f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a +

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1 Mthemtik 7 Integrlrechnung Prolemstellung: Lösungsidee: Die Berechnung einer Fläche unter einer Funktion zwischen zwei äußeren Grenzen. Zerlegung der Gesmtfläche in rechteckige Bänder (Ausschöpfungsmethode), woei die Anzhl der Bänder geht (Breite der Bänder wird immer kleiner). 7. Allgemeine Integrlformel e ² d = ³ 4 5 d = 5 d = d = d = = ² d = d = f() = n F() = f() d n = d n+ = n + = n + n+ n+ ( ) ohne Wert; zeigt lediglich n nch welcher Vrilen differenziert werden soll D die Integrtion eine zur Differentition entgegengesetzte Rechenopertion drstellt, knn die Proe durch Aleiten des integrierten Terms durchgeführt werden. Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 49 von 55 Stnd: 5..5

2 Mthemtik 7. Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung Es sei eine Funktion f() uf einem Intervll [,] stetig, dnn ist jede Integrlfunktion F() von f uf [,] differenzierr und es gilt: F() = f() d = F() F() DEFINITION stetig Die Funktion ht keine Sprünge, d. h. der Grph ist durchgängig zu zeichnen. 7. Rechenregeln zur Integrtion 7.. Linerität k f() d = k f() d ² d = ² d 7.. Intervlldditivität c + = f() d f() d f() d c c 7.. Gleichheit der oeren und unteren Grenzen f() d = Geometrische Interprettion: Eine Strecke esitzt die Dimension, d. h. nur eine Länge Fläche = Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 5 von 55 Stnd: 5..5

3 Mthemtik 7.4 Grundintegrle Werden keine Grenzen gesetzt, so hndelt es sich um offene zw. unestimmte Integrle. Hierei wird n die Integrtion eine Konstnte c ddiert. n n + d = + c n + ³ ² + d = + + c ( ) d = + c d = ln + c (²+) =(²+ ) = Recheneispiel zur Ermittlung der Fläche zwischen der Funktion f() und der Aszisse (= -Achse). f() = ² - 4 A = f()d. Schritt: Nullstellenerechnung [Berechnung der Integrtionsgrenzen ( Schnittpunkte der Funktion mit der -Achse)] f() = ² - 4 = = ±. Schritt: Integrtion A = f()d = (² 4)d = ³ = = = 6 = Wenn ds Ergenis negtiv ist, efindet sich die Fläche unterhl der -Achse. 7.5 Integrtionstechniken 7.5. Prtielle Integrtion (= Umkehrung der Produktregel) h = f g h = f g h' = f' g + f g' h = f' g + f g' f g = f' g + f g' Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 5 von 55 Stnd: 5..5

4 Mthemtik f g= f' g+ f g' f' g= f g f g' h()= e Lösung mittels prtieller Integrtion mit dem Ziel, dss ein Fktor der Funktion durch die Aleitung f zw. g in der Lösungsformel entfällt: hier: g = f' = e ;g = e = e e e = e e 7.5. Integrtion durch Sustitution 4 4 f() = e α e d =? Susitution der inneren Funktion, wo uch der Integrtionsfktor d erstezt werden muß 4 = u 4d = du/:4 d = du eingesetzt: 4 e d 4 e du = = 4 e Resustitution: 4 u u 4 e 4 f() = ² α ²d =? Sustitution: ² = u d = du d = du eingesetzt: udu u = Resustitution: = ( ²) Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 5 von 55 Stnd: 5..5

5 Mthemtik 7.6 Anwendung der Integrlrechnung 7.6. Flächen zwischen Kurven A A Welche Funktion schließt die Funktion mit der -Achse ein? A=A +A A = f + f 7.6. Flächen zwischen Funktionen f A A g A=A +A A = ( f g) + ( f g) : f() = ²- g() = -²+6. Schnittstellenerechnung ²-=-²+6 ²=8 ²=4 =± Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 5 von 55 Stnd: 5..5

6 Mthemtik. Integrtion A = f g = ² + ² 6d = ² 8 = ³ = = + 6 = = = = 7.7 Ökonomische Anwendungen 7.7. Konsumentenrente Nchfrger müssen ufgrund des geringeren Gleichgewichtspreises weniger Geld ls vermutet usgeen (Konsumentenrente) p Angeot P A Gleichgewichtspreis (GGP) Nchfrge P N q K = P () P ( ) R N N = P ()d P ( ) N P N ()= - P A ()= 4 +. Berechnung des Gleichgewichtspreises P N = P A - = = 6 = 5 P N (5)=7 P A. Berechnung der Konsumentenrente P N Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 54 von 55 Stnd: 5..5

7 Mthemtik 5 K = ( ) 7 5 [ ] 5 = 5 = = 5 GE 7.7. Produzentenrente p Angeot P A Gleichgewichtspreis Einige Anieter erhlten den höheren Gleichgewichtspreis, owohl sie illiger nieten könnten --> zusätzlicher Ertrg (Produzentenrente) Nchfrge P N q P = P( ) P ()d R A = P( ) A P A ()=,5(+)² = P ()d. Berechnung des Gleichgewichtspreises P A ()=6,5. Berechnung der Produzentenrente P = 6, 5, 5( + )² d = 8, 75, 5 ² d = ,, + ² + 4 = 8, 75, 5( ) = 9 GE Christin Leitner und Jürgen Meisel Seite 55 von 55 Stnd: 5..5