3 Kraft als Vektorfeld

Transkript

1 3 Kraft als Vektorfeld 3.1 Der Kraftvektor In2Doder3DwirddieKraftdurcheinenVektorFbeschrieben, derihrerichtung anzeigt. Wie der Ortsvektor r, so läßt sich auch der Kraftvektor F in Komponenten zerlegen, F x F = F x e x +F y e y +F z e z F y, F = Fx 2 +F2 y +F2 z. (115) F z Zum Beispiel sind Betrag F und Richtung e (Einheitsvektor!) des Kraftvektors 3N F = 5N (116) 2N gegeben durch F = (3N) 2 +( 5N) 2 +(2N) 2 = 38N, e = (117) 3.2 Vektorfelder und skalare Felder Newtons Gravitationsgesetz Wir betrachten einen kleinen Planeten der Masse m, der sich im Schwerefeld einer Sonne der Masse M bewegt. Im Fall M m kann die Sonne als ruhend betrachtet und ihr Mittelpunkt als Koordinatenursprung r = gewählt werden. Der (Mittelpunkts-) Abstand zwischen Planet (mit Ortsvektor r) und Sonne ist dann r = r = x 2 +y 2 +z 2 [ x 2 +y 2 +z 2] 1/2. (118) Der Betrag der auf ihn wirkenden Gravitationskraft F ist nach Newton gegeben durch F = GMm, (119) r 2 mit der Gravitationskonstante G. Der Einheitsvektor in Richtung dieser anziehenden Kraft zeigt vom Planeten zur Sonne, ist also gegeben durch e = r r 1 r 19 x y z. (12)

2 Folglich ist der Kraftvektor selbst gegeben durch F = F e = GMm GMm r = r 3 [x 2 +y 2 +z 2 ] 3/2 Dies ist die Vektorform von Newtons Gravitationsgesetz. x y z. (121) Vektorfelder Gl. (121) ordnet jedem Ort r jeweils einen eigenen Kraftvektor F zu, der sowohl nach Betrag als auch nach Richtung von Ort zu Ort variiert. Man spricht daher von einem Vektorfeld. Darunter versteht man allgemein eine Abbildung F : R 3 R 3, r F(r) F x (r) F y (r) F z (r) F x (x,y,z) F y (x,y,z) F z (x,y,z), (122) mit drei Funktionen F x (r), F y (r) und F z (r), die jeweils von drei unabhängigen Variablen x, y und z abhängen. In Gl. (121) sind dies etwa F x (x,y,z) = GMm und entsprechende Ausdrücke für F y (x,y,z) und F z (x,y,z). x [x 2 +y 2 +z 2 ] 3/2 (123) Skalare Felder und partielle Ableitungen Im einfacheren Fall einer Abbildung Φ : R 3 R, r Φ(r) Φ(x,y,z), (124) die jedem Ort r lediglich eine Zahl Φ zuordnet, spricht man von einem skalares Feld. Formal (solange wir nicht den Wechsel zu einem anderen Koordinatensystem ins Auge fassen, dessen Achsen gegen e x, e y, e z verdreht sind) bilden die drei Komponenten F x (r), F y (r) und F z (r) eines Vektorfeldes je ein skalares Feld. Man kann ein skalares Feld auch als eine Funktion Φ(x,y,z) mit mehreren Variablen x, y und z auffassen. Faßt man zwei der Variable, etwa y und z, als Parameter auf, und ist der resultierende Ausdruck nach der einen verbleibenden Variable x differenzierbar, so heißt diese Ableitung, die als Φ(x,y,z) Φ(x,y,z) Φ(r) x x x (125) 2

3 notiert wird, die partielle Ableitung von Φ(x,y,z) nach x. Zum Beispiel hat etwa die Funktion f(x,y) = x 2 y der beiden Variablen x und y die partiellen Ableitungen f(r) x = 2xy, f(r) y = x 2. (126) 3.3 Mechanische Arbeit und Kurvenintegrale Wirkt auf ein Teilchen, während dieses sich geradlinig von r A nach r B bewegt, die (konstante) Kraft F, so verrichtet diese Kraft am Teilchen die mechanische Arbeit W AB := F (r B r A ). (127) Zu W AB trägt also nur die Komponente F der Kraft in Bewegungsrichtung bei, W AB = F r B r A, F := F cosγ, (128) mit dem Winkel γ zwischen Kraft F und Bewegungsrichtung. Man beachte daß F <, die am Teilchen verrichtete Arbeit also negativ wird, wenn γ größer als 9 ist. Steht die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung, so verrichtet sie überhaupt keine Arbeit. Wir wollen diese elementare Definition verallgemeinern auf die Arbeit W Γ, die ein Kraftfeld, also eine ortsabhängige Kraft F(r), an einem Körper verrichtet, während dieser sich (etwa auf einer Achterbahnschiene) längs einer vorgegebenen Kurve Γ : [σ A,σ B ] R 3, σ r(σ) x(σ) y(σ) z(σ) (129) von deren Anfangspunkt r(σ A ) zu ihrem Endpunkt r(σ B ) bewegt. Dazu unterteilen wir das Parameterintervall [σ A,σ B ] in N 1 gleichlange Teilintervalle [σ n,σ n+1 ], σ n := σ A +n σ, σ := σ B σ A N (n =,1,2,...,N), (13) und ersetzen die Kurve Γ durch einen Polygonzug Π N aus N geradlinigen Abschnitten, { } Π N = r(σ n ),r(σ n+1 ) n =,...,N 1. (131) Für hinreichend großes N 1 ist die Arbeit längs dieses Polygonzugs mit beliebiger Genauigkeit gegeben durch W ΠN N 1 n= [ r(σn+1 ) r(σ n ) ] F ( r(σ n ) ), (132) 21

4 wenn wir annehmen, daß der Kraftvektor F(r) für die Punkte r auf jedem der geradlinigen Abschnitte jeweils durch seinen Wert F ( r(σ n ) ) an dessen Anfangspunkt r(σ n ) ersetzt werden darf. [Dies ist für hinreichend große N erfüllt, wenn die Funktionen F x (x,y,z), etc. gewisse Stetigkeitseigenschaften haben, die wir hier nicht näher diskutieren wollen.] Da mit N außerdem Π N wieder in die glatte Kurve Γ übergeht, setzen wir N 1 W Γ = lim W Π N lim σ r(σ n + σ) r(σ n ) N N σ n= F ( r(σ n ) ). (133) Hier haben wir den Faktor σ 1 σ = 1 eingefügt und geschrieben σ n+1 = σ n + σ. Ist N hinreichend groß bzw. σ hinreichend klein, so gilt mit beliebiger Genauigkeit r(σ+ σ) r(σ) σ dr(σ) dσ. (134) Diese Näherung wird im Limes N exakt, da dann σ geht. Wir haben also N 1 W Γ = lim σg(σ n ) N n= σb σ A dσg(σ), g(σ) := dr(σ) dσ F( r(σ) ). (135) Damit haben wir das Kurvenintegral über ein Vektorfeld F(r) in ein vertrautes Integral über eine gewöhnlichen Funktion g(σ) einer Variable σ zurückgeführt, W Γ = σb dσ dr(σ) σ A dσ F( r(σ) ). (136) }{{} g(σ) Diese Formel zur Berechnung eines Kurvenintegrals ist das entscheidende Ergebnis dieses Abschnitts. Da der Wert W Γ von der gewählten Parametrisierung r(σ) der Kurve Γ nicht abhängt, wie wir sehen werden, verwendet man für Kurvenintegrale die Kurzschreibweise W Γ = dr F(r). (137) Γ Zur expliziten Berechnung muß man aber immer eine (beliebige, also möglichst einfache) Parametrisierung wählen und Gl. (136) benutzen. Wir zeigen dies an einem Beispiel. Bsp. 1: Wir berechnen das Integral des Vektorfelds (oder Kraftfelds) F x (x,y,z) Dx F(r) F y (x,y,z) = Dy (D > ), (138) F z (x,y,z) Dz entlang eines Parabelbogens Γ in der xy-ebene mit Anfangspunkt r A = (x A,y A,), Endpunkt r B = (x B,y B,) und mit r C := r B r A = (x C,y C,), x A +x C σ r(σ)= y A +y C σ 2, (139) 22

5 Der Parameter variiert von σ A = bis σ B = 1. Wir brauchen die Größen x dr(σ) C dσ = 2y C σ, F ( r(σ) ) D(x A +x C σ) = D(y A +y C σ 2 ). (14) Damit erhalten wir W Γ = 1 dσ dr(σ) dσ F(r(σ)) = 1 = [ ] dσ x C [ D(x A +x C σ)]+2y C σ[ D(y A +y C σ 2 )]σ 1 Mit x C = x B x A und y C = y B y A ergibt dies dσ [ Dx C x A D(x 2C +2y C y A )σ 2Dy 2Cσ ] 3 = Dx C x A D 2 (x2 C +2y Cy A ) D 2 y2 C. (141) W Γ = D 2 (x2 B y 2 B)+ D 2 (x2 A y 2 A) (142) Um zu sehen, warum der Wert eines Kurvenintegrals nicht von der gewählten Parametrisierung r(σ) der Kurve abhängt, Konservative Kraftfelder Definition und Potentialbegriff Wie folgendes Beispiel verdeutlicht, hängt der Wert eines Kurvenintegrals im allgemeinen natürlich nicht nur davon ab, wo Anfangs- und Endpunkt r A bzw. r B der Kurve liegen, sondern auch vom Verlauf der Kurve zwischen diesen Punkten. Bsp. 2: Wir betrachten zwei verschiedene Kurven Γ 1 und Γ 2, aσ Γ 1 : r 1 (σ) = bσ, aσ Γ 2 : r 2 (σ) = bσ 2 ( σ 1), (143) die vom gleichen Anfangspunkt r A = zum gleichen Endpunkt r B = (a,b,) verlaufen, aber auf verschiedenen Wegen; während Γ 1 die kürzeste Verbindung (gerade Strecke) zwischen r A und r B darstellt, ist Γ 2 ein Parabelbogen. Für die Integrale I n = dr F(r) Γ n 1 dσ dr n(σ) dσ 23 F ( r n (σ) ) (n = 1,2) (144)

6 ein- und desselben Vektorfelds F(r) = Cxy Cx 2 (145) erhält man erwartungsgemäß zwei verschiedene Werte: I 1 = 2 3 a2 bc und I 2 = 3 4 a2 bc. Es gibt jedoch eine besondere Klasse von Vektorfeldern F(r), bei denen ein Kurvenintegral gerade nicht vom Verlauf der Kurve Γ, sondern nur von den Lagen ihres Anfangsund ihres Endpunktes abhängt. Zu solch einem konservativen Feld existiert immer eine skalare Funktion Φ(r), genannt das Potential des konservativen Feldes F(r), sodaß für jede beliebige Kurve Γ mit Anfangs- und Endpunkt r A bzw. r B gilt [ ] dr F(r) = Φ(r B ) Φ(r A ). (146) Γ (Das Minuszeichen ist Konvention.) Ist also das Potential Φ(r) bekannt, kann man den Wert eines Kurvenintegrals bestimmen, ohne eine Integration ausführen zu müssen. Bsp. 3: Wie wir sehen werden, ist das Vektorfeld aus Bsp. 1, F x (x,y,z) Dx F(r) F y (x,y,z) = Dy, (147) F z (x,y,z) Dz konservativ. Das zugehörige Potential ist gegeben durch Φ(r) Φ(x,y,z) = D 2 (x2 +y 2 +z 2 ) D 2 r2. (148) Gradient Es stellt sich natürlich die Frage, wie man zu einem gegebenen konservativen Vektorfeld F x (x,y,z) F(r) F y (x,y,z) (149) F z (x,y,z) die skalare Potentialfunktion Φ(r) Φ(x, y, z) finden kann. Ist umgekehrt Φ(r) gegeben, so erhält man die Komponenten des Vektorfelds einfach durch Differentiation, F x (x,y,z) = x Φ(x,y,z), F y(r) = y Φ(r), F z(r) = Φ(r). (15) z 24

7 Den Beweis dieser Behauptung werden wir nachholen. Man nennt jenes Vektorfeld, dessen kartesische Komponenten gerade die drei partiellen Ableitungen eines Skalarfeldes Φ(r) nach x, y bzw. z sind, den Gradienten von Φ und schreibt dafür gradφ(r) := Φ(r) x Φ(r) y Φ(r) z Φ(r). (151) Hier haben wir im zweiten Schritt den vektoriellen Differentialoperator := x y z (152) (lies: Nabla ) eingeführt, der auf eine rechts von ihm stehenede skalare Funktion (differenzierend) wirkt (daher die Bezeichnung Operator ) und sie in ihren Gradienten verwandelt. Es gilt also der Zusammenhang F(r) = Φ(r) (153) In diesem Sinne verallgemeinert der Potentialbegriff den Begriff der Stammfunktion. Bsp. 4: Ein Potential ist offenbar nur bis auf eine willkürliche Integrationskonstante C festgelegt, wie dieses Beispiel verdeutlicht, 2xy Φ(r) = cos(yz) x 2 y +C F(r) = x 2 +zsin(yz). (154) ysin(yz) Ehe man versucht, zu einem Vektorfeld F(r) ein Potential Φ(r) zu finden, muß man zuerst entscheiden, ob das Feld übehaupt konservativ ist. Dazu dient der Satz: Ein Vektorfeld F(r) ist genau dann konservativ, wenn seine Rotation rotf(r) := verschwindet, F(r) =. F z(r) y F x(r) Fz(r) z x F y(r) Fx(r) x y Fy(r) z F(r) (155) 25

8 3.5 Ausblick auf die Dynamik: Bewegungsgleichungen Nachdem wir die kinematischen Begriffe von Geschwindigkeit und Beschleunigung in 3D kennengelernt haben, können wir jetzt zur Dynamik des Massenpunktes übergehen. Deren Ziel ist es, seine Bewegungsfunktion r(t) aus der auf ihn wirkenden Kraft zu berechnen Newtons II. Gesetz Die Grundlage der Dynamik bildet Newtons II. Gesetz in Vektorform, ṗ(t) = F(t), (156) mit dem Impulsvektor p(t) = mṙ(t) des Massenpunkts der Masse m. In der Regel ist m zeitlich konstant (Gegenbeispiel: Rakete!). Dann gilt äquivalenterweise m r(t) = F(t). (157) F(t) ist der Vektor der Kraft, die zur Zeit t auf den Massenpunkt wirkt. Diese Gleichung heißt die Bewegungsgleichung (BGl) des Massenpunkts. Es handelt sich im allg. um eine sog. Differentialgleichung. Ihre Lösung ist die gesuchte Bewegungsfunktion r(t). Formal zerfällt die Vektorgleichung (157) in drei eindimensionale Gleichungen, ẍ(t) F x (t) mẍ(t) = F x (t), m ÿ(t) = F y (t), mÿ(t) = F y (t), z(t) F z (t) m z(t) = F z (t). (158) Gesucht sind die drei Funktionen x(t), y(t) und z(t) Sonderfall: Gegebene Kraftfunktion F(t) SinddieKraftkomponentenF x (t), F y (t)undf z (t)alsfunktionenderzeittvonvornherein bekannt, dann sind die Komponenten (158) der BGl drei unabhängige 1D Gleichungen und die gesuchten Funktionen x(t), y(t), z(t) ergeben sich direkt als zweifache Integrale. Integration der ersten Gleichung ẍ(t) = 1 F m x(t) etwa ergibt zunächst ẋ(t) = v x + 1 m t dt F x (t ), (159) mit einer Integrationskonstante v x. Erneute Integration liefert schließlich x(t) = x +v x t+ 1 m t 26 t dt dt F x (t ), (16)

9 mit einer weiteren Konstante x. x(t) ist also die zweite Stammfunktion von 1 m F x(t). Die frei wählbaren Integrationskonstanten werden durch Anfangsbedingungen festgelegt, v x = ẋ() v x (), x = x(). (161) Man sieht dies, indem man in Gln. (159) bzw. (16) jeweils t = setzt. Die Anfangsbedingungen legen also die Koordinaten der Vektoren r und v zur Zeit t = fest. Entsprechend findet man für die übrigen Komponenten von r(t) y(t) = y +v y t+ 1 m z(t) = z +v z t+ 1 m t t t dt dt F y (t ), mit den Integrationskonstanten y und v y bzw. z und v z. t dt dt F z (t ), (162) Bsp. 1: An einem Plattenkondensator mit Plattenabstand d liege die Wechselspannung U(t) = U cos(ωt). (163) Im Feld zwischen den Platten (die parallel zur xy-ebene liegen mögen) wirkt auf eine Punktmasse m mit elektrischer Ladung q die Kraft F x (t) F(t) = F y (t) =, F = U q d, (164) F z (t) F cos(ωt) und die Komponenten der Bewegungsgleichung sind gegeben durch mẍ(t) =, mÿ(t) =, m z(t) = F cos(ωt). (165) Durch zweifache Integration erhalten wir jetzt konkret x(t) = x +v x t, y(t) = y +v y t, z(t) = z +v z t F cos(ωt). (166) mω2 Durch Bilden der zweiten Ableitungen überzeuge man sich davon, daß dies tatsächlich, bei beliebiger Wahl der Integrationskonstanten, Lösungen obiger Gleichungen sind. Die Integrationskonstanten stellen Orts- und Geschwindigkeitsvektor r() bzw. v() dr(t) dt t= des Massenpunkts zur Zeit t = dar (Anfangsbedingungen), r() = x y z F mω 2, v() = v x v y v z. (167) 27

10 3.5.3 Der allgemeine Fall Um zu sehen, daß sich die Komponenten der Bewegungsfunktion r(t) in der Regel nicht einfach als zweite Stammfunktionen von gegebenen Funktionen der Zeit t finden lassen, betrachten das Beispiel des Planeten aus Abschnitt Wir wollen aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz, F(t) = GMm r(t) r(t) = GMm 3 [x(t) 2 +y(t) 2 +z(t) 2 ] 3/2 x(t) y(t) z(t), (168) die Bewegungsfunktion r(t) dieses Planeten berechnen. Die erste Komponente der Bewegungsgleichung ist also in diesem Fall gegeben durch mẍ(t) = F x (t) GMm x(t). (169) [x(t) 2 +y(t) 2 +z(t) 2 ] 3/2 Im Gegensatz zu Bsp. 1 ist jetzt die rechte Seite F x (t) nicht von vornherein als Funktion der Zeit t bekannt, sondern hängt selbst von den gesuchten (also noch unbekannten) Bewegungsfunktionen x(t), y(t) und z(t) ab. Wir wollen diese komplizierte Situation vorerst nicht weiter verfolgen, sondern einen eindimensionalen Spezialfall betrachten, der bereits alle wesentlichen Schwierigkeiten aufzeigt. Bsp. 2: Der Planet befinde sich zur Zeit t = auf der positiven x-achse im Abstand r = r vom Sonnenmittelpunkt und bewege sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v x von diesem weg, also in x-richtung. Dies entspricht den Anfangsbedingungen x = r, y = z = ; v x >, v y = v z =. (17) Es ist klar, daß dieser Planet auf der x-achse bleiben wird, daß also für alle t gilt: y(t) = z(t) =. Damit vereinfacht sich Gl. (169) zu mẍ(t) = GMm x(t) 2. (171) Die beiden übrigen Komponenten der 3D Bewegungsgleichung sind trivial, das Problem ist also eindimensional. Trotzdem können wir diese Gleichung nicht durch direkte Integration lösen, da, wie in Gl. (169), die rechte Seite die gesuchte (also noch nicht bekannte) Funktion x(t) enthält. Gl. (171) ist eine sog. gewöhnliche Differentialgleichung (DGl) zweiter Ordnung in der Variable t für die gesuchte Funktion x(t). Wir werden BGlen daher erst im folgenden Kapitel 4 über DGlen ausführlich behandeln können. Trotzdem soll hier zum Abschluß eine besonders einfache aber wichtige Bgl behandelt werden. 28

11 Bsp. 3: Eine der Gl. (171) ähnliche, aber elementar lösbare BGl ist mẍ(t) = kx(t) ẍ(t) = k x(t). (172) m Sie beschreibt ein Teilchen ( harmonischer Oszillator ) der Masse m, das sich auf der x-achse bewegt, und auf das eine x-abhängige ( Rückstell -) Kraft wirkt, F(x) = kx (173) (Hookesches Gesetz). Anders als in Gl. (171) wächst der Betrag dieser Rückstellkraft mit zunehmendem Abstand x von x =, während sie für x gegen null geht. liefert Die Lösungen von Gl. (172) lassen sich erraten. Der Ansatz x(t) = Acos(ωt)+Bsin(ωt) (174) ẋ(t) = Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt), ẍ(t) = Aω 2 cos(ωt) Bω 2 sin(ωt) ω 2 x(t). (175) Legen wir also die Kreisfrequenz ω fest durch die Wahl k ω = m, (176) so ist x(t) tatsächlich eine Lösung der BGl, und zwar bei beliebiger Wahl der Konstanten A und B, die erst durch Anfangsbedingungen festgelegt werden, x() A = x, ẋ() Bω = v B = v ω. (177) 29