1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte. D. Horstmann: Oktober

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1 1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte D. Horstmann: Oktober

2 Graphische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte Eine Umfrage nach der Körpergröße wurde von 87 weiblichen Personen beantwortet, die folgende Angaben machten: Das untersuchte Merkmal Körpergröße ist ein metrisch messbares Merkmal. Das bedeutet, die Messung bzw. die Unterscheidung der Merkmalsausprägungen erfolgt anhand einer metrischen Skala, auf der die aufeinanderfolgenden Skalenpunkte gleichlange Intervalle begrenzen (man denke hierbei einfach an einen Zollstock). Aber welche möglichen graphischen Darstellungen gibt es hierfür? D. Horstmann: Oktober

3 Darstellung der erhobenen Daten mit Hilfe eines Säulendiagramms. Wenn man die Daten mit Hilfe eines Säulendiagramms darstellen will, so trägt man die Ausprägungen des untersuchten Merkmals (in unserem Fall der Körpergröße) gegen die absolute Häufigkeit H xi der entsprechenden Merkmalsausprägung x i (Anzahl der Individuen, die x i cm groß sind) auf. Hierbei kann die absolute Häufigkeit H xi auch durch die relative Häufigkeit ersetzt werden. h xi = H x i N = absolute Häufigkeit Gesamtzahl der klassifizierten Objekte D. Horstmann: Oktober

4 Darstellung der erhobenen Daten mit Hilfe eines Säulendiagramms. D. Horstmann: Oktober

5 Darstellung der erhobenen Daten mittels eines Strecken- bzw. Flächendiagramms. Eine Fläche mit einer Grundseite der Länge L wird in Teilabschnitte der Längen l xi = L h xi unterteilt, die dann den Merkmalsausprägungen zugewiesen werden. D. Horstmann: Oktober

6 Kuchen- bzw. Kreisdiagramme. Man ordnet der Merkmalsausprägung x i einen Kreissektor mit Öffnungswinkel α xi = 360 h xi zu. D. Horstmann: Oktober

7 Illustration der Daten mit Hilfe eines Boxplots. Achtung Besonders klausurrelevant D. Horstmann: Oktober

8 Illustration der Daten mit Hilfe eines Boxplots. 1. Zunächst ordnen wir die Messdaten der Größe nach und nennen sie um, so dass x 1 den kleinsten und x N den größten Wert bezeichnet. 2. Nun ermitteln wir zunächst das arithmetische Mittel x M der Messdaten (den im üblichen Sprachgebrauch als Durchschnittswert bezeichneten Wert). Dies macht man wie folgt: Man addiert alle Messwerte x i auf und teilt die so entstehende Summe durch die Anzahl an vorliegenden Messdaten, d.h. x M = 1 N (x 1 + x x N 1 + x N ). Der Mathematiker verwendet hierfür eine andere Schreibweise. Statt der Klammer schreibt man x M = 1 N x i. Dies bedeutet also nichts anderes, als dass man alle Werte x i anfangend mit x 1 bis x N aufaddiert und dann durch den Wert N teilt. D. Horstmann: Oktober

9 Das Summenzeichen Das Symbol X bedeutet, dass alle hinter diesem Symbol vorkommenden Objekte aufaddiert werden sollen. Hierbei werden die einzelnen Objekte mit Hilfe eines Laufindex durchnummeriert (bzw. falls möglich hierdurch ausgedrückt), der von einem beliebigen (gegebenen) Wert aus beginnen kann und mit einem gegebenen Wert endet. Somit ergibt sich also die Notation: bzw. Endwert des XLaufindex Summand Laufindex Laufindex=Startwert des Laufindex x i = x k + x k x N 1 + x N i=k D. Horstmann: Oktober

10 Beispiele: N+1 X 10X 10X Das Summenzeichen 1= =10 i = =55 i = (N 1) + N = i = (N 1) + N +(N +1)= i = (N 1) + N = i=2 N (N +1) 2 (N +1) (N +2) 2 N (N +1) 2 x i = x 1 + x x N 1 + x N 2 D. Horstmann: Oktober

11 Das α-quantil Als nächstes müssen wir einen weiteren Begriff einführen: das sogenannte α-quantil (wobei hier die Zahl α einen Wert zwischen Null und 1 annimmt, d.h. 0 <α<1) der Beobachtungsreihe x 1,..., x N des metrischen Merkmals X (in unserem Fall der Körpergröße). Das α-quantil wird mit dem Symbol x α notiert und ist der Wert der Beobachtungsreihe, der wie folgt ermittelt wird: Die uns vorliegende Beobachtungsreihe ist nach aufsteigender Größe geordnet. Wir bilden den Ausdruck r = N α. Wenn r nicht ganzzahlig ist, gehen wir zur nächst grösseren ganzen Zahl r über und setzen x α gleich dem Wert unserer geordneten Beobachtungsreihe, der an der r -ten Stelle in der geordneten Reihe steht. Ist r jedoch ganzzahlig, so setzen wir x α gleich dem arithmetischen Mittel aus dem r-ten und dem (r +1)-ten Wert unserer geordneten Reihe. D. Horstmann: Oktober

12 Das α-quantil Beispiel: Es sei 0 <α<1. x 1 = 1,x 2 = 1,x 3 = 2,x 4 = 3,x 5 = 15,x 6 = 1,x 7 = 4,x 8 = 26,x 9 = 5, x 10 = 4,x 11 = 1,x 12 =9,x 13 = 2,x 14 = 4,x 15 = 4,x 16 =9,x 17 = 2,x 18 = 1 1. Schritt: Sortieren der gegebenen Werte der Größe nach aufsteigend. x 1 = 1,x 2 = 1,x 6 = 1,x 11 = 1,x 18 = 1,x 3 = 2,x 13 = 2,x 17 = 2,x 4 = 3, x 7 = 4,x 15 = 4,x 10 = 4,x 14 = 4,x 9 = 5,x 12 =9,x 16 =9,x 5 = 15,x 8 = Schritt: Umbenennen der Werte. x 1 = 1,x 2 = 1,x 3 = 1,x 4 = 1,x 5 = 1,x 6 = 2,x 7 = 2,x 8 = 2,x 9 = 3,x 10 = 4, x 11 = 4,x 12 = 4,x 13 = 4,x 14 = 5,x 15 =9,x 16 =9,x 17 = 15,x 18 = 26 D. Horstmann: Oktober

13 Das α-quantil 3. Schritt: Bestimmung der Stelle, an der sich das α-qunatil befindet, in dem man N α =: r berechnet. x 1 = 1,x 2 = 1,x 3 = 1,x 4 = 1,x 5 = 1,x 6 = 2,x 7 = 2,x 8 = 2,x 9 = 3,x 10 = 4, x 11 = 4,x 12 = 4,x 13 = 4,x 14 = 5,x 15 =9,x 16 =9,x 17 = 15,x 18 = 26 In unserem Beispiel ist N =18. Bislang hatten wir α nicht konkret bestimmt, sondern nur angenommen, dass es ein Wert zwischen 0 und 1 ist. Um nun das Beispiel konkret werden zu lassen, setzen wir für α zwei beliebige konkrete Werte ein. Zunächst setzen wir als Beispiel α =0.125 = 1 8. Damit ist N α = = 18 8 =2.25 Da 2.25 keine ganze Zahl ist, rundet man diesen Wert zur nächsten ganzen Zahl auf und nimmt als α-qunatil (hier als Quantil oder als 12.5%-Quantil) den Wert, der in der aufsteigend geordneten und umbenannten Datenreihe an der 3. Stelle liegt. In unserem Fall ist es somit der Wert x 3 =1. D. Horstmann: Oktober

14 Das α-quantil x 1 = 1,x 2 = 1,x 3 = 1,x 4 = 1,x 5 = 1,x 6 = 2,x 7 = 2,x 8 = 2,x 9 = 3,x 10 = 4, x 11 = 4,x 12 = 4,x 13 = 4,x 14 = 5,x 15 =9,x 16 =9,x 17 = 15,x 18 = 26 Nun setzen wir als konkretes zweites Beispiel α =0.5 = 1 2. Damit ist N α = = 18 2 =9 Hier erhält man nun mit 9 eine ganze Zahl. Anstatt nun den Wert an der neunten Stelle in der aufsteigend geordneten und umbenannten Datenreihe zu nehmen, bildet man das arithmetische Mittel der Werte, die sich an ihrer neunten und zehnten Stelle befinden. Das heißt, man berechnet den Wert x 9 + x 10 = 3+4 = auch wenn sich der Wert 3.5 nicht in der aufsteigend geordneten und umbenannten Datenreihe befindet, so ist dieser Wert das zu der Datenreihe gehörige 0.5-Quantil bzw. das 50%-Quantil, das man auch den Median der gegebenen Datenreihe nennt. D. Horstmann: Oktober

15 Illustration der Daten mit Hilfe eines Boxplots. Für den Boxplot bestimmen wir nun die 3 Quartile der geordneten Beobachtungsreihe. Die Quartile sind die α-quantile der Beobachtungsreihe für die Werte α =0.25, α =0.5, α = Die Besonderheit dieser Werte sind die folgenden Eigenschaften, die sie besitzen. Durch die oben beschriebene Berechnung der Quartile ist sichergestellt, dass 25% der Werte der geordneten Beobachtungsreihe kleiner oder gleich dem 25%-Quantil sind. Analog bedeutet das für das 75%-Quantil, dass 75% der Werte der geordneten Beobachtungsreihe kleiner oder gleich sind. Für das 50%-Quantil gilt, dass genau die Hälfte der Werte der geordneten Beobachtungsreihe kleiner und die andere Hälfte größer diesem sind. Das 50%-Quantil ist also ein besonderer Mittelwert, der Median genannt wird. Ein Boxplot ist nun ein Kasten bzw. eine Schachtel, dessen bzw. deren beide äußeren Grenzen am Ort des 1. und des 3. Quartils liegen. Im Inneren der Schachtel befindet sich eine Linie, die die Lage des Medians angibt. Von den Grenzen der Schachtel ausgehend zeichnet man je einen Stempel. Diese erstrecken sich bis zu den Extremstellen x min und x max der geordneten Beobachtungsreihe. Der arithmetische Mittelwert wird mit einem Kreuz dargestellt. D. Horstmann: Oktober

16 In unserem Beispiel mit den Körpergrößen ergeben sich nun folgende Werte: x M = , x 0.25 = 164, x 0.75 = 173, x 0.50 = 168, x min = 150, x max = 181. Die folgende Abbildung zeigt einen solchen Boxplot für unser konkretes Beispiel. Anmerkung 1. ab. In der Regel weichen Median und arithmetischer Mittelwert weit voneinander D. Horstmann: Oktober

17 1.2 Weitere Analyse der vorliegenden Messdaten D. Horstmann: Oktober

18 Die Stichprobenvarianz Interessant ist sicherlich die Frage, wie sehr die einzelnen Messdaten von dem durchschnittlichen Wert der Messreihe (dem arithmetischen Mittel) abweichen. Das heißt, man ist daran interessiert, die Streuung der Messdaten zu beschreiben. Ein hierbei verwendetes Hilfsmittel ist die sogenannte Stichprobenvarianz oder kurz die Varianz der Messreihe. Definition 1. Die Varianz s 2 x einer N Daten umfassenden Messreihe ist die durch N 1 geteilte Summe der quadratischen Abweichungen der Messdaten vom durchschnittlichen Messwert, d.h. s 2 x := = 1 N 1 1 N 1 (x 1 x M ) 2 +(x 2 x M ) (x N 1 x M ) 2 +(x N x M ) 2 (x i x M ) 2. Klausurrelevant D. Horstmann: Oktober

19 Die Stichprobenvarianz Die Varianz einer Messreihe ist also ein Streuungsmaß. Die Bezeichnung s 2 x soll darauf hinweisen, dass die Varianz als Summe von quadratischen Termen immer größer oder gleich Null ist. Berechnet man die Varianz in unserem Beispiel für die Körpergröße, so ergibt sich: s 2 x = X x i «2 = D. Horstmann: Oktober

20 Der Verschiebungssatz für die Stichprobenvarianz Oftmals ist es nützlicher, eine andere Formel zur Berechnung der Varianz heranzuziehen. Wir sehen, dass: s 2 x = 1 n 1 (x i x M ) 2 = = 1 n 1 1 n 1 x 2 i 2 x i x M + x 2 M x 2 i 2 x i x M + x 2 M. Hieraus ergibt sich: s 2 x = 1 n 1 x 2 i 2 x M x i + N x 2 M. D. Horstmann: Oktober

21 Nun haben wir bereits gesehen, dass die Summe der Messdaten geteilt durch die Gesamtzahl der Messdaten gleich dem Wert x M ist. Somit gilt: s 2 x = = = = 1 N 1 1 N 1 1 N 1 1 N 1 x 2 i x 2 i x 2 i x 2 i 2 x M N X 2 N N x M x i + N x 2 M x i + N x 2 M 2 N x 2 M + N x2 M N x 2 M. D. Horstmann: Oktober

22 Der Verschiebungssatz für die Stichprobenvarianz Lemma 1. [Verschiebungssatz für die Stichprobenvarianz] Die Stichprobenvarianz s 2 x bzw. die Varianz einer Messreihe läßt sich auch mit Hilfe der nachfolgenden Formel berechnen: s 2 x = 1 N 1 x 2 i N x 2 M. Oft ist es nützlich, von diesem Verschiebungssatz Gebrauch zu machen, wenn man die Varianz berechnen soll. D. Horstmann: Oktober

1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43

1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43 1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, 31 2 35, 31, 46, 35, 31, 42, 51,

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