Numerik und wissenschaftliches Rechnen

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1 Dr. Alexnder Veit Institut für Mthemtik Universität Zürich Numerik und wissenschftliches Rechnen Alexnder Veit Frühlingssemester 2013 Version: 11. April

2 Inhltsverzeichnis 1 Computerrithmetik Zhlendrstellung Zhlendrstellung uf Computern Rundung Rundungsfehler bei Gleitkommrechnungen Approximtion und Interpoltion Polynominterpoltion Lgrnge Interpoltion Interpoltionsfehlerbschätzungen Newtonsche Dividierte Differenzen Interpoltion mit lineren Splines Numerische Differentition und Integrtion Numerische Differentition Numerische Integrtion Zusmmengesetzte Trpezregel Zusmmengesetzte Simpsonregel (Gewichtete) Newton-Cotes und Guss Formeln Nichtlinere Gleichungen Bisektion Lineres Eingbeln Ds Newton-Verfhren Fixpunkt-Itertionen Die 2 -Methode von Aitken

3 Litertur W. Gutschi. Numericl Anlysis: An Introduction. J. Stoer. Numerische Mthemtik 1 S. Suter. Vorlesungsskript Numerik 1 3

4 1 Computerrithmetik Die meisten prktischen Probleme in der Mthemtik lssen sich nicht explizit lösen. Die numerische Mthemtik beschäftigt sich deshlb mit der Frge wie die Lösung solcher Probleme möglichst gut ngenähert werden knn. Wir werden in dieser Vorlesung grundlegende Lösungsverfhren für verschiedene Problemstellungen kennenlernen. Um solche Lösungsverfhren zu beurteilen ist es wichtig die Grösse der Problemklsse zu kennen uf die sich ds Verfhren nwenden lässt. Ausserdem spielt die Konvergenzgeschwindigkeit der Methode und der Implementierungsufwnd eine grosse Rolle. Oft stehen für ein gegebenes Problem mehrere numerische Verfhren zur Verfügung. Bei der Auswhl einer konkreten Methode müssen die oben stehenden Kriterien genu betrchtet und typischerweise gegeneinnder bgewägt werden. Eine der wichtigsten Aufgben der numerische Mthemtik ist es, die Genuigkeit eines Rechenresultts (z.b. Ergebnis eines numerischen Verfhrens) zu beurteilen. Es gibt drei wesentliche Einflussfktoren die diese Genuigkeit begrenzen: Fehler in den Eingbedten der Rechnung, Rundungsfehler, Approximtionsfehler. Fehler in den Eingbedten lssen sich typischerweise nicht vermeiden (z.b. Messwerte). D uf einem Computer nur endlich viele Zhlen drstellbr sind und somit von reellen Zhlen uf Zhlen uf dem Computer übergegngen werden muss, entstehen zusätzlich Fehler, die sich nicht vermeiden lssen. Diese nennt mn Rundungsfehler. Approximtionsfehler sind bhängig von der verwendeten Methode die gewählt wird um ein gegebenes Problem näherungsweise zu lösen. D hier typischerweise ds gegebene Problem durch ein Problem ersetzt wird, welches sich einfcher lösen lässt, liefert selbst exkte Arithmetik nur zu einer fehlerbehfteten Annäherung. Diesen Fehler nennt mn Approximtionsfehler. In diesem Kpitel werden wir die Auswirkung von Eingngs- und Rundungsfehlern einer Rechnung uf ds Endresultt untersuchen. Approximtionsfehler lssen sich ntürlich nicht in dieser Allgemeinheit untersuchen und müssen für jede Methode einzeln betrchtet werden. 1.1 Zhlendrstellung In diesem Unterkpitel werden wir zunächst die reellen Zhlen einführen. Dies knn uf verschiedenste Weise gemcht werden, im Zusmmenhng mit Computern ht sich llerdings die Drstellung im Dulsystem (Binärsystem) ls vorteilhft herusgestellt. Jede Zhl x R knn demnch in der Form x = ±(b n 2 n + b n 1 2 n b 0 + b b ) (1.1) geschrieben werden, wobei n > 0 eine ntürliche Zhl ist und die b i die sogennnten Binärkoeffizienten sind, für die b i = 0 oder b i = 1 für lle i, gilt. Ansttt die Drstellung (1.1) werden wir im Folgenden die Kurzschreibweise x = ±(b n b n 1 b 0. b 1 b 2 ) 2 (1.2) 4

5 verwenden. Der Index 2 soll hier ndeuten, dss die Zhl im Dulsystem vorliegt. Der Punkt in (1.2) wird Binärpunkt gennnt und sepriert den gnzzhligen Anteil links vom bruchzhligen Anteil rechts. Aufgbe 1.1 Zeigen Sie, dss die Drstellung (1.1) einer Zhl nicht eindeutig ist. Wie knn mn Eindeutigkeit erreichen? Beispiel 1.1 () ( ) 2 = = (18.125) 10 (b) (0.01 1) 2 = k=2 2 k = k = /2 = (0.5) 10, wobei hier verwendet wurde, dss r k = 1 1 r flls r < 1 (geometrische Reihe). (c) 1 5 = (0.2) 10 = ( ) 2. Ds letzte Beispiel zeigt, dss eine reelle Zhl mit endlicher Dezimldrstellung eine unendliche Binärdrstellung hben knn. 1.2 Zhlendrstellung uf Computern Mit Hilfe der Binärdrstellung einer Zhl, lssen sich Gleitkommzhlen, so wie sie uf modernen Rechnern verwendet werden, einführen. D uf Computern nur endlich viele Stellen einer Zhl gespeichert werden können, muss die mximle Anzhl n relisierbren Stellen ngegeben werden. Sei t die vom System erlubte Anzhl von Stellen im bruchzhligen Teil der Zhl und s die zulässige Anzhl von Stellen im Exponenten. Wir bezeichnen die Menge der Gleitkommzhlen uf diesem Computer mit R(t, s), wobei mit x R(t, s) x = f 2 e (1.3) f = ±(. b 1 b 2 b t ) 2 und e = ±(b s 1 b s 2 b 0.) 2. Der bruchzhlige Teil f wird für gewöhnlich ls Mntisse von x, die gnze Zhl e ls Exponent von x bezeichnet. Die Zhl x in der Drstellung (1.3) heisst normlisiert, flls b 1 = 1. Es ist offensichtlich, dss die Menge der Gleitkommzhlen R(t, s) R endlich ist. Abbildung 1.1 zeigt die Verteilung der Punkte uf der reellen Achse für die Spezilfälle t = 1, 2, 3, 4, s = 1 und Bsis 4. Es wird ersichtlich, dss die Zhlen nicht gleichmässig uf der reellen Achse verteilt sind und dss sich 0 in diesem Formt nicht drstellen lässt. Aus der Definition der (normlisierten) Gleitkommzhlen wird klr, dss die betrgsmässig grösste und kleinste Zhl durch mx x = (1 x R(t,s) 2 t )2 2s 1, min x R(t,s) x = 2 2s (1.4) gegeben sind. Typische Werte für t und s sind t = 23 und s = 7. Dmit ergibt sich für die betrgsmässig grösste bzw. kleinste drstellbre Zhl bzw Jede Zhl, die betrgsmässig nicht in diesem Bereich liegt lässt sich uf einem solche Rechner nicht drstellen. 5

6 Abbildung 1.1: Exkt drstellbre Gleitkommzhlen der Form x = f 4 e für verschiedene Mntissenlängen t = 1,..., 4 und s = 1. Quelle: http: // de. wikipedi. org/ wiki/ Gleitkommzhl Flls während einer Rechnung eine Zhl berechnet wird, die grösser ls ds Mximum in (1.4) ist, kommt es zu einem sogennnten Überluf. Überlufe sind ftl und führen typischerweise zu einem sofortigen Abbruch der Berechnung. Flls während einer Rechnung eine Zhl produziert wird, die kleiner ls ds Minimum in (1.4) ist, kommt es zu einem sogennnten Unterluf. Dies ist für gewöhnlich weniger folgenreich ls ein Überluf, d die entsprechende Zhl systemintern zu 0 gerundet wird. In bestimmten Fällen knn jedoch uch ds zu flschen Resultten führen. 1.3 Rundung Wie oben beschrieben ist R(t, s) eine endliche nicht gleichmässig verteilte Menge uf der reellen Achse. D während einer Rechnung zwngsläufig uch Zhlen produziert werden, die nicht in dieser Menge liegen (sich lso nicht in der Form (1.3) drstellen lssen), müssen solche Zhlen uf vom System drstellbre Zhlen bgebildet werden. Dies erfolgt durch Rundung. Um dies genuer zu erläutern, betrchten wir eine exkte reelle Zhl ( ) x R, x = ± b k 2 k 2 e. Diese soll uf die Zhl k=1 ( t ) x R, x = ± b k 2 k 2 e. durch Rundung bgebildet werden. Eine Möglichkeit dies zu tun ist durch bschneiden: k=1 x = chop(x), wobei e = e, b k = b k (1.5) 6

7 für k = 1, 2,..., t. Der Rundungsfehler, der durch Abschneiden entsteht knn wie folgt bgeschätzt werden: x x = x chop(x) = ± b k 2 k 2 e 2 k 2 e = 2 t 2 e. (1.6) k=t+1 k=t+1 Die Grösse x x ist der sogennnte bsolute Fehler. Dieser Fehler hängt von der bsoluten Grösse von x b. Mn geht deshlb oft zum sogennnten reltiven Fehler x x / x, x 0 über um diese Abhängigkeit zu eliminieren. Im Fll der Abschneideopertion knn dieser durch bgeschätzt werden. x chop(x) x 2 t 2 e ± ( k=1 b k2 k ) 2 e 2 t 2e e = 2 2 t (1.7) Eine weitere Art des Rundens ist ds symmetrische Runden. Dies entspricht dem gewöhnlich Auf- und Abrunden. Dies ist im Binärsystem ber einfcher, d es nur zwei Möglichkeiten gibt: Flls die (t+1)-ste Stelle eine 1 ist, wird ufgerundet, nsonsten bgerundet. Ds symmetrische Runden lässt sich mit Hilfe der chop-opertion usdrücken und lässt sich schreiben ls: ( x = rd(x), wobei rd(x) = chop x + 2 (t+1) 2 e). (1.8) Der reltive Fehler für ds symmetrische Runden erfüllt die etws bessere Abschätzung x rd(x) x 2 t (1.9) Die rechte Seite in (1.9) hängt vom verwendeten Computer b und wird ls reltive Mschinengenuigkeit eps := 2 t bezeichnet. Sie bestimmt die Genuigkeit ller Gleitkommrechnungen uf dem zugehörigen Rechner. So ergibt sich beispielsweise für t = 23 ein Wert von eps = , ws 6 bis 7 signigfiknten Dezimlstellen entspricht. Im folgenden werden wir die Auswirkung von Rundungsfehlern uf elementre mthemtische Opertionen betrchten. Dzu ist es vorteilhft mit Gleichheiten zu rbeiten und nicht mit Ungleichheiten. Wir schreiben deshlb rd(x) = x(1 + ε), ε eps. 1.4 Rundungsfehler bei Gleitkommrechnungen In diesem Abschnitt werden wir untersuchen wie sich Rundungsfehler uf die elementren rithmetischen Opertionen +,,, / uswirken. Jede dieser Opertionen knn, wenn sie uf zwei Zhlen in R(t, s) ngewendet wird, ein Resultt produzieren, ds nicht mehr uf dem Computer drstellbr ist (lso nicht in R(t, s) enthlten ist). D dieses Resultt dnn gerundet werden muss, ist jede elementre rithmetische Opertion typischerweise fehlerbehftet. Der Fehler, den eine einzelne rithmetische Opertion verurscht, ist häufig klein und knn vernchlässigt werden. D in den meisten numerische Berechnungen jedoch eine grosse Anzhl von Opertionen neinndergereiht werden, stellt sich die Frge ob sich solche Fehler kritisch 7

8 nhäufen können bzw. wie sich solche Fehler fortpflnzen (Fehlerfortpflnzung). Im Folgenden betrchten wir wie Fehler in den Eingbedten (hier durch Rundung) sich durch die einzelnen rithmetischen Opertionen fortpflnzen. Wie schliessen Über- und Unterluf us und nehmen n, dss die rithmetischen Opertionen exkt usgeführt werden. Seien x, y R und deren interne Drstellung sei gegeben durch x = x(1 + ε x ) und ỹ = y(1 + ε y ) mit den durch Rundung verurschten Fehlern ε x und ε y. Weiterhin nehmen wir n, dss ε x und ε y hinreichen klein sind, sodss qudrtische Terme ε 2 x, ε x ε y, ε 2 y (sowie Terme höherer Ordnung) vernchlässigbr klein werden. Multipliktion Es gilt x ỹ = x(1 + ε x ) y(1 + ε y ) = x y(1 + ε x + ε y + ε x ε y ) x y(1 + ε x + ε y ). Somit ist der reltive Fehler des Produkts ε x y ungefähr gegeben durch ε x y = ε x + ε y. Der reltive Fehler des Produkts ist lso die Summe der Eingbefehler. Diese Fehlerfortpflnzung ist kzeptbel und wir nennen die Multipliktion deshlb eine gutrtige Opertion. Division Sei y 0, dnn gilt mittels Tylorentwicklung Somit ist x ỹ = x(1 + ε x) y(1 + ε y ) = x y (1 + ε x)(1 + ε y + ε 2 y ) x y (1 + ε x ε y ). ε x/y = ε x ε y und dmit ist die Division ebenflls eine gutrtige Opertion. Addition und Subtrktion Die knn ls ein Fll betrchtet werden, d wir die Vorzeichen von x und y nicht festgelegt hben. Es gilt x + ỹ = x(1 + ε x ) + y(1 + ε y ) = x + y + xε x + yε y = (x + y) flls x + y 0. Somit ε x+y = ( 1 + x x + y ε x + y ) x + y ε y, x x + y ε x + y x + y ε y (1.10) Wie zuvor ist der Fehler eine Linerkombintion us den einzelnen Fehlern. Im Gegenstz zu oben können hier die Koeffizienten ber beliebig gross werden. Hben x und y gleiches x Vorzeichen (es sich lso um eine Addition hndelt) gilt x+y 1 und wir können den reltiven Fehler betrgsmässig durch ε x+y ε x + ε y bschätzen. Im Fll der Addition hndelt es sich deshlb wieder um eine gutrtige Opertion. 8

9 Flls x und y jedoch unterschiedliches Vorzeichen hben und betrgsmässig ungefähr gleich gross sind (d.h. x + y ist klein im Verhältnis zu x und y ), können die Koeffizienten in (1.10) und somit der reltive Fehler beliebig gross werden. Dies nennt mn Auslöschung. Die einzige rundungsfehlerkritische rithmetische Opertion ist demnch die Subtrktion. Der Auslöschungseffekt, der dbei uftritt knn verheerend sein und numerische Berechnungen unbruchbr mchen. Beispiel 1.2 Wir betrchten einen Computer, der 2 Dezimlstellen einer Zhl bspeichern knn und symmetrisch rundet. Die Identität ( b) 2 = 2 2b + b 2, die zweifellos gilt wenn mn in der Menge der reellen Zhlen rechnet, stimmt uf unserem Computer nicht mehr. Sei = 1.8 und b = 1.7 dnn gilt ( b) 2 = 0.01 uf unserem Computer und mit exkter Arithmetik, jedoch gilt 2 2b + b 2 = = 0.1 uf dem Computer, ws mit dem echten Ergebnis nicht einml ds Vorzeichen gemeinsm ht. Hier tritt Auslöschung uf, d die Zhlen 2 + b 2 und 2b intern uf eine Nchkommstelle gerundet werden und dnn voneinnder bgezogen werden. 9

10 2 Approximtion und Interpoltion In diesem Kpitel werden wir uns mit der Approximtion von Funktionen beschäftigen. Die Funktionen, die wir dbei im Sinn hben sind uf einem endlichen Intervll, oder sogr nur uf einer endlichen Menge von Punkten definiert. Der erste Fll tritt in der Prxis uf, wenn spezielle Funktionen ls Teil eines Algorithmus usgewertet werden müssen. D solche Funktionen typischerweise einen unendlichen Definitions-und Wertebereich hben, geht mn dzu über sie durch eine endliche Anzhl von einfcheren Funktionen wie Polynome oder rtionle Funktionen zu pproximieren. Der zweite Fll tritt uf, wenn Messungen z.b. einer physiklischen Grössen ls Funktion einer nderen physiklischen Grösse (wie der Zeit) vorgenommen werden. Auch hier will mn häufig die unbeknnte kontinuierliche Funktion mit einfchen Funktionen pproximieren. Im Folgenden wollen wir eine Funktion f C ([, b]), wobei < b, mit Funktionen us einem Rum Φ C ([, b]), der us einfcheren Funktionen besteht, pproximieren. Um zu beurteilen wie gut eine solche Approximtion ist, führen wir die Unendlich-Norm f = mx f(t) (2.1) t b uf C ([, b]) ein. Flls f nur uf einer endlichen Menge := {x i, i = 1,..., N} definiert ist, ersetzen wir die kontinuierliche Norm (2.1) durch die diskrete Norm f = mx x i f(t i). Ds Ziel ist es im Allgemeinen eine pproximierende Funktion φ Φ zu finden, sodss der Fehler f φ möglichst klein ist. Dbei ist die Whl des Approximtionssystems Φ und die Whl der Approximtionsmethode mssgeblich. Ein häufige Whl für Φ sind Polynome (Kpitel 2.1), Splines (Kpitel 2.2), trigonometrische Polynome und rtionle Funktionen. Bei der Whl der Approximtionsmethode werden wir uns uf Interpoltion beschränken. Polynome gehören zu den m häufigsten verwendeten Funktionensystemen zur Approximtionen von llgemeinen Funktionen uf beschränkten Gebieten. Neben der einfchen Hndhbung ist der Weierstrsssche Approximtionsstz ein weiterer Grund dfür. Stz 2.1 Sei I ein endliches, bgeschlossenes Intervll und C 0 (I) der Rum der stetigen Funktionen uf I. Für lle f C 0 (I) und lle ε > 0 existiert ein n N 0 und ein p P n, sodss f p < ε, wobei P n den Rum ller Polynome vom Mximlgrd m bezeichnet. 2.1 Polynominterpoltion In diesem Abschnitt wollen wir eine gegebene Funktion f C 0 ([, b]) mit Hilfe von Polynomen pproximieren. Sei dzu { } P n := ϕ : ϕ(t) = c i t i, c i R der Rum der Polynome vom Mximlgrd n. Wir wollen f nun so durch ein Polynom p pproximieren, dss die Funktionswerte von f und p in gewissen Punkten übereinstimmen. Sei Θ n := {x i, i = 0,..., n} [, b] i=0 10

11 eine Menge von n + 1 verschiedenen Punkte in [, b]. Die Interpoltionsufgbe besteht nun drin ein Polynom p P n zu finden, sodss p(x i ) = f(x i ) für 0 i n (2.2) gilt. Ein Polynom, welches Bedingung (2.2) erfüllt interpoliert die Funktion f in den Punkten x i. Die Frgen, die sich nun stellen sind, ob ein solches Polynom immer existiert und wenn j, ob dieses eindeutig ist. Ausserdem muss beurteilt werden, ob ein Polynom, ds (2.2) erfüllt ttsächlich eine gute Approximtion von f im Intervll [, b] ist. Dies ist gleichbedeutend mit der Frge wie sich der Fehler der Approximtion f p bschätzen lässt. Beispiel 2.1 Wir betrchten den einfchsten Fll n = 1. Hier wird eine gegebene Funktion f C 0 ([, b]) mittels einer lineren Funktion pproximiert. Seien x 0, x 1 [, b] zwei von einnder verschiedene Punkte. Es lässt sich leicht berechnen, dss ds Polynom p P 1, gegeben durch p(x) = x x 1 f(x 0 ) + x x 0 f(x 1 ). (2.3) x 0 x 1 x 1 x 0 die Funtion f in x 0 und x 1 interpoliert. Eine ndere Drstellung von p ist gegeben durch p(x) = f(x 0 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). (2.4) Die Drstellung (2.3) entspricht der Lgrnge-Drstellung (Kpitel 2.1.1), die Drstellung (2.4) entspricht der Newtonschen Drstellung (Kpitel 2.1.3) von p. Die wollen wir im Folgenden präzisieren Lgrnge Interpoltion Wir zeigen die Existenz des Interpoltionspolynoms (2.2) durch direkte Konstruktion. Dzu seien n x x j l i (x) := P n, für i = 0, 1,..., n. (2.5) x i x j j=0,j i Diese Polynome vom Grd n erfüllen l i (x k ) = δ ik = { 1 flls i = k, 0 flls i k. (2.6) Durch Multiplizieren dieser Polynome mit den Funktionswerten f i := f(x i ) und ufsummieren erhält mn ds sogennnte Lgrnge Interpoltionspolynom Dieses erfüllt Bedingung (2.2), d p n (f, x) := p n (f, Θ n, x) := p n (f, x k ) = f i l i (x k ) = i=0 f i l i (x) P n. (2.7) i=0 f i δ ik = f k. (2.8) Die Existenz des Interpoltionspolynoms ist somit gezeigt. Weiterhin knn es in der Form (2.7) drgestellt werden. i=0 11

12 Stz 2.2 Ds Interpoltionspolynom ist durch (2.2) eindeutig bestimmt. Beweis. Angenommen es gäbe zwei Polynome vom Grd n, die (2.2) erfüllen, d.h. p, p P n mit p(x i ) = p(x i ) = f i für i = 0,..., n. Dnn hätte ds Polynom P = p p P n höchstens den Grd n und mindestens n + 1 verschiedene Nullstellen x i, i = 0,..., n. Ds ist llerdings nicht möglich usser wenn P uf dem gnzen Intervll [, b] verschwindet, d.h. P 0. Die ist ber gleichbedeutend mit p = p Interpoltionsfehlerbschätzungen In diesem Abschnitt wollen wir den Interpoltionsfehler f(x) p n (f, x) für ein x [, b] genuer untersuchen. Im Allgemeinen können Fehlerdrstellungen und Fehlerbschätzungen numerischer Methoden nur dnn bewiesen werden, wenn bestimmte Annhmen n die zu pproximierende Funktion f gestellt werden. Hier werden wir nnehmen, dss die Funktion f (n + 1)-ml stetig differenzierbr ist. Dmit lässt sich der folgende Stz beweisen: Stz 2.3 (Interpoltionsfehlerdrstellung) Sei f C n+1 ([, b]) und x [, b]. Dnn gilt mit dem Stützstellenpolynom f(x) p n (f, Θ n, x) = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! ω n (x) := ω n (x), (2.9) n (x x j ) (2.10) und einer (unbeknnten) Zwischenstelle ξ x (, b), die von x bhängt. j=0 Die Fehlerdrstellung (2.9) ist nicht überrschend. D der Fehler der Interpoltion n den Stützstellen x i Θ n verschwindet (siehe (2.8)), ist der Fktor ω n (x) sinnvoll. D usserdem p n (f, x) = f(x) für lle f P n ufgrund der Eindeutigkeit des Interpoltionspolynoms gilt, rechfertigt dies weiterhin ds Auftuchen der (n+1)-sten Ableitung von f. Um Stz 2.3 forml beweisen zu können, benötigen wir den folgenden Hilfsstz. Stz 2.4 (Stz von Rolle) Sei f C 0 ([, b]) und f C 1 ((, b)). Flls f() = f(b) gilt, dnn existiert ein ξ (, b) s.d. f (ξ) = 0. Beweis von Stz 2.3. Flls x Θ n ist die Behuptung trivilerweise whr. Sei lso x [, b]\θ n fest gewählt. Wir definieren die Funktion F (t) := f(t) p n (f, Θ n, t) f(x) p n(f, Θ n, x) ω n (t) ω n (x) D f C n+1 ([, b]), gilt uch F C n+1 ([, b]). Weiterhin gilt F (x i ) = 0, für i = 0,..., n und F (x) = 0. 12

13 Somit ht F n + 2 Nullstellen in [, b]. Wiederholtes Anwenden des Stz von Rolle ergibt: F ht mindestens n + 1 verschiedene Nullstellen, F ht mindestens n verschiedene Nullstellen,... F (n+1) ht mindestens 1 Nullstelle.. Wir bezeichnen mit ξ x die Nullstelle von F (n+1) und differenzieren F (n + 1)-ml bezüglich t. Auswertung n ξ x ergibt ws die Aussge beweist. 0 = f (n+1) (ξ x ) f(x) p n(f, Θ n, x) (n + 1)!, ω n (x) Korollr 2.1 Sei f C n+1 ([, b]) und x [, b]. Dnn gilt (grobe) Fehlerschrnke f p n (f, Θ n, ) = f (n+1) (n + 1)! Beweis. Die Aussge folgt direkt us Stz 2.3. (b ) n+1. Beispiel 2.2 Im Fll der lineren Interpoltion (n = 1), gilt für < x < b und h := b die Fehlerdrstellung f(x) p 1 (f, x) = f (2) (ξ x ) (x )(x b). 2 Eine einfche Rechnung ergibt die Abschätzung f p 1 (f, ) f (2) 2 (x )(x b) = f (2) h 2. 8 Aufgbe 2.1 Leiten Sie für die qudrtische Interpoltion mit äquidistnten Stützstellen x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h eine obere Schrnke für f p 2 (f, ) her, welche f (3) und h beinhltet. (Hier sei u = mx x0 <x<x 2 u(x) ) Aus Stz 2.3 knn im Allgemeinen nicht gefolgert werden, dss die Polynominterpoltion für grösser werdenden Polynomgrd konvergiert, d f (n) und ω n typischerweise sehr schnell wchsen. Beispiel 2.3 () Wir wollen die Funktion f(x) = cos(x) im Intervll [0, 1] mit äquidistnten Stützstellen interpolieren. D in diesem Fll f (n+1) = 1 für jedes n N, folgt us Korollr 2.1, dss die Interpoltion mit zunehmenden Polynomgrd immer genuer wird. Siehe Abbildung 2.1. (b) Nun soll die Funktion f(x) = 1 1+x 2 im Intervll [ 5, 5] mit äquidistnten Stützstellen interpoliert werden. D in diesem Fll die Ableitungen von f schnell wchsen und ds Stützstellenpolynom immer stärker oszilliert wird die Approximtion mit zunehmendem Polynomgrd der Interpoltion immer schlechter. Siehe Abbildung 2.2. Die Frge unter welchen Bedingungen n f die Interpoltion mit äquidistnten Stützstellen für grösser werdenden Polynomgrd konvergiert, knn mit Hilfe von funktionlnlytischen Mitteln bentwortet werden. 13

14 Abbildung 2.1: Interpoltion der Funktion f(x) = cos(x) mit äquidistnten Stützstellen Newtonsche Dividierte Differenzen Wie wir gesehen hben, lässt sich ds Interpoltionspolynom mit Formel (2.7) berechnen. Eine effizientere Art ds Interpoltionspolynom drzustellen bsiert uf Newtonschen Dividierten Differenzen. Diese Drstellung bsiert uf der Beobchtung, dss für ds Interpoltionspolynom p n (f, x), welches wieder p n (f, x k ) = f(x k ) = f k, x k Θ n erfüllen soll, gilt: p 0 (f, x) = 0, p n (f, x) = p n 1 (f, x) + n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) für bestimme Konstnten 0, 1,..., n. Es ist deshlb sinnvoll nch einer Drstellung des Interpoltionspolynoms in der Form p n (f, x) = wobei ω k (x) wieder ds Stützstellenpolynom ω k (x) := k ω k 1 (x), (2.11) k (x x j ), ω 1 (x) := 1 (2.12) j=0 bezeichnet, zu suchen. Dzu müssen die Koeffizienten k so bestimmt werden, dss p n (f, x) die Funktion f n den Stützstellen in Θ n ttsächlich interpoliert. Aufgrund der Drstellung 14

15 Abbildung 2.2: Interpoltion der Funktion f(x) = 1 1+x 2 mit äquidistnten Stützstellen. (2.11) ist die ber äquivlent dzu, dss die Bedingungen p n (f, x 0 ) = f 0 f 0 = 0 p n (f, x 1 ) = f 1 f 1 = (x 1 x 0 ) p n (f, x 2 ) = f 2 f 2 = (x 1 x 0 ) + 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). erfüllt sein müssen. Dies führt uf ein lineres Gleichungssystem, welches eindeutig gelöst werden knn. Beispielsweise ist 0 = f 0 1 = f 1 f 0 x 1 x 0 2 = f (x 2 x 0 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) usw. Es ist klr, dss die Koeffizienten k Linerkombintionen der Funktionswerte f 0,..., f k sind, deren Koeffizienten von den Stützstellen x 0,... x k bhängen. Um diese Abhängigkeiten zu verdeutlichen führen wir die Nottion k = [x 0, x 1,, x k ]f, k = 0, 1, 2,... ein. Dies wird ls k-te dividierte Differenz von f bezüglich der Knotenpunkte x 0, x 1,..., x k bezeichnet. Der Nme dividierte Differenz wurde deshlb gewählt, d [x 0, x 1,, x k ]f = [x 1,, x k ]f [x 0,, x k 1 ]f x k x 0. (2.13) 15

16 Die k-te dividierte Differenz lässt sich lso durch die Differenz zweier (k 1)-ter dividierter Differenzen usdrücken, dividiert durch die Differenz der Knotenpunkte. Formel (2.13) erlubt eine einfche rekursive Berechnung der Koeffizienten k. Sie ist llerdings nicht offensichtlich und wird im Folgenden bewiesen. Stz 2.5 Sei ein Intervll I = [, b] R, sowie eine Stützstellenmenge Θ n = {x 0, x 1,..., x n } I gegeben. Für eine Funktion f : I R ist ds Interpoltionspolynom gegeben durch p n (f, Θ n, x) = k ω k 1 (x), wobei ω k 1 (x) wieder ds Stützstellenpolynom (2.12) ist und die Koeffizienten k rekursiv durch 0 = [x 0, x 0 ]f := f 0 k = [x 0, x 1,, x k ]f = [x 1,, x k ]f [x 0,, x k 1 ]f x k x 0, 1 k n (2.14) gegeben sind. Beweis. Sei r P k 1 ds Polynom, welches f in den Stützstellen x 1, x 2,..., x k interpoliert, d.h. r(x) = p k 1 (f, {x 1, x 2,..., x k }, x). Sei weiterhin s P k 1 ds Polynom, welches f in den Stützstellen x 0, x 2,..., x k 1 interpoliert, d.h. s(x) = p k 1 (f, {x 0, x 1,..., x k 1 }, x). Wir definieren nun ein neues Polynom p P k durch Es gilt p(x) = r(x) + x x k x k x 0 [r(x) s(x)] p(x 0 ) = r(x 0 ) + x 0 x k x k x 0 [r(x 0 ) s(x 0 )] = s(x 0 ) = f 0 p(x i ) = r(x i ) + x i x k x k x 0 [r(x i ) s(x i )] = f i + x i x k x k x 0 (f i f i ) = f i, für 1 < i < k p(x k ) = r(x k ) + x k x k x k x 0 [r(x k ) s(x k )] = r(x k ) = f k. Somit interpoliert p die Funktion f n den Stützstellen x 0,..., x k. D ds Interpoltionspolynom ber eindeutig bestimmt ist, gilt p k (f, {x 0,..., x k }, x) = p(x). Der führende Koeffizient von r bzw. s ist [x 1,, x k ]f bzw. [x 0,, x k 1 ]f. Somit ist der führende Koeffizient von p gegeben durch 1 x k x 0 ([x 1,, x k ]f [x 0,, x k 1 ]f). 16

17 Andererseits ist der führende Koeffizient von p k (f, {x 0,..., x k }, x) durch [x 0, x 1,, x k ]f gegeben. Durch Koeffizientenvergleich folgt somit die Behuptung. Die Rekursion (2.14) knn dzu verwendet werden um ds Tbleu von dividierten Differenzen zu erzeugen. x f x 0 f 0 x 1 f 1 [x 0, x 1 ]f x 2 f 2 [x 1, x 2 ]f [x 0, x 1, x 2 ]f x 3 f 3 [x 2, x 3 ]f [x 1, x 2, x 3 ]f [x 0, x 1, x 2, x 3 ]f Die Einträge uf der Digonlen des Tbleus entsprechen den Koeffizienten, die benötigt werden um ds Interpoltionspolynom in Newton Form drzustellen. Um diese (sowie uch die nderen) Einträge zu berechnen geht mn nch folgender Regel vor: Jeder Eintrg ist die Differenz des Eintrgs links dvon und desjenigen drüber, dividiert durch die Differenz des x-werts in derselben Reihe und desjenigen der gegenüber des Funktionswertes steht, den mn erhält, wenn mn digonl nch oben geht. Hier wird ein weiterer Vorteil der Newtonschen Drstellung gegenüber der Lgrnge Drstellung deutlich. Flls bereits ds Interpoltionspolynom p n (f, Θ n, x) berechnet wurde und mn möchte n einer zusätzlichen Stelle (x n+1, f n+1 ) interpolieren, muss mn nicht ds gesmte Interpoltionspolynom neu berechnen, sondern fügt lediglich eine weitere Zeile im Tbleu der dividierten Differenzen hinzu um n+1 = [x 0, x 1,, x n+1 ]f zu berechnen. Ds neue Interpoltionspolynom ist dnn durch gegeben. p n+1 (f, Θ n {x n+1 }, x) = p n (f, Θ n, x) + n+1 ω n (x) Beispiel 2.4 Von einer unbeknnten Funktion f seien die Wertepre (0, 3), (1, 4), (2, 7) und (4, 19) beknnt. Um ds Polynom zu finden, welches die Funktion in diesen Werten interpoliert, berechnen wir zunächst ds Tbleu der dividierten Differenzen. x f (4-3)/(1-0)=1 2 7 (7-4)/(2-1)=3 (3-1)/(2-0)= (19-7)/(4-2)=6 (6-3)/(4-1)=1 (1-1)/(4-0)=0 Ds gesuchte Interpoltionspolynom is somit gegeben durch p 3 (f, x) = (x 0) + 1 (x 0)(x 1) + 0 (x 0)(x 1)(x 2) = x Mit Hilfe von Newtonschen dividierten Differenzen knn ds Interpoltionspolynom effizient berechnet werden. Wir wollen ds so erhltene Polynom nun uf effiziente Weise n einer 17

18 Stelle x uswerten. Dies erfolgt mit dem sogennnten Horner Schem. Wir verdeutlichen die Vorgehensweise zunechst n einem beliebigen Polynom n-ten Grdes q(x) = b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0. (2.15) Durch sukzessives Ausklmmern knn dieses in der Form q(x) = ( (b n x + b n 1 )x + )x + b 0 geschrieben werden. Flls q n der Stelle x usgewertet werden soll motiviert dies die folgende rekursive Berechnung: c n := b n c i := c i+1 x + b i, für i = n 1,..., 0, Der Wert des Polynoms n der Stelle x ist dnn q(x ) = c 0. Die Auswertung des Polynoms q P n mit Hilfe des Horner Schems benötigt n Additionen und n Multipliktionen. Eine nive Auswertung des Polynoms in der Form (2.15) benötigt n Additionen und 2n 1 Multipliktionen. Wir wollen diese Vorgehensweise nun uf die Auswertung von Interpoltionspolynomen in der Newton Form nwenden. Sei ein solches Polynom wieder duch p n (f, x) = k ω k 1 (x) = gegeben. Dieses lässt sich wie oben schreiben ls k=1 (x x j ) + 0 k k 1 j=0 p n (f, x) = ( ( n (x x n 1 ) + n 1 )(x x n 2 ) )(x x 0 ) + 0 Ds Interpoltionspolynom lässt sich somit effizient n einer Stelle x duch die Rekursion uswerten, wobei p n (f, x ) = c 0 gilt. c n := n c i := c i+1 (x x i ) + i, für i = n 1,..., 0, 2.2 Interpoltion mit lineren Splines In den oberen beiden Abschnitten wurde eine gegebene (hinreichend gltte) Funktion f : [, b] R durch ein einzelnes Polynom vom Grd n durch Interpoltion pproximiert. Flls eine höhere Genuigkeit benötigt wurde, wurde der Polynomgrd n dementsprechend erhöht. In Beispiel 2.3(b) hben wir llerdings gesehen, dss diese Strtegie nicht immer zum Erfolg führt, d.h. die Approximtion knn für einige Funktionen mit zunehmenden Polynomgrd schlechter werden. Korollr 2.1 motiviert einen nderen Zugng um die Genuigkeit der Approximtion zu erhöhen. Es knn uch so interpretiert werden, dss bei festgehltenem Polynomgrd n eine 18

19 gewünschte Genuigkeit erreicht werden knn, flls ds Intervll uf dem mn interpoliert hinreichend klein ist. Wir führen deshlb eine Unterteilung des Intervlls [, b] : = x 1 < x 2 < < x n 1 = b ein und verwenden uf jedem Teilintervll [x i, x i+1 ] Polynominterpoltion niedriger Ordnung um die gegebene Funktion zu pproximieren. Indem mn die Feinheit der Unterteilung = mx x i, 1 i n 1 x i = x i+1 x i erhöht (n vergrössert bzw. verkleinert) wird eine solche Approximtion uch bei niedrigen (gleichbleibenden) Polynomgrden immer genuer. Auf diese Weise lssen sich uch Funktionen pproximieren, die die restriktiven Glttheitsnforderungen der globlen Polynominterpoltion nicht erfüllen. Wir wollen uns hier uf die Approximtion mit stückweise lineren Splines beschränken. Ds Ziel ist es lso eine Funktion s S( ) mit S( ) = { s : s C 0 ([, b]), s [xi,x i+1 ] P 1, i = 1, 2,..., n 1) } zu finden, sodss s(x i ) = f i, i = 1, 2,..., n. gilt. In Anlehnung n oben bezeichnen wir diesen Interpolnten mit s 1 (f, x) = s(x). Flls die Interpoltionspunkte so gewählt werden, dss sie mit den Punkte x i der Unterteilung übereinstimmen, ist die Lösung diese Interpoltionsproblem trivilerweise durch s 1 (f, x) = f i + (x x i )[x i, x i+1 ]f für x i x x i+1, i = 1, 2,..., n 1. gegeben. Um den Fehler der stückweise lineren Interpoltion bzuschätzen, verwenden wir die Fehlerschrnke us Beispiel 2.2. Diese besgt, dss für ein x [x i, x i+1 ] der Fehler durch f(x) s 1 (f, x) ( x i) 2 8 mx f (x) x [x i,x i+1 ] bgeschätzt werden knn. Geht mn zum Mximum über lle Teilintervlle über ergibt sich somit für ein f C 2 ([, b]) f( ) s 1 (f, ) 2 8 f Dies zeigt, dss der Fehler der stückweise lineren Interpoltion ttsächlich beliebig klein wird, flls entsprechend klein gewählt wird bzw. ds Intervll [, b] in genügend viele Teilintervlle unterteilt wird. Beispiel 2.5 Sei [, b] in n gleichlnge Intervlle der Länge h unterteilt. In diesem Fll gilt für f C 2 ([, b]) die Fehlerbschätzung f( ) s 1 (f, ) h2 8 f (b )2 = 8n 2 f. Somit führt eine Hlbierung der Teilintervlllänge bzw. eine Verdopplung der Teilintervlle zu einer Verringerung des Fehler um den Fktor 4. Die Konvergenz ist lso qudrtisch in h. 19

20 Im Folgenden wollen wir zeigen, dss der stückweise linere Interpolnt s 1 (f, ) die (bis uf einen Fktor) optimle Approximtion n f im Rum S( ) drstellt. Stz 2.6 Sei wieder eine llgemeine Unterteilung des Intervlls [, b]. Für f C([, b]) gilt dist (f, S( )) f( ) s 1 (f, ) 2 dist (f, S( )), wobei dist (f, S( )) = inf s S( ) f s Beweis. Die erste Ungleichung dist (f, S( )) f( ) s 1 (f, ) folgt direkt us der Definition. Um die Zweite zu zeigen, bemerken wir zunächst, dss für eine beliebige Funktion g C([, b]) und x [x i, x i+1 ] und somit mx s 1(g, x) mx{g i, g i+1 } x [x i,x i+1 ] s 1 (g, ) g gilt. D ein beliebiges s S( ) mit seiner stückweise lineren Interpoltion übereinstimmt, d.h. s 1 (s, ) = s hben wir mit de Dreickecksungleichung weiterhin f s 1 (f, ) = f s + s s 1 (f, ) f s + s s 1 (f, ) = f s + s 1 (s, ) s 1 (f, ) = f s + s 1 (s f, ) 2 f s D s beliebig wr folgt die Behuptung 20

21 3 Numerische Differentition und Integrtion Numerische Differentition und Integrtion treten in vielen prktischen Problem in der Mthemtik uf. Im Folgenden sollen einige grundlegende Konzepte vorgestellt werden. 3.1 Numerische Differentition Wir wollen zu einer differenzierbren Funktion f eine Approximtion der Ableitung f (x 0 ) n einem bestimmten Punkt x 0 berechnen. Um eine llgemeine Formel für die numerische Differentition in x 0 zu erhlten werden wir nicht f differenzieren, sondern f zunächst durch ein Interpoltionspolynom pproximieren und dieses dnn differenzieren. Seien x 0, x 1,..., x n wieder n + 1 verschiedene Punkte in einem Intervll [, b]. Wir hben gesehen, dss eine Funktion f C n+1 ([, b]) durch f(x) = p n (f, x) + r(x) usgedrückt werden knn, wobei ds Interpoltionspolynom in Newton s Form durch p n (f, x) =f 0 + (x x 0 )[x 0, x 1 ]f + (x x 0 )(x x 1 )[x 0, x 1, x 2 ]f + gegeben ist und für den Fehler + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )[x 0, x 1,..., x n ]f r(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! gilt. Für die Ableitung von f n der Stelle x 0 ergibt sich somit f (x 0 ) = p n(f, x 0 ) + r (x 0 ) Um p n(f, x 0 ) und r (x 0 ) explizit ngeben zu können, muss u.. ds Stützstellenpolynom ω k (x) differenziert und in x 0 usgewertet werden. Dzu bemerken wir, dss k k k ω k (x) = (x x 0 ) (x x j ) = (x x j ) + (x x 0 ) (x x j ) und somit j=1 ω k (x 0) = j=1 k (x 0 x j ) j=1 gilt. Dmit lässt sich leicht folgender Stz beweisen. Stz 3.1 Sei f C 0 ([, b]). Eine Approximtion von f (x 0 ) ist gegeben durch p n(f, x 0 ) = [x 0, x 1 ]f + (x 0 x 1 )[x 0, x 1, x 2 ]f + (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )[x 0, x 1, x 2, x 3 ]f + + (x 0 x 1 ) (x 0 x n 1 )[x 0, x 1,..., x n ]f. Flls f C n+2 ([, b]), gilt die Fehlerbschätzung wobei H := mx 0 j n x 0 x j. f (x 0 ) p n(f, x 0 ) H n f (n+1), (n + 1)! j=1 21

22 Beweis. Die Formel für die Approximtion von f (x 0 ) durch die obige Rechnung leicht zu sehen. Für den Fehler der Approximtion gilt und somit r (x) = ω n(x) f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! + ω n (x) (f (n+1) (ξ x )) (n + 1)! r (x 0 ) = ω n(x 0 ) f (n+1) (ξ x0 ). (3.1) (n + 1)! D der Fehler r zunächst differenziert wird (hier treten (n + 2)-te Ableitungen von f uf) und dnch in x 0 usgewertet wird, gilt Formel (3.1) nur, flls f C n+2 ([, b]). Hierus folgt die behuptete Abschätzung. Beispiel 3.1 Sei n = 1, mit Stützstellen x 0 und x 1 = x 0 + h. Für die Approximtion der Ableitung von f C 3 ([x 0, x 1 ]) gilt Für den Fehler dieser Approximtion gilt p 1(f, x 0 ) = [x 0, x 1 ]f = f 1 f 0. h f (x 0 ) p 1(f, x 0 ) = h f (ξ) 2 Die Konvergenz dieser sogennnten Vorwärtsdifferenz ist lso liner in h. Beispiel 3.2 Sei n = 2, mit Stützstellen x 0, x 1 = x 0 + h und x 1 = x 0 h. Für die Approximtion der Ableitung von f C 4 ([x 0, x 1 ]) gilt p 1(f, x 0 ) = [x 0, x 1 ]f + (x 0 x 1 )[x 0, x 1, x 1 ]f = f 1 f 0 h = f 1 f 1. 2h Für den Fehler dieser Approximtion gilt h f 1 2f 0 + f 1 2h 2 f (x 0 ) p 2(f, x 0 ) = h 2 f (ξ) 6 Diese sogennnte symmetrische Differenz liefert lso ein höhere Genuigkeit (bei hinreichend glttem f) ls die Vorwärtsdifferenz bei gleichem Aufwnd. Beispiel 3.3 Sei n = 2, mit Stützstellen x 0, x 1 = x 0 + h und x 2 = x 0 + 2h. Für die Approximtion der Ableitung von f C 4 ([x 0, x 1 ]) gilt p 1(f, x 0 ) = [x 0, x 1 ]f + (x 0 x 1 )[x 0, x 1, x 2 ]f = f 1 f 0 h h f 2 2f 1 + f 0 2h 2 = f 2 + 4f 1 3f 0. 2h 22

23 Für den Fehler dieser Approximtion gilt f (x 0 ) p 2(f, x 0 ) = h 2 f (ξ). 3 Die ist lso wieder ein unsymmetrische Formel. Sie liefert zwr dieselbe Konvergenzordnung wie die symmetrische Differenz, erfordert jedoch drei Funktionsuswertungen. Ausserdem ist der Fehler doppelt so gross wie zuvor. Eine mögliche Anwendung der numerischen Differentition ist ds Lösen von gewöhnlichen Differentilgleichungen. Solche Gleichungen spielen eine grosse Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen in der Ntur und sie treten deshlb in vielen Disziplinen wie der Physik, Chemie oder Biologie uf. Meistens können diese Differentilgleichungen nicht exkt gelöst werden, weshlb numerische Methoden entwickelt werden müssen um die Lösungen zu pproximieren. Als einfches Beispiel wollen wir dir Differentilgleichung y (t) = C y(t), y(0) = 1 (3.2) betrchten, wobei C 0 eine Konstnte ist. Es ist leicht zu sehen, dss die Lösung dieser Gleichung durch y(t) = e C t gegeben ist, dennoch wollen wir die Lösung von (3.2) mit Hilfe numerischer Differentition pproximieren. Beispiel 3.1 zeigt, dss y (t) durch y (t) y(t + h) y(t) h für gegebenes h pproximiert werden knn. Die knn umgeformt werden zu y(t + h) y(t) + h y (t). Dies motiviert ein Lösungsverfhren zur Bestimmung von (3.2). Sei h fest und t 0 = 0, t 1 = h, t 2 = 2h,.... Wir bezeichnen die Approximtion der Lösung y im Punkt t k ls y k. Dnn können diese Werte rekursiv durch y 0 = 1 y k+1 = y k + h y (t k ) = y k + h C y k berechnet werden. Dies wird ls Euler Verfhren bezeichnet. Bild (3.1) zeigt die exkte und numerische Lösungen der Differentilgleichung y = 2y, y(0) = 1. Als Schrittweiten wurden h = 0.1 und h = 0.2 gewählt. Wie zu erwrten wr, liefert ds Euler Verfhren mit kleinerer Schrittweite eine genuere Approximtion. 3.2 Numerische Integrtion Sei [, b] ein Intervll und f eine Funktion. Wir wollen uns in diesem Kpitel mit der Frge beschäftigen wie mn ds Integrl I(f) := f(x)dx uf geeignete Weise pproximieren knn. Die numerischen Methoden, die wir kennenlernen werden bsieren uf dem Prinzip: Ersetze die Funktion f durch eine Approximtion p und berechne ds Integrl Qf := p(x)dx exkt. Flls p eine hinreichend gute Approximtion n f drstellt gilt If Qf. Dies soll im Folgenden präzisiert werden. 23

24 Abbildung 3.1: Exkte und numerische Lösungen der Differentilgleichung y = 2y, y(0) = Zusmmengesetzte Trpezregel Wir führen zunächst eine äquidistnte Unterteilung des Intervlls [, b] : = x 0 < x 1 < < x n = b ein, wobei x k = + h k und h = b n. Wir nehmen n, dss f C2 ([, b]) und interpolieren f nun uf jedem Teilintervll [x k, x k+1 ] mit einer lineren Funktion in den Stützstellen x k und x k+1. Wir hben bereits gesehen, dss für x [x k, x k+1 ] f(x) = p 1 (f, x) + R(x) = f k + (x x k )[x k, x k+1 ]f + (x x k )(x x k+1 ) f (ξ x ) 2 gilt. Somit gilt die Approximtion (3.3) xk+1 x k f(x)dx = xk+1 x k xk+1 x k p 1 (f, x)dx (f k + (x x k )[x k, x k+1 ]f) dx = hf k + [x k, x k+1 ]f = hf k h2 [x k, x k+1 ]f = h 2 (f k + f k+1 ). ( 1 2 x2 k+1 x kx k+1 1 ) 2 x2 k + x2 k 24

25 Aufgrund der Linerität des Integrls ergibt sich somit Q n T I(f) = n 1 f(x)dx = n 1 xk+1 x k f(x)dx h 2 (f k + f k+1 ) = h ( 1 2 f 0 + f 1 + f n f n ) =: Q n T (f) ist die sogennnte zusmmengesetzte Trpezregel. Sie entspricht der exkten Integrtion der stückweise lineren Interpoltion von f. Der Fehler dieser Approximtion lässt sich mit Hilfe der Fehlerdrstellung in (3.3) bschätzen durch n 1 I(f) Q n T (f) = n 1 xk+1 (x x k )(x x k+1 ) f (ξ x ) x k 2 1 f 2,[xk,x k+1 ] = 1 2 n 1 xk+1 x k f h 3,[xk,x k+1 ] 6 b 12 h2 f,[,b] dx (x x k )(x x k+1 ) dx Die zusmmengesetzte Trpezregel mit äquidistnten Stützstellen konvergiert für f C 2 ([, b]) lso mit der Rte h 2, wobei h die Länge der Teilintervlle bezeichnet Zusmmengesetzte Simpsonregel Ansttt in jedem Teilintervll den Integrnden liner zu interpolieren, wollen wir nun über zwei Teilintervlle hinweg qudrtisch interpolieren. Sei wieder eine Unterteilung wie oben in äquidistnte Teilintervlle der Länge h. Die qudrtische Interpoltion in den Stützstellen x i 1, x i, x i+1 knn mit Hilfe Newtonscher dividierter Differenzen drgestellt werden ls p 2 (f, x) = f i 1 + (x x i 1 )[x i 1, x i ]f + (x x i 1 )(x x i )[x i 1, x i, x i+1 ]f = f i 1 + (x x i 1 ) f i f i 1 h = f i 1 + (x x i 1 ) f i f i 1 h Integrtion über [x i 1, x i+1 ] ergibt f i+1 f i h f i f i 1 h + (x x i 1 )(x x i ) 2h + (x x i 1 )(x x i ) f i+1 2f i + f i 1 2h 2 xi+1 x i 1 f(x)dx xi+1 x i 1 p 2 (f, x)dx = f i 1 (2h) + f i f i 1 (2h 2 ) + f i+1 2f i + f i 1 h 2h 2 = h 3 (f i 1 + 4f i + f i+1 ) ( ) 2 3 h3 25

26 Wenn wir nnehmen, dss die Anzhl der Stützstellen n gerde ist, ergibt die Summtion über i die Formel I(f) = f(x)dx = n/2 x2k k=1 n/2 k=1 x 2k 2 f(x)dx h 3 (f 2k 2 + 4f 2k 1 + f 2k ) = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 2 + 2f f n 1 + f n ) =: Q n S(f) Diese Formel wird zusmmengesetzte Simpsonregel gennnt. Für den Fehler der Simpsonregel knn folgende Abschätzung bewiesen werden. Stz 3.2 Sei f C 4 ([, b]) und eine gerde Anzhl,n, von Teilintervllen der Länge h gegeben. Dnn gilt I(f) Q n S(f) h4 180 (b ) f (4),[,b]. Die Simpsonregel konvergiert lso um zwei Ordnungen besser ls die Trpezregel bei derselben Anzhl von Funktionsuswertungen. Beispiel 3.4 Wir wollen ds Integrl I = π/2 0 cos(x) mit dem exkten Wert I = 1 mit Hilfe der Simpsonregel und n = 4 pproximieren. Somit gilt h = π 8. Somit erhlten wir Q 5 S(f) = π [cos(0) + 4 cos(π/8) + 2 cos(2π/8) + 4 cos(3π/8) + cos(4π/8)] Für den Fehler gilt lso I(f) Q n S (f) Die Fehlerbschätzung us Stz 3.2 liefert die Fehlerschrnke π π 2 cos(4) ( ),[,b] In diesem Fll gibt die theoretische Schrnke den ttsächlichen Fehler lso reltiv genu wieder (Gewichtete) Newton-Cotes und Guss Formeln Wir wollen die oben kennengelernte Konzepte nun verllgemeinern und Qudrturformeln der Form w(t)f(t)dt = w k f(t k ) + E n (f) (3.4) konstruieren. Hier ist ω(t) eine positive Gewichtsfunktion, die im Intervll [, b] integrierbr sein soll. Beispielsweise ω(t) 1 oder ω(t) = t. Unser Ziel ist es nun Gewichte w k und Stützstellen t k zu finden, sodss w(t)f(t)dt w k f(t k ) =: Q n (f) (3.5) 26

27 eine gute Approximtion des Integrls liefert. Die Idee besteht nun drin die Gewichte und Stützstellen so zu wählen, dss Polynome möglichst hoher Ordnung exkt integriert werden, d.h. es soll w(t)p l (t)dt = w k p l (t k ) für p l P l gelten, wobei l möglichst gross sein soll. Für die Gewichtsfunktion werden wir im Folgenden immer vorussetzen, dss die Integrle t s w(t)dt für s = 0, 1, 2,..., existieren und endlich sind. Um beurteilen zu können, ob eine Qudrturformel Polynome exkt integriert, führen wir den Begriff Exktheitsgrd ein Definition 3.1 Eine Qudrturformel der Form (3.4) ht den Exkheitsgrd d, flls E n (p) = 0 für lle Polynome p P d und es mindestens ein Polynom p P d+1 gibt mit E n ( p) 0. Die Formel heisst interpoltorisch, flls d = n. Wir wollen nun eine Qudrturformel der Form (3.4) herleiten, welche Exktheitsgrd n besitzt, lso Polynome vom Grd n exkt integriert. Dzu verwenden wir Interpoltion. Wie wir gesehen hben, knn ein beliebiges Polynom p P n mit Hilfe der Lgrnge Bsis usgedrückt werden. Seien t 0, t 1,..., t n wieder verschiedene Stützstellen im Intervll [, b]. Dnn gilt wobei p(t) = l k (t) = p(t k )l k (t), n j=0,j k t t j t k t j wieder die Lgrnge Bsis Funktionen sind. Somit gilt w(t)p(t)dt = = w(t) p(t k ) p(t k )l k (t)dt w(t)l k (t)dt. Für eine gegebene Stützstellenmenge Θ n = {t 0,..., t n } knn lso immer eine Qudrturformel mit Exktheitsgrd n konstruiert werden. Diese ist gegeben durch Q NC n (f) = w k f(t k ), mit w k = w(t)l k (t)dt (3.6) und wird Newton-Cotes Formel gennnt. Die Newton-Cotes Formeln sind interpoltorisch. 27

28 Beispiel 3.5 Es seien Integrle des Typs I(f) = 1 0 tf(t)dx gegeben. Es soll nun eine interpoltorische Qudrturformel der Form Q 1 (f) = w 0 f(0) + w 1 f(1) konstruiert werden. Dzu setzen wir t 0 = 0, t 1 = 1, w(t) = t und verwenden (3.6) um die ensprechenden Gewichte für die Qudrturformel zu berechnen. Dmit gilt und w 0 = 1 0 w 1 = t t t 1 t 0 t 1 dx = t t t 0 t 1 t 0 dt = t t dt = t 3/2 dt = 2 5 Die gesuchte Qudrturformel ist lso Q 1 (f) = 4 15 f(0) f(1). Bei den Newton-Cotes Formeln wird eine Stützstellenmenge Θ n vorgegeben und die Gewichte gemäss (3.6) berechnet. Es stellt sich nun die Frge ob durch eine geschickte Whl der Stützstellen ein Exktheitsgrd von d > n erreicht werden knn. Wir bezeichnen mit ω n (t) = n (t t k ) wieder ds Stützstellenpolynom. Dnn gilt der folgende Stz: Stz 3.3 Sei k eine ntürliche Zhl mit 0 k n + 1. Die Qudrturformel (3.5) ht Exktheitsgrd d = n + k genu dnn wenn beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind: () Die Qudrturformel ist interpoltorisch. (b) Für ds Stützstellenpolynom gilt Bemerkung 3.1 ω n (t)p(t)w(t)dt = 0 für lle p P k 1. Bedingung (b) ist ls Bedingung n die Stützstellen t 0,... t n zu verstehen. Für eine gegebene Gewichtsfunktion w(t) müssen die Stützstellen so gewählt werden, dss die obige Orthogonlitätsreltion erfüllt ist. Im Fll k = 0 stellt (b) keine Bedingung n die Stützstellen, d dnn für jede Stützstellenmenge der Exktheitsgrd d = n erreicht werden knn (Newton-Cotes Formeln). Bedingung (b) besgt, dss ds Stützstellenpolynom ω n orthogonl zum Rum P k 1 bezüglich der Gewichtsfunktion w ist. D w(t) 0, muss deshlb k n + 1 gelten. Ansonsten müsste ω n orthogonl zum Rum P n+1 sein, lso insbesondere orthogonl zu sich selbst. D ber ist dies unmöglich. ω n (t) 2 w(t)dt > 0, 28

29 Die Whl k = n + 1 ist lso in dem Sinn optiml, dss sie eine Qudrturformel (bsierend uf n + 1 Stützstellen) mit mximlem Exktheitsgrd d = 2n + 1 liefert. Solche Formeln werden ls Gusssche Qudrturformeln bezeichnet. Beweis von Stz 3.3. Wir zeigen zunächst die Hinrichtung: Flls die Qudrturformel Exktheitsgrd d = n+k ht, dnn gilt () und (b). D die Formel Exktheitsgrd n + k ht, ist sie trivilerweise interpoltorisch. Somit gilt (). Sei nun ein p P k 1 gegeben. Dnn gilt ω n (t)p(t) P n+k. D die Qudrturformel nch Vorussetzung Polynome vom Grd n + k exkt integriert gilt ω n (t)p(t)w(t)dt = d ω n (t j ) = 0 für 0 j n. Somit gilt (b). w j ω n (t j )p(t j ) = 0, j=0 Wir zeigen nun die Rückrichtung: Flls () und (b) gilt, ht die Qudrturformel Exktheitsgrd d = n + k. Es muss gezeigt werden, dss ein Polynom p P n+k exkt integriert wird. Wir verwenden Polynomdivision mit Rest und schreiben mit q P k 1 und r P n. Dmit gilt p(t)w(t)dt = p(t) = q(t)ω n (t) + r(t) q(t)ω n (t)w(t)dt + r(t)w(t)dt Wegen Vorussetzung (b) verschwindet ds erste Integrl uf der rechten Seite. Für ds zweite Integrl ergibt sich mit Vorussetzung () und r P n, dss r(t)w(t)dt = w j r(t j ) = j=0 w j [p(t j ) q(t j )ω n (t j )] = j=0 w j p(t j ), wobei wieder verwendet wurde, dss die t j Nullstellen des Stützstellenpolynoms sind. Somit gilt lso p(t)w(t)dt = w j p(t j ), d.h. ds Polynom wird exkt integriert. Beispiel 3.6 Wir möchten Newton-Cotes und Guss Formeln für n = 2 miteinnder vergleichen. Dzu betrchen wir Integrle des Typs 1 0 j=0 t 1/2 f(t)dt. j=0 29

30 Bei den Newton-Cotes Formeln sind die Stützstellen vorgeschrieben und werden hier ls Endpunkte des Intervlls gewählt. Die beiden Qudrturformeln sind lso von der Form Q NC 1 (f) = w NC 0 f(0) + w NC 1 f(1) Q G 1 (f) = w G 0 f(t 0 ) + w G 1 f(t 1 ) Um die Gewichte der Newton-Cotes Formel zu berechnen wird wieder Formel (3.6) ngewendet. Dies liefert mit w(t) = t 1/2 : w NC 0 = w G 1 = t 1/2 l 0 (t)dt = t 1/2 l 1 (t)dt = t 1/2 t dt = t 1/2 t dt = Somit lutet die zugehörige 2-Punkt Newton-Cotes Formel Q NC 1 (f) = 4 3 f(0) f(1) 0 t 1/2 t 1/2 dt = 4 3, t 1/2 dt = 2 3. Aufgrund der Singulrität in der Gewichtsfunktion wird der Wert f(0) doppelt gewichtet. Um die zwei Stützstellen für die Guss Qudrtur zu bestimmen, muss ds zugehörige Stützstellenpolynom orthogonl uf dem Rum P 1 bezüglich w sein. Sei ds Stützstellenpolynom in der Form π 1 (t) = t 2 + p 1 t + p 2 gegeben. Dieses muss orthogonl zur konstnten Funktion 1, sowie zu t sein. Somit müssen die Gleichungen 0 = 0 = t 1/2 π 1 (t)dt = t 1/2 tπ 1 (t)dt = erfüllt sein. Die führt uf ds linere Gleichungssystem 0 (t 3/2 + p 1 t 1/2 + p 2 t 1/2 )dt = p 1 + 2p 2 (t 5/2 + p 1 t 3/2 + p 2 t 1/2 )dt = p p p 1 p 2 = p p 2 = 1 7, dessen Lösung durch p 1 = 6 7 und p 2 = 3 35 gegeben ist. Ds Orthogonlpolynom bzw. Stützstellenpolynom ist lso durch π 1 (t) = t t gegeben. Die Stützstellen der Guss-Qudrtur sind die Nullstellen von π 1. Somit ( t 0 = 1 ) = ( t 1 = 1 ) = ,

31 Um die Gewichte von Q G 1 (f) zu bestimmen, knn wieder Formel (3.6) verwendet werden. Es ist llerdings einfcher erneut ein lineres Gleichungssystem ufzustellen und uszunutzen, dss die Formel für f(t) = 1 und f(t) = t exkt ist. Dies ergibt Q G 1 (1) = w G 0 + w G 1 Q G 1 (t) = t 0 w G 0 + t 1 w G 1 1! = 0! = 1 0 t 1/2 dt = 2 t 1/2 t dt = 2 3, w0 G = 2t = t 0 t = w1 G = 2t = t 0 t = , Für die 2-Punkt Guss Formel ergibt sich somit ( Q G 1 (f) = ) ( ( )) ( f ) ( ( )) f Auch hier ist ds Gewicht w0 G grösser ls wg 1 um der Singulrität der Gewichtsfunktion Rechnung zu trgen. Wir illustrieren die Formeln für die Funktion f(t) = cos(0.5πt 2 ). Es gilt I = 1 0 t 1/2 cos(0.5πt 2 )dt = Die Newton-Cotes und Guss Formel liefern folgende Approximtionen n I: Für die Fehler ergibt sich I NC = 4 3 = I G = , E NC 2 = bzw. E G 2 = Dies zeigt die Überlegenheit von Guss Formeln sogr für n = 2. Im Folgenden werden wir einige nützliche Eigenschften von Guss Qudrturformeln kennenlernen. Bemerkung 3.2 () Die Stützstellen t k von Gussschen Qudrturformeln sind reel, verschieden und im offenen Intervll (, b) enthlten. (b) Die Gewichte w k sind positiv. Beweis. () Seien t k, 0 k n die Stützstellen der Guss Formel und ω n ds zugehörige Stützstellenpolynom. Seien weiterhin < t k0 < t k1 < < t kl < b diejenigen Stützstelln in 31

32 denen ω n ds Vorzeichen wechselt. Wir zeigen l = n durch Widerspruch. Angenommen l < n und sei l q(t) = (t t kl ) P l+1. j=0 Aufgrund der Orthogonlität von ω n zu q bezüglich der Gewichtsfunktion w gilt ω n(t)q(t)w(t)dt = 0. Andererseits hben wir q so konstruiert, dss die Funktion ω n (t)q(t)w(t) ihr Vorzeichen in (, b) nicht wechselt, weshlb ω n(t)q(t)w(t)dt 0 gilt. Dies ist ein Widerspruch, sodss die Annhme l < n flsch gewesen sein muss. Somit gilt l = n und die Stützstellen sind verschieden und im Intervll (, b) enthlten. (b) Wir bezeichnen mit l i P n wieder die Lgrnge Bsisfunktionen. D die Guss Formeln mit (n + 1) Stützstellen den Exktheitsgrd 2n + 1 besitzen gilt 0 < l i (t) 2 w(t)dt = w k l i (t k ) 2 = w i für 0 i n. Fehlerbschätzungen Wir wollen im Folgenden llgemeine Fehlerbschätzungen für Qudrturformeln der Form (3.4), zu denen die Newton-Cotes und Guss Formeln gehören, herleiten. Sei lso wieder I(f) = Dnn gilt der folgende Stz: w(t)f(t)dt, und Q n (f) = w k f(t k ). Stz 3.4 Sei [, b] ein Intervll und f C 0 ([, b]) eine Funktion. Die Qudrturformel Q n besitze den Exktheitsgrd 0 k 2n + 1. Dnn gilt ( I(f) Q n (f) ) w(t)dt (1 + C Q,n ) inf f p,[,b], p P k (3.7) wobei C Q,n = n i=0 w i n i=0 w. (3.8) i Beweis. Wir bezeichnen den Fehler der Qudrturformel wie in (3.4) wieder mit E n (f) = I(f) Q n (f). Um den Fehler bschätzen zu können benötigen wir zunächst Abschätzungen für I(f) und Q n (f). Es gilt: I(f) = w(t)f(t)dt w(t)dt f,[,b]. 32