4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

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1 $Id: folgen.tex,v.2 203//29 2:06:38 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Folgenkonvergenz und die Grenzwerte von Folgen eingeführt. Dass eine Folge (a n ) n N gegen einen Grenzwert a konvergierte hatten wir als (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : a n a < ɛ definiert. In der letzten Sitzung und in den Übungen dieser Woche hatten wir auch schon einige Beispiele von Grenzwerten berechnet. Zum Rechnen solcher konkreten Beispiele hat sich die obige Definition allerdings als etwas schwerfällig erwiesen, selbst relativ einfache Folgen bedürfen zu ihrem Konvergenzbeweis ständiger Anwendungen der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen. In dieser Sitzung werden wir einige Rechenregeln für den Umgang mit Grenzwerten entwickeln, durch deren Anwendung man zur Berechnung von Grenzwerten oftmals nicht mehr auf die Definition der Folgenkonvergenz zurückgehen muss. Wir werden zeigen beispielsweise zeigen, dass für jede positive reelle Zahl c R mit c > 0 stets die Aussage ( n c) n gilt indem wir dies auf den schon berechneten Grenzwert n n = zurückführen. Je mehr Grenzwerte bereits bekannt sind, desto mehr Möglichkeiten hat man zur Anwendung der Rechenregeln für Folgengrenzwerte und um so seltener muss man die ɛ n 0 -Definition der Folgenkonvergenz direkt verwenden. Als Startpunkt verwenden wir die sogenannten Nullfolgen, dies sind gerade die gegen 0 konvergenten Folgen. Definition 4.7 (Nullfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Nullfolge wenn (a n ) n N 0 gilt. Ausgeschrieben ist (a n ) n N also genau dann eine Nullfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : a n < ɛ gilt. Offenbar ist eine reelle oder komplexe Folge (a n ) n N genau dann eine Nullfolge wenn die reelle Folge ( a n ) n N eine Nullfolge ist, dies liegt daran das a n = a n für jedes n N gilt. Lemma 4.4 (Grundeigenschaften von Nullfolgen) Sei K {R, C}. Dann gelten: (a) Sind (a n ) n N und (b n ) n N zwei Nullfolgen in K, so ist auch (a n + b n ) n N eine Nullfolge in K. 0-

2 (b) Sind (a n ) n N eine Nullfolge in K und c K, so ist auch (ca n ) n N eine Nullfolge in K. (c) Sind (a n ) n N eine beschränkte Folge in K und (b n ) n N eine Nullfolge in K, so ist auch (a n b n ) n N eine Nullfolge in K. (d) Sind (a n ) n N eine Folge in K und a K, so gilt genau dann (a n ) n N a wenn (a n a) n N eine Nullfolge ist. (e) Sind (a n ) n N eine Folge in K und (b n ) n N eine Nullfolge in R mit a n b n für alle n N, so ist auch (a n ) n N eine Nullfolge in K. (f) Sind (a n ) n N eine Nullfolge in R mit a n > 0 für alle n N und α Q mit α > 0, so ist auch (a α n) n N eine Nullfolge. Beweis: (a) Sei ɛ > 0. Dann existieren n, n 2 N mit a n < ɛ/2 für alle n N mit n n und b n < ɛ/2 für alle n N mit n n 2. Setze n 0 := max{n, n 2 }. Für alle n N mit n n 0 ist dann auch a n + b n a n + b n < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist (a n + b n ) n N eine Nullfolge in K. (c) Es gibt eine Konstante c 0 mit a n c für alle n N. Sei ɛ > 0. Dann existiert ein n 0 N mit b n < ɛ/(c + ) für alle n N mit n n 0. Ist n N mit n n 0, so ist damit auch a n b n = a n b n c b n cɛ c + < ɛ. Damit ist (a n b n ) n N eine Nullfolge in K. (b) Klar nach (c). (d,e) Klar. (f) Seien p, q Z mit p, q und α = p/q. Wir zeigen zunächst, dass ( q a n ) n N eine Nullfolge ist. Sei also ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n < ɛ q für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 folgt damit auch q a n < q ɛ q = ɛ. Also ist ( q a n ) n N eine Nullfolge. Da konvergente Folgen nach Lemma 2.(a) auch beschränkt sind, ist somit auch (a α n) n N = (( q a n ) p ) n N nach (c) eine Nullfolge. Wir wollen noch ein paar Anmerkungen zum eben bewiesenen Lemma festhalten. Zunächst beachte das konvergente Folgen nach Lemma 2.(a) auch beschränkt sind, Aussage (c) des Lemmas ergibt also insbesondere, dass das Produkt einer konvergenten Folge und einer Nullfolge wieder eine Nullfolge ist. Weiter ist es in Aussage (e) des Lemmas nicht wirklich nötig das a n b n für alle n N gilt, es reicht aus das es einen Startindex n 0 N mit a n b n für alle n N mit n n 0 gibt. Dies ist implizit bereits im Lemma enthalten. Erinnern Sie sich daran, dass wir eingehends gesagt hatten, dass implizit immer auch Folgen mit gemeint sind, die erst ab einem Startindex definiert 0-2

3 sind. Weiter ist es für die Konvergenz und den Grenzwert einer Folge offenbar egal ob wir die Folge selbst oder dieselbe Folge ab einem anderen Startindex betrachten. Wenden wir also Aussage (e) des Lemmas auf die Folgen (a n ) n n0 und (b n ) n n0 an, so ergibt sich genau die genannte stärkere Aussage. Letztendlich haben wir uns in Teil (f) auf den Fall rationaler Exponenten α beschränkt, da wir Potenzrechnung mit beliebigen reellen Exponenten noch gar nicht eingeführt haben. Die Aussage (f) wird auch für allgemeine positive Exponenten wahr sein, bedarf dann allerdings eines anderen Beweises, aber dazu werden wir dann später im Semester kommen. Unser Ziel ist noch immer einen ɛ n 0 freien Beweis der Aussage n c für jedes c R mit c > 0 anzugeben. Das eben bewiesene Lemma über Nullfolgen ist ein erster Schritt hierzu, und der zweite Schritt ist das folgende Lemma über reelle Folgen. Lemma 4.5 (Anordnungseigenschaften reeller Grenzwerte) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente, reelle Folgen. (a) Gilt a n b n für alle n N, so ist auch a n b n. (b) Gilt a n = b n und ist (u n ) n N eine weitere reelle Folge mit a n u n b n für alle n N, so ist auch die Folge (u n ) n N konvergent mit u n = a n = b n. Beweis: (a) Seien a der Grenzwert von (a n ) n N und b der Grenzwert von (b n ) n N. Angenommen es wäre a > b. Dann ist ɛ := (a b)/2 > 0 und es gibt n, n 2 N mit a n a < ɛ für alle n N mit n n und b n b < ɛ für alle n N mit n n 2. Setze n := max{n, n 2 }. Dann ist a n = a (a a n ) a a n a > a ɛ = a a b = a + b = b + a b = b + ɛ > b + b n b b + b n b = b n, im Widerspruch zu unserer Annahme a n b n. Dies beweist die Behauptung a b. (b) Sei a der gemeinsame Grenzwert der Folgen (a n ) n N und (b n ) n N. Für jedes n N gelten u n a b n a b n a und (u n a) = a u n a a n a n a, also auch u n a max{ a n a, b n a } a n a + b n a. 0-3

4 Nach Lemma 4.(a,d,e) ist (u n a) n N eine Nullfolge, d.h. auch die Folge (u n ) n N konvergiert gegen a. Die Aussage (b) des Lemmas wird manchmal auch als das Einschnürungslemma bezeichnet. Beachte das es auch für dieses Lemma reicht die Ungleichungen a n b n beziehungsweise a n u n b n nur für alle n N mit n n 0 für einen Startindex n 0 N zu fordern. Auch dies liegt daran, dass immer auch Folgen mit gemeint sind, die erst ab einem gewissen Startindex definiert sind. Zur Illustration der jetzt bewiesenen Lemmata wollen wir uns noch einmal den Beweis der Aussage ( n n) n N anschauen. Wir hatten gezeigt, dass für jedes n N mit n 2 die Ungleichung 0 < n 2 n n gilt. Weiter ist die Folge (/(n )) n N als Teilfolge einer Nullfolge wieder eine Nullfolge und nach Lemma 4.(b,f) ist auch ( 2/(n )) n N eine Nullfolge. Damit ist ( n n ) n N nach dem Einschnürungslemma Lemma 5.(b) eine Nullfolge, d.h. wir haben ( n n) n N. Beachte das wir die Konvergenzaussage diesmal direkt aus der obigen Ungleichung gefolgert haben, ein Argumentieren über die Konvergenzdefinition mit ɛ und n 0 war gar nicht mehr nötig. Diesen Effekt werden wir noch häufiger sehen, der Nullfolgenbegriff und das unterstützende Lemma 4 erlauben es viele, aber nicht alle, ɛ-überlegungen durch einfacheres Schließen zu ersetzen. Als eine weitere Anwendung des Einschnürungslemmas wollen wir jetzt, wie schon angekündigt, n c = für alle c R mit c beweisen. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen.Lemma 5 gibt es ein n 0 N mit n 0 c. Für alle n N mit n n 0 c ist damit auch n c n n, und da wir bereits ( n n) n N wissen, folgt mit dem Einschnürungslemma Lemma 5.(b) auch ( n c) n N. Der andere Fall für c, also 0 < c <, muss etwas anders behandelt werden, wir werden ihn mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte auf den Fall c > zurückführen. Satz 4.6 (Rechenregeln für Folgengrenzwerte) Sei K {R, C} und seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen in K. (a) Die Folge (a n + b n ) n N ist konvergent mit (a n + b n ) = a n + b n. (b) Für jedes c K ist die Folge (ca n ) n N konvergent mit (ca n) = c a n. 0-4

5 (c) Die Folge (a n b n ) n N ist konvergent mit ( ) ( ) (a nb n ) = a n b n. (d) Ist b n 0 und gilt b n 0 für alle n N, so ist die Folge (a n /b n ) n N konvergent mit a a n n = b n b. n Beweis: Seien a der Grenzwert von (a n ) n N und b der Grenzwert von (b n ) n N. (a) Die Folge ((a n + b n ) (a + b)) n N = ((a n a) + (b n b)) n N ist nach Lemma 4.(a,d) eine Nullfolge. (b) Die Folge (ca n ca) n N = (c(a n a)) n N ist nach Lemma 4.(b,d) eine Nullfolge. (c) Nach Lemma 2.(a) ist die Folge (a n ) n N beschränkt, und damit ist die Folge (a n b n ab) n N = (a n b n a n b + a n b ab) n N = (a n (b n b) + b(a n a)) n N nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge. (d) Es gibt ein n 0 N mit b n b < b /2 für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 folgen damit auch b n = b (b b n ) b b n b > b b 2 = b 2 und d.h. die Folge (/b n ) n N ist beschränkt. Damit ist die Folge ( an a ) = b n b n N ( ) an b ab n b n b n N nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge. = b n < 2 b, ( ) an b ab + ab ab n = b n b n N ( = (a n a) a ) b n b n b (b n b) b n n N Die Forderung b n 0 für alle n N in Aussage (d) ist eigentlich nicht nötig. Im Beweis von (d) haben wir ja gesehen, dass es ein n 0 N mit b n > b /2 für alle n N mit n n 0 gibt, und damit ist insbesondere auch b n 0 für alle n N mit n n 0. Betrachten wir also wieder die Folge ab dem Startindex n 0, so ergibt sich (d) auch in diesem Fall, solange wir uns die Folge (a n /b n ) n n0 als ab dem Startindex n 0 definiert denken. Die Voraussetzung b 0 ist dagegen wirklich nötig. Wir wollen jetzt ein paar Beispiele zur Anwendung der Grenzwertregeln behandeln. 0-5

6 . Sei eine reelle Zahl c (0, ) gegeben. Dann ist /c > und somit folgt n c = n c = n c =, da wir den Grenzwert im Nenner bereits früher zu berechnet hatten. Insgesamt ist damit ( n c) n N für überhaupt jedes c R mit c > 0 gezeigt. 2. Wir wollen jetzt den schon recht kompliziert aussehenden Grenzwert 2n 3 2n + 7 n 3 + 3n + behandeln. Erweitern wir Zähler und Nenner mit /n 3 und erinnern uns an den schon bekannten Grenzwert /n 0, so rechnen wir mit den Grenzwertregeln 2n 3 2n + 7 n 3 + 3n + = n 2 n = n 2 n n 2 n = 2. n 2 n 3 Außerdem haben wir dabei die triviale Tatsache verwendet, dass konstante Folgen (c) n N gegen die entsprechende Konstante c konvergieren. 3. Ein ähnliches, scheinbar noch komplizierteres, Beispiel ist der Grenzwert Wir erweitern mit /n 2, und erhalten 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ). 3n 2 + n + ( ) n 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ) 3n 2 + n + ( ) n 2 cos n = + 3 sin(n4 +) n n ( )n n n 2. Nun ist (/n) n eine Nullfolge und (cos n) n N eine beschränkte Folge, da der Cosinus ja nur Werte zwischen und annimmt, also ist (cos(n)/n) n nach Lemma 4.(c) eine Nullfolge. Ebenso sind (3 sin(n 4 +)/n 2 ) n und (( ) n /n 2 ) n Nullfolgen, es gilt also 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ) 3n 2 + n + ( ) n 2 cos n = + 3 sin(n4 +) n n = 2 ( )n 3. n n 2 Als ein weiteres Beispiel zur Anwendung der Grenzwertregeln wollen wir die letzten beiden Beispiele noch etwas ausweiten, und allgemein den Grenzwert von Folgen berechenen die als rationale Ausdrücke in n gegeben sind, also als Quotient von Polynomen in n. Zur Vorbereitung beweisen wir ein kleines Lemma über das Wachstumsverhalten von Polynomen. 0-6

7 Lemma 4.7 (Wachstumsverhalten von Polynomen) Seien K {R, C}, n N, ɛ > 0 und a 0,..., a n K mit a n 0 gegeben. Dann existiert eine reelle Zahl r > 0 so, dass für jedes x K mit x r stets ( a n ɛ) x n n < a k x k < ( a n + ɛ) x n gilt. Beweis: Für n = 0 ist dies klar, wir können also n annehmen. Setze M := max{ a 0, a,..., a n } und r := + nm ɛ. Sei x K mit x r gegeben. Wegen r ist dann auch x und für jedes 0 k < n ist damit x k = x k x n. Damit folgt weiter n n n n a k x k a k x k = a k x k M x n = nm x n = nm x x n nm r x n < ɛ x n. Dies ergibt weiter n a k x k a n x n n + a k x k < a n x n + ɛ x n = ( a n + ɛ) x n, n a k x k a n x n n a k x k > a n x n ɛ x n = ( a n ɛ) x n. Damit ist das Lemma vollständig bewiesen. Das Lemma ist eine quantitavive Form der Aussage das Polynome wie ihr höchstes Glied wachsen. Wählen wir insbesondere ɛ = a n /2 > 0, so wird das Lemma zu a n 2 n x n < a k x k < 3 2 a n x n 2 a n x n für alle x K mit x r. Insbesondere gilt für x K mit x r > 0 damit a n x n + + a 0 0, die Nullstellen des Polynoms haben also alle einen Betrag kleiner als r. Mit diesem Lemma können wir jetzt allgemein die Konvergenz von Folgen behandeln deren n-tes Folgenglied eine rationale Funktion in n ist, also ein Quotient zweier Polynome in n. Das Konvergenzverhalten derartiger Folgen hängt hauptsächlich vom Grad der beiden Polynome ab, und es treten drei verschiedene Fälle auf je nachdem 0-7

8 ob der Zählergrad größer ist als der Nennergrad oder der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad oder ob die beiden gleich sind. Satz 4.8 (Rationale Folgen in n) Seien K {R, C}, r, s N und a 0,..., a r, b 0,..., b s K mit a r 0 und b s 0. Dann gelten: (a) Ist r < s, so ist (b) Ist r = s, so ist a r n r + a r n r + + a 0 = 0. b s n s + b s n s + + b 0 a r n r + a r n r + + a 0 b r n r + b r n r + + b 0 (c) Ist r > s, so ist die Folge ( ) ar n r + a r n r + + a 0 = a r b r. divergent. b s n s + b s n s + + b 0 n Beweis: Nach Lemma 7 gibt es reelle Konstanten t, t 2 > 0 mit a r (x K, x t ) : 2 r x r < a k x k < 2 a r x r und b s (x K, x t 2 ) : 2 s x s < b k x k < 2 b s x s. Nach.Lemma 5 existiert weiter ein n 0 N mit n 0 max{t, t 2 }. Insbesondere ist b s n s + + b 0 > 0 für alle n N mit n n 0, die Folge ist also ab dem Startwert n 0 überhaupt definiert. (a) Für jedes n N mit n n 0 gilt a r n r + a r n r + + a 0 b s n s + b s n s + + b 0 und die Behauptung folgt mit Lemma 4.(b,e). (b) Nach Satz 6.(a,b) gelten r also ist nach Satz 6.(d) auch = a rn r + a r n r + + a 0 b s n s + b s n s + + b 0 < 4 a r b s n, s r a k n r k = a r und a r n r + a r n r + + a 0 b r n r + b r n r + + b 0 r b k n r k = b r, a r + a r = + + a n 0 n r b r + b r + + b n 0 n r 0-8 = a r b r.

9 (c) Für jedes n N mit n n 0 gilt a r n r + a r n r + + a 0 b s n s + b s n s + + b 0 = a rn r + a r n r + + a 0 b s n s + b s n s + + b 0 > a r 4 b s nr s a r 4 b s n, und nach.lemma 5 ist dies nicht nach oben beschränkt. Die Behauptung folgt nun mit Lemma 2.(a). 0-9

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