Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Laurentreihe und Residuensatz

Transkript

1 Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Laurentreihe und Residuensat Autor: Benjamin Rüth, Korbinian Singhammer Stand: 3. Mär 05

2 Aufgabe Laurentreihe Entwickeln Sie die Funktion in Laurentreihen. Wie viele solcher Reihen gibt es und in welchen Gebieten sind sie jeweils gültig? Bestimmen Sie für jeden Fall die Koeffiienten der Reihe.Bestimmen Sie ferner die Residuen der Funktion in den Polen. Lösung:Um die Funktion besser untersuchen u können führen wir uerst eine Partialbrucherlegung durch und erhalten Die drei Summanden können wir nun unabhängig voneinander betrachten. erster Summand für < n Daraus folgt für die Koeffiienten a n, wenn n 0, sonst a n 0. für > n n n n Daraus folgt für die Koeffiienten a n, wenn n > 0, sonst a n 0. weiter Summand für < + n n n Daraus folgt für die Koeffiienten a n n, wenn n 0, sonst a n 0. für > + + n n n n n n Daraus folgt für die Koeffiienten a n n, wenn n > 0, sonst a n 0.

3 dritter Summand für < n n n 3n+ Daraus folgt für die Koeffiienten a n n 3 n+, wenn n 0, sonst a n 0. für > n 3 n n 3 n n n Daraus folgt für die Koeffiienten a n 3 n, wenn n > 0, sonst a n 0. Die einelnen Summanden können wir jett wieder usammenfügen und wir erhalten die Laurentreihe der Funktion: für < für < < 3 + n f + n 3 n+ n n + n f 3 n+ n + n n für 3 < + n f 3 n n Aufgabe Laurentreihe Man gebe für f alle möglichen Entwicklungen i nach Potenen von + i an. Welche Darstellung konvergiert für /? n Lösung: Der Integrand f i i i i ist holomorph in C\{0, i}. Die beiden Pole 0 und i bestimmen um den Entwicklungspunkt 0 i drei Kreisringgebiete, in denen f holomorph ist: + i <, < + i <, + i >. 3

4 Das sind die Konvergengebiete einer Laurententwicklung von f mit Entwicklungspunkt 0 i. + i < : Für beide Stammbrüche Taylor: i + i i i +i + i n, + i < + i <, i i i i + i i i +i + i n, + i < + i <. i i i i Damit erhalten wir die folgende Entwicklung für f: f [ n n ] + i n, + i <. i i < + i < : Für i Taylor, für Laurent: + i i + i i + i i i i i n, + i + i +i n siehe Rechnung für + i <. Damit erhalten wir die folgende Entwicklung für f: f + i n i n+ + i + i n i n mit a n für n und an Stammbrüche Laurent: i + i i + i i + i i i + i < + i >, a n + i n, < + i <. n für n 0. + i > : Für beide + i i i n i, < + i >, + i + i + i +i n siehe Rechnung für < + i <. Damit erhalten wir die folgende Entwicklung für f: f n i n i n, + i >. + i n+ Da in < +i < liegt, konvergiert für Entwicklung. die für diesen Bereich angegebene Aufgabe 3 Laurentreihe Man berechne die Laurentreihen von 4

5 3. cosh um 0 3. cos 3.3 e um für 0 < < π um 0 es reichen die ersten Summanden ungleich 0 Lösung:. Unter Verwendung der bekannten cosh-reihe erhält man mit w / : cosh w Diese Reihe konvergiert für > 0. n! wn, w C, cosh n! 4n.. Wir benuten die bekannte Entwicklung des Kosinus: cos! 4 4! + 6 6! +... n n n! n. Somit ist 0 weifache Nullstelle von cos, daher weifacher Pol von f. Da f eine gerade Funktion ist, kann man folgenden Ansat machen: Somit ist c f cos c c0 + c 4 c f c + c 0 + c + c c 0 + c + c c c c 70! 4 4! + 6 6! c4 c 4 + c 0 70 c 8! + Ein Koeffiientenvergleich liefert nun c, c 0 6, c 0, c Damit erhalten wir: f , 0 < < π Mit der bekannten Entwicklung der Exponentialfunktion gilt: e e e e n n! m e m +! m. 5

6 Aufgabe 4 Laurentreihe Bestimmen Sie jeweils die Laurentreihen von f mit dem Entwicklungspunkt 0 0 und geben Sie die Konvergengebiete an: 4. f f sin 3 Lösung:. Die Funktion f 3 + hat einfache Pole in, und ist somit um den Entwicklungspunkt 0 0 holomorph in den Kreisringgebieten < : Für beide Brüche Taylor: f <, < <, >. + n + n n+ n. < < : Für Taylor, für Laurent: f n n n n n n+. > : Für beide Brüche Laurent: f n n n n+.. Die Funktion f sin ! + 5 5! ! + 5! 4 7! +... hat das Konvergengebiet 0 < <, da die Sinusreihe in C konvergiert. Aus dem Hauptteil der Laurententwicklung ist abulesen, dass 0 ein Pol. Ordnung ist. 6

7 Aufgabe 5 Laurentreihe Die rationale Funktion f besite um 0 die Potenreihenentwicklung f n n mit Konvergenradius. Bestimmen Sie Res f. Tipp: Versuchen Sie die angegebene, unendliche Laurentreihe mithilfe der geometrischen Reihe in eine endliche Summe umuwandeln. Lösung: Die gegebene Potenreihe erinnert uns bereits grob an eine geometrische Reihe, nur das n stört uns. Wir verwenden den Ableitungstrick, um das n u beseitigen, dafür müssen wir die Reihe jedoch uerst umformen: f n n n + n n n + n n d n n d n d n n d Die beiden geometrischen Reihen können wir nun gan einfach umformen: Dadurch erhalten wir f d d n. Das ist bereits eine Laurentreihe um den Entwicklungspunkt! f k Z c k k Das Residuum können wir also einfach auf c ablesen: Res f c Aufgabe 6 Singularitäten und Residuen Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen f Lage und Art der isolierten Singularitäten sowie die ugehörigen Residuen: 6. f f cos n 7

8 6.3 f cos 6.4 f cos / 6.5 f f sin Lösung: Man beachte unser Reept um Bestimmen des Residuums einer Funktion f.. Die Nullstellen des Nenners von f g h, ± und 3,4 ±i. 4 6 g h sind Wegen g k 0 und h k 0 sind die k einfache Pole von f, als Residuum erhalten wir daher in diesen vier Stellen: Res k f g k h k k 4k 3 { ± 8, k, 4 k 8 i, k 3, 4.. Wir bestimmen die Laurentreihenentwicklung von f cos und lesen daran n das Residuum ab: f n +! 4! ! n 4! 4 n + 6! 6 n Wir unterscheiden die folgenden Fälle: n, : Die Laurentreihe hat keine Glieder mit negativen Exponenten von. Somit ist 0 hebbare Singularität und Res 0 f 0. n 3: Aus der Laurentreihe liest man ab: f hat bei 0 einen Pol. Ordnung und Res 0 f /. n 4: Aus der Laurentreihe liest man ab: f hat bei 0 einen Pol. Ordnung und Res 0 f 0..3 Wieder bestimmen wir die Laurentreihe und entscheiden dann: f cos! + 4! 4! 3 + 4! 5 6! 7. Es ist damit 0 eine wesentliche Singularität, da der Hauptteil der Laurentreihe unendlich viele Glieder 0 enthält, und es gilt Res 0 f. 8

9 .4 Die Funktion f cos hat bei / k π/+kπ einfache Pole, die sich gegen 0 häufen. Somit ist 0 eine nicht isolierte Singularität und somit Res 0 f nicht erklärt, weiter erhalten wir: Res k f k sin k k k. π k + k.5 Die Nullstellen des Nenners h der Funktion f g h sind ,,3 ±3i je einfach. Wegen g k 0 sind k einfache Pole, wir erhalten: Res k f g k h k und Res f Res,3 f Wir betrachten die Nullstellen des Nenners h der Funktion f g h 0 ist hebbare Singularität, da lim 0 sin Res 0 f 0., daher gilt: sin : k kπ mit k Z \ {0}: Wegen h k cos kπ 0 und g k kπ 0 sind k Pole. Ordnung, wir erhalten: Res k f g k h k Aufgabe 7 Residuensat Berechnen Sie für kπ cos kπ k k π, k Z \ {0}. f 7. Res 0 f uerst durch expliite Integration, mithilfe der Formel für Brüche Res 0 g /h g 0 /h 0 und ulett mithilfe der Laurentreihe von f Konvergenbereich beachten!. 7. das Integral fd mithilfe des Residuensates und der Cauchy schen Integralformel. Lösung:. Durch expliite Integration kann man das gesuchte Residuum durch Res 0 f fd πi ρ 9

10 bestimmen. Wir parametrisieren ρ mit γt + ρe itπ t [0, ]. Durch Einseten der Parametrisierung in obige Formel erhalten wir Res 0 f fd πi γ fγt γdt πi 0 πi 0 0 ρe itπ ρeitπ iπdt ρe itπ eitπ ρdt Das gleiche Ergebnis erhalten wir unter Verwendeung der Formel aus der Vorlesung: Res 0 f Res 0 g h g 0 h 0 Wollen wir das Residuum aus der Laurentreihe ablesen, so müssen wir uerst den Term isolieren, um die Laurentreihe um den Entwicklungspunkt 0 u erhalten: + Der lette Ausdruck ist bereits eine Laurentreihe um den Entwicklungspunkt 0! Wir lesen also einfach ab c Res 0 f.. Wir Verwenden die Cauchy sche Integralformel: g 0 πi g d g, 0 0 πi πi d g 0 d πi Der Residuensat liefert unter Verwendung des uvor berechneten Residuums Res 0 f sofort d πires 0 f Ind 0 γ πi Aufgabe 8 Residuensat Berechnen Sie die folgenden Integrale für γφ 3 eiφ +, φ [0; π]. 0

11 γ γ e d γ cot πd sin π d Lösung:.Wir verwenden für beide Residuen die Formel aus der Vorlesung: und erhalten Res 0 f k! lim d k 0 d k 0 k f Res 0 f Res f e mit dem Residuensat ergibt sich der Wert des Integrals u πie..wir verwenden für beide Residuen die Formel aus der Vorlesung: Dau formen wir f um: Res 0 g h g 0 h 0 f cotπ cosπ sinπ g h Es gilt h cosππ. Daraus folgt für die Residuen in den Polen von f Res 0 f cosπ0 cosπ0π π Res f cosπ0 cosπ0π π mit dem Residuensat ergibt sich der Wert des Integrals u 4i..3Wir verwenden für das Residuum um die Formel und für das Residuum um 0 die Formel. Das Residuum um 0 können wir erst durch weimalige Anwendung von L Hospital auf den Grenwert angeben. Es ergibt sich: Res 0 f 0 Res f π mit dem Residuensat ergibt sich der Wert des Integrals u i.

12 Aufgabe 9 Residuensat Man berechne die folgenden Integrale: π 0 dx + x 6 dt sin t x x + 4 dx Lösung:. Die Singularitäten von f + 6 sind einfache Pole bei k e i π 6 +k π 3 für k 0,,..., 5. In der oberen Halbebene befinden sich 0 e i π 6, i, e i 5π 6. Als Residuen erhalten wir: Res k f 6 5 k Res 0 f 6 e i 5π 6 und Res f i 6 Res f 6 5π e i 6. Damit erhalten wir + x 6 dx πi i π 3 k0 Res k f πi 6 e i 5π 6 i + e i π 6 cos 5π 6 i sin 5π 6 i + cos π 6 i sin π 6 i π 3 i i i π 3.. Wir substituieren e iϕ, d ie iϕ dφ idφ, 0 ϕ π: I i i 3 + 0i 3. Die Singularitäten von f 3 +0i 3 sind die Nullstellen des Nenners: i 0, 5 3 i ± 4 3 i { 3 i 3i. Nur 0 i /3 liegt innerhalb des Einheitskreises. Das Residuum ermitteln wir mittels einer Partialbrucherlegung, es gilt 3 + 0i i 3 + 3i 4i + i. + 3i 3

13 Damit erhalten wir Res 0 f 4i. Es gilt: π 0 dt sint 4i πi π..3 Aus Aufgabe 6 kennen wir die Singularitäten und auch die Residuen. Daher erhalten wir: fxx πires i f πi i π 8 4. Aufgabe 0 Residuensat Man bestimme für die Funktion f e 0. Lage und Art der Singularitäten in C 0. den Wert von fd Lösung:. f besitt folgende Singularitäten: ist Nullstelle von Zähler und Nenner einfach, somit hebbare Singularität. 0 ist wesentliche Singularität.. Res f 0. Zur Ermittlung von Res 0 f werde f um 0 in eine Laurent- Reihe entwickelt, dau beachte man: e e e e n! n, e und e n! n Damit erhalten wir: f e Der Koeffiient von ist e Daher folgt n, <. n! n n, 0 < <. n n! e e Res 0 f. fd πi Res 0 f + Res f πi e. 3