Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juni 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

2 Konzentrationsmaße I Für positive metrische Merkmale. Konzentrationsmaße messen die Gleichmäßigkeit der Aufteilung der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger. Beispielproblem: Wie teilt sich ein Markt auf die Anbieter auf (Marktkonzentration)? Konzentriert sich der Gesamtumsatz auf wenige Firmen, oder haben alle Firmen ungefähr den gleichen Anteil? Typische Merkmale, für die Konzentrationen bestimmt werden: Merkmal Jahreseinkommen Jahresumsatz Einwohnerzahl Merkmalsträger Beschäftigte Unternehmen Gemeinden Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

3 Konzentrationsmaße II Extremfälle: Keine Konzentration: Merkmalssumme ist gleichmäßig auf alle Merkmalsträger verteilt. Höchste Konzentration: ein Element trägt die gesamte Merkmalssumme, die anderen gehen leer aus. Beispiel 2.7: Betrieb tats. Marktanteil Marktanteil bei Gleichvert. 1 x 1 = 5% 20 % 2 x 2 = 25% 20 % 3 x 3 = 10% 20 % 4 x 4 = 20% 20 % 5 x 5 = 40% 20 % Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

4 Konzentrationsmaße III: Lorenzkurve Graphische Darstellung durch Lorenzkurve. n Merkmalsträger (5 Betriebe). Geordnete Merkmalswerte x (1) = 5 x (2) = 10 x (3) = 20 x (4) = 25 x (5) = 40. Berechnen u i = i n und v i = i j=1 x (j) n j=1 x (j) für i = 1,..., n, außerdem sei (u 0, v 0 ) = (0, 0). Im Beispiel: Lorenzkurve (blau) (u 0, v 0 ) = (0.0,0.00) (u 1, v 1 ) = (0.2,0.05) (u 2, v 2 ) = (0.4,0.15) (u 3, v 3 ) = (0.6,0.35) (u 4, v 4 ) = (0.8,0.60) (u 5, v 5 ) = (1.0,1.00) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

5 Konzentrationsmaße IV: Lorenzkurven Wie wirkt sich eine Fusion der Betriebe 2 und 5 aus, wie eine Fusion der Betriebe 1 und 3? (Erinnerung: 1: 5%; 2: 25%; 3: 10%; 4: 20%; 5: 40%) blau: Ausgangsdaten rot: Fusion Betriebe 2 und 5 grün: Fusion Betriebe 1 und 3 schwarz: Diagonale (Gleichverteilung) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

6 Lorenzsches Konzentrationsmaß (Gini-Koeffizient) Zahlenmäßige Kenngröße für Konzentration. G = 2 mal Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve, G = 1 1 n n (v i + v i 1 ) = n 2 n i=1 n v i. i=1 { 0, bei Gleichverteilung ; G = n 1 n, wenn gesamte Masse in einem von n Punkten. Normierter Gini-Koeffizient: G := n n 1 G. Im Beispiel: (Werte v i : 0.00 ; 0.05 ; 0.15 ; 0.35 ; 0.60 ; 1.00) Ausgangsdaten : G = ( ) = 0.34 ; G = Fusion Betriebe 2 und 5 : G = ( ) = ; G = Fusion Betriebe 1 und 3 : G = ( ) = 0.20 ; G = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

7 Modifikation bei klassierten positiven Merkmalen m Klassen mit relativen Häufigkeiten h i und Merkmalssummen pro Klasse M i, i = 1,..., m. Punkte der Lorenzkurve definiert durch (u 0, v 0 ) = (0, 0) sowie u i = i h j, v i = j=1 i M j j=1, i = 1,..., m. m M j j=1 Gini-Koeffizient: m G = 1 h i (v i + v i 1 ). i=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

8 Beispiel 2.8: Verteilung der landwirtschaftlichen Nutzfläche i Fläche in ha H i h i M i u i v i v i + v i 1 1 < 5 ha ha ha ha > 50 ha m G = 1 h i (v i + v i 1 ) i=1 = 1 ( ) = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

9 2.3 Zweidimensionale Merkmale Gemeinsame und bedingte Verteilung Im Rahmen einer Studie oder Umfrage wird in der Regel mehr als ein Merkmal erhoben. Insbesondere besteht Interesse an Zusammenhängen zwischen den Merkmalen. Beispiel 2.9: Es interessiert der Zusammenhang der Merkmale X Teilnahme an Grippeschutzimpfung und Y Grippeerkrankung, für die folgende Häufigkeitstabelle ermittelt wurde: X \Y Grippe keine Grippe H i Impfung keine Impfung H j (Quelle: Nollau et al, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben, Teubner 1997) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

10 Kontingenztafel Darstellung der absoluten Häufigkeiten in Form einer Tabelle. Im Fall von nur zwei Merkmalsausprägungen für beide Merkmale wird die Kontingenztafel auch Vierfeldertafel genannt. Häufigkeitstabelle mit relativen Häufigkeiten im Beispiel 2.9. X \Y Grippe keine Grippe h i Impfung keine Impfung h j Das Innere der Tabelle gibt die gemeinsame Verteilung der Merkmale in absoluten (bzw. relativen) Häufigkeiten an. Die rechte Randspalte gibt die Randverteilung des Merkmals X in absoluten (bzw. relativen) Häufigkeiten an. Die untere Randzeile gibt die Randverteilung des Merkmals Y in absoluten (bzw. relativen) Häufigkeiten an. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

11 Formale Definitionen Beobachtet werden zwei Merkmale X (mit Ausprägungen a 1,..., a k ) und Y (mit Ausprägungen b 1,..., b l ) an n Merkmalsträgern. Gemeinsame absolute Häufigkeit: H ij = Anzahl der beobachteten Merkmalsträger mit der Merkmalskombination (a i, b j ). Gemeinsame relative Häufigkeit: h ij = H ij n. l Absolute Randhäufigkeiten von X : H i = j=1 H ij Anzahl der beobachteten Merkmalsträger mit der Ausprägung a i für das Merkmal X. Relative Randhäufigkeiten von X : h i = H l i n = h ij. j=1 Analog absolute und relative Randhäufigkeiten von Y : k H j = H ij und h j = H k j n = h ij. i=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni i=1

12 Bedingte Verteilungen Ein Einschränken des Fokus auf eine Ausprägung des Merkmals Y führt zu einer sogenannten bedingten Verteilung (im Beispiel 2.9 z.b.: bedingte Verteilung der Teilnahme an Grippeschutzimpfung, gegeben man beschränkt sich auf an Grippe erkrankte Personen). Dies kann man für jede Ausprägung des Merkmals Y machen bedingte Verteilung des Merkmals X gegeben das Merkmal Y (immer in relativen Häufigkeiten). Im Beispiel 2.9: bedingte Verteilung des Merkmals X Teilnahme an Grippeschutzimpfung gegeben das Merkmal Y Grippeerkrankung Grippe keine Grippe Impfung = = keine Impfung = = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

13 Formalisierung Analog: bedingte Verteilung des Merkmals Y Grippeerkrankung gegeben das Merkmal X Teilnahme an Grippeschutzimpfung. Impfung keine Impfung Grippe keine Grippe Seien H ij bzw. h ij (i = 1,..., k; j = 1,..., l) die absoluten bzw. relativen gemeinsamen Häufigkeiten der Merkmale X und Y. Bedingte relative Häufigkeiten von X gegeben Y = b j : f X (a i b j ) = H ij H j = h ij h j (i = 1,..., k). Bedingte relative Häufigkeiten von Y gegeben X = a i : f Y (b j a i ) = H ij H i = h ij h i (j = 1,..., l). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

14 Graphische Darstellung der bedingten Verteilungen im Mosaikdiagramm (Beispiel 2.9) Mosaik-Diagramm Mosaik-Diagramm Impfung keine Impfung Grippe keine Grippe Impfung keine Impfung Grippe keine Grippe In Mosaikdiagrammen ist der Flächeninhalt der Balken proportional zu den relativen Häufigkeiten. Die Breite der Balken ist proportional zu den entsprechenden Randhäufigkeiten. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

15 Zusammenhang von Merkmalen (in Kontingenztafeln) Aus den bedingten Verteilungen und den Randverteilungen lassen sich die gemeinsamen Verteilungen zurück gewinnen. H ij = f X (a i b j ) H j = f Y (b j a i ) H i. h ij = f X (a i b j ) h j = f Y (b j a i ) h i. Wichtige Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen in dem Sinne, dass die konkrete Ausprägung eines Merkmals Einfluss auf die Verteilung des anderen Merkmals hat? Definition: Die Merkmale X und Y heißen unabhängig, wenn die bedingten Verteilungen des Merkmals Y gegeben X = a i für alle Ausprägungen a i des Merkmals X gleich (und gleich der Randverteilung von Y ) sind (vgl. Def. unabhängige Zufallsgrößen). Im Beispiel 2.9: Wären Teilnahme an Grippeschutzimpfung und Grippeerkrankung unabhängig, müssten sowohl bei den geimpften als auch bei den ungeimpften Personen ungefähr 30% an Grippe erkranken und 70% nicht. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

16 Hypothetische gemeinsame Häufigkeiten Seien H ij ( h ij ) die hypothetischen gemeinsamen absoluten (relativen) Häufigkeiten für die Merkmalskombination (a i, b j ), wenn man annimmt, dass die Merkmale X und Y unabhängig sind (bei gegebenen Randverteilungen). H ij = H f Y (b j a i ) =! h j H ij = H i h j = H i H j i n h ij = H ij n = H i h j n = h i h j. Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn die relativen gemeinsamen Häufigkeiten gleich dem Produkt der zugehörigen relativen Randhäufigkeiten sind (vgl. Def. unabhängige Zufallsgrößen). Je stärker die hypothetischen Häufigkeiten von den tatsächlichen gemeinsamen Häufigkeiten abweichen, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen den 2 Merkmalen (vgl. Statistik II). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

17 Visualisierung von zweidimensionalen metrisch skalierten Daten im Streudiagramm Beobachtet werden zwei quantitative Merkmale X und Y an n Merkmalsträgern. Urliste : Liste von Wertepaaren (x i, y i ) (i = 1,..., n). Diese Punkte können in ein kartesisches Koordinatensystem eingezeichnet werden. Beispiel 2.10 (Wirtschaftswachstum BIP in der BRD) X : vom Sachverständigenrat prognostiziertes Wachstum (in %). Y : tatsächliches Wachstum (in %). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

18 Daten und Streudiagramm Beispiel 2.10 Jahr X Y Jahr X Y Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

19 Beispiel 2.11 Studierende Statistik I für BW 2016 Streudiagramm Schuh- und Körpergrößen zusammen 50 Streudiagramm 47 Schuhgröße ,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 Körpergröße Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

20 Beispiel 2.11 Studierende Statistik I für BW 2016 Streudiagramm Schuh- und Körpergrößen getrennt Streudiagramm Geschlecht m w Schuhgröße ,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 Körpergröße Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

21 Beispiel 2.11 Studierende Statistik I für BW 2016 Mosaikdiagramm für Studienfach nach Geschlecht Mosaikdiagramm für Studienfach nach Geschlecht B&L Geschlecht m w BWL BWL RW M BWL WiW Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

22 1.4 Indexzahlen Einfache Indexzahlen (Messzahlen) Indizes (Indexzahlen, Indexzeitreihen) dienen z.b. zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung bestimmter Größen und werden häufig in der Wirtschaftsstatistik oder Ökonometrie angewandt. Einfache Indexzahlen beschreiben die Entwicklung einer Maßzahl über die Zeit. Zur besseren Vergleichbarkeit werden Werte so normiert, dass der Wert zur Basiszeit gleich 1 (100%) ist. x t0 : Maßzahl zur Basiszeit t 0, x t : Maßzahl zur Berichtszeit t I t0,t = x t x t0 ( 100) : einfache Indexzahl. Beispiel 2.12 Umsatz einer Firma (in Tausend Euro) Jahr t 0 =: t x t I t0,t Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

23 Umbasierung von Messzahlen Wechsel der Basiszeit: t 0 : alte Basiszeit; t 0 : neue Basiszeit. I t 0,t = x t ( 100) = x 1 x t t x t0 x t0 I t0,t ( 100) = x 1 x t 0 x t 0 t ( 100) = ( 100) 0 I x t0 t0,t x 0 t0 I t0,t 0 I t 0,t = I t0,t( 100) bzw. Eigenschaft ( ) heißt Verkettungseigenschaft. I t 0,t I t 0,t 0 = It 0,t I t0,t 0 ( ). Im Beispiel 2.12 Jahr t 0 = t = t x t I 0,t I 2,t z.b. I 2,6 = = = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

24 Verkettung von Messzahlen Gegeben seien eine alte Indexreihe I t0,1,..., I t0,s und eine neue I t 0,s,..., I t 0,r. Verschiedene Basiszeiten. Indexreihen überschneiden sich genau im Zeitpunkt s. Beispiel 2.13 Jahr t I 0,t I 5,t I 0,t I 5,t 62, , z.b. 168 = oder 70 = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni

25 Fortführung der alten Reihe und Rückrechnung der neuen Reihe Fortführung der alten Reihe für t > s : Idee: Multipliziere alle Werte I t 0,t der neuen Reihe mit dem gleichen Faktor c, so dass c I t 0,s = I t 0,s ist. c = I t 0,s I t 0,s I t0,t = I t 0,s I t 0,s I t 0,t. Rückrechnung der neuen Reihe für t < s : Idee: Multipliziere alle Werte I t0,t der alten Reihe mit dem gleichen Faktor c, so dass c I t0,s = I t 0,s ist. c = I t 0,s I t0,s I t 0,t = I t 0,s I t0,t. I t0,s Anmerkung: Entsteht I aus I durch Umbasieren, so führt die Verkettung von I und I wieder zur ursprünglichen Reihe. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 16. Juni