Formelsammlung Statistik

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1 Deskrptve Statstk Formelsammlug Statstk. Edmesoale Häugketsverteluge Merkmal: X Datemege (Stchprobe) vom Umfag N: x, x 2,..., x geordete Stchprobe: x (), x (2),..., x () mt x () x (2)... x () Auspräguge vo X (falls X cht stetges Merkmal): a, a 2,..., a m mt m N.. Häugkete Absolute Häugket: H(a ) für =,..., m Azahl des Vorkommes der Ausprägug a vom Merkmal X der Stchprobe. Fachberech Grudlagewsseschafte Prof. Dr. Vola Weÿ Es glt: 0 H(a ) für alle Auspräguge a H(a ) + H(a 2 ) H(a m ) =. Relatve Häugket: h(a ) = H(a ) für =,..., m Atel des Vorkommes der Ausprägug a vom Merkmal X der Stchprobe. Es glt: 0 h(a ) für alle Auspräguge a h(a ) + h(a 2 ) h(a m ) =...2 Summehäugkete (kumulatve Häugkete) Voraussetzug: De Auspräguge vom Merkmal X lasse sch der Gröÿe ach orde, d.h. a < a 2 <... < a m. Absolute Summehäugket: S(a ) = H(a ) + H(a 2 ) H(a ) = H(a k ) = H(a k ) für =,..., m. a k a k= Azahl des Vorkommes aller Auspräguge vom Merkmal X der Stchprobe, de kleer oder glech a sd. Es glt: 0 S(a ) S(a 2 )... S(a m ) =. Relatve Summehäugket: s(a ) = S(a ) = h(a ) + h(a 2 ) h(a ) = h(a k ) = h(a k ) für =,..., m. a k a k= Atel des Vorkommes aller Auspräguge vom Merkmal X der Stchprobe, de kleer oder glech a sd. Es glt: 0 s(a ) s(a 2 )... s(a m ) =.

2 ..3 Emprsche Vertelugsfukto F : R [0, ] mt F (x) = h(a ) = a x 0 x < a s(a ) a x < a 2 s(a 2 ) a 2 x < a 3 : s(a m ) a m x < a m a m x Egeschafte der emprsche Vertelugsfukto: Treppefukto mooto wachsed Sprugstelle (Ustetgketsstelle): Merkmalsauspräguge a,..., a m Sprughöhe a Sprugstelle a : relatve Häugket h(a ), =,..., m rechtssetg stetg..4 Mttelwerte. Modalwert: x D Ausprägug vom Merkmal X mt gröÿter vorkommeder Häugket der Stchprobe. (x D muÿ cht edeutg bestmmt se.) 2. Meda (Zetralwert): x Z Wert der Mtte der geordete Stchprobe, d.h. x Z = { x ( + 2 ) ugerade ( ) 2 x ( 2 ) + x ( 2 +) gerade (x Z muÿ cht mt eem Wert der Stchprobe überestmme.) 3. arthmetsches Mttel: x 4. geometrsches Mttel: x G x = (x + x x ) = = m H(a ) a = m h(a ) a x G = x... x = a H(a )... a H(am) m = a h(a )... a h(am) m, falls alle x, a > 0. Äquvalete Formel: lg x G = (lg x lg x ) 5. harmosches Mttel: x H Es glt: x H x G x. x H = x = x H(a ) a H(am) = a m h(a ) a x h(am) a m 2

3 ..5 Quatle α - Quatl für α (0, ): x α Auftelug der geordete Stchprobe bezüglch α 00%, d.h. mdestes α 00% der Date sd kleer oder glech x α ud mdestes ( α) 00% { der Date sd gröÿer oder glech x α. ) 2( x(α) + x (α+) α gazzahlg Berechugsvorschrft für x α : x α = α cht gazzahlg x ([α]+) [α] bedeutet gazzahlger Atel vo α, z.b. [5, 6] = 5. Es glt: x 0.5 = x Z. x 0.25, x 0.5, x 0.75 heÿe Quartle. x 0.75 x 0.25 heÿt Quartlsabstad...6 Streuugsmaÿe. Spawete: w = max{x,..., x } m{x,..., x } = x () x () 2. mttlere absolute Abwechug vo eem Mttelwert: d x = x x mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel d xz = x x Z mttlere absolute Abwechug vom Zetralwert aaloge Formel mt absolute oder relatve Häugkete, z.b.: d xz = m m a x Z H(a ) = a x Z h(a ) 3. Varaz ud Stadardabwechug: Varaz s 2 mttlere quadratsche Abwechug vom arthmetsche Mttel: s 2 = (x x) 2 = m (a x) 2 H(a ) = m (a x) 2 h(a ) Stadardabwechug: s = s 2 = (x x) 2 adere Berechugsvorschrft für s 2 : s 2 = ( ) x 2 (x) 2 4. Varatoskoezet: v = s x falls x Klasserte Date Klasseetelug der Date (Stchprobeumfag ) dsjukte Klasse K,..., K m mt Klassemtte x,..., x m ud absolute bzw. relatve Klassehäugkete der -te Klasse H(K ), h(k ), =,..., m. Da glt: x = m m x H(K ) = x h(k ) s 2 = m (x x) 2 H(K ) = m (x x) 2 h(k ) Adere Formel aalog mt x als Repräsetat für de -te Klasse K, =,..., m. 3

4 .2 Zwedmesoale Häugketsverteluge Merkmal X mt Auspräguge a,..., a p, p N Merkmal Y mt Auspräguge b,..., b q, q N Datemege (x, y ),..., (x, y ), N.2. Häugkete, bedgte Häugkete, Uabhäggket Häugkete: Absolute Häugket: Relatve Häugket: Absolute Radhäugket für X: Relatve Radhäugket für X: Absolute Radhäugket für Y : Relatve Radhäugket für Y : H(a, b j ) für =,..., p, j =,..., q Azahl des Vorkommes vo (a, b j ) der Stchprobe. h(a, b j ) = H(a, b j ) für =,..., p, j =,..., q H(a ) = H(a, b ) H(a, b q ) für =,..., p h(a ) = H(a ) = h(a, b ) h(a, b q ) für =,..., p H(b j ) = H(a, b j ) H(a p, b j ) für j =,..., q Radvertelug vo X: H(a ),..., H(a p ) bzw. h(a ),..., h(a p ) Radvertelug vo Y : H(b ),..., H(b q ) bzw. h(b ),..., h(b q ) Darstellug: Kotgeztabelle X h(b j ) = H(b j) = h(a, b j ) h(a p, b j ) für j =,..., q Y b... b q Zelesumme a H(a, b )... H(a, b q ) H(a ) a 2 H(a 2, b )... H(a 2, b q ) H(a 2 ).... a p H(a p, b )... H(a p, b q ) H(a p ) Spaltesumme H(b )... H(b q ) Bedgte Häugkete: h(a b j ) = H(a, b j ) H(b j ) = h(a, b j ) h(b j ) =,..., p, j =,..., q ud H(b j ) 0 Relatve Häugket für das Auftrete der Ausprägug a uter der Bedgug, daÿ Y de Ausprägug b j ammt. h(b j a ) = H(a, b j ) H(a ) = h(a, b j ) h(a ) =,..., p, j =,..., q ud H(a ) 0 Relatve Häugket für das Auftrete der Ausprägug b j uter der Bedgug, daÿ X de Ausprägug a ammt. Emprsche Uabhäggket vo zwe Merkmale: Zwe Merkmale heÿe emprsch uabhägg, we für alle =,..., p ud j =,..., q glt: H(a, b j ) = H(a ) H(b j ) bzw. h(a, b j ) = h(a ) h(b j ). 4

5 .2.2 Zusammehagsmaÿe. Kotgezkoezet ach Pearso (für omale Merkmale X ud Y ): χ C = 2 χ 2 mt + χ 2 = p j= q (H(a, b j ) Ĥ(a, b j )) 2 Ĥ(a, b j ) ud Ĥ(a, b j ) = H(a ) H(b j ). Es glt: X,Y emprsch uabhägg χ 2 = 0 C = 0. Je stärker de Abhäggket vo X ud Y st, desto gröÿer st C. m(p, q) 0 C < m(p, q) Korrgerter Kotgezkoezet: C korr = C m(p, q) mt C max = C max m(p, q) Für C korr glt 0 C korr.. 2. Korrelatoskoezet ach Pearso (für metrsche Merkmale X ud Y ): Maÿzahl für de Stärke des leare Zusammehags vo X ud Y : r XY = Cov(X, Y ) s X s Y = Cov(X, Y ) = (x x)(y y) mt (x x) 2 (y y) 2 (x x)(y y) = emprsche Kovaraz der Merkmale X ud Y ud s X, s Y Stadardabwechug vo X bzw. Y Es glt: r XY ( ) x y x y X,Y emprsch uabhägg = Cov(X, Y ) = 0 = r XY = 0. Umkehrug glt cht, d.h. r XY = 0 X, Y emprsch uabhägg. r XY > 0: Je gröÿer r XY, desto stärker st der leare Zusammehag zwsche X, Y. Der leare Zusammehag hat postve Asteg, wachsede Werte für X bedeute ebefalls wachsede Werte für Y. (Aalog für r XY < 0, da hat der leare Zusammehag egatve Asteg.) 3. Ragkorrelatoskoezet ach Spearma (für ordale Merkmale X ud Y ): r SP = 6 (R R )2 ( )( + ) R Postosummer vo x der geordete Stchprobe x ()... x () ud R Postosummer vo y der geordete Stchprobe y ()... y () mt 5

6 Es glt: r SP r SP > 0: Je gröÿer r SP, desto stärker st der Zusammehag zwsche X, Y, wobe zu wachsede Ragzahle R vo X auch wachsede Ragzahle R vo Y gehöre. (Aalog für r SP < 0, da gehöre zu wachsede Ragzahle R vo X fallede Ragzahle R vo Y.).2.3 Regressosaalyse Hwes: Das - Zeche steht alle Formel für.. Gerade (y-x Regresso): ŷ = a + bx a = x 2 y x (x y ) x 2 ( x ) 2 = y x 2 x (x y ) ( )s 2 X b = (x y ) x y x 2 ( x ) 2 = Cov(X, Y ) s 2 X 2. Gerade (x-y Regresso): ˆx = a + b y a = y 2 x y (x y ) y 2 ( y ) 2 = x y 2 y (x y ) ( )s 2 Y b = (x y ) x y y 2 ( y ) 2 = Cov(X, Y ) s 2 Y Es glt: De leare y-x ud x-y Regressosfuktoe schede sch m Pukt (x, y). Verwedete Formel: x = x ud y = y s 2 X = 3. Parabel: ŷ = a + bx + cx 2 (x x) 2 ud s 2 Y = Cov(X, Y ) = (x x)(y y) a, b ud c sd Lösug des leare Glechugssystems: y = a + b x + c x 2 (y y) 2 x y = a x + b x 2 + c x 3 x 2 y = a x 2 + b x 3 + c x 4 4. Potezfukto: ŷ = a x b log a = (log x ) 2 log y log x (log x log y ) (log x ) 2 ( log x ) 2 b = (log x log y ) log x log y (log x ) 2 ( log x ) 2 6

7 5. Expoetalfukto: ŷ = a b x, b > 0 log a = x 2 log y x (x log y ) x 2 ( x ) 2 log b = (x log y ) x log y x 2 ( x ) 2 6. Logstsche Fukto: ŷ = k, b < 0 mt bekater Sättgugsgreze k + ea+bx a = x 2 l( k y ) x (x l( k y )) x 2 ( x ) 2 b = (x l( k y )) x l( k y ) x 2 ( x ) 2 Bestmmthetsmaÿ: B = (ŷ y) 2 mt ŷ = f(x ) für de Regressosfukto f. (y y) 2 Be deser Deto vo B muÿ de Regressosfukto f vo eem der obe geate Fuktostype se (lear de Regressosparameter). Es glt: 0 B B beschrebt de Atel der Varaz der Stchprobe, der durch de gewählte Regressosfukto erklärt wrd. D.h. je gröÿer B st, umso besser st der gewählte Fuktostyp geeget zur Beschrebug des Zusammehags vo X ud Y. Be learer Regresso glt B = r 2 XY..3 Zetrehe Metrsches Merkmal X, Beobachtugszetpukte t,..., t Stchprobe (t, x ),..., (t, x ) Kompoete eer Zetrehe: Tred T kojukturelle Kompoete K Sasokompoete S Restkompoete R verefachte Modelle: addtves Modell X = T + S multplkatves Modell X = T S 7

8 .3. Methode der Tredermttlug. Regresso Formel sehe Regressosaalyse be zwedmesoale Häugketsverteluge, z.b. Gerade: ˆx = a + bt a = t 2 x t (t x ) t 2 ( t ) 2 b = (t x ) t x t 2 ( t ) 2 Hwese: Auf Trasformato der Zetpukte achte! Das - Zeche steht alle Formel für 2. Glättug durch gletede Durchschtte Ordug: Azahl beachbarter Werte der Zetrehe, aus dee das arthmetsche Mttel gebldet wrd. ugerade Ordug, d.h. j = 3, 5, 7,...: j (x x j ) j (x x j+ ).. j (x j x ) Aus Werte der Zetrehe ergebe sch ach dem Glätte mt ugerader Ordug j och j + Werte. gerade Ordug, d.h. j = 2, 4, 6,...: j ( 2 x + x x j + 2 x j+) j ( 2 x 2 + x x j+ + 2 x j+2).. j ( 2 x j + x j x + 2 x ) Aus Werte der Zetrehe ergebe sch ach dem Glätte mt gerader Ordug j och j Werte. 3. Expoetelles Glätte Expoetelles Glätte. Ordug mt Startwert x ud Glättugsfaktor α (0, ):. x t = αx t + ( α) x t für t = 2,..., Wahl des Startwertes x z.b. x = x. Auswrkug des Glättugsfaktors α: α dcht be = starke Brückschtgug jügerer Werte der Zetrehe, α dcht be 0 = starke Brückschtgug älterer Werte der Zetrehe. Erstellug kurzfrstger Progose: x = x + = αx + ( α) x 8

9 .3.2 Ermttlug der Sasokompoete Ausgagspukt: Gegebe: Bezechuge: Zetrehe mt perodsche sasoale Eüsse Beobachtugswerte vo X für P Perode mt je k Uterzeträume z.b. P Jahre mt je 2 Moate oder je 4 Quartale x p,j Beobachtugswert für de j-te Uterzetraum der p-te Perode, p =,..., P, j =,..., k ˆx p,j Tredwert für de j-te Uterzetraum der p-te Perode, p =,..., P, j =,..., k (ermttelt z.b. durch Regresso) Sasokompoete s p,j für de j-te Uterzetraum der p-te Perode, p =,..., P, j =,..., k: für addtves Modell: s p,j = x p,j ˆx p,j, für multplkatves Modell: s p,j = x p,j ˆx p,j. mttlere Sasokompoete s j für de j-te Uterzetraum, j =,..., k: s j = P (s,j s P,j ) Progosewert x P +,j für de j-te Uterzetraum Perode P +, j =,..., k: für addtves Modell: x P +,j = ˆx P +,j + s j, für multplkatves Modell: x P +,j = ˆx P +,j s j. 9

10 .4 Idexzahle Hwes: Das - Zeche steht alle Formel für. Dabe bezechet de Azahl der betrachtete Güter. Idex ach Presdex Megedex LASPEYRES I P LA;t 0,t = p (t) q (0) (0) p q (0) (t) q ILA;t M 0,t = p (0) (0) q p (0) PAASCHE (t) p IP P A;t 0,t = (0) p q (t) q (t) (t) q IP M A;t 0,t = (0) q p (t) p (t) LOWE (t) p ILO;t P 0,t = q I (0) LO;t M 0,t p q = q (t) p (0) q p FISHER I P F ;t 0,t = I P LA;t 0,t IP P A;t 0,t I M F ;t 0,t = I M LA;t 0,t IM P A;t 0,t Dabe bedeute für =,..., q (0) : Mege des Gutes der Bassperode t 0, q (t) : Mege des Gutes der Berchtsperode t, p (0) : Pres des Gutes der Bassperode t 0, p (t) : Pres des Gutes der Berchtsperode t. Hwes zu de Gröÿe q ud p de Formel vo LOWE, =,..., : q = t + p = t + t k=0 t k=0 q (k) p (k) (arthmetsches Mttel der Werte der Perode 0 bs t), (arthmetsches Mttel der Werte der Perode 0 bs t). 0

11 2 Wahrschelchketsrechug 2. Zufällge Eregsse ud Wahrschelchkete Zufallsexpermet: Expermet, desse möglche Versuchsausgäge bekat sd, desse kokretes Ergebs aber cht vorhersagbar st. Grudraum Ω: Mege aller möglche Versuchsausgäge ees Zufallsexpermets. Zufällges Eregs A: Telmege vom Grudraum, d.h. A Ω. Das zufällge Eregs A trtt e be Durchführug des Zufallsexpermetes, we der kokrete Versuchsausgag ω zu A gehört, d.h. ω A. Elemetareregs: {ω}, eelemetge Telmege vo Ω, {ω} Ω, scheres Eregs: Ω, trtt mmer e be Durchführug des Zufallsexpermetes, Ω Ω, umöglches Eregs:, trtt e e be Durchführug des Zufallsexpermetes, Ω. Zufällge Eregsse sd Mege! Übertragug vo Operatoe für Mege auf zufällge Eregsse: A B A zeht B ach sch, d.h., we A etrtt, da trtt auch B e. C = A B Summe der Eregsse A ud B, d.h. C trtt geau da e, we mdestes es der Eregsse A, B etrtt. Aalog für C = A... A. D = A B Produkt der Eregsse A ud B, d.h. D trtt geau da e, we bede Eregsse A, B egetrete sd. Aalog für D = A... A. E = A \ B Derez der Eregsse, d.h. E trtt geau da e, we A etrtt ud B cht etrtt. De Derez st cht kommutatv, d.h. A \ B B \ A. A = Ω \ A komplemetäres Eregs (Gegeeregs), d.h. A trtt geau da e, we A cht etrtt. Es glt: A A = Ω, A A =, (A) = A, A B = A B, A B = A B, A \ B = A B, (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Zwe Eregsse A ud B heÿe dsjukt (uverebar), we se cht glechzetg etrete köe, d.h. A B =. Das Megesystem F heÿt Eregsfeld zum Grudraum Ω, we glt:. Ω F. 2. We A F = A F. 3. We A, B F = A B F. (We A, A 2,... F =. Klasssche Deto der Wahrschelchket (Laplace): A F). Voraussetzuge Laplace-Przp: Edlcher Grudraum Ω = {ω,..., ω } bestehed aus möglche Versuchsausgäge ud alle Versuchsausgäge sd glechberechtgt hschtlch der Chace hres Etretes be Durchführug des Zufallsexpermetes. Da glt für k ud A = {ω,..., ω k } Ω

12 P (A) = k Azahl güstger Fälle für das Etrete vo A = Azahl aller möglche Fälle. Damt glt für de Elemetareregsse: P ({ω }) =... = P ({ω }) =. Awedug: Uremodell Aus eer Ure mt N Kugel, wobe M der Kugel weÿ ud N M schwarz sd, werde Kugel ohe Zurücklege gezoge, M N, N. Es se A k das zufällge Eregs, daÿ geau k weÿe Kugel gezoge werde, k ud k M. Da glt: P (A k ) = ( M k ) ( ) N M k ( ). N 2. Statstsche Deto der Wahrschelchket (vo Mses): Azahl der Durchführuge ees Zufallsexpermetes, m Azahl des Etretes ees zufällge Eregsses A, m, h (A) = m relatve Häugket für das Etrete vo A. Statstsche Wahrschelchket für A: P (A) = lm h (A). 3. Axomatsche Deto der Wahrschelchket (Kolmogorov): Für ee Grudraum Ω mt Eregsfeld F heÿt de Fukto P : F [0, ], de jedem A F ee reelle Zahl P (A) zuordet, Wahrschelchket (Wahrschelchketsmaÿ), we glt: Axom : 0 P (A) für alle A F. Axom 2: P (Ω) =. Axom 3: Axom 3a: Für A, B F mt A B = glt P (A B) = P (A) + P (B) (Addtvtät). Für A, A 2,... F mt A A j = für alle j glt P (A A 2...) = P (A ) + P (A 2 ) +... (σ-addtvtät). Das Trpel [Ω, F, P ] heÿt Wahrschelchketsraum. Aus de Axome werde wetere Egeschafte vo P abgeletet:. P ( ) = 0, 2. P (A) = P (A) für alle A F, 3. P (A) P (B) für A, B F mt A B, 4. P (B \ A) = P (B) P (A B) für alle A, B F ud P (B \ A) = P (B) P (A) für A, B F mt A B, 5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) für alle A, B F, 6. P (A) = P ({ω }) P ({ω k }) für A F mt A = {ω,..., ω k } Bedgte Wahrschelchket: Es se [Ω, F, P ] e Wahrschelchketsraum ud A, B F see zwe zufällge Eregsse mt P (B) > 0. Da st de bedgte Wahrschelchket des Etretes vo A uter der Bedgug B 2

13 P (A B) gegebe durch P (A B) = P (B). Multplkatossatz: Für zwe Eregsse A, B glt: P (A B) = P (A B) P (B) = P (B A) P (A). Für Eregsse A,..., A glt: P (A... A ) = P (A ) P (A 2 A ) P (A 3 A A 2 )... P (A A...A ). Uabhäggket vo zufällge Eregsse: Zwe Eregsse A, B heÿe stochastsch uabhägg, we glt P (A B) = P (A) P (B). De Eregsse A,..., A heÿe vollstädg uabhägg, we für jede Telmege bestehed aus k Eregsse A,...A k, 2 k,,..., k {,..., } glt P (A... A k ) = P (A )... P (A k ). Formel der totale Wahrschelchket: Es se A,..., A e vollstädges System zufällger Eregsse, d.h. A... A = Ω, A A j = für alle, j {,..., } mt j ud P (A ) > 0 für alle =,...,. Da glt für das Eregs B F P (B) = P (B A ) P (A ) P (B A ) P (A ). Formel vo Bayes: Uter obge Voraussetzuge glt für B F mt P (B) > 0 ud für =,..., P (A B) = P (B A ) P (A ) P (B) = P (B A ) P (A ) k= P (B A k) P (A k ). 2.2 Zufallsgröÿe ud hre Verteluge Zufallsgröÿe: Ee Zufallsgröÿe X : Ω R st ee Fukto, de jedem Versuchsausgag ω Ω ee reelle Zahl X(ω) zuordet. (Auÿerdem muÿ für alle t R gelte X ((, t]) F.) Vertelugsfukto: Für ee Zufallsgröÿe X heÿt de Fukto F X : R [0, ] mt F X (x) = P (X x) Vertelugsfukto der Zufallsgröÿe X. 3

14 De Vertelugsfukto F X hat folgede Egeschafte: lm F X(x) = 0, lm F X(x) =. x x F X st mooto wachsed. F X st rechtssetg stetg. Umgekehrt st jede Fukto mt dese Egeschafte Vertelugsfukto eer Zufallsgröÿe Dskrete Zufallsgröÿe Ee Zufallsgröÿe X heÿt dskret, we X edlch vele Realseruge x,..., x oder abzählbar uedlch vele Realseruge x, x 2,... hat. Vertelug vo X: P (X = x ) = p,..., P (X = x ) = p mt p p = bzw. P (X = x ) = p, P (X = x 2 ) = p 2,... mt p + p = Vertelugsfukto vo X: F X (x) = P (X x) = k:x k x p k De Vertelugsfukto eer dskrete Zufallsgröÿe st ee Treppefukto mt Sprugstelle x, x 2,... ud Sprughöhe p k a Sprugstelle x k für k =,..., bzw. k =, 2,... Erwartugswert EX vo X: EX = x k P (X = x k ) = k= (EX exstert, we x k p k bzw. EX = k= x k P (X = x k ) = k= x k p k <.) Varaz (Streuug) Var(X) vo X: k= Var(X) = E(X EX) 2 = (x k EX) 2 P (X = x k ) = k= Adere Berechugsvorschrft: Var(X) = x 2 k p k (EX) 2. Aaloge Formel, we X abzählbar uedlch vele Werte aehme ka. Stadardabwechug: Var(X) k= x k p k k= (x k EX) 2 p k k= Stetge Zufallsgröÿe Ee Zufallsgröÿe X heÿt stetg, falls sch de Vertelugsfukto F X schrebe läÿt als: F X (x) = x f X (t)dt, wobe f X ee reellwertge chtegatve Fukto st. Ma et da f X Dchte der Zufallsgröÿe X. 4

15 De Dchte f X hat folgede Egeschafte: f X (t)dt = F X (x) = f X(x) für alle Stetgketsstelle x vo F X. Für x < x 2 glt: P (x < X x 2 ) = P (X x 2 ) P (X x ) = F X (x 2 ) F X (x ) = x 2 f X (t)dt Erwartugswert EX vo X: EX = x f X (x)dx x Varaz Var(X) vo X: Var(X) = (Erwartugswert ud Varaz exstere, falls Stadardabwechug: Var(X) (x EX) 2 f X (x)dx x f X (x)dx <.) Quatle x q vo X: Für ee stetge Zufallsgröÿe X mt Vertelugsfukto F X ud Dchte f X ud für q mt 0 < q < heÿt de reelle Zahl x q Quatl der Ordug q (q-quatl), we glt: F X (x q ) = P (X x q ) = Für q = 0.5 heÿt das 0.5-Quatl x 0.5 Meda vo X. x q f X (t)dt = q. Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz dskreter ud stetger Zufallsgröÿe: Für zwe Zufallsgröÿe X, Y ud reelle Zahle a, b R glt: E(aX + b) = aex + b, Var(aX + b) = a 2 Var(X), E(X + Y ) = EX + EY. Für zwe uabhägge Zufallsgröÿe X, Y glt auÿerdem: E(X Y ) = EX EY, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Spezelle dskrete Zufallsgröÿe. Dskrete Glechvertelug auf x,..., x P (X = x ) =... = P (X = x ) = Erwartugswert: EX = (x x ) Varaz: Var(X) = (x x2 ) 2 (x x ) 2 5

16 2. Hypergeometrsche Vertelug Parameter M, N, N mt M N ud N ( ) ( ) M N M k k P (X = k) = ( ) N für k = 0,,..., mt k M ud k + M N Erwartugswert: EX = M N Varaz: Var(X) = M N ( M N Schrebwese: X H(N; M; ) ) ( N ) Modell: Aus eer Ure mt N Kugel, vo dee M weÿ ud N M schwarz sd, werde ach dem Laplace-Przp Kugel etomme (ohe Zurücklege). De Zufallsgröÿe X, de de Azahl etommeer weÿer Kugel zählt, st hypergeometrsch vertelt. 3. Bomalvertelug Parameter N ud p [0, ] Erwartugswert: P (X = k) = EX = p ( k Varaz: Var(X) = p ( p) Schrebwese: X B(; p) ) p k ( p) k für k = 0,,..., Modell: E zufällges Eregs A trtt mt Wahrschelchket p be Durchführug ees Zufallsexpermets e. Deses Expermet wrd mal uabhägg voeader uter gleche Bedguge durchgeführt. De Zufallsgröÿe X, de zählt, we oft das Eregs A etrtt, st bomalvertelt. Deses Modell etsprcht dem Uremodell ud Zehe vo Kugel mt Zurücklege. Zusammehag Bomalvertelug - hypergeometrsche Vertelug: Für M N M 0 ud 0 ka ma de Bomalvertelug mt p = M N hypergeometrsche Vertelug verwede. 4. Posso-Vertelug Parameter λ > 0 Erwartugswert: Varaz: Schrebwese: EX = λ Var(X) = λ X Π(λ) P (X = k) = λk k! e λ für k = 0,,... als Näherug für de Awedug: Ma betrachtet Eregsse, de uabhägg voeader etrete, z.b Telefoarufe eer Zetrale, zerfallede Atomkere eer radoaktve Substaz, Verkehrsufälle a eer Kreuzug. Im Mttel trete λ solcher Eregsse eem Zetraum e. De Zufallsgröÿe X, de de Azahl etreteder Eregsse zählt, st posso-vertelt. Zusammehag Bomalvertelug - Possovertelug: Für groÿes ud klees p (Faustregel: 00, p 9) ka ma de Posso-Vertelug mt Parameter λ = p als Näherug für de Bomalvertelug verwede. 6

17 5. Geometrsche Vertelug Parameter p (0, ) P (X = k) = ( p) k p für k =, 2,... Erwartugswert: EX = p Varaz: Var(X) = p p 2 Modell: E zufällges Eregs A trtt mt Wahrschelchket p be Durchführug ees Zufallsexpermets e. De Zufallsgröÿe X, de de Versuche bs zum erste Etrete vo A zählt, st geometrsch vertelt Spezelle stetge Zufallsgröÿe. Stetge Glechvertelug m Itervall [a, b] 0 x < a oder b x Dchte f X (x): f X (x) = a x < b b a 0 x < a x a Vertelugsfukto F X (x): F X (x) = a x < b b a b x Erwartugswert: Varaz: EX = a+b 2 Var(X) = (b a) Normalvertelug Parameter µ R ud σ > 0 Dchte f X (x): f X (x) = σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 Erwartugswert: EX = µ Varaz: Var(X) = σ 2 Stadardabwechug: σ Schrebwese: X N(µ, σ) oder X N(µ, σ 2 ) De zugehörge Vertelugsfukto F X (x) = Φ µ,σ 2(x) ka cht explzt agegebe werde. Wchtger Spezalfall: µ = 0 ud σ 2 =. N(0, ) heÿt Stadardormalvertelug. De Vertelugsfukto Φ 0, der Stadardormalvertelug st tabellarscher Form gegebe (sehe Kaptel 4). ( ) x µ Es glt folgeder Zusammehag: Φ µ,σ 2(x) = Φ 0,. σ Für de Stadardormalvertelug glt: Φ 0, ( x) = Φ 0, (x) für alle x R. 7

18 Berechug vo Wahrschelchkete für X N(µ, σ 2 ): P (X x) = Φ µ,σ 2(x) = Φ 0, ( x µ σ ) P (X x) = P (X x) = Φ µ,σ 2(x) = Φ 0, ( x µ σ ) = Φ 0,( µ x σ ) P (a X b) = P (X b) P (X a) = = Φ µ,σ 2(b) Φ µ,σ 2(a) = Φ 0, ( b µ σ ) Φ 0,( a µ σ ) Awedug: Ee Zufallsgröÿe X, de z.b. zufällge Meÿ- ud Beobachtugsfehler oder zufällge Gröÿe-, Läge-, Gewchtsagabe oder zufällge Abwechuge vo eem Sollwert beschrebt, st ormalvertelt. 3. Expoetalvertelug Parameter a > 0 Dchte f X (x): f X (x) = { 0 x 0 ae ax x > 0 { Vertelugsfukto F X (x): F X (x) = 0 x 0 e ax x > 0 Erwartugswert: EX = a Varaz: Var(X) = a 2 Schrebwese: X exp(a) Awedug: Ee Zufallsgröÿe X, de z.b. de Lebesdauer vo Bauelemete oder de Bedezet vo Kude oder Reparaturzete oder Zerfallszete radoaktver Substaze beschrebt, st expoetalvertelt. 8

19 3 Iduktve Statstk 3. Parameterschätzuge Mathematsche Stchprobe: (X,...X ) uabhägg detsch vertelte Zufallsgröÿe Kokrete Stchprobe: (x,..., x ) R Realseruge der Zufallsgröÿe Schätzfukto: T (X,..., X ) (oder Stchprobefukto) (T (X,..., X ) st ee eue Zufallsgröÿe mt Wert T (x,..., x ) be kokreter Stchprobe (x,..., x ).) 3.. Puktschätzuge Zel: Schätzug ees ubekate Parameters ϑ der Vertelug vo X,..., X durch ee geegete Stchprobefukto T (X,..., X ), de gewsse Gütekrtere (sehe Vorlesug, Lteratur) geügt. Spezelle Puktschätzer: Schätzug für de Erwartugswert der X,..., X : X = X Schätzug für de Varaz der X,..., X : S 2 = (X X) 2 Für X 0--vertelt, d.h. P (X = ) = p ud P (X = 0) = p für =,..., Schätzug für de Wahrschelchket p vo X : ˆP = X Berechug des kokrete Schätzwertes x, s 2, ˆp durch Esetze der Werte x,..., x der kokrete Stchprobe de jewelge Schätzfukto X, S 2, ˆP Itervallschätzuge Zel: Bestmme vo Zufallsgröÿe G u (X,..., X ) ud G o (X,..., X ), so daÿ für de ubekate Parameter ϑ glt: P (G u (X,..., X ) ϑ G o (X,..., X )) = α, 0 < α <. Da heÿt: [G u ; G o ] zwesetges Kodeztervall α Kodezveau α Irrtumswahrschelchket Mt eer Wahrschelchket vo α überdeckt das Kodeztervall [G u ; G o ] de ubekate Parameter ϑ. Esetge Kodeztervalle: ( ; G o ) mt P (ϑ G o (X,..., X )) = α bzw. (G u ; ) mt P (ϑ G u (X,..., X )) = α 9

20 Spezelle zwesetge Kodeztervalle: für Stchprobeumfag ud Kodezveau α Kodeztervall für de Erwartugswert µ eer Normalvertelug be bekater Varaz σ 2 : [ X z α 2 σ ; X + z α 2 ] σ Dabe st z α das ( α 2 2 )-Quatl der Stadardormalvertelug (sehe Kaptel 4) ud X = X. Kodeztervall für de Erwartugswert µ eer Normalvertelug be ubekater Varaz σ 2 : [ X t, α 2 S ; X + t, α 2 ] S Dabe st t, α das ( α 2 2 )-Quatl der t-vertelug mt Frehetsgrade (sehe Kaptel 4) ud X = X ud S 2 = (X X) 2. Asymptotsches Kodeztervall für de Wahrschelchket p eer 0--Vertelug (d.h. P (X = ) = p, P (X = 0) = p): ˆP z α 2 ˆP ( ˆP ) ; ˆP + z α 2 ˆP ( ˆP ) Voraussetzug: ˆp( ˆp) > 9 Dabe st z α das ( α 2 2 )-Quatl der Stadardormalvertelug (sehe Kaptel 4) ud ˆP = X. 3.2 Parametertests 3.2. Schrtte zur Durchführug ees Parametertests für ee ubekate Parameter ϑ. Aufstelle der Nullhypothese H 0 mt ϑ 0 R Zwesetger Test: H 0 : ϑ = ϑ 0 Alteratvhypothese H : ϑ ϑ 0 Esetger Test: H 0 : ϑ ϑ 0 bzw. H 0 : ϑ ϑ 0 Alteratvhypothese H : ϑ > ϑ 0 bzw. ϑ < ϑ 0 2. Wähle des Sgkazveaus α (α (0, ) Irrtumswahrschelchket, Wahrschelchket für das Ablehe der Nullhypothese H 0, obwohl H 0 wahr st) 3. Auswahl eer geegete Testgröÿe T (X,..., X ) (Stchprobefukto) für de ubekate Parameter ϑ, dere Vertelug uter H 0 bekat st. 20

21 4. Bestmme vo c u, c o ( Abhäggket vo α) mt P (c u T c o ) H0 = α (zwesetger Test) ud damt Festlegug vom krtsche Berech K = (, c u ) (c o, ) Esetger Test: c mt P (T c) H0 = α bzw. P (T c) H0 = α ud krtscher Berech K = (c, ) bzw. K = (, c) 5. Berechug des Wertes der Testgröÿe T (x,..., x ) = ˆt R aus der kokrete Stchprobe. Testetschedug: ˆt K = ˆt K = H 0 wrd abgeleht. gege H 0 st auf Grud deser Stchprobe chts ezuwede. Fehlerquelle: Fehler. Art - Nullhypothese H 0 wrd abgeleht, obwohl se wahr st. Fehler 2. Art - Nullhypothese H 0 wrd cht abgeleht, obwohl se falsch st Spezelle Parametertests: Test für de ubekate Erwartugswert µ eer ormalvertelte Zufallsgröÿe be bekater Varaz σ 2 (Gauÿ-Test) Nullhypothese Alteratv- Testgröÿe Krtscher Berech hypothese H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 T = X µ 0 σ K = ( ; z α 2 ) (z α 2 ; ) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 T = X µ 0 σ K = ( ; z α ) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 T = X µ 0 σ K = (z α ; ) 2

22 Test für de ubekate Erwartugswert µ eer ormalvertelte Zufallsgröÿe be ubekater Varaz σ 2 (efacher t-test) Nullhypothese Alteratv- Testgröÿe Krtscher Berech hypothese H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 T = X µ 0 s K = ( ; t, α 2 ) (t, α 2 ; ) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 T = X µ 0 s K = ( ; t, α ) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 T = X µ 0 s K = (t, α ; ) Test für de ubekate Wahrschelchket p eer 0--Vertelug (Voraussetzug : p 0 ( p 0 ) > 9) Nullhypothese Alteratv- Testgröÿe Krtscher Berech hypothese H 0 : p = p 0 H : p p 0 T = p 0 ( p 0 ) ( ˆP p 0 ) K = ( ; z α 2 ) (z α 2 ; ) H 0 : p p 0 H : p < p 0 T = p 0 ( p 0 ) ( ˆP p 0 ) K = ( ; z α ) H 0 : p p 0 H : p > p 0 T = p 0 ( p 0 ) ( ˆP p 0 ) K = (z α ; ) 22

23 4 Tabelle 4. Vertelugsfukto der Stadardormalvertelug Φ 0, (x) = P (X x) = 2π x e t2 2 dt Hwese: Für x < 0 st Φ 0, (x) = Φ 0, ( x) zu verwede. Für x > 3, 9 st Φ 0, (x) = zu setze. x 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0, , ,5388 0, , 0, , , ,5572 0, , , , ,5742 0, ,2 0, ,5837 0, , , ,5987 0, , ,6026 0,6409 0,3 0,679 0,6272 0, , , , , ,6443 0, ,6573 0,4 0, ,6590 0, , , , , , , , ,5 0,6946 0, , ,7094 0, , ,7226 0,7566 0,7904 0, ,6 0, , , , ,7389 0,7425 0, , ,7575 0, ,7 0, ,765 0, , , , , , , , ,8 0,7884 0,7903 0, , , , ,805 0, ,8057 0,8327 0,9 0,8594 0,8859 0,822 0,8238 0, , ,8347 0, , ,8389,0 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,8624, 0, , , , , , , , ,8800 0,88298,2 0, , , , ,8925 0, ,8967 0, , ,9047,3 0, , , , , ,949 0,9308 0,9466 0,962 0,9774,4 0,9924 0, , , , , , , , ,9389,5 0,9339 0, , , , , , ,9479 0, ,94408,6 0, , , , , , ,9554 0, , ,95449,7 0, , , ,9588 0, , , ,9664 0, ,96327,8 0, , , , ,9672 0, , , , ,97062,9 0,9728 0,9793 0, , ,9738 0,9744 0, , ,9765 0, ,0 0, , ,9783 0, , , , , ,9824 0,9869 2, 0,9824 0, , ,9834 0, , ,9846 0, , , ,2 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , , ,3 0, , , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958 2,4 0,9980 0, , , , , , , , ,9936 2,5 0, , ,9943 0, , ,9946 0, , , , ,6 0, , , , , , , ,9962 0, , ,7 0, , , , , , ,997 0, , , ,8 0, , , , , ,9978 0, , ,9980 0, ,9 0,9983 0,9989 0, ,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986 3,0 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0, , ,9993 0, , , , , , ,

24 4.2 Quatle z q der Stadardormalvertelug Hwes: Für q < 0, 5 st z q = z q zu verwede. q z q q z q q z q 0,5 0 0,9, ,975, ,55 0,2566 0,92, ,98 2, ,6 0, ,93, ,985 2, ,65 0, ,94, ,99 2, ,7 0, ,95, ,995 2, ,75 0, ,955, ,999 3, ,8 0,8462 0,96, ,9995 3, ,85, ,965,89 0,9999 3,7906 0,9, ,97, Quatle t,q der t-vertelug ( - Zahl der Frehetsgrade) q = 0, 9 q = 0, 95 q = 0, 975 q = 0, 99 q = 0, 995 q = 0, 999 q = 0, ,08 6,3 2,7 3,82 63,66 38,3 636,62 2,89 2,92 4,30 6,96 9,92 22,33 3,60 3,64 2,35 3,8 4,54 5,84 0,2 2,92 4,53 2,3 2,78 3,75 4,60 7,7 8,6 5,48 2,02 2,57 3,36 4,03 5,89 6,87 6,44,94 2,45 3,4 3,7 5,2 5,96 7,4,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,4 8,40,86 2,3 2,90 3,36 4,50 5,04 9,38,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78 0,37,8 2,23 2,76 3,7 4,4 4,59,36,80 2,20 2,72 3, 4,02 4,44 2,36,78 2,8 2,68 3,05 3,93 4,32 3,35,77 2,6 2,65 3,0 3,85 4,22 4,35,76 2,4 2,62 2,98 3,79 4,4 5,34,75 2,3 2,60 2,95 3,73 4,07 6,34,75 2,2 2,58 2,92 3,69 4,0 7,33,74 2, 2,57 2,90 3,65 3,97 8,33,73 2,0 2,55 2,88 3,6 3,92 9,33,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20,33,72 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 2,32,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22,32,72 2,07 2,5 2,82 3,50 3,79 23,32,7 2,07 2,50 2,8 3,48 3,77 24,32,7 2,06 2,49 2,80 3,47 3,75 25,32,7 2,06 2,49 2,79 3,45 3,73 26,3,7 2,06 2,48 2,78 3,43 3,7 27,3,70 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28,3,70 2,05 2,47 2,76 3,4 3,67 29,3,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 30,3,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40,30,68 2,02 2,42 2,70 3,3 3,55 50,30,68 2,0 2,40 2,68 3,26 3,50 00,29,66,98 2,36 2,63 3,7 3,39 500,28,65,96 2,33 2,59 3, 3,3 000,28,65,96 2,33 2,58 3,0 3, ,28,65,96 2,33 2,58 3,09 3,29 24