 Irrationalität von 2 Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.6

7 o. B. d. A. heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Existenz irrationaler Zahlen Definition Eine reelle Zahl x heißt Satz rational, wenn sie sich in der Form x = m mit m Z und n n N schreiben lässt, andernfalls irrational. Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = 2. Beweis (Widerspruchsbeweis) Wenn x 2 = 2 ist, dann gilt für alle Lösungen x dieser Gleichung x Q. Annahme: p x q(x) Es gibt o. B. d. A. einen Bruch m n mit m, n N für den gilt: m 2 = 2 n m 2 = 2n 2 m m = 2 n n In der Primfaktorzerlegung von m m tritt die Zahl 2 in einer geraden Anzahl auf, in der von 2 n n tritt die Zahl 2 dagegen in einer ungeraden Anzahl auf. Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung! Es kann keine rationale Zahl x mit x 2 = 2 geben. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.7

8 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Beweis Annahme: Es gibt natürliche Zahlen mit mehreren unterschiedlichen Zerlegungen. Dann gibt es darunter eine kleinste Zahl n. n kann keine Primzahl sein (Warum?). Zwei Zerlegungen von n können keinen gemeinsamen Primfaktor p enthalten, da dann auch n p zwei verschiedene Zerlegungen hätte und kleiner als n wäre. Widerspruch zu n ist minimal. Es gilt also: n = p a = q b mit p, q P p q a b Das letzte Argument ist das Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch mindestens einen der Faktoren. p a b p a p b Da n durch p teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch p teilbar sein und das ist b, denn q ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.8

9 o. B. d. A. heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Existenz irrationaler Zahlen Definition Eine reelle Zahl x heißt Satz rational, wenn sie sich in der Form x = m mit m Z und n n N schreiben lässt, andernfalls irrational. Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = 2. Beweis (Widerspruchsbeweis) Wenn x 2 = 2 ist, dann gilt für alle Lösungen x dieser Gleichung x Q. Annahme: p x q(x) Es gibt o.b.d.a. einen vollständig gekürzter Bruch m m, n N mit: n m 2 = 2 n m 2 = 2n 2 m 2 ist gerade. m ist gerade. m = 2 k mit k N m 2 = 4 k 2 4 k 2 = 2n 2 2 k 2 = n 2 n 2 ist gerade. n ist gerade. m n ist nicht vollständig gekürzt. Es gibt kein x Q mit x 2 = 2. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.9

10 Inkommensurabilität Pentagon Es gibt kein gemeinsames Maß für die Diagonale d und die Seite a des regelmäßigen Fünfecks. d = 1 a + d 1 a = 1 d 1 + a 1 Im zweiten Fünfeck: d 1 = 1 a 1 + d 2 a 1 = 1 d 2 + a 2 Im dritten Fünfeck: d 2 = 1 a 2 + d 3 a 2 = 1 d 3 + a 3 d = 1 a + d 1 a = 1 d 1 + a 1 Wäre e ein gemeinsames Maß von d und a, dann auch für jedes Paar d n, a n. Die Längen nehmen aber bei jedem Schritt um mehr als die Hälfte ab und werden damit sicher kleiner als jedes e. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.10

11 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren: An die Straße grenzende Grundstückslänge (Frontmetermaßstab). Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist. Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen. Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage Straßenreinigungsgebühren werden aus der Seitenlänge eines zum Grundstück flächeninhaltsgleichen Quadrats berechnet. Frage: Wie findet man die Seitenlänge dieses Quadrats? A B Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.11

12 Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.12

13 Gesucht: A Heron-Verfahren (Wurzelberechnung) a 0 = 4 Anfangswert: a 0 b n = A a n b 0 = A a 0 = 24 4 = 6 A = 24 b 1 = A a 1 = 4,8 a n+1 = a n + b n 2 = a n + A a n 2 a 1 = a 0 + b 0 2 = 5 Schnell konvergierende Intervallschachtelung. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.13

14 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen 1 Ziele und Inhalte 2 Natürliche Zahlen N 3 Ganze Zahlen Z 4 Rationale Zahlen Q 5 Reelle Zahlen R 6 Komplexe Zahlen C 7 Hyperkomplexe Zahlen Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.14

15 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel 6: Komplexe Zahlen C Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.15

16 Vgl. hierzu folgenden Artikel: Komplexe Zahlen im Unterricht? Roth, J. (2003). Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich. mathematik lehren, Heft 121, S Komplexe Zahlen im Unterricht? Beim Lösen von Gleichungen mit Computeralgebrasystemen tauchen komplexe Zahlen auf hierfür sollte man den Schülerinnen und Schülern eine befriedigende Erklärung anbieten. Die nach dem Spiralprinzip angelegte Vermittlung der Idee der Zahlbereichserweiterung beim Erreichen einer Grenze des aktuellen Zahlbereichs wird unterstützt, wenn man beim Gleichungslösen und Wurzelziehen an Grenzen stößt und sich Gedanken über eine mögliche Zahlbereichserweiterung macht. Komplexe Zahlen sind praktisch, weil sie die mathematische Aufarbeitung von vielen inner- und außermathematischen Problemen deutlich vereinfachen oder erst möglich machen. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.16

17 Gauß schen Zahlenebene Die Deutung von Punkten der Zahlengeraden als reelle Zahlen wird geometrisch erweitert auf die Punkte der Ebene, die als komplexe Zahlen gedeutet werden. Komplexe Zahlen werden durch Zeiger repräsentiert, die im Koordinatenursprung beginnen. Alle Zeiger z = (r z, φ z ) werden eindeutig festgelegt durch ihre Länge r z und den Winkel φ z, den sie mit der positiven reellen Achse einschließen. Dabei ist r z eine positive reelle Zahl und für φ z gilt 0 φ z < = (2, 180 ) 3 = (3, 0 ) Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.17

18 z = x y Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.18

19 z = x ± y z = x + y z = x y = x + y Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.19

20 Die Zahl i Die Richtung der zweiten Koordinatenachse wird durch den Zeiger 1, 90 festgelegt. Wegen der Bedeutung für diesen Zahlenbereich erhält er einen Namen, nämlich i = 1, 90. (Vgl. die Achsenbeschriftungen in den bisherigen Darstellungen.) Wenn man i mit sich selbst multipliziert, ergibt sich: i 2 = i i = 1, 90 1, 90 = 1 1, = 1, 180 1, 180 ist ein Zeiger auf der reellen Achse, nämlich die Zahl 1. In diesem Zahlensystem ist die Gleichung x 2 = 1 also lösbar. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.20

21 z = a + bi Mit der Zeigeraddition kann jeder Zeiger z als Summe dargestellt werden aus einem auf der reellen Achse liegenden Zeiger x und einem auf der durch i festgelegten Achse (wir nennen sie i-achse) liegenden Zeiger y. Damit ergibt sich: z = x + y = r x, 0 + r y, 90 = r x, 0 + (r y 1, ) = r x, 0 + r y, 0 1, 90 = r x + r y i Dabei sind r x und r y reelle Zahlen. Beispiel: Für den Zeiger in der Abbildung ergibt sich: z = 3 + 1,5i Auf dieser Grundlage lassen sich alle Rechenregeln für Zahlen (die Körperaxiome) relativ einfach herleiten. Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.21

22 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen 1 Ziele und Inhalte 2 Natürliche Zahlen N 3 Ganze Zahlen Z 4 Rationale Zahlen Q 5 Reelle Zahlen R 6 Komplexe Zahlen C 7 Hyperkomplexe Zahlen Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.22

23 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel 7: Hyperkomplexe Zahlen Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.23

24 Hyperkomplexe Zahlen Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.24

25 Grundlegende Aspekte Quaternionen Quaternionen erlauben eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume. Verwendungsbeispiel: Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k mit x 0, x 1, x 2, x 3 R und i 2 = j 2 = k 2 = i j k = 1. Ein Quaternion kann auch als vierdimensionaler Vektor aufgefasst werden. x 0, Ԧx = x 0, x 1, x 2, x 3 Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.25

26 Quaternionen Einige Rechenoperationen λ x = λ x 0 + λ x 1 i + λ x 2 j + λ x 3 k mit λ R x + y = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k + y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k = x 0 + y 0 + x 1 + y 1 i + x 2 + y 2 j + x 3 + y 3 k x y = x 0, Ԧx y 0, Ԧy = x 0 y 0 Ԧx Ԧy, x 0 Ԧy + Ԧx y 0 + Ԧx Ԧy x ҧ = x 0 x 1 i x 2 j x 3 k Skalarteil: x+ xҧ 2 Vektorteil: x xҧ 2 Kapitel 5: Reelle Zahlen R 5.26