Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 1 von 10 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis: 1. Aufgabenlösungen... Lösung zu Aufgabe 1:... Lösung zu Aufgabe... Lösung zu Aufgabe 3... Lösung zu Aufgabe 4... Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe... 3 Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe 1... Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe... 7 Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe... 9 Lösung zu Aufgabe Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 1 von 10

2 1. Aufgabenlösungen Lösung zu Aufgabe 1: - wenn bei einer Vollerhebung der Aufwand (Zeitaufwand, Kostenaufwand) zu groß ist, - wenn nicht alle statistischen Einheiten für eine Vollerhebung erreichbar sind, - bei zerstörenden Prüfungen (Untersuchung auf Haltbarkeit, Geschmacksprüfungen), - wenn eine Vollerhebung nicht genauer ist, als eine Teilerhebung (z.b. Prognose über Kaufverhalten in Jahren). Lösung zu Aufgabe a) Zufallsstichprobe: Jedes Objekt der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu gelangen. b) Schichtenstichprobe (stratified sampling): Die Grundgesamtheit wird auf Basis einer oder mehrerer Merkmale in Schichten eingeteilt. c) Klumpenstichprobe (cluster sampling): Aus der Grundgesamtheit werden Gruppen (Klumpen) von statistischen Einheiten (meist Personen) zufällig ausgewählt. Innerhalb dieser Klumpen wird dann eine Vollerhebung durchgeführt. d) Repräsentative Stichprobe (Quotenverfahren): Die Stichprobe enthält die Werte gewisser Merkmale mit den gleichen Quoten, wie in der Grundgesamtheit. Lösung zu Aufgabe 3 1. Stufe: Einteilung aller Schüler in Bundesländer und Schulformen entspricht einer Schichtenstichprobe.. Stufe: Zufallsauswahl von konkreten Schulen innerhalb eines Bundeslandes und einer Schulform entspricht einer Klumpenstichprobe. Lösung zu Aufgabe 4 a) 18,4 b) - berichtigen (wenn gut begründete Spekulation), - streichen, - durch Mittelwert der nicht fraglichen Daten ersetzen. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite von 10

3 c) - streichen, - durch Mittelwert der nicht fraglichen Daten ersetzen, - ergänzen (wenn bekannt). Lösung zu Aufgabe 5 a) Umsatz pro Verkaufsfläche Umsatz in Mio EUR , 0,4 0, 0,8 1 1, 1,4 1, Verkaufsfläche in 1000 qm Beim Datensatz 5 handelt es sich mit großer Wahrscheinlichkeit um einen Ausreißer. a) - streichen oder - ersetzen durch Wert, der durch Interpolation (linear, kubisch) der vorhergehenden Werte zustande kommt. Lösung zu Aufgabe Merkmal Merkmalsausprägung Merkmalstyp Herstellername HP, IBM, Lemark, qualitativ-nominal Preis EUR quantitativ - stetig oder quantitativ - diskret Gewicht 0-10 kg quantitativ - stetig Seitenzahl pro Seiten quantitativ - diskret Minute Gesamturteil Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht qualitativ ordinal Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 3 von 10

4 Lösung zu Aufgabe 7 Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägungen Merkmalstyp Einzelne Glühbirne Funktionsfähigkeit Funktioniert, funktioniert nicht Qualitative - ordinal Einzelne Lebensdauer 0-50 Jahre quantiativ - diskret Glühbirne Lieferung mit 100 Glühbirnen Anzahl der Defektstücke quantitative - diskret Glühbirnentyp eines Herstellers Qualität bei einem Warentest Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht qualitativ - ordinal Lösung zu Aufgabe 8 Klasse Nr. Länge des Drahtstücks in mm Anzahl 1 [487.5, 491.5) 4 [491.5, 495.5) 3 3 [495.5, 499.5) 8 4 [499.5, 503.5) 9 5 [503.5, 507.5) 5 [507.5, 511.5) [487.5, 491.5) [491.5, 495.5) [495.5, 499.5) [499.5, 503.5) [503.5, 507.5) [507.5, 511.5) Lösung zu Aufgabe i) a) 11 11, 73. b) ~ 3. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 4 von 10

5 ii) a) , 5. b) ~ iii) a) , 875. b) 0+13 ~ 70. Lösung zu Aufgabe 10 Median der Frauen 80, weil 70, 70,70, 80,80, 80, 180. Arithmetisches Mittel der Frauen ( )/790. Median der Männer 90, weil 50, 0, 70, 80, 90, 90, 90, 90, 100. Arithmetisches Mittel der Männer ( )/980. Je nach gewähltem Lageparameter kann in diesem Beispiel eine andere Aussage erzählt werden. Lösung zu Aufgabe 11 a) 394 b) 1, 1 Lösung zu Aufgabe 1 a) ~ b) ~ Lösung zu Aufgabe 13 ~ ,73 11 Lösung zu Aufgabe 14 Gegeben ist Messreihe 9, 13, 7, 5, 11. Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert: b) empirische Varianz: s 10 4 empirische Standardabweichung: s 10 Lösung zu Aufgabe 15 Arithmetisches Mittel Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 5 von 10

6 A 100, B 100, 0 Empirische Varianz , s A 1, sb , 5,1053 Lösung zu Aufgabe 1 a) Median 8, weil die Messreihe geordnet lautet 5, 7, 8, 9, 13; Spannweite b) Median 8,5, weil die Messreihe geordnet lautet 5, 7, 8, 9, 13, 0; Spannweite Lösung zu Aufgabe a) g g 105, 3333g, b) s 4,g 5 s,05g c) Median105,5g; Spannweite 108g-103g 5g. Lösung zu Aufgabe , , , , , ,5 a) 498, 97 mm 30 b) s 4 489, , ,5 s 5,405 mm c) Median eakt499; Median genähert499,5. d) Spannweite , , , ,97 9,3mm Lösung zu Aufgabe 19 a) 17, 97 mm b) s 0, 0080 c) s 0, 0909 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite von 10

7 Lösung zu Aufgabe 0 Maschine A: 701, 05 [ml]; s 0, 788 [ml ]; s 0, 8870 [ml]; Maschine B: 700, 9 [ml]; s 3, 041 [ml ]; s 1, 744 [ml] Lösung zu Aufgabe 1 Klasse Lebensdauer in Jahren absolute Häufigkeit 1 [0 ;,5) 10 [,5 ; 5) 7 3 [5 ; 7,5) 5 4 [7,5 ; 10) 5 [10 ; 1,5) [0 ;,5) [,5 ; 5) [5 ; 7,5) [7,5 ; 10) [10 ; 1,5) a) 3, 4 ; ~ 3, 79 ; s 10, 7 ; s 3, 0 ; R 11, 77 b) 3, 95 ; s 8, 9 ; s, 88 Lösung zu Aufgabe a) arithmetisches Mittel der -Werte (Größe): 173 cm arithmetisches Mittel y der y-werte (Gewicht): 7,7 kg Standardabweichung s der -Werte (Größe):,047 cm Standardabweichung s y der y-werte (Gewicht): 7,5 kg Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 7 von 10

8 empirische Kovarianz s : ,7 14 s empirischer Korrelationskoeffizient r 0, 8979 s s y 41,07 Streudiagramm Gewicht Größe b) arithmetisches Mittel der -Werte (Größe): 173 cm arithmetisches Mittel y der y-werte (Einkommen): EUR Standardabweichung s der -Werte (Größe):,047 cm Standardabweichung s y der y-werte (Einkommen): 1 85,5 EUR empirische Kovarianz s : 471,49 EUR cm empirischer Korrelationskoeffizient: 0,005 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 8 von 10

9 Einkommen Größe Lösung zu Aufgabe 3 Korrelationskoeffizient 0,8470. Regressionsgerade f ( ),47 ( 1,57) + 8, 39 Lösung zu Aufgabe 4 b) 0, 85 ; y 4, 757 ; s 0, 34 ; s 1, 851; s 0, ; Gleichung der Regressionsgeraden: y 4,7 + 1, 1134 d) r 0, 7911 e) y 5, , 4110 ; r 0, 999 Lösung zu Aufgabe 5 a. r0,88 Lösung zu Aufgabe a) 0, 3 ; y 48, 8 ; s 10, 8 ; s 14, ; s 155, 708 y y Gleichung der Regressionsgeraden f ( ) 1,319( 0,3334) + 48, 8889 b) Bei einer Einsinktiefe von 1 mm muss man mit einer Stahlhärte von 54,07 kg/mm rechnen. c) r 0, 9773; R 0, 955 ; d) Der hohe Wert des Bestimmtheitsmaßes legt nahe, dass sich die Varianz der Stahlhärte fast vollständig durch die Einsinktiefe erklären lässt. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 9 von 10

10 Lösung zu Aufgabe 7 Y (Studiendauer) X Summe Summe a) Stichprobenumfang n443; Median ~ ; Median ~ y 9; Mittelwert 443 ; Mittelwert y 443 ; Varianz s , ; 1 4 Varianz s , y ; b) r 0, 0757 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 10 von 10

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