Absolutskala: metrische Skala mit einem natürlichen Nullpunkt und einer natürlichen Einheit. (Z.B. Einwohnerzahl). Nicht alle Variablen lassen sich

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1 Grudbegrie Die beschreibede Statistik (deskriptive Statistik) ist eie systematische Zusammestellug vo Zahle ud Date zur Beschreibug bestimmter Zustäde, Etwickluge oder Phäomee. Die beschreibede Statistik umfasst statistische Methode, die sich auf die Erhebug, Aufbereitug, Auswertug ud Aalyse vo Date beziehe. Die Aussage beziehe sich ur auf die erhobee Datemege. Es werde also keie Schlüsse auf die übergeordete Gesamtheit gezoge. Grudgesamtheit(Statistische Gesamtheit) ist eie sachlich, räumlich oder zeitlich abgegrezte Mege vo Elemete (Merkmalsträger, Eiheite). Stichprobe(Teilgesamtheit) ist eie Teilmege der Grudgesamtheit, die geauer betrachtet wird. Die Azahl der Elemete eier Stichprobe heiÿt Stichprobeumfag. Merkmalsträger(Statistisches Elemet/Eiheit) ist das eizele Elemet der Grudgesamtheit oder Stichprobe. Der Merkmalsträger ist der Träger der statistische Iformatio. Merkmal ist eie Eigeschaft des statistische Elemets oder Merkmalsträgers bezüglich der statistische Utersuchug. Merkmalsausprägug(Merkmalswert/Beobachtugswert/Messwert) ist der Wert, der bei der Beobachtug bei der eizele statistische Eiheit bzw. dem Merkmalsträger festgestellt wurde. Erhebug ist die Feststellug der Merkmalsausprägug vo Merkmale bei de Merkmalsträger. Skala: Vorschrift, ach der jedem Merkmalsträger eier Gesamtheit geau eie Merkmalsausprägug zugeordet werde ka. 1. Nomialskala: die Merkmalsauspräguge Bezeichuge, die ausschlieÿlich der Kezeichug diee. Keie Reihefolge bestimmbar.(z.b. Farbe, Kezeiche, Geschlecht usw.) 2. Ordialskala: die Merkmalsausprägug habe eie Ragfolge. Abstäde zwische eiele Merkmalsauspräguge ist icht quatizierbar. (z.b. Note, Ragplätze usw.) 3. Metrische Skala: die Merkmalsausprägug ist eie reelle Zahl (Merkmalswert). Das Merkmal heiÿt diskret, falls die Auspräguge isolierte Zahlewerte sid. Das Merkmal heiÿt stetig, falls die Auspräguge alle Zahlewerte eies Itervalls aehme köe. Itervallskala: metrische Skala ohe atürliche Nullpukt ud ohe atürliche Eiheit. Itervalle köe hier miteiader vergliche werde, d.h. aussagefähige Diereze der Auspräguge köe gebildet werde (z.b. Temperatur). Verhältisskala: metrische Skala mit atürlichem Nullpukt ud keier atürliche Eiheit. Aussagefähige Diereze ud auch Quotiete der Auspräguge köe gebildet werde (z.b. Alter, Körpergröÿe, Füllmege). 1

2 Absolutskala: metrische Skala mit eiem atürliche Nullpukt ud eier atürliche Eiheit. (Z.B. Eiwoherzahl). Nicht alle Variable lasse sich eideutig de obige Kategorie zuorde! 2

3 Eidimesioale (icht klassierte) Datesätze Die Urliste etsteht durch Aeiaderreihug der beobachtete Merkmalsauspräguge eies eizige metrisch skalierte Merkmals bei eier Erhebug. I der sortierte Urliste sid die Merkmalsauspräguge der Gröÿe ach geordet. 0.1 Häugkeitsverteilug Sei X das beobachtete Merkmal der Elemete (Merkmalsträger) eier Gesamtheit vo Elemete. Bezeiche k die Azahl der mögliche Merkmalsauspräguge (Merkmalswert) des Merkmals X. Die mögliche Merkmalsauspräguge sid x i (i 1,..., k). Eie wichtige statistische Tätigkeit besteht dari, die auf eie bestimmte Merkmalsausprägug etfallede Azahl vo Elemete auszuzähle. Die absolute Häugkeit f i der Merkmalsausprägug x i ist die Azahl der Elemete, welche die Merkmalsausprägug x i besitze. Es gilt 0 f i (i 1,..., k), ud f f k k f i. Die relative Häugkeit vo x i ist der Quotiet g i fi. Es gilt 0 g i 1 (i 1,..., k), ud g g k k g i 1. Die prozetuale relative Häugkeit vo x i ist g i 100%. Die Darstellug der Merkmalsausprägug mit de dazugehörede Häugkeite i tabellarischer bzw. graphischer Form bezeichet ma als Häugkeitsverteilug: i x i f i g i g i 100% 1 x 1 f 1 g 1 g 1 100% 2 x 2 f 2 g 2 g 2 100%..... k x k f k g k g k 100% Σ 1 100% Die Häugkeitsverteilug läÿt sich auch graphisch darstelle: 1. Stabdiagramm: höheproportiale Darstellug 2. Histogramm: ächeproportiale Darstellug Diese Häugkeitsverteilug ka mit zusätzliche Spalte ergäzt werde. Die kumulierte absolute Häugkeit F i ist die Azahl jeer Elemete (Merkmalsträger) eier statistische Gesamtheit, bei dee die Ausprägug des Merkmals X höchstes gleich x i ist, d.h. F i f f i i j1 f j. Die kumulierte relative Häugkeit G i ist die Azahl jeer Elemete (Merkmalsträger) eier statistische Gesamtheit, bei dee die Ausprägug des Merkmals X höchstes gleich x i ist, d.h. G i g g i i j1 g j. 3

4 i x i f i g i F i G i 1 x 1 f 1 g 1 F 1 f 1 G 1 g 1 2 x 2 f 2 g 2 F 2 f 1 + f 2 G 2 g 1 + g k x k f k g k F k f f k G k g g k Σ 1 Mit Hilfe der kumulierte relative Häugkeite (relative Summehäugkeite) läÿt sich die empirische Verteilugsfuktio F (x) deiere: 0 für x < x 1 F (x) G i für x i x < x i+1 (i 1..., k 1) 1 für x k x Der Graph der empirische Verteilugsfuktio ist eie Treppefuktio. 0.2 Lageparameter (Mittelwerte) Ei Lageparameter ist ei Mittelwert. Mittelwerte beschreibe die Gesamtheit durch eie eizige Wert, der eie charakteristische Gröÿe aimmt. Dieser Wert soll die Lage der Gesamtheit möglichst gut repräsetiere. Deitio 0.1 (Modus) Der Modus M o (oder Modalwert) ist der häugste Merkmalswert. Voraussetzug: Es muÿ midestes ei omialskaliertes Merkmal vorliege. Eigeschafte des Modus: Der Modus ist icht immer bestimmt: habe mehrere Merkmalswerte die gleiche gröÿte Häugkeit, so spricht ma etweder über die Mege der Modalwerte, oder ma sagt, daÿ es keie Modus gibt. Bildug des Modus ist icht immer sivoll, z.b. we keie herausragede Häugkeit zu beobachte ist. Deitio 0.2 (Media) Der Media M e (oder Zetralwert) heiÿt der Merkmalswert, desse Merkmalsträger i der Ragordug aller Merkmalsträger geau die mittlere Positio eiimmt. Uterhalb ud oberhalb des Medias liege jeweils die Hälfte aller Merkmalswerte. Ist die Azahl aller Merkmalswerte eie ugerade Zahl, so gleicht der Media dem te Merkmalswert i der Ragordug, d.h. M e x +1 ; 2 gerade Zahl, so gleicht der Media dem Mittelwert der ( 2 -te ud 2 +1-te Merkmalswerte i der Ragordug, d.h. M e 1 2 x + x ) Voraussetzug: Wege der beötigte Ragordug müsse die Merkmale midestes ordialskaliert sei. 4

5 Deitio 0.3 (q-quatil) Das q-quatil Q q (0 < q < 1) ist derjeige Merkmalswert, der die raggeordete Mege aller Merkmalswerte im Verhältis q : (1 q) aufteilt, d.h. uterhalb Q q liegt geau der Ateil q aller Fälle der Verteilug. Berechet ma Q q aus der Ragordug für q j k, da ist Q j k x m + t (x m+1 x m ) (1 t)x m + tx m+1, wo m [ j k ( + 1)] ud t { j k ( + 1)} j k ( + 1) m; der Häugkeitsverteilug mit Hilfe der kumulierte relative Häugkeite G i, da ist Q q x i, falls G i 1 q ud G i q. Spezielle q-quatile sid: für q 1 4 ist Q 1 : Q 1 4 für q 1 2 ist M e Q 1 2 für q 3 4 ist Q 3 : Q 3 4 für q 1 10 ist D 1 : Q 1 10 für q 9 10 ist D 9 : Q 9 10 das utere Quartil, der Media, das obere Quartil, das 10%-Dezil, das 90%-Dezil. Deitio 0.4 (arithmetisches Mittel) Das arithmetische Mittel (Durchschitt) x vo Werte x i ist die Summe dieser Werte, geteilt durch ihre Azahl, d.h. x x i. Voraussetzug: Das Merkmal X muss midestes itervallskaliert sei, damit der Durchschitt eie Si ergibt. Deitio 0.5 (gewogees arithmetisches Mittel) Das gewogee arithmetische Mittel x vo k Werte x i, dere absolute bzw. relative Häugkeite f i bzw. g i bezeichet, ist k x f ix i k k f g i x i. i Eigeschafte des arithmetische Mittels: x mi x x max ; x i x. Sid A, B R ud y i Bx i + A die trasformierte Werte, so gilt ȳ y i Bx i + A B x i + A B x i +A B x+a, d.h. das arithmetische Mittel uterliegt der selbe lieare Trasformatio, wie die Werte selbst. 5

6 0.3 Streuugsparameter Deitio 0.6 (Spaweite) Der Maÿ R x max x mi für die Etferug zwische kleistem ud gröÿtem beobachtetem Merkmalswert. Sie gibt Läge des Bereichs a, über de sich die Merkmalswerte verteile. Voraussetzug: Berechug vo Diereze erfordert midestes Itervallskalierug. Eigeschafte der Spaweite: Erste Abschätzug für die Streuug. Reagiert sehr empdlich auf Ausreiÿer. Deitio 0.7 (zetraler Quartilsabstad) Der zetrale Quartilsabstad IQR Q 3 Q 1 ist die Etferug zwische de beide Merkmalswerte, die die zetral gelegee 50% der Merkmalsträger eigreze. Voraussetzug: Die Merkmale müsse midestes itervallskaliert sei, da zur Berechug des Abstades die Dierez gebildet werde muss. Eigeschafte der Spaweite: Ausreiÿer uproblematisch, da utere ud obere 25% der Häugkeitsverteilug abgeschitte werde. Deitio 0.8 (mittlere absolute Abweichug) Die mittlere absolute Abweichug δ (oder M AD) ist das arithmetische Mittel der Beträge der Abweichuge d i x i x der Merkmalswerte x i vom Durchschitt x, d.h. MAD δ P di k g i d i vo der Häugkeitsverteilug be- MAD δ rechet. P k fi di P k fi, vo der Ragordug berechet; Voraussetzug: Die Merkmale müsse midestes itervallskaliert sei, da zur Berechug des Abstades die Dierez gebildet werde muss. Bemerkug 0.1 Die mittlere absolute Abweichug vo eier festgelegte Zahl A R läÿt sich durch die Formel δ A x i A deiere. Es gilt δ Me mi A R δ A. Deitio 0.9 (Variaz) Die Variaz σ 2 ist das arithmetische Mittel der Quadrate der Abweichuge d i x i x der Merkmalswerte x i vom Durchschitt x, d.h. 6

7 P σ 2 d2 i, vo der Ragordug berechet; P σ 2 k P fid2 i k fi k g id 2 i vo der Häugkeitsverteilug berechet. Die Stadardabweichug σ ist die ichtegative Wurzel aus der Variaz. Voraussetzug: Die Merkmale müsse midestes itervallskaliert sei, da zur Berechug des Abstades die Dierez gebildet werde muss. Eigeschafte der Variaz (bzw. Stadardabweichug): Die Variaz ist das am meiste beutzte Maÿ für ie Streuug. Die Variaz (ud die Stadardabweichug) ka icht ihaltlich iterpretiert werde, de die resultierede quadrierte Dimesioe sid ihaltlich icht iterpretierbar. MAD < σ. Verschiebugssatz: σ 2 (x i x) 2 (x2 i 2 xx i + x 2 ) x2 i 2 x x i + x 2 1 x 2 i x 2, d.h. die Variaz läÿt sich aus der Quadratsumme der Merkmalswerte ud aus dem arithmetische Mittel bereche. Ist Y B X +A das liear trasformierte Merkmal, so sid y i Bx i +A desse Merkmalswerte, ud es ist σ 2 Y B2 σ 2 X, de: σy 2 1 yi 2 ȳ 2 1 (Bx i + A) 2 (B x + A) 2 ( 1 ) B 2 x 2 i + 2AB x i + A 2 B 2 x 2 2AB x A 2 ( 1 ) B 2 x 2 i + 2AB x + A 2 B 2 x 2 2AB x A 2 B 2 ( 1 ) x 2 i x 2 B 2 σx 2 Deitio 0.10 (Variatioskoeziet) Der Variatioskoeziet ist das Verhältis der Stadardabweichug zum arithmetische Mittel, d.h. V σ x. Eigeschafte des Variatioskoeziete: Eiget sich zum Vergleich der Streuuge zweier Verteiluge mit sehr uterschiedliche Mittelwerte. Wege Verwedug der Stadardabweichug icht iterpretierbar. 7

8 0.4 Schiefe Die Asymmetrie der Häugkeitsverteilug läÿt sich auch messe. Maÿe für die Asymmetrie sid: Pearso-Parameter: A x Mo σ F -Parameter 3( x Me) σ. aus de Quartile: F (Q3 Me) (Me Q1) (Q 3 M e)+(m e Q 1), aus de Dezile: F (D9 Me) (Me D1) (D 9 M e)+(m e D 1), wofür ist F 1. Die Häugkeitsverteilug ist symmetrisch, falls M o M e x. Es ist i diesem Fall A F 0. likssteil bzw. rechtsschief, falls M o < M e < x. Es sid i diesem Fall A > 0 ud F > 0. rechtssteil bzw. liksschief, falls M o < M e < x. Es sid i diesem Fall A < 0 ud F < Wölbug (Kurtosis) Es ist ur sivoll, die Wölbug symmetrischer Verteiluge zu bereche. Ei Maÿ für die Wölbug ist K Q 3 Q 1 2(D 9 D 1 ). (Dieses Wölbugsmaÿ reagiert sehr empdlich auf usymmetrische Verteiluge.) Ist K < 0, so ist die beobachtete Häugkeitsverteilug acher gewölbt als eie Normalverteilug mit deselbe Parameter. Ist K 0, so ist die beobachtete Häugkeitsverteilug idetisch gewölbt wie eie Normalverteilug mit deselbe Parameter. Ist K > 0, so ist die beobachtete Häugkeitsverteilug steiler gewölbt als eie Normalverteilug mit deselbe Parameter. 0.6 Beispiele Beispiel 0.1 Die folgede Liste ethält die Krakeurlaubstage vo 20 Mitarbeiter eies kleie Uterehmes im letzte Jahr: 10, 31, 17, 22, 7, 1, 9, 36, 5, 13, 26, 2, 8, 6, 0, 24, 30, 24, 11, 20. Ermittel wir die gelerte Lage- ud Streuugsparameter! 8

9 Ahad der Tabelle ordet ma die Urliste der Gröÿe ach. Der Datesatz ist: Zeherzier Eierzier , 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 20, 22, 24, 24, 26, 30, 31, 36 Die Lageparameter sid: Modus: M o 24 (mit absoluter Häugkeit 2). Media: 20 ist gerade M e 1 2 (x 10 + x 11 ) uteres Quartil: 1 4 (20 + 1) 5, 25; m [5, 25] 5; t {5, 25} 0, 25 Q 1 Q 1 4 x m+1 + t (x m+1 x m ) 6 + 0, 25(7 6) 6, 25 oberes Quartil: 3 4 (20 + 1) 15, 75; m [15, 75] 15; t {15, 75} 0, 75 Q 3 Q 3 4 x m+1 + t (x m+1 x m ) , 75(24 24) %-Dezil: 10 (20 + 1) 2, 1; m [2, 1] 2; t {2, 1} 0, 1 D 1 Q 1 10 x m+1 + t (x m+1 x m ) 2 + 0, 1(2 1) 2, %-Dezil: 10 (20 + 1) 18, 9; m [18, 9] 18; t {18, 9} 0, 9 D 9 Q 9 10 x m+1 + t (x m+1 x m ) , 9(31 30) 31, 9 arithmetisches Mittel: x x i 15, 1 Die Streuugsparameter sid: Spaweite: R zetraler Quartilsabstad: IQR Q 3 Q , 25 17, 75 9

10 mittlere absolute Abweichug: x i x i M e MAD i M e 9, 2 Variaz ud Stadardabweichug: Variatioskoeziet: Pearso-Parameter: σ 2 112, 39 ud σ 10, 60 V A x M o σ F -Parameter aus de Quartile: σ x 10, 60 15, 1 15, , 60 0, , 8396 F (Q 3 M e ) (M e Q 1 ) 12 5, 75 0, 3913 (Q 3 M e ) + (M e Q 1 ) , 25 F -Parameter aus de Dezile: F (D 9 M e ) (M e D 1 ) 19, 9 9, 9 0, 3356 (D 9 M e ) + (M e D 1 ) 19, 9 + 9, 9 Beispiel 0.2 Die Azahl der Kider i de Familie eier Ortschaft wurde i der folgede Tabelle zusammegefaÿt: Azahl der Kider i der Familie Azahl der Familie Fertige wir die Häugkeitstabelle ud ermittel wir die gelerte Lage- ud Streuugsparameter! Die Häugkeitstabelle ergäzt mit de Summewertspalte ud mit de Abweichugsspalte ist: i x i f i g i F i G i x i f i x i g i x i M e x i x , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Σ ,

11 Die Lageparameter sid: Modus: Media: M o 2, de Merkmalswert mit gröÿter absoluter Häugkeit49 ) uteres Quartil: M e 2, de G 2 0, , 5 ud G 3 0, , 5 Q 1 Q 1 4 1, de G 1 0, , 25 ud G 2 0, , 25 oberes Quartil: Q 3 Q 3 4 3, de G 3 0, , 75 ud G 4 0, , 75 10%-Dezil: 90%-Dezil: D 1 Q , de G 0 0 0, 10 ud G 1 0, , 10 D 9 Q , de G 3 0, , 90 ud G 4 0, , 90 arithmetisches Mittel: x x i g i 2, 02 2 Die Streuugsparameter sid: Spaweite: R zetraler Quartilsabstad: IQR Q 3 Q mittlere absolute Abweichug: MAD 1 Variaz ud Stadardabweichug: x i M e f i 1 σ 2 1 (x i x) 2 f i 1, 71 ud σ 1, 31 11

12 Variatioskoeziet: V 0, 647 σ x Pearso-Parameter: A x M o σ 2, , 31 0, 02 0 F -Parameter aus de Quartile: F -Parameter aus de Dezile: F (Q 3 M e ) (M e Q 1 ) (Q 3 M e ) + (M e Q 1 ) 0 F (D 9 M e ) (M e D 1 ) (D 9 M e ) + (M e D 1 ) 0 Da diese Verteilug ahezu symmetrisch ist, ist es sivoll, die Wölbug zu bereche: K Q 3 Q 1 2(D 9 D 1 ) Aufgabe Aufgabe 0.1 Die folgede Liste ethält die Alter vo 20 Autokäufer, die bei eiem Gebrauchtwagehädler im letzte Moat eie Wage gekauft habe. (a) Orde Sie die Liste! (b) Bereche Sie Modus, Media, uteres Quartil, oberes Quartil, die 10% ud 90% Dezile ud de Durchschitt der Date! (c) Bereche Sie die Spaweite, de zetrale Quartilsabstad (IQR), die mittlere absolute Abweichug (MAD), die Variaz ud Stadardabweichug! (d) Bereche Sie de Pearso-Parameter ud die F -Parameter! Iterpretiere Sie die berechete Werte! Aufgabe 0.2 I eiem Fuÿballverei spiele Nachwuchsspieler vom Alter 10 bis 15. Die Folgede Tabelle zeigt, wie viele Schüler jeweils i de eizele Altersgruppe spiele. Alter Azahl der Nachwuchsspieler (a) Fertige Sie die Häugkeitsverteilug mit sämtliche gelerte Spalte! Stelle Sie die Date a eiem Säulediagramm bzw. Kreisdiagramm graphisch dar! Stelle Sie die empirische Verteilugsfuktio dar! 12

13 (b) Bereche Sie Modus, Media, uteres Quartil, oberes Quartil, die 10% ud 90% Dezile ud de Durchschitt der Date! Iterpretiere Sie die berechete Werte! (c) Bereche Sie die Spaweite, de zetrale Quartilsabstad (IQR), die mittlere absolute Abweichug (MAD), die Variaz ud Stadardabweichug! (d) Bereche Sie de Pearso-Parameter ud die F -Parameter! Iterpretiere Sie die berechete Werte! (e) Wieviel Prozet der Nachwuchsspieler ist icht älter als 14? (f) Wieviel Prozet der Nachwuchsspieler ist älter als 14? (g) Welcher Ateil aller Nachwuchsspieler ist 14 Jahre alt? 13