Lösung Test 2 (Nachprüfung)
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- Paula Brahms
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1 MLAE Mathematik: Lineare Algebra für ngenieure Herbstsemester Dr Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe : Lösung Test (Nachprüfung a Wir verwenden den Gauss-Jordan-Algorithmus, um die erweiterte Koeffizientenmatrix auf reduzierte Zeilenstufenform zu bringen: ( V ( ( Die Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform, und wir lesen ab: r = rang(a = rang(a b = < = n, also hat das lineare Gleichungssystem gemäss Satz der Vorlesung unendlich viele Lösungen Wir bestimmen die Lösungsmenge mit dem im Kap 6 der Vorlesung beschriebenen Verfahren: Streiche alle Nullzeilen: ( Füge k = n r = = neue Nullzeile in die Matrix ein und zwar so, dass am Schluss die Leitkoeffizienten der Nichtnullzeilen (= auf der Hauptdiagonalen stehen: ( Schreibe an die Stellen der Hauptdiagonalen, an denen noch keine steht: (6
2 Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem ist jetzt gegeben durch die rechte Seite plus eine beliebige Linearkombination (mit Parameter λ R der Spalten, bei denen eine in der Hauptdiagonalen steht: L = + λ λ R = λ λ λ R R b Wir multiplizieren aus und bringen alle Terme mit x, x, x auf die linke Seite und alle Konstanten auf die rechte Seite, um die folgende Matrixform zu erhalten: x x = (8 Aufgabe : =:A R x =:x R =:b R Dies ist ein lineares Gleichungssystem in Zeilenstufenform, und wir lesen ab: r = rang(a = rang(a b = = n, also hat das lineare Gleichungssystem gemäss Satz der Vorlesung genau eine Lösung Diese finden wir entweder durch Rückwärtseinsetzen oder durch Anwenden des Gauss-Jordan-Algorithmus auf die erweiterte Koeffizientenmatrix: (A b = (7 (9 ( Die Matrix ist jetzt in reduzierter Zeilenstufenform, und die Lösung steht auf der rechten Seite: L = R ( Das lineare Gleichungssystem hat die erweiterte Koeffizientenmatrix (α + α (A α b = 9 R (+ ( α + Wir betrachten zuerst den Fall α : n diesem Fall ist die erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform, und wir lesen ab: {, α = r = rang(a α = rang(a α b =, α (
3 Gemäss Satz der Vorlesung hat also das lineare Gleichungssystem A α x = b mindestens eine Lösung x R Zur Bestimmung der Lösungsmenge wenden wir zuerst den Gauss-Jordan-Algorithmus auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an: (α + α 9 α + α (α+ α + (α+ α (α+ 9 α + ( ( An dieser Stelle benötigen wir eine weitere Fallunterscheidung: α : n diesem Fall rechnen wir α (α+ α + und erhalten (genau eine Lösung L = α = : n diesem Fall erhalten wir 9 α+ α (α+ (6 R (7, (8 und damit die Lösungsmenge (unendlich viele Lösungen L = + λ λ R R (9 Schliesslich betrachten wir noch den Fall α = : Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist von der Form ( Die Matrix ist in Zeilenstufenform mit r = rang(a = rang(a b = < = n, also hat dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen Die Lösungsmenge bestimmen wir durch Anwenden des Gauss-Jordan, Algorithmus: 9 (
4 Die Lösungsmenge ist also gegeben durch L = + λ λ R R ( Zusammengefasst erhalten wir die folgenden Lösungsmengen in Abhängigkeit des Parameters α:, α {, } L α = + λ λ R, α =, α R ( + λ λ R, α = Aufgabe : Wir lösen jeweils die Matrizengleichung AX =, um die inverse Matrix A = X zu erhalten: a ( Also gilt A = ( ( 6 + ( 6 ( R ( b Aufgabe : ( Es gilt also ( 7 ( A = ( (6 R (7 Wir lösen die beiden Teilaufgaben zusammen, indem wir die Matrizengleichung V Λ = W lösen mit V := ( v v v R, Λ = ( λ λ R, W := ( w w R (8
5 Wir wenden also den Gauss-Jordan-Algorithmus an auf die erweiterte Koeffizientenmatrix (V W R (+ : ( + ( ( 8 (9 Die Matrix ist jetzt in reduzierter Zeilenstufenform mit r = rang(v = rang(v w = rang(v w = < = n, also haben die linearen Gleichungssysteme V λ = w und V λ = w jeweils unendlich viele Lösungen Wir verwenden das im Kap 6 der Vorlesung beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmengen: Streiche alle Nullzeilen: ( 8 ( Füge k = n r = = neue Nullzeile ein, so dass die Einsen auf der Hauptdiagonalen stehen: 8 ( Schreibe an die Stellen der Hauptdiagonalen, an denen noch keine steht: 8 ( Jetzt lesen wir ab: a b L := { } λ R V λ = w = Es gilt also w = 8 + µ ( 8 µ v + ( + µ v µv, µ R L := { } λ R V λ = w = + µ ( Es gilt also w = ( µ v + + µ v µv, µ R µ R R ( µ R R (
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Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Institut für Statistik und Ökonometrie Georg-August-Universität Göttingen Platz der Göttinger Sieben 5 D-37073 Göttingen Tel 0551-394604
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Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation