Kerne und Teilchen. Moderne Physik III

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1 Kerne und Teilchen Moderne Physik III Vorlesung # 3 Guido Drexlin, Institut für Experimentelle Kernphysik. Eigenschaften stabiler Kerne - Kernmodelle: Überblick - Kernmassen & Bindungsenergien/Nukleon - Tröpfchenmodell - Stabilitätstal & Massenparabeln - superschwere Kerne - Fermigasmodell

2 σ tot = W J N r Ta rget Wiederholung:Wirkungsquerschnitt σ tot ist ein Maß für Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion Strahl: Flussdichte J (Stromdichte) Einheit des Wirkungsquerschnitts σ tot : 1 barn = 1 b = 10-4 cm Target: Kerne N Target im Strahl 1 mb = 10-7 cm, 1 pb = cm, 1 fb = cm dσ/dω ist ein Mass für die Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion in den Raumwinkel dω dσ = dω dw I n r Target dω l Strahl: Intensität I Target: Kerne pro Einheitsvolumen Länge felderzeugendes Coulomb-Potenzial σ tot π dσ ( θ ) = π dθ sinθ 0 dω für azimutale Symmetrie

3 Mott-Streuquerschnitt & Formfaktor F(q) bei der Streuung von Teilchen mit Spin (S = ½ wie z.b. Elektronen, Protonen, Neutrinos) ergibt sich beim Mott-Streuquerschnitt eine Unterdrückung der Rückwärtsstreuung bei θ = 180 (cos θ = -1) dσ dσ θ = cos dω dω Mott Rutherford bei der Streuung an ausgedehnten Kernen ergeben sich Beugungseffekte, parametrisiert durch Formfaktor F(q ) dσ dω exp. = dσ dω Mott F (q ) diff. Wq. dθ/dω Kugel, scharfer Rand R = 5 fm Rutherford Mott F ( q ) = ρ ( r) e r r iq Formfaktor F(q ) = Fourier-Transformierte der Ladungsverteilung ρ(r) des Kerns d 3 r Streuwinkel θ

4 Kernladungsverteilungen Anpassung von ρ(r) an experimentelle Streudaten (dσ/dω) exp ergibt Saxon-Woods Verteilung für ausgedehnte Kerne Ladungsverteilung ρ [e/fm 3 ] ρ ρ e 0 ( r ) = ( r a ) / d 1+ a He Ca Kernradius a Skin-Dicke d Ni Sm Pb Radius r [fm] a = ( 1.18 A 1/3 0.48) fm d = ( 0.55 ± 0.07) fm ρ 0 = ( ) e / fm 3 Ladungsverteilung bei kleinem r ~ konstant Kernmaterie ist inkompressibel Dichte der Nukleonen ρ Nukl ~ 0.17 Nukleonen/fm 3 ~ Dichte von Kernmaterie ρ Kern ~ kg/m 3 ~

5 Experimente zur Messung von σ tot & dσ/dω die Geometrie einer experimentellen Anordnung wird entsprechend ihrer physikalischen Aufgabe optimiert: 4 π Geometrie: Target wird praktisch vollständig vom Detektor umschlossen verfahrbahres Elektronspektrometer für dσ/dω 4 π Gamma-Detektoren zur Messung von σ tot gestreute Elektronen Target θ

6 .3 Kernmodelle Kerne sind komplexe Vielteilchensysteme von wechselwirkenden Nukleonen: eine universell gültige Theorie (z.b. auf der Basis einer Quantentheorie wie der QCD), die alle Kerneigenschaften beschreibt, existiert bisher nicht Entwicklung phänomenologischer Modelle für bestimmte Eigenschaften Tröpfchenmodell Kern in enger Analogie zu geladenem Flüssigkeitstropfen (quasi-klassisch), Nukleonen bewegen sich stark korreliert in inkompressibler Flüssigkeit Fermigasmodell Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem resultierenden Kernpotenzial, Potenzialtiefe aus der Quantenstatistik eines Fermigases Schalenmodell Nukleonen bewegen sich voll quantenmechanisch (Schrödinger-Gleichung), Potenzial mit starkem Spin-Bahn-Term, magische Zahlen, Spin, Parität

7 Kernmodelle und Kerneigenschaften Kernmodelle sollten eine Vielzahl von Kerneigenschaften beschreiben Kernradien Kernmaterie - konstante Dichte ρ = kg/m 3, R = 1. fm A 1/3 Kernmasse & Bindungsenergien kontante Bindungsenergie pro Nukleon B/A ~ 8 MeV, gesättigte Kernkräfte Stabilitätsverhalten tsverhalten stabile Kerne- für kleines A: N = Z, für großes A: N > Z, Spaltung, α,ß,γ-zerfall Spin und Parität Kernniveaus mit definiertem Spin & Parität J P = (0 +, +, 4 +, 0 -, 1 -, ), Mischung Kernanregung und Kerndeformation Lage von angeregten Zustände, kollektive Anregungen & Kerndeformation

8 Kernmassen Kernmasse M(Z,A) = Z M p + N M n B(Z,A) M p = MeV M n = MeV Bindungsenergie des Kerns nahezu identisch klein, ~ 1% der Nukleonenmasse Isotope Kerne mit gleicher Protonenzahl Z, 14,16,18,19,130,131,13,134,136 Xe 54 Isotone Kerne mit gleicher Neutronenzahl N, 36 S 0, 37 Cl 0, 38 Ar 0, 39 K 0 Isobare Kerne mit gleicher Nukleonenzahl A, 138 Ba, 138 La, 138 Ce Atommasse M (Z,A) = M(Z,A) + Z m e -B e m e = MeV, B e = e - Bindungsenergie atomare Masseneinheit Massendefekt 1u = 1/1 M( 1 C) = MeV Δ = M(Z,A) A 1/1 M( 1 C) = B( 1 C) B(Z,A)

9 Bindungsenergie pro Nukleon Bindungsenergie pro Nukleon: B/A ~ 8 MeV, näherungsweise konstant für A > 0 E B pro Nukleon [MeV/N] B/A ~ 7 8 MeV Kernwechselwirkung nur mit dem nächsten Nachbarnukleon! kurzreichweitige Kernkräfte Reichweite ~ 1 fm Fusion Spaltung maximales B/A bei A = ( 56 Fe, 56 Ni) A < 56 : Kernfusion A > 56 : Spaltung Nukleonenzahl A

10 Tröpfchenmodell 1935: C.F. von Weizsäcker stellt ein semi-empirisches Kernmodell auf - Kerneigenschaften (inkompressible Materie, kurzreichweitige Kräfte) in Analogie zu den Eigenschaften eines Wassertröpfchens (Kondensation, Waals Kräfte, latente Wärme, Oberflächenspannung) semiempirische Massenformel mit Anpassung der Parameter durch experimentelle Untersuchungen Volumenenergie Oberflächenenergie Coulombterm klassisch Asymmetrieterm Paarungsterm quantenmechanisch Carl Friedrich von Weizsäcker ( ) Volumen Oberfläche Coulomb Asymmetrie Paarung

11 Volumenenergie B(Z,A) ~ a V A wichtigster Term, entsteht durch kurzreichweitige Kernkräfte: Nukleon fühlt nur die unmittelbaren Nachbarn Kernkräfte sind gesättigt (Radius R 0 ~ A 1/3 ) Oberflächenenergie B(Z,A) ~ - a S A /3 Nukleonen an der Oberfläche haben weniger Partnernukleonen, schwächere Bindung, ist proportional zur Oberfläche A /3 (Tropfen: Oberflächenspannung) Coulombterm B(Z,A) ~ - a C Z A -1/3 Protonen erzeugen eine abstoßende Coulombkraft, Modell einer homogen geladenen Kugel mit Radius R und konstanter Ladungsdichte ρ = (Z e) / (4/3 π R 3 ) Berechnung der potenziellen Energie de, um Ring mit Ladung q wird aus R = bis zu Radius r zu bringen Integration ergibt E ~ (Z e) / R r q R Kern

12 Asymmetrieterm Kerne bevorzugen Konfiguration Z = N, keine stabilen Kerne mit starkem Protonen- bzw. Neutronenüberschuss (vgl. Fermigas), Pauli-Prinzip: wird bei Z = N ein Proton gegen ein Neutron ausgetauscht, verringert sich B(Z,A), da dieses Neutron dann in ein höheres Niveau müsste Paarungsterm B(Z,A) ~ - a A (N Z) / A δ(z,a) ~ a P A -1/ + für gg 0 für ug - für uu Bohr & Mottelson (1969) führen Paarungsterm ein: Befund: Kerne mit gerader Neutronenzahl sind ~ MeV stärker gebunden gepaarte Nukleonen mit antiparallelem Spin gg (gerade-gerade) Kerne stärker gebunden als uu (ungerade-ungerade) Kerne Protonen Neutronen Separationsenergie für 1n [MeV] 4 He 1 C 16 O 0 Na 40 Ca Neutronenzahl N

13 Zusammenfassung aller Terme zur (semi-)empirischen Massenformel: B(Z,A) = a V A - a S A /3 -a C Z A -1/3 - a A (N Z) / A + δ(z,a) Beitrag Faktor a Größ öße e [MeV] Volumenterm a V Oberflächenterm a S Coulombterm a C 0.71 Asymmetrieterm a A 3.1 Paarungsterm a P Anpassung an zahlreiche experimentell bekannte Kernmassen für A > 40: ~ 10% Genauigkeit Bindungsenergie B/A [MeV] resultierende Bindungs-Energie Volumen-Energie Oberflächen-Energie Coulomb-Energie Asymmetrie- Energie Massenzahl A

14 00 Bindungsenergie / Nukleon [MeV] Kernladung Z A = const Fe E b [MeV] Neutronenzahl N

15 Tröpfchenmodell - Massenparabeln für Kerne mit konstanter Massenzahl A ergeben sich Massenparabeln : B (A = const., Z) = const. a 1 Z a (N Z) A = gerade es existieren Massenparabeln: Massenparabel für r gerade-gerade gg Kerne sind stärker gebunden und uu Kerne (Paarungs-Energie) uu Kerne sind schwächer gebunden uu (wichtig z.b. für die Suche nach dem neutrinolosen Doppelbetazerfall, s. Kap. 10.3) A = ungerade es existiert nur 1 Massenparabel (ug) für jede Kernmasse A = const. erhält man das stabilste Isotop mit maximaler gg Bindungsenergie (Stabilitätsline) durch Bildung der Ableitung stabil B(A = const.,z) / Z = 0 Massenkurven für Kerne mit A=136 Paarungsenergie

16 Stabilitätstal der Kerne Neutronenzahl N stabil 10 1 a 10 8 a 10 4 a die Kerne mit der maximalen Bindungsenergie bilden das Tal der Stabilität Z A = A / N = Z 1 a 10 4 s Coulombabstossung der Protonen erzeugt bei schweren Kernen einen deutlichen Neutronenüberschuss s 10-4 s 10-8 s Kernladung Z Kerne, die nicht im Stabilitätstal liegen, zerfallen über Teilchenemission (ß-Zerfall, Driplines für Protonen/Neutronen, α-zerfall) s. Kap. 4., 4.3, 4.5

17 Insel der Stabilität? der beobachtete Verlauf der magischen Zahlen im Schalenmodell lässt eine Insel der Stabilität bei superschweren Kernen (N = 184, Z = 114) erwarten experimentelle Methode: mittelschwere Ionen ( 48 Ca) werden auf sehr hohe Energie beschleunigt und auf ein schweres Target (z.b. 49 Cf) gelenkt, dabei wird Synthese superschwerer Kerne erwartet (Ziel: geringe innere Anregung) superschwere Kerne zerfallen über Alpha-Zerfall und spontane Spaltung schwerstes Element bisher: Z = 118 (Uuo-94) Ununoktium 49 Cf + 48 Ca 94 Uuo + 3 n bisher 3 Atome erzeugt Ca-48 Cf-49 σ = 0.5 pb τ ~ 1 ms Protonenzahl Z Pb + 1 C 186 W + 30 Si 04 Pb 48 Cm 49 Cf + 48 Ca Insel der Stabilität Neutronenzahl N

18 Zusammenfassung zum Tröpfchenmodell Tröpfchenmodell kann zur Vorhersage von Bindungsenergien von Kernen und bei der Modellierung von Kernspaltungsprozessen (Kap. 4.5) benutzt werden, heute weitere Terme z.b. für deformierte Kerne verbleibende Abweichungen zwischen dem Experiment & der Massen-Formel resultieren aus der Schalenstruktur der Kerne (vgl. Schalenmodell der Kerne) magische Zahlen Z oder N = 0, 8, 50, 8, 16 Bindungsenergie B/A [MeV] N = 0 Z = N = 8 Z = 8 experimentelle Daten N = 50 Z = 50 Fit der a i Terme N = 8 Z = 8 N = Massenzahl A

19 Fermigasmodell Kernmodell auf der Basis von unabhängigen Systemen von Nukleonen (Protonen und Neutronen), die sich im Kernvolumen unter Beachtung des Pauli-Prinzips (für Fermionen mit s = ½) wechselwirkungsfrei bewegen (alle Zustände sind besetzt keine Änderung der Quantenzahlen) jedes Nukleon fühlt ein mittleres Kernpotenzial (= Überlagerung der einzelnen kurzreichweitigen Nukleon-Nukleon Wechselwirkungen) Neutronen: Kastenpotenzial, Protonen: Kastenpotenzial + Coulombkraft Protonen- Potenzial E F (p) Coulombpotenzial für Protonen B/A E F (n) V 0 Neutronenpotenzial Quantenstatistik eines Fermigases Grundzustand des Kerns: - alle Zustände vom Potenzialboden V 0 bis zum höchsten Niveau, der Fermienergie E F sind aufgefüllt - nach dem Pauliprinzip kann jeder Protonenbzw. Neutronen-Zustand mit Teilchen (Spin up / Spin down) besetzt werden

20 Nukleonen bilden im Kern bei T = 0 K (Grundzustand) ein Fermigas von wechselwirkungsfreien Teilchen, angeregte Kernzustände T > 0 K, für Protonen: die abstoßende Coulombkraft verringert ihre Potenzialtiefe Neutronenpotenzial V C Protonenpotenzial Fermi-Niveau die Fermi-Niveaus von Neutronen und Protonen in schweren Kernen sind identisch, sonst könnten z.b. Neutronen in freie Protonenniveaus zerfallen Symmetrieeffekt Coulombeffekt alle Nukleonen bewegen sich im Kern mit einem nicht vernachlässigbaren Fermi-Impuls p F

21 Bestimmung der Fermi-Energie E F Nukleonen haben im Phasenraum durch die Unschärferelation dx dp x > ħ / ein minimales Phasenraum-Volumen V min = ( π ħ) 3 = h 3 Phasenraum: 6 dim. Orts-Impuls-Raum: dx dy dz dp x dp y dp z Zustandsdichte dn/dp der nicht-relativistischen Nukleonen für ein Kastenpotenzial mit V 0 = und Volumen V (Lösung der 3-dim. Schrödingergleichung ergibt quantisierte, stehende Wellen mit Wellenzahlen k i = p i / ħ ) dn = 4π (π h) 3 V p dp = 1 π h 3 V p dp p z dn = Zahl der Teilchen-Zustände im Impulsintervall [p, p+dp] in diesem Intervall bilden Nukleonen im Impulsraum eine Kugelschale mit der Oberfläche 4 π p und der Dicke dp h d 3 ~ km p y p x Phasenraumzustände: ~ V 4π p dp / h 3

22 n = Gesamtzahl der Nukleonen-Zustände die Gesamtanzahl n der Zustände bis zur Fermi Energie E F bzw. zum Fermi-Impuls p F = (E F M N ) ½ ist mit einem Nukleon-Spinfaktor (für s = ½ Fermionen) gegeben durch: p F p F dn = 0 π h 3 V 0 p dp Anzahl N der Neutronen : N = R = R 0 A 1/3 R 0 = 1.1 fm V 3π h n 3 ( p ) 3 F V n = V 6 π 3 p F h mit Kernvolumen V: = π R = π R0 A Anzahl Z der Protonen : V p 3 Z = ( p ) 3 F 3π h Fermi-Impuls p F für Kerne mit Z = N = A/ 1/ 3 p 9π h = 50 MeV c F 8 R / 0

23 Fermi-Impuls und Fermi-Energie Fermigas-Modell: - alle Nukleonen bewegen sich wechselwirkungsfrei mit einem Impuls p F - Fermi-Impuls p F aller Nukleonen ist ~ konstant (50 MeV/c) Nukleonen bewegen sich im endlichen Kernvolumen mit einem signifikanten Fermi-Impuls! ( Heisenbergsche Unschärferelation) Zustandsdichte dn/de als Funktion der Nukleonen-Energie E dn = 1 π h 3 V p mit p dp = M N E 1 dn = M 3 / N V E de 3 dn ~ E π h p dp = M N de p dp = p M N de 3 p dp = M N E de n E F 1 3 / 3 / dn = 8 M 3 N V E F 3 π 0 = h E F = Fermi-Energie

24 Fermi-Energie E F & Kernpotenzial V mit Nukleonenzahl n = A und Volumen V = 4/3 π (R 0 ) 3 A ergibt sich alleine aus Kenntnis R 0 ~ 1. fm ein Wert E F ~ 33 MeV Fermi-Energie E F (Energie des höchsten besetzten Zustands): pf E F = 33MeV M V E F + B A = 33MeV + 7MeV 40MeV 0 = V 0 : Tiefe des Kern-Potenzials V 0 ist unabhängig von der Massenzahl A ähnlich wie bei freiem Elektronengaskinetische Energie der Nukleonen ist in der gleichen Größenordnung wie das Kernpotenzial vgl. Elektronengas im Festkörper, z.b. Cu: Fermi-Energie: E F ~ 7 ev Austrittsarbeit: W ~ 4 ev Potenzialtiefe: V ~ 11 ev 7MeV 43 MeV Neutronen Protonen 7 MeV Fermilevel 33 MeV