Algebraische Strukturen
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- Frieda Krause
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1 Peter Hellekalek Algebraische Strukturen Skriptum 28. Jänner 2014
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3 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen Definitionen Normalteiler und Faktorgruppen Homomorphismen Die Struktur der primen Restklassengruppe: noch einarbeiten! Der Diffie-Hellman Schlüsselaustausch: noch einarbeiten! Ringe, Schiefkörper und Körper Definitionen Idealtheorie Polynomringe Der Hauptidealring K[X] Der Fundamentalsatz der Algebra Erweiterungskörper, algebraische Erweiterungen und Minimalpolynom Endliche Körpererweiterungen Zerfällungskörper Endliche Körper Einleitung Existenz und Eindeutigkeit F q ist zyklisch Konjugierte Elemente und Nullstellen irreduzibler Polynome Darstellungsvarianten Quadratische Reste
4 4 Inhaltsverzeichnis 3.7 Zusammenfassung Literaturempfehlungen Literatur
5 1 Gruppen Inhalt Der Begriff der Gruppe ist ein grundlegendes Konzept der modernen Algebra. Er tritt in vielen anderen mathematischen Disziplinen auf. Ziel Wir lernen zentrale Konzepte der Algebra kennen, auf denen alles Weitere aufbaut. Stichwörter Die Stichwörter zu diesem Kapitel lauten Halbgruppe, Monoid, Gruppe Untergruppen und Normalteiler Faktorgruppen (Gruppen-)Homomorphismen und Isomorphismen Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen Literatur R. Lidl und G. Pilz. Angewandte abstrakte Algebra I. Bibliographisches Institut, Mannheim, (Vergriffen) R. Lidl and G. Pilz. Applied Abstract Algebra. 2nd Edition. Springer Verlag, Berlin 1998.
6 6 1 Gruppen 1.1 Definitionen Beispiel 1.1 Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gilt: (G1) a, b Z : a + b Z (G2) Es gilt das sogenannte Assoziativgesetz, a, b, c Z : a + (b + c) = (a + b) + c. (G3) Es existiert ein sogenanntes neutrales Element in Z, Dies ist natürlich die Zahl 0. a Z e Z : a + e = e + a = a. (G4) Zu jedem a Z existiert ein sogenanntes inverses Element a in Z, a Z a Z : a + ( a) = ( a) + a = e. (G5) Es gilt das sogenannte Kommutativgesetz, a, b Z : a + b = b + a. Beispiel 1.2 Wenn wir die Menge Z m = { 0, 1,..., m 1 } der Restklassen modulo m betrachten (m Z, m 2), dann gilt: (G1) a, b Z m : a + b Z m (G2) Es gilt das Assoziativgesetz, a, b, c Z m : a + (b + c) = (a + b) + c. (G3) Es existiert ein neutrales Element in Z m, a Z m e Z m : a + e = e + a = a. Dies ist natürlich die Restklasse 0. (G4) Zu jedem a Z m existiert ein inverses Element a in Z m, a Z m a Z m : a + ( a) = ( a) + a = e. (G5) Es gilt das Kommutativgesetz, a, b Z m : a + b = b + a. Beachten Sie: jede Restklasse a ist eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Es ist erstaunlich, daß man mit solchen Mengen wie mit ganzen Zahlen rechnen kann, siehe die Eigenschaften (G1) bis (G5).
7 1.1 Definitionen 7 Beispiel 1.3 Wenn wir die Menge der stetigen, reellwertigen Funktionen vom Intervall [0, 1] in die reellen Zahlen mit dem Symbol C([0, 1]) bezeichnen und die Summe f +g zweier Funktionen f, g C([0, 1]) durch die Definition festlegen, dann gilt: (f + g)(x) := f(x) + g(x), x [0, 1] (G1) f, g C([0, 1]) : f + g C([0, 1]). (G2) Es gilt das Assoziativgesetz: f, g, h C([0, 1]) : f + (g + h) = (f + g) + h. (G3) Es existiert ein neutrales Element in C([0, 1]), f C([0, 1]) e C([0, 1]) : f + e = e + f = f. Die Funktion e ist die Nullfunktion, e(x) = 0 x [0, 1]. (G4) Zu jedem f C([0, 1]) existiert ein inverses Element f in C([0, 1]), f C([0, 1]) f C([0, 1]) : f + ( f) = ( f) + f = e. (G5) Es gilt das Kommutativgesetz, f, g C([0, 1]) : f + g = g + f. Beispiel 1.4 Wenn wir die Menge der regulären 2 2-Matrizen über R mit GL(2, R) bezeichnen und auf der Menge GL(2, R) das Produkt zweier Matrizen betrachten, dann gilt: (G1) A, B GL(2, R) : (G2) Es gilt das Assoziativgesetz, A B GL(2, R). A (B C) = (A B) C A, B, C GL(2, R). (G3) Es existiert ein neutrales Element E in GL(2, R), E GL(2, R) : A E = E A = A A GL(2, R). ( ) 1 0 E ist die Einheitsmatrix E =. 0 1 (G4) Zu jedem A GL(2, R) existiert ein inverses Element A 1 in GL(2, R), A GL(2, R) A 1 GL(2, R) : A A 1 = A 1 A = E.
8 8 1 Gruppen (G5) Das Kommutativgesetz gilt allerdings nicht: A, B GL(2, R) : A B B A. Bemerkung 1.5 Wir haben in Beispiel 1.1 mit ganzen Zahlen gerechnet und die Eigenschaften (G1) bis (G5) festgestellt. In Beispiel 1.2 haben wir mit Mengen (Restklassen sind ja Mengen!) und in Beispiel 1.3 mit Funktionen gerechnet, wie wenn es sich um Zahlen handeln würde. In Beispiel 1.4 haben wir als Grundmenge die Menge GL(2, R) gewählt und ebenfalls einen Großteil dieser Eigenschaften wiedergefunden, allerdings war in Gegensatz zu den anderen Beispielen die Eigenschaft (G5) nicht erfüllt. Die Vorgangsweise war in all diesen Beispielen die gleiche: wir haben zwei beliebige Elemente a, b einer Grundmenge G genommen und diesen beiden Elementen ein drittes Element mit Namen a + b (siehe die ersten Beispiele) oder mit Namen a b (siehe Beispiel 1.4) zugeordnet. Das neue Element lag wieder in der Grundmenge G, siehe dazu jeweils die Eigenschaft (G1). Man sagt dazu: die Elemente a und b wurden miteinander verknüpft und nennt die Operation (bei uns + beziehungsweise ) die Verknüpfungsvorschrift. Wir konnten dann mit diesen Elementen (Zahlen, Mengen, Funktionen, Matrizen) im Wesentlichen wie mit ganzen Zahlen rechnen. Menge Z Z m C([0, 1]) GL(2, ( R) ) 1 0 Neutrales Element 0 0 Nullfunktion E = 0 1 Inverses Element a a = a f A 1 inverse Matrix Kommutativ ja ja ja nein Tabelle 1.1. Beispiele von Mengen Dieses allgemeine Prinzip, einem Paar (a, b) von zwei Elementen einer Grundmenge G ein Element von G zuzuordnen, führt uns zu folgenden abstrakten Begriffen. Definition 1.6 (Halbgruppe, Monoid, Gruppe) Sei G. Unter einer inneren Verknüpfung (manchmal auch: binäre Operation) auf G verstehen wir eine Abbildung von G G in G, (a, b) a b, a, b G. Für das Paar (G, ) können verschiedene Eigenschaften erfüllt sein: (G1) ist eine innere Verknüpfung auf G. (G2) Es gilt das Assoziativgesetz, a, b, c G : a (b c) = (a b) c.
9 1.1 Definitionen 9 (G3) Es existiert ein neutrales Element in G, e G : a G : a e = e a = a. (G4) Zu jedem a G existiert ein inverses Element a 1 in G, (G5) Es gilt das Kommutativgesetz, Das Paar (G, ) heißt a G : a 1 G : a a 1 = a 1 a = e. a, b G : a b = b a eine Halbgruppe, wenn (G1) und (G2) erfüllt sind. ein Monoid, wenn (G1), (G2) und (G3) erfüllt sind. eine Gruppe, wenn (G1), (G2), (G3) und (G4) erfüllt sind. eine abelsche oder kommutative Gruppe, wenn (G1) bis (G5) erfüllt sind. Definition 1.7 (Ordnung einer Gruppe) Die Ordnung der Gruppe (G, ) ist definiert als die Anzahl der Elemente in der Menge G. Wir bezeichnen diese Zahl mit dem Symbol G. Eine Gruppe (G, ) heißt endlich, wenn G < sonst heißt sie unendlich. Beispiel 1.8 Die folgenden Paare (H, ) sind Halbgruppen: (N, +), (N, ), (R, max), wobei x max y := max{x, y}. Sei M und sei P(M) die Potenzmenge von M. Dann sind (P(M), ) und (P(M), ) Halbgruppen. Beispiel 1.9 Wichtige Beispiele für Gruppen sind: abzählbar unendliche abelsche Gruppen: (Z, +), (Q, +) überabzählbar unendliche abelsche Gruppen: (R, +), (C, +) endliche abelsche Gruppen: (Z m, +) überabzählbar unendliche nichtabelsche Gruppen: Wir wählen als Beispiel GL(n, R). Abzählbare oder endliche nichtabelsche Gruppen sind ebenfalls leicht anzugeben: GL(2, Q) oder GL(2, Z m ), m 2. Bemerkung 1.10 Es existiert also zu jeder gegebenen natürlichen Zahl m eine abelsche Gruppe mit m Elementen, nämlich die Gruppe (Z m, +), die additive Gruppe der Restklassen modulo m. Können Sie zu jedem m auch eine nichtabelsche Gruppe mit m Elementen angeben? Antwort: Nein, jede Gruppe der Ordnung m prim ist abelsch. Dies folgt aus dem Umstand, dass jede solche Gruppe zyklisch ist und daher abelsch.
10 10 1 Gruppen Für die Bezeichnung der inneren Verknüpfung einer Gruppe können wir natürlich ein beliebiges Symbol wählen. Wir könnten also schreiben (G, ), oder (G, ), oder (G, ),... (usw.) Da man aber stillschweigend an Rechenoperationen denkt, wie wir sie vom Rechnen mit Zahlen gewohnt sind, werden meist die Bezeichnungen (G, +) und (G, ) verwendet. Genauso willkürlich ist die Bezeichnung des inverses Elementes. Wenn wir die Gruppe in der Form (G, +) schreiben, dann wird traditionell das inverse Element zu a mit a bezeichnet. Man spricht dann von einer additiven Gruppe. (Man hat stillschweigend an Gruppen wie (Z, +) gedacht) Wenn wir die Gruppe in der Form (G, ) schreiben, dann wird das inverse Element zu a mit a 1 bezeichnet. Man spricht dann von einer multiplikativen Gruppe. (Man hat stillschweigend an Gruppen wie (R \ {0}, ) gedacht) Es stellen sich einige Fragen: Gibt es unter Umständen mehrere neutrale Elemente in einer Gruppe? Gibt es Gruppen, in denen manche Elemente mehrere inverse Elemente besitzen? Die Antwort ist einfach, wie das folgende Lemma zeigt. Lemma 1.11 Für jede Gruppe (G, ) gilt 1. Das neutrale Element e von (G, ) ist eindeutig. 2. a G: das Inverse a 1 zu a ist eindeutig. 3. a G : ( ) a 1 1 = a. 4. a, b G : (a b) 1 = b 1 a a, b G: die Gleichungen a x = b y a = b besitzen eindeutige Lösungen x und y in G. Korollar 1.12 Es gilt die Kürzungsregel. a g = a h g = h g a = h a g = h Beweis. (zu Lemma 1.11) Zu 1. Seien e und e zwei neutrale Elemente in G. Da e neutral ist, gilt e e = e. Da e neutral ist gilt auch e e = e. Somit folgt die Gleichheit e = e was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass e und e verschieden sind.
11 1.1 Definitionen 11 Zu 2. Sei a G beliebig. Wir nehmen an a 1 und b seien zwei inverse Elemente von a. Dann folgt a 1 = b wegen b = b e = b ( a a 1) = (b a) a 1 = a 1. }{{} e Zu 3. Sei a G beliebig, dann gibt es wegen (G4) zu a ein inverses Element a 1 G. Zu a 1 gibt es wieder ein Inverses ( a 1) 1. a 1 a a 1 (a 1) 1 } = e = e Zu 4. Wir wenden das Assoziativgesetz (G2) an. ( a 1) 1 = a, wegen Punkt 2. (a b) (b 1 a 1) = a (b b 1) a 1 = a e a 1 = e Zu 5. Um zu zeigen, dass a x = b lösbar ist multiplizieren wir von links mit a 1 und erhalten a 1 (a x) = a 1 b x = a 1 b was eine Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt. Um zu zeigen, dass die Lösung eindeutig ist, nehmen wir an es existieren zwei Lösungen x und x. Somit gilt a x = a x a 1 (a x) = a 1 (a x ) x = x. Damit ist der Beweis abgeschlossen. Bemerkung 1.13 Wir hätten in der Definition einer Gruppe (G, ) die Eigenschaften (G3) und (G4) durch das folgende Paar von dazu äquivalenten Bedingungen ersetzen können: (G3 ) Es existiert ein neutrales Element in G, e G : e a = a a G. (G4 ) Zu jedem a G existiert ein inverses Element a 1 in G, a 1 G : a 1 a = e a G.
12 12 1 Gruppen Der Beweis dazu ist einfach: Wenn b das Inverse zu a 1 bezeichnet (d.h. b = (a 1 ) 1 ), dann gilt: (a 1 a) a 1 = e a 1 = a 1, (b a 1 ) (a a 1 ) = b a 1 = e a a 1 = e. Beispiel 1.14 Sei S, sei A(S) die Menge der bijektiven Funktionen von S nach S und sei die Hintereinanderausführung von Funktionen, also f g : (f g)(x) := f(g(x)). Dann ist (A(S), ) eine nichtabelsche Gruppe, falls S > 2. Ein Element von A(S) heißt eine Permutation von S. Definition 1.15 (Symmetrische Gruppe) Sei S eine endliche Menge mit n Elementen. Die Gruppe (A(S), ) heißt die symmetrische Gruppe vom Grad n und wird mit S n bezeichnet. Bemerkung 1.16 Wir wissen bereits: A(S) ist die Menge der Permutationen von S. Daher ist die Anzahl der Elemente in A(S) gleich der Zahl S n = n!. Wir führen nun eine häufig gebrauchte Schreibweise für die Permutation einer Menge S ein: Jedes f S n wird eindeutig durch die Angabe der Bilder der Elemente von S festgelegt. Also schreibt man f in der Form ( ) x1 x 2... x n. f(x 1 ) f(x 2 )... f(x n ) Da f(x i ) ein Element von S ist, schreiben wir für f(x i ) nun x i1 mit i 1 1,..., n. Es kommt also nur auf die Permutation der Indizes an. Somit kann man die Variable x weglassen. Wir schreiben für f deswegen ( ) n. i 1 i 2... i n Beispiel 1.17 Die symmetrische Gruppe S 3. Wir wählen drei Permuationen aus: ( ) ( ) ( ) e =, f =, g = Dann erhält man die folgenden Beziehungen durch Nachrechnen: ( ) ( ) f g = g f = g f = f g = ( ) g 3 = g g g = e g 2 = g = 3 1 2
13 1.1 Definitionen 13 Wir haben nun 6 Elemente von S 3 gefunden. Wegen S 3 = 3! = 6 sind dies schon alle. Wir tragen alle möglichen Verknüpfungen von Elementen aus S 3 in eine Tabelle ein. Diese Tabelle heißt die Gruppentafel oder Verknüpfungstafel der Gruppe S 3. e f g f g f g 2 g 2 e e f g f g f g 2 g 2 f f e f g g g 2 f g 2 g g f g 2 g 2 f f g e f g f g g 2 f g 2 e g f f g 2 f g 2 g f g 2 e f g g 2 g 2 f g e f g 2 f g Bemerkung 1.18 Für eine Gruppentafel (Verknüpfungstafel) gilt: 1. Sei (G, ) eine endliche Gruppe. Dann ist (G, ) kommutativ genau dann, wenn die Gruppentafel symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale ist. Sei G kommutativ und e das neutrale Element. Dann hat die Gruppentafel die Form e f g e e..... f f g.... g g f.... wobei f g = g f für alle Elemente f, g G. 2. Sei (G, ) eine Gruppe, dann tritt in jeder Zeile und in jeder Spalte der Gruppentafel jedes Element genau einmal auf. Die Gruppentafel hat ja die Form b d. a a b a d. Wäre nun a b = a d, dann gilt wegen der Kürzungsregel (Korollar 1.12) b = d. Für Spalten argumentieren wir analog.
14 14 1 Gruppen Beispiel 1.19 Sei Q ein Quadrat der Ebene E = R 2 mit dem Mittelpunkt M = (0, 0). Wir betrachten alle Bewegungen der Ebene, also alle jene Abbildungen von E in sich, die Längen und Winkel unverändert lassen. Welche dieser Bewegungen von E bilden Q deckungsgleich auf sich ab? Wir nennen solche Bewegungen Deckabbildungen des Quadrats Q. Wie viele Deckabbildungen von Q gibt es? Bezeichne G die Menge der Deckabbildungen von Q. Seien A, B, C, D die vier Ecken von Q, gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet. Die Ecke A kann auf höchstens 4 Ecken landen, die Ecke B muß zu A benachbart bleiben, daher gibt es für das Bild von B höchstens 2 Möglichkeiten. Mit der Festlegung der Bilder von A und B sind dann aber auch die Bilder von C und D festgelegt. Daraus folgt: es gibt höchstens = 8 Deckabbildungen von Q, d.h. G 8. Man überlegt sich nun Folgendes. Wenn a die Drehung von Q um 90 um den Mittelpunkt M bezeichnet und b die Spiegelung von Q um die x-achse, dann gilt: G = { e, a, a 2, a 3, b, a b, a 2 b, a 3 b }. Durch die Relationen a 4 = e, b 2 = e und b a = a 3 b ist die Verknüpfungstafel für (G, ) bereits festgelegt. Das Paar (G, ) bildet eine nichtabelsche Gruppe, wie man leicht nachprüft. Es gibt somit genau 8 Deckabbildungen von Q. Allgemein gilt: Sei G die Menge der Deckabbildungen eines regelmäßigen n-eckes der Ebene, n 3, und bezeichne wieder die Hintereinanderausführung von Funktionen. Bezeichne a die Drehung um 360/n Grad um den Mittelpunkt und b die Spiegelung an einer festen Achse. Man kann zeigen: 1. G besitzt 2n Elemente und es gilt G = { e, a, a 2,..., a n 1, b, a b, a 2 b,..., a n 1 b }. 2. Das Paar (G, ) ist eine nichtabelsche Gruppe. 3. Die Verknüpfungstafel ist durch die Relationen a n = e, b 2 = e und b a = a n 1 b festgelegt. Definition 1.20 (Diedergruppe) Diese Gruppe heißt die Diedergruppe und wird mit D n bezeichnet. Bemerkung 1.21 Wir können somit für jede gerade natürliche Zahl 2k 6 eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 2k angeben: die Gruppe (D k, ). Beispiel 1.22 Sei S = {z C : z = 1} der Einheitskreis. Wir können die Elemente von S in der Form z = e iϕ mit 0 ϕ < 2π schreiben. Diese Darstellung ist umkehrbar eindeutig. Sei
15 1.1 Definitionen 15 ϱ n : S S ϱ n (e iϕ ) = e i(ϕ+ 2π n ) die Drehung um den Winkel 2π n. Dann ist ϱ n eine bijektive Abbildung von S auf S. Wir bezeichnen nun die zusammengesetzte Abbildung ϱ n ϱ n mit ϱ n 2, ϱ n ϱ n ϱ n mit ϱ n 3 und so weiter und setzen ϱ n 0 := id. Dann gilt ϱ n k A(S) k Z, k 0. Was bewirkt die Abbildung ϱ n k? Für k N oder k = 0 ist dies klar, Für k N definieren wir ϕ, 0 ϕ < 2π : ϱ n k (e iϕ ) = e i(ϕ+k 2π n ). ϱ n k = ( ϱ n 1 ) k. Auf diese Weise ist ϱ n k nun für alle k Z erklärt. Bemerkung 1.23 Sei G = { ϱ n k : k Z }. Dann ist (G, ) eine abelsche Gruppe, die sogenannte zyklische Gruppe mit n Elementen. Es gilt die Beziehung G A(S), wobei (G, ) eine abelsche und (A(S), ) eine nichtabelsche Gruppe ist. Der Beweis dieser Behauptung ist leicht. Definition 1.24 (Untergruppe) Sei (G, ) eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge H von G heißt eine Untergruppe, falls (H, ) selbst eine Gruppe ist. Schreibweise: H G. Lemma 1.25 Sei (G, ) eine Gruppe und H, H G. Dann gilt: 1. (H, ) ist eine Untergruppe von (G, ) genau dann, wenn (UG1) a, b H : a b H, (UG2) a H : a 1 H. 2. (H, ) ist eine Untergruppe von (G, ) genau dann, wenn (UG) a, b H : a b 1 H. Die Aussagen (UG1) und (UG2) sind also zur Aussage (UG) äquivalent.
16 16 1 Gruppen 3. Sei (G, ) eine abelsche Gruppe. Dann gilt H G H abelsch. Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch, siehe dazu Bemerkung Sei H eine endliche Teilmenge von G. Dann gilt H erfüllt (UG1) H G. 5. Sei (G, ) eine endliche Gruppe und H G. Dann gilt 6. Sei H G und G K. Dann gilt H erfüllt (UG1) H G. H K. Beweis. Zu 1. Da nach Annahme H G gilt, sind (UG1) und (UG2) erfüllt. Wenn umgekehrt (UG1) und (UG2) gelten, dann sind die Gruppeneigenschaften (G1) und (G4) erfüllt. Wegen H existiert ein Element a H. Nach (UG2) liegt a 1 in H und nach (UG1) liegt auch a a 1 in H. Nun liegen aber a und a 1 auch in G. Damit ist e = a a 1 in H enthalten und H erfüllt daher (G3). Die Eigenschaft (G2) gilt für alle Elemente von G, also automatisch für jene der Teilmenge H. Zu 2. Wir zeigen (UG1) und (UG2) (UG). ( ): Sei a H, beliebig. In (UG) setzen wir a = b. e H e a 1 = a 1 H (UG2) gilt. Seien a und b zwei Elemente aus H. Da wir jetzt (UG2) anwenden dürfen, ist auch b 1 in H. In (UG) betrachten wir nun die Elemente a und b 1 von H. Wegen (UG) liegt dann deren Produkt a (b 1 ) 1 in H, daraus ergibt sich ( ): Trivial. Zu 3. Trivial. a (b 1) 1 = a b H (UG1) gilt. Zu 4. Wenn H ein Element a e enthält, dann liegen auch alle Elemente a n mit n N in H. H endlich n, m N mit n > m, sodass a n = a m a n m a m = a m (wegen Kürzungsregel) a n m = e.
17 1.1 Definitionen 17 Wegen a e muss n m > 1 gelten. Daher können wir weiters schreiben a a n m 1 }{{} H = e. Wegen der Eindeutigkeit von a 1 folgt a 1 = a n m 1 H. Zu 5. Folgt aus 4. Zu 6. Klar. Bemerkung 1.26 Ab jetzt schreiben wir für das Element a b meist ab. Beispiel 1.27 Sei (G, ) wie in Bemerkung Dann gilt G A(S). Lemma 1.28 Sei (G, ) eine Gruppe und a G. Weiters sei wobei Dann gilt: a := { a k : k Z }, a 0 := e, a n 1. k Z : a k = ( a 1) k. := aa }{{ a }, für n N, n mal a n := ( a 1) n, für n N. 2. k, l Z: a k a l = a k+l. 3. ( a, ) ist eine Untergruppe der Gruppe (G, ). Beweis. Zu 1. Für k N 0 ist die Aussage trivial richtig. Für k < 0 setzen wir b = a 1. Dann gilt nach Definition b k = (b 1 ) k. Daraus folgt sofort (a 1 ) k = a k. Zu 2. Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Fallunterscheidung für k und l (k, l 0, k, l < 0, usw.). Wenn zum Beispiel k N, l < 0 und k + l < 0 gilt, dann folgt durch Verwendung von Teil 1 und nach Definition
18 18 1 Gruppen a k a l = a k (a 1 ) l = (a 1 ) k (a 1 ) l = (a 1 ) (k+l) = a k+l. Zu 3. Die Behauptung ergibt sich sofort aus Teil 1 und 2 mit Hilfe von Lemma Definition 1.29 (zyklische Gruppe, erzeugendes Element) Die Gruppe ( a, ) heißt die von a erzeugte zyklische Untergruppe der Gruppe (G, ). Eine Gruppe (G, ), G 2, heißt eine zyklische Gruppe, wenn ein Element a in G existiert mit a = G. Ein solches Element a heißt ein erzeugendes Element der zyklischen Gruppe (G, ). Beispiel 1.30 Die prime Restklassengruppe (Z 12, ) ist ein Beispiel einer endlichen, nichtzyklischen Gruppe. Die abelsche Gruppe (R, +) ist eine nichtzyklische Gruppe mit (überabzählbar) unendlich vielen Elementen. Die Restklassengruppe (Z m, +) ist ein Beispiel einer endlichen zyklischen Gruppe mit m Elementen. Die abelsche Gruppe (Z, +) ist zyklisch und besitzt abzählbar unendlich viele Elemente. Bemerkung Jede zyklische Gruppe ist abelsch. 2. Nicht jede abelsche Gruppe ist zyklisch. Beweis. Zu 1. Seien a l und a k zwei beliebige Elemente einer zyklischen Gruppe. Dann ist nach Lemma 1.28 klar, dass k, l Z : a k a l = a k+l = a l+k = a l a k. Zu 2. Trivial (siehe die obigen Beispiele). Bemerkung 1.32 Sei (G, ) eine Gruppe und W, W G. Weiters sei W = { w 1 k1 w r k r : w i W, k i Z, r N, i = 1, 2,..., r }. Dann gilt (nachrechnen!) 1. W G. 2. ( W, ) ist die kleinste Untergruppe von (G, ), die die Menge W als Teilmenge enthält. 3. Es gilt W = H G, W H H
19 1.1 Definitionen 19 Definition 1.33 (Erzeugte Untergruppe) Die Gruppe ( W, ) heißt die durch die Menge W erzeugte Untergruppe von (G, ). Eine Gruppe (G, ) heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge W von G gibt mit W = G. Lemma 1.34 Sei (G, ) eine Gruppe und sei H eine Untergruppe von G. Für a, b G nennen wir das Element a äquivalent zu b bezüglich H, geschrieben als a H b, wenn gilt: a b 1 H. Die Relation H ist eine Äquivalenzrelation in der Menge G. Beweis. Wir müssen nachweisen, dass für die Relation H die folgenden drei Eigenschaften gelten: reflexiv: a G : a H a, symmetrisch: a, b G : a H b b H a, transitiv: a, b, c G : a H b b H c a H c. Der Nachweis ist leicht. Beispiel 1.35 Wir betrachten (G, ) = (Z, +). Sei m Z, m 2, und sei H := m. Dann gilt für zwei Elemente a, b Z: a H b a b H = m, wegen der Definition von H und weil b das inverse Element zu b ist. Dies ist wegen der speziellen Gestalt von m äquivalent zur Aussage, dass es ein k Z gibt mit a b = k m. Dies ist wiederum äquivalent zur Aussage m a b, und zu a b (mod m). Wir haben also mittels der Äquivalenzrelation m den Begriff der Kongruenz verallgemeinert. Definition 1.36 (Rechtsnebenklasse, Linksnebenklasse) Sei (G, ) eine Gruppe und sei H G. Unter einer Rechtsnebenklasse von H in G verstehen wir eine Teilmenge von G der Gestalt
20 20 1 Gruppen für ein beliebiges Element g aus G. Hg := {h g : h H}, Analog wird der Begriff der Linksnebenklasse von H in G definiert, gh := {g h : h H}. Wir nennen Hg die durch g bestimmte Rechtsnebenklasse von H in G. Definition 1.37 (Index) Sei (G, ) eine beliebige Gruppe und H eine Untergruppe von G. Unter dem Index der Untergruppe H in G verstehen wir die Anzahl der verschiedenen Rechtsnebenklassen von H in G. Schreibweise: [G : H] Wir vergleichen nun, wie diese Begriffe für einen Prototyp einer Gruppe und wie sie im allgemeinen Fall aussehen, siehe Tabelle 1.2. Es ist im Moment Begriff Prototyp Allgemein Gruppe (Z, +) (G, ) Untergruppe m H Relation a b (mod m) a H b Nebenklassen m + a Ha Restklassen- (Z m, +)? gruppe = { m, m + 1,..., m + (m 1)} Index [G : H] m? Tabelle 1.2. Zum Begriff der Nebenklasse nicht leicht zu erkennen, unter welchen Bedingungen an die Untergruppe H die Menge {Ha : a G} der Nebenklassen zu H eine Gruppe bildet. Wir werden sehen, dass es dafür stärkere Voraussetzungen für H braucht als nur H G. Das Stichwort lautet Normalteiler. Lemma 1.38 Die Rechtsnebenklasse Ha ist gerade die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Äquivalenzrelation H, Ha = {b G : a H b} Beweis. Wir definieren a := {b G : a H b}. Sei b Ha, beliebig. Dann existiert ein h H mit b = ha. Somit gilt ba 1 in H. Daher gilt auch (ba 1 ) 1 = ab 1 H. Daraus folgt a H b und damit gilt b a. Es folgt Ha a. Sei umgekehrt b a beliebig. Dann gilt a H b und daher wegen der Symmetrie der Relation b H a. Dies bedeutet nach Definition dieser Relation,
21 1.1 Definitionen 21 dass ba 1 H. Es existiert also ein h H mit ba 1 = h. Daraus folgt b = ha. Daher gilt a Ha. Lemma 1.39 Sei H eine Untergruppe von G, dann gilt 1. Die Menge {Ha : a G} der Rechtsnebenklassen von H in G bildet eine Partition von G. Es gilt also entweder Ha = Hb oder Ha Hb =. Insbesondere gilt Ha = Hb a H b, Ha = H a H. 2. Es existiert eine bijektive Abbildung von Ha auf Hb. Die beiden Mengen Ha und Hb sind also gleichmächtig. Beweis. Zu 1. Die Mengen Ha mit a G sind die Äquivalenzklassen zu einer Äquivalenzrelation, daher ist die Menge {Ha : a G} eine Partition von G. Sei nun Ha = Hb. H ist eine Untergruppe von G. Deshalb ist e H und daher auch b Ha. Daraus folgt wegen Lemma 1.38 b H a bzw. a H b. Sei nun a H b. Daraus folgt nach Lemma 1.38, dass b Ha. Wegen b Hb ist gilt Ha Hb. Wegen der Partitionseigenschaft bleibt nur mehr die Möglichkeit Ha = Hb. Sei Ha = H. Wegen e H folgt daraus a H. Sei umgekehrt a H. Dann gilt für alle h H, dass ha H. Also folgt Ha H. Damit haben die beiden Partitionsmengen H = He und Ha nichtleeren Durchschnitt. Es folgt H = Ha. Zu 2. Wir betrachten die Abbildung ϕ : Ha Hb ha hb. ϕ ist injektiv, denn aus ϕ(ha) = ϕ(h a) folgt hb = h b und wegen der Kürzungsregel (Korollar 1.12) schließlich h = h. Weiters kann man leicht sehen, dass ϕ auch surjektiv ist. Satz 1.40 (Satz von Lagrange) Sei (G, ) eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Dann gilt H G. Beweis. Alle Rechtsnebenklassen Ha besitzen nach Lemma 1.39(2) gleich viele Elemente, insbesondere gilt
22 22 1 Gruppen für alle a G. Ha = H Die Rechtsnebenklassen bilden nach Lemma 1.39(1) eine Partition von G, also G = Ha. a G Da G endlich ist, kann es nur endlich viele verschiedene Rechtsnebenklassen geben. Seien dies die Nebenklassen H, Ha 1, Ha 2,..., Ha k. Dann sind diese Mengen paarweise disjunkt und für ihre Vereinigung gilt Daraus folgt H Ha 1 Ha k = G. G = H + Ha Ha k = (k + 1) H. Bemerkung 1.41 Falls G eine endliche Gruppe ist, gilt [G : H] = G bzw. H [G : H] H = G. Auch im Fall, dass G eine unendliche Gruppe ist, kann es in manchen Fällen Untergruppen H von G geben mit [G : H] <. Definition 1.42 (Ordnung eines Elementes, Torsionsgruppe) Sei (G, ) eine Gruppe, a G. Unter der Ordnung des Elements a in G verstehen wir die natürliche Zahl ord G (a) := min{n N : a n = e}, falls diese Menge nichtleer ist. Andernfalls definieren wir die Ordnung von a als ord G (a) =. Schreibweise: ord G (a) Wenn G nur Elemente endlicher Ordnung besitzt, dann heißt (G, ) eine Torsionsgruppe. Wenn alle Elemente von G außer dem neutralen Element von unendlicher Ordnung sind, dann heißt die Gruppe torsionsfrei. Beispiel 1.43 Es gilt: 1. (G, ) = (Z 12, ) ord Z 12 (5) = ord Z 12 (7) = ord Z 12 (11) = 2
23 1.1 Definitionen (G, ) = (Z 5, ) ord Z 5 (2) = ord Z 5 (11) = 4 ord Z 5 (4) = 2 Frage 1.44 Wie hängt die Ordnung ord G (a) eines Elements a von G mit der Ordnung der von a erzeugten zyklischen Untergruppe a von G zusammen? Lemma 1.45 Es gilt ord G (a) = a. Beweis. Sei ord G (a) = n <. Dann gilt a n = e wobei n minimal ist. Nach dem Satz von der Division mit Rest gibt es zu jedem k Z genau ein q Z und genau ein r Z mit 0 r < n, sodass k = q n + r. Demnach ist a k = a r. Die Elemente der zyklischen Untergruppe a sind also e, a, a 2,..., a n 1. Wir überprüfen noch, ob dies n verschiedene Elemente sind. Angenommen a r = a s, mit r s. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei r s. Aus der Kürzungsregel (Korollar 1.12) folgt a r s = e. Wegen 0 r s < n muss r s = 0 gelten, denn r s > 0 wäre ein Widerspruch zur Minimalität von n. Somit gilt a = n = ord G (a). Sei ord G (a) =. Das heißt also a n e, für alle n N. Ähnlich wie im endlichen Fall zeigen wir, dass für r s folgt, dass a r a s. Die Elemente von a haben aber alle die Form a r mit r Z. Es gibt davon unendlich viele, also erhalten wir a = = ord G (a). Sei umgekehrt n = a <. Es gilt a k e für 1 k n 1, sonst wäre a < n. Damit kennen wir schon n Elemente von a, es muss also gelten: a = { e, a, a 2,..., a n 1}. Es gilt weiters a n = a n k a k a k k, 1 k n 1, denn sonst wäre nach der Kürzungsregel (Korollar 1.12) ja a n k = e. Dies wäre ein Widerspruch zu a = n. Wegen a n a und a = n muss daher a n = e gelten. Es folgt ord G (a) = n = a. Sei a =. Dann gilt a k a h für alle k, h Z mit k h. Sonst wäre a k h = e und in Folge a eine natürliche Zahl. Es gilt also a k e für alle k N, was bedeutet, dass ord G (a) =. Korollar 1.46 Sei (G, ) eine endliche Gruppe und a G. Dann gilt ord G (a) G.
24 24 1 Gruppen Beweis. Wegen a G folgt mit dem Satz von Lagrange (Satz 1.40) a = ord G (a) G. Korollar 1.47 Sei (G, ) eine endliche Gruppe und a G. Dann gilt ord Beweis. Laut Definition ist a G(a) = a G = e. e, weiters gilt ord G (a) G. Es gibt also ein k N mit G = k ord G (a). Daraus folgt a G = ( a ord G(a) ) k = e k = e. Satz 1.48 (Satz von Euler) Seien m N, m 2 und a Z mit (a, m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 (mod m). Beweis. Wir setzen G = Z m. Also ist G = ϕ(m). Wegen (a, m) = 1 gilt a Z m a ϕ(m) = 1 a ϕ(m) 1(mod m). Satz 1.49 (Satz von Fermat) Seien p prim und a Z beliebig. Dann ist a p a (mod p). Beweis. Falls a 0 (mod p) ist die Behauptung trivial. Falls a 0, dann gilt (a, p) = 1. Nach dem Satz von Euler gilt a p 1 1 (mod p) a p a (mod p). Korollar 1.50 Sei (G, ) eine endliche Gruppe und sei G prim. Dann ist (G, ) zyklisch und damit abelsch.
25 1.2 Normalteiler und Faktorgruppen 25 Beweis. Aus der Voraussetzung G prim folgt G 2. Daher existiert ein a G mit a e. Da a G, G prim und a 2, muss a = G sein und daher gilt a = G. Korollar 1.51 Jede Gruppe mit Primzahlordnung ist zyklisch und daher insbesondere kommutativ. Wenn n eine Primzahl ist, gibt es somit keine nichtabelsche Gruppe mit n Elementen. Zur Existenz abelscher und nichtabelscher Gruppen einer vorgegebenen Ordnung n können wir nun präzise Aussagen machen, siehe Tabelle 1.3. Zu jeder Ordnung n geben wir jeweils ein Standardbeispiel für eine Gruppe mit n Elementen an. Dabei bezeichnet (Z n, +) die additive Gruppe der Restklassen modulo n und (D n/2, ) die Diedergruppe (siehe dazu Definition 1.20). Gruppe \ Ordnung n gerade n ungerade, prim Abelsche Gruppe existiert: (Z n, +) existiert: (Z n, +) Nichtabelsche Gruppe existiert (n 6): (D n/2, ) existiert nicht Tabelle 1.3. Existenz von Gruppen der Ordnung n Die Frage nach der Existenz abelscher und nichtabelscher Gruppen einer vorgegebenen Ordnung n haben wir nun, wenn auch nicht vollständig, so zumindest recht zufrieden stellend geklärt. Damit stellt sich aber eine weitere Frage: wie viele verschiedene Gruppen der Ordnung n gibt es und wie findet man sie? Diese Frage werden wir für endliche abelsche Gruppen im Detail diskutieren, siehe den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen, Satz Normalteiler und Faktorgruppen Die folgende Frage wurde in Kapitel 1.1 bereits gestellt, aber noch nicht beantwortet. Frage 1.52 Unter welchen Bedingungen an die Untergruppe H bildet die Menge {Ha : a G} der Rechtsnebenklassen zu H eine Gruppe? Auch die folgende Frage ist bereits formuliert, aber noch nicht beantwortet worden. Frage 1.53 Seien (G, ) und (G, ) Gruppen und zwischen diesen die Abbildung ϕ : G G definiert. Welche Eigenschaft muss die Abbildung ϕ besitzen, damit ϕ(g) eine Gruppe ist und wie sieht diese Gruppe aus?
26 26 1 Gruppen Der Weg zur Antwort auf diese Fragen ist etwas mühsam, aber lohnend und führt über den Begriff des Normalteilers. Damit die Menge {Ha : a G} der Rechtsnebenklassen zu H eine Gruppe bildet, muss insbesondere gelten, dass das Produkt zweier Nebenklassen Ha und Hb unabhängig von den gewählten Repräsentanten ist: wenn Ha = Hc und Hb = Hd gilt, dann muss Hab = Hcd gelten. Beachten Sie, dass nach Lemma 1.38 Ha = Hc gleichwertig zur Aussage a H c ist. Damit wird die folgende Definition verständlich. Definition 1.54 (Kongruenzrelation) Sei (G, ) eine Gruppe. Eine Äquivalenzrelation in der Menge G heißt eine Kongruenzrelation in der Gruppe (G, ), wenn gilt a c und b d ab cd für a, b, c, d G. Man sagt dann, die Äquivalenzrelation sei mit der Verknüpfung verträglich. Satz 1.55 Für eine Untergruppe H einer Gruppe G sind folgende Aussagen äquivalent: 1. H ist eine Kongruenzrelation in G, also mit der Gruppenoperation verträglich. 2. Jede Linksnebenklasse von H in G ist auch eine Rechtsnebenklasse: g G : gh = Hg. 3. g G, h H : g h g 1 H 4. g G : g H g 1 H 5. g G : g H g 1 = H Beweis. Wir zeigen Sei hg Hg beliebig. Dann ist wegen Lemma 1.38 h g H g. Da H eine Kongurenzrelation ist, dürfen wir auf beiden Seiten von links mit g 1 multiplizieren. So erhalten wir g 1 (h g) H e g 1 (h g) H h g gh Hg gh. Sei g h gh beliebig. Dann folgt h 1 g 1 Hg 1 und somit gilt h 1 g 1 H g 1. Wir dürfen auf beiden Seiten von links mit g h multiplizieren, da H eine Kongruenzrelation ist: gh(h 1 g 1 ) H ghg 1. Es folgt daraus e H ghg 1. Somit gilt ghg 1 He = H und damit gh Hg. Dies ergibt gh Hg.
27 Wir haben somit gezeigt, dass gilt: 1.2 Normalteiler und Faktorgruppen 27 g G : gh = Hg. Wir zeigen: Sei g h gh = Hg beliebig. Dann folgt wieder wegen Lemma 1.38, dass g h H g. Nach Definition von H gilt weiters g h g 1 H. Die Beziehung ist trivial. Wir zeigen: Wir wissen seit Lemma 1.34, dass H eine Äquivalenzrelation ist. Zu zeigen ist also nur mehr die Verträglichkeit mit der Gruppenoperation. Für a H c und b H d ist also nachzuweisen, dass ab H cd. Nach Definition von H gilt a b H c d a b (c d) 1 = a b d 1 c 1 H. Deswegen gehen wir wie folgt vor, um diese Aussage zu beweisen: Wegen Punkt 3. folgt daraus, dass Da H eine Gruppe ist, gilt weiters Wir zeigen: Angenommen für alle g G. Dann ist aber auch a H c a c 1 H b H d b d 1 H a ( b d 1) a 1 H. a ( b d 1) a 1 a c 1 = a b d 1 c 1 H. für alle g G. Wir schreiben H als Wegen Gleichung (1.1) ist ghg 1 H g 1 Hg H (1.1) H = g g 1 Hg g 1. H = g g 1 Hgg 1 ghg 1. Zusammen mit der Voraussetzung folgt die Gleichheit H = ghg 1.
28 28 1 Gruppen Definition 1.56 (Normalteiler) Eine Untergruppe H von G, die eine der fünf Bedingungen in Satz 1.55 erfüllt, nennen wir einen Normalteiler von G. Schreibweise: H G Wir nennen H einen echten Normalteiler, falls H G und H G und schreiben in diesem Fall H G. Korollar 1.57 Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe G ist ein Normalteiler von G. Bemerkung Für den Nachweis, dass eine Untergruppe H von G Normalteiler von G ist, ist es meist am bequemsten, die Bedingung (3) von Satz 1.55 zu überprüfen. 2. In jeder Gruppe G gibt es die trivialen Normalteiler {e} und G selbst. Alle anderen Normalteiler heißen eigentliche Normalteiler von G. Definition 1.59 (Einfache Gruppe) Eine Gruppe (G, ) heißt einfach, wenn sie keine eigentlichen Normalteiler besitzt. Beispiel 1.60 Jede Gruppe (Z p, +) mit p prim ist einfach. Dies folgt aus dem Satz von Lagrange: es gibt nur die trivialen Untergruppen und damit gibt es keine eigentlichen Normalteiler. Beispiel 1.61 Sei (G, ) = (S 3 ), wobei S 3 wie in Beispiel 1.17 definiert ist: mit e = ( ) S 3 = { e, f, g, g 2, fg, fg 2}, f = ( ) g = ( ) Sei H = {e, f}. Dann ist [S 3 : H] = 3. Es gibt also drei Rechts- und drei Linksnebenklassen zu H in S 3, siehe Tabelle 1.4. Wir beobachten, dass Hg Rechtsnebenklassen Linksnebenklassen H H Hg = {g, fg} gh = { g, gf = fg 2} Hg 2 = { g 2, fg 2} g 2 H = { g 2, g 2 f = fg } Tabelle 1.4. Die Nebenklassen zu H = {e, f} nicht unter den Linksnebenklassen vorkommt. Daher ist H zwar eine Untergruppe von G, in Symbolen H < G, aber kein Normalteiler von G (vgl. mit Satz 1.55(2)).
29 1.2 Normalteiler und Faktorgruppen 29 Sei H = {e, g, g 2 }. Dann gilt für den Index von H in S 3 [S 3 : H] = 2. Es gibt also zwei Rechts- und zwei Linksnebenklassen, siehe siehe Tabelle 1.5. Rechtsnebenklassen Linksnebenklassen H H Hf = { f, gf = fg 2, g 2 f = fg } fh = Hf (nachrechnen) Tabelle 1.5. Die Nebenklassen zu H = {e, g, g 2 }. Daher hat diese Untergruppe H von S 3 die Eigenschaft a S 3 : Ha = ah. Aus Satz 1.55(2) folgt H S 3. Satz 1.62 Die Menge aller Kongruenzrelationen in einer Gruppe G ist genau die Menge { N : N G }. Beweis. Aus Satz 1.55(1) und Definition 1.56 folgt, dass für jeden Normalteiler N von G die Relation N eine Kongruenzrelation in G ist. Sei nun eine beliebige Kongruenzrelation in G. Somit ist eine Äquivalenzrelation in G und es gilt für beliebige a, b, c, d G die Verträglichkeitseigenschaft a c, b d ab cd. Sei weiters e G das neutrale Element. Wir setzen und zeigen als Erstes N G. N := {g G : g e} Seien g, h N. Dann ist h e. Da eine Kongruenzrelation ist, folgt e h 1 und h 1 e. Aus g e folgt dann gh 1 e e = e. Daher gilt gh 1 N, somit ist (UG) erfüllt (siehe dazu Lemma 1.25(2)). Wir zeigen N G. Seien g G und h N beliebig. h e gh g ghg 1 gg 1 = e ghg 1 N N G (wegen Satz 1.55(3))
30 30 1 Gruppen Wir zeigen = N. Es gilt nämlich g h gh 1 hh 1 = e gh 1 N g N h. Definition 1.63 Sei (G, ) eine Gruppe. Für zwei nichtleere Teilmengen A und B von G definieren wir das Produkt von A mit B durch AB = {ab : a A, b B}. Lemma 1.64 Sei N eine Untergruppe von G. N ist ein Normalteiler von G genau dann, wenn das Produkt von zwei Rechtsnebenklassen von N wieder eine Rechtsnebenklasse von N in G ist. Beweis. Für jede Untergruppe H der Gruppe G gilt H = HH. Dies ist einfach nachzuweisen: h = h e h H h h H h, h H } H HH H. Sei N ein Normalteiler von G. Dann gilt wegen Na = an, dass (Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = NNab = Nab. Sei umgekehrt für zwei beliebige Elemente a, b G NaNb = Nc, mit c G. Es ist zu zeigen, dass N ein Normalteiler von G ist. Was können wir über c aussagen? Da N eine Untergruppe von G ist, muss das neutrale Element e in N enthalten sein. Somit gilt: e N ab Na Nb = Nc Daher ist ab Nc. Wegen ab N(ab) folgt Nc Nab. Lemma 1.39 besagt, dass die Menge {Ng : g G} der Rechtsnebenklassen zu N eine Partition von G bildet. Deshalb muss
31 1.2 Normalteiler und Faktorgruppen 31 Nc = Nab sein. Somit gilt für alle a, b G: NaNb = Nab. Daraus folgt für g G beliebig wegen NgNg 1 = Ngg 1 = N, dass NgNg 1 = N(gNg 1 ) = N gng 1 N, (1.2) da e N und daher gng 1 = e(gng 1 ) N(gNg 1 ) = N. Daher ist N ein Normalteiler von G. Bemerkung 1.65 Lemma 1.64 ist viel interessanter, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Wir interessieren uns für die Frage, unter welchen Bedingungen für die Untergruppe N der Gruppe (G, ) die Menge der Rechtsnebenklassen {Na : a G} mit der Verknüpfung (Na, Nb) Na Nb eine Gruppe bildet, siehe Frage Nach Lemma 1.64 ist diese Verknüpfung eine innere Verknüpfung genau dann, wenn N ein Normalteiler von G ist. Die Bedingung (G1) ist also für das Paar ({Na : a G}, ) genau dann erfüllt, wenn N G gilt. Der folgende Satz 1.66 besagt, dass aus N G nicht nur (G1), sondern sogar (G2), (G3) und (G4) folgen. Satz 1.66 Sei N ein Normalteiler von (G, ) und sei G/N := {Na : a G} die Menge der Rechtsnebenklassen von N in G. Dann gilt 1. (G/N, ) ist eine Gruppe. 2. Wenn die Gruppe (G, ) endlich ist, so gilt Beweis. Zu 1. (G1) gilt nach Lemma (G2) ist einfach nachzurechnen: G/N = [G : N] = G N. Na (Nb Nc) = Na Nbc = Na(bc) = Nabc (Na Nb) Nc = (Nab) Nc = N(ab)c = Nabc Wegen der Assoziativität von G gilt diese also auch für G/N. (G3) Ne = N ist das neutrale Element von G/N. (G4) Zu Na ist die Nebenklasse Na 1 das inverse Element. Zu 2. Folgt direkt aus dem Satz von Lagrange.
32 32 1 Gruppen Definition 1.67 (Faktorgruppe) Sei (G, ) eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Die Gruppe (G/N, ) heißt die Faktorgruppe von G nach N. Bemerkung 1.68 Wir haben den Begriff der Faktorgruppe für Rechtsnebenklassen definiert. Wir hätten genauso gut mit Links- statt mit Rechtsnebenklassen arbeiten können. Der langwierige Aufbau vom Begriff der Rechtsnebenklasse über die Äquivalenzrelation H (siehe Lemma 1.34), den Beweis des Satzes von Lagrange (siehe Satz 1.40), bis hin zum Begriff der Faktorgruppe hätte sich ohne jede inhaltliche Änderung auch für Linksnebenklassen durchführen lassen. Es ist dem persönlichen Geschmack überlassen, mit welchem Typ von Nebenklassen man arbeitet. 1.3 Homomorphismen Die folgende Frage haben wir bereits am Anfang von Kapitel 1.2 gestellt (siehe Frage 1.53), aber dort noch nicht beantworten können. In diesem Kapitel werden wir die Lösung präsentieren können. Frage 1.69 Seien (G, ) und (G, ) Gruppen und zwischen diesen die Abbildung ϕ : G G definiert. Welche Eigenschaft muss die Abbildung ϕ besitzen, damit ϕ(g) eine Gruppe ist und wie sieht diese Gruppe aus? Definition 1.70 (Homomorphismus) Seien (G, ) und (G, ) zwei Gruppen und sei ϕ : G G eine Abbildung von G in G. Die Abbildung ϕ heißt ein (Gruppen-) Homomorphismus, wenn gilt a, b G : ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b). Wir definieren weiters: Monomorphismus: ein injektiver Homomorphismus Epimorphismus: ein surjektiver Homomorphismus Isomorphismus: ein bijektiver Homomorphismus Automorphismus: ein Isomorphismus mit G = G Bemerkung 1.71 Der Einfachheit halber schreiben wir für ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) ab nun ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b).
33 1.3 Homomorphismen 33 Beispiel 1.72 Sei e das neutrale Element von G. Wir betrachten die Abbildung ϕ : G G, ϕ(a) = e. Dann ist ϕ ein Homomorphismus von G in G. Als ein weiters einfaches Beispiel sei ϕ : G G, ϕ(a) = a. Dann ist ϕ ein Automorphismus von G. Beispiel 1.73 Sei x G ein festes Element von G und sei ϕ x : G G, ϕ x (a) = xax 1. Dann ist ϕ x ein Automorphismus von G. Definition 1.74 (Innere Automorphismen) Die Abbildung ϕ x heißt der durch das Element x bestimmte innere Automorphismus von G. Wenn G eine abelsche Gruppe ist, dann ist jeder innere Automorphismus ϕ x von G gleich der Identität auf G. In abelschen Gruppen gibt es also nur einen inneren Automorphismus, die Identität. Beispiel 1.75 Sei (G, ) = (Z, +), sei m 2, m Z, und sei Dann ist ϕ ein Epimorphismus. ϕ : Z Z m, ϕ(a) = a. Beispiel 1.76 Sei (G, ) = (R, +), (G, ) = (R\{0}, ) und ϕ : G G, ϕ(a) = 2 a. Dann ist ϕ ein Homomorphismus von G in G. ϕ ist offensichtlich nicht surjektiv, also kein Epimorphismus. Beispiel 1.77 Sei G = S 3 = {e, f, g, g 2, fg, fg 2 } und G = {e, f} in der Notation von Beispiel Sei weiters
34 34 1 Gruppen ϕ : G G, ϕ(f i g j ) = f i i = 0, 1 j = 0, 1, 2, wobei f 0 = g 0 = e. Wir bestimmen das Bild von G unter ϕ : ϕ(f) = f ϕ(g) = e = ϕ(g 2 ) ϕ(fg) = f = ϕ(fg 2 ) Wir sehen durch Nachrechnen: ϕ ist ein Epimorphismus von G auf G. Beispiel 1.78 Sei (G, ) = (R +, ), (G, ) = (R, +) und ϕ : G G ϕ(x) = ln x Dann gilt: ϕ ist ein Isomorphismus von R + auf R und ϕ 1 : y e y ist ebenfalls ein Isomorphismus. Lemma 1.79 Sei N G und ϕ : G G/N, ϕ(g) = Ng. Dann gilt: ϕ ist ein Epimorphismus von G auf G/N. Beweis. Es ist trivial, dass ϕ surjektiv ist, da G/N = {Ng : g G}. ϕ ist ein Homomorphismus: ϕ(gh) = Ngh = Ng Nh = ϕ(g)ϕ(h). Definition 1.80 (Kern, Bild) Sei ϕ : G G ein Homomorphismus und sei e das neutrale Element von G. Die Menge ker ϕ = {g G : ϕ(g) = e } heißt der Kern von ϕ. Die Menge nennt man das Bild von ϕ. im ϕ = ϕ(g) Lemma 1.81 Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gilt: 1. ϕ(e) = e, wobei e das neutrale Element von G bezeichnet und e das neutrale Element von G. 2. g G : ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1.
35 1.3 Homomorphismen 35 Beweis. Zu 1. Sei g G beliebig. ϕ(g) e = ϕ(g) = ϕ(g e) = ϕ(g) ϕ(e). Aus der Kürzungsregel (siehe Korollar 1.12) folgt e = ϕ(e). Zu 2. Sei g G beliebig. Es gilt ϕ(g) ϕ(g) 1 = e = ϕ(e) = ϕ(g g 1 ) = ϕ(g) ϕ(g 1 ) Aus der Kürzungsregel (siehe Korollar 1.12) folgt ϕ(g) 1 = ϕ(g 1 ). Lemma 1.82 Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gilt: 1. im ϕ ist eine Untergruppe von G. 2. ker ϕ ist ein Normalteiler von G. 3. Sei N ein beliebiger Normalteiler von G. Dann existiert eine Gruppe G und ein Homomorphismus ϕ : G G mit N = ker ϕ. Beweis. Zu 1. Seien a, b im ϕ. Dann gibt es g, h G mit ϕ(g) = a und ϕ(h) = b. Es folgt a b = ϕ(g) ϕ(h) = ϕ(g h) im ϕ. Sei a im ϕ. Dann existiert ein g G mit a = ϕ(g). Daraus folgt a 1 = ϕ(g) 1 = ϕ(g 1 ) im ϕ. Daher ist im ϕ eine Untergruppe von G (siehe dazu Lemma 1.25(1)). Zu 2. Der Kern von ϕ kann niemals leer sein. Nach Lemma 1.81(1) ist ja zumindest e ker ϕ. Seien g, h ker ϕ, nicht notwendigerweise verschieden. Es gilt ϕ(g h 1 ) = ϕ(g) ϕ(h 1 ) = e ϕ(h) 1 = (e ) 1 = e Somit gilt g h 1 ker ϕ. Daher ist nach Lemma 1.25(2) ker ϕ eine Untergruppe von G. Seien g G und h ker ϕ beliebig.
36 36 1 Gruppen ϕ(g h g 1 ) = ϕ(g) e ϕ(g) 1 = e g ker ϕ g 1 ker ϕ ker ϕ G. Zu 3. Wir definieren die Abbildung ϕ : G G/N, ϕ(g) = Ng. Dann ist ϕ ein Epimorphismus. Weiters gilt ker ϕ = {g G : ϕ(g) = N} = {g G : Ng = N} = {g G : g N} = N. Lemma 1.83 Sei ϕ : G G ein Homomorphismus, sei K = ker ϕ und seien g, g so, dass ϕ(g) = g. Dann gilt ϕ 1 ({g }) = Kg. Beweis. Es existiert zu beliebigem a Kg ein k K mit a = kg. Es gilt ϕ(a) = ϕ(kg) = e ϕ(g) = g Kg ϕ 1 ({g }) Sei b ϕ 1 ({g }). Dann gilt: ϕ(b) = ϕ(g) = g ϕ(b g 1 ) = e k K : b g 1 = k b Kg ϕ 1 ({g }) Kg Definition 1.84 (Isomorphie von Gruppen) Zwei Gruppen (G, ) und (G, ) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus ϕ : G G existiert. Schreibweise: G = G Bemerkung 1.85 Wir fassen zusammen:
37 1.3 Homomorphismen Sei ϕ : G G ein Homomorphismus. Dann gilt: ϕ ist injektiv ker ϕ = {e} Diese Behauptung folgt direkt aus Lemma Sei ϕ : G G ein Epimorphismus. Dann gilt: ϕ ist ein Isomorphismus ker ϕ = {e} 3. Sei ϕ : G G ein Homomorphismus und sei G endlich. Dann gilt: ϕ ist ein Automorphismus ker ϕ = {e} ϕ ist surjektiv 4. = ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Gruppen. 5. ϕ : G G ist ein Isomorphismus ϕ ist bijektiv und ϕ und ϕ 1 sind Homomorphismen. Satz 1.86 (Homomorphiesatz) Für jeden Homomorphismus ϕ : G G gilt: G/ ker ϕ = im ϕ. Beweis. Sei K = ker ϕ. Wegen K G ist die Faktorgruppe G/K definiert. Wir definieren die Abbildung ψ : G/K im ϕ, ψ(kg) = ϕ(g), und müssen zeigen, dass ψ sinnvoll definiert ist. Die Definition muss unabhängig vom Repräsentanten der Nebenklasse Kg sein. Sei dazu Kg = Kh. Wir müssen zeigen, dass dann ϕ(g) = ϕ(h) gilt. Aus der Voraussetzung Kg = Kh folgt aus Lemma 1.39 ψ ist ein Homomorphismus: g h 1 K ϕ ( g h 1) = e ϕ(g) ϕ(h) 1 = e ϕ(g) = ϕ(h). ψ(kg Kh) = ψ(kgh) = ϕ(gh) = ϕ(g) ϕ(h) = ψ(kg) ψ(kh).
38 38 1 Gruppen ψ ist surjektiv: Sei g im ϕ beliebig. Dann existiert ein g G mit ϕ(g) = g. Es folgt ψ(kg) = g. ψ ist injektiv: ker ψ = {Kg : ψ(kg) = e } = {Kg : ϕ(g) = e } = {Kg : g ker ϕ = K} Nach Lemma 1.39 ist Kg = K für alle g K. Somit ist ker ψ = {K}. Da die Nebenklasse K das neutrale Element der Gruppe G/K ist, folgt daraus bereits die Injektivität von ψ. Sei die Gruppe G gegeben. Wir fragen: Welche Gruppen G können wir als Bild von G unter einem Homomorphismus erhalten? Wie sehen also die homomorphen Bilder der Gruppe G aus? Bemerkung 1.87 Sei G ein homomorphes Bild von G. Dann gibt es einen Epimorphismus ϕ : G G. Aus G = im ϕ und aus Satz 1.86 folgt G = im ϕ = G/ ker ϕ. Wegen ker ϕ G ist G von der Form G/N mit dem Normalteiler N = ker ϕ. Bemerkung 1.88 Sei N G, N beliebig. Dann gilt, dass ϕ : G G/N, ϕ(g) = Ng (g N), ein Homomorphismus ist. Die homomorphen Bilder von G haben also alle die Form wobei N ein Normalteiler von G ist. G/N, Bemerkung 1.89 Jedes homomorphe Bild der Gruppe (G, ) ist isomorph zu einer Faktorgruppe G/N, wobei N ein geeigneter Normalteiler von G ist. Kennen wir alle Normalteiler von G, dann kennen wir auch alle homomorphen Bilder von G bis auf Isomorphie. Satz 1.90 (Wird neu gemacht!) Frage 1.91 Wir fragen uns: Welche Gruppen gibt es überhaupt (bis auf Isomorphie)? Satz 1.92 Sei G eine endliche, abelsche Gruppe und m N mit m G, dann gibt es eine Untergruppe H von G mit H = m.
39 1.3 Homomorphismen 39 Beweis. Dieser Satz folgt aus dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen, siehe Satz Bemerkung 1.93 Für nichtabelsche Gruppen ist dieser Satz falsch. Ein Gegenbeispiel ist die alternierende Gruppe A 4. Die Ordnung dieser Untergruppe der symmetrischen Gruppe S 4 ist 12, sie besitzt jedoch keine Untergruppe der Ordnung 6. Jedoch gilt für eine beliebige Gruppe G: Zu jeder Primzahlpotenz p k, die G teilt, gibt es stets eine Untergruppe dieser Ordnung. Das Stichwort heißt Sylow-Sätze. Wir verzichten auf die genauere Diskussion dieser Resultate. Lemma 1.94 Sei I eine endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge, I = {1, 2,... }, für alle i I sei G i eine Gruppe mit neutralem Element e i und sei G i = G 1 G 2... = { (..., g i,... ) : g i G i, i I } i I das kartesische Produkt der Mengen G i. Sei weiters G i = i I { (..., gi,... ) : g i = e i, mit Ausnahme höchstens endlich vieler i I }. Für g = (..., g i,... ) und h = (..., h i,... ) aus i I G i definieren wir g h = (..., g i h i,... ). Dann gilt: 1. ( i I G i, ) ist eine Gruppe. 2. i I G i G 3. Es gilt folgende Beziehung für die Kommutativität: ( ( ) G i, ) ist abelsch. G i, ist abelsch. i I i I : G i ist abelsch. 4. Wenn die Indexmenge I endlich ist, gilt G i = G i. i I i I i I
40 40 1 Gruppen Beweis. Der Beweis ist einfach, langweilig und wird daher ausgelassen. Wir merken an, dass diese Definitionen für eine beliebige Indexmenge I einen Sinn machen. Da wir diese Allgemeinheit im Folgenden nicht benötigen, verzichten wir auf dieses abstrakte Konzept. Definition 1.95 (Direktes Produkt, direkte Summe) Die Gruppe ( i I G i, ) heißt das direkte Produkt der Gruppen G i. Die Gruppe ( i I G i, ) heißt die (äußere) direkte Summe der Gruppen G i. Bemerkung 1.96 Wenn I = {1,..., n} eine endlich Indexmenge ist, so schreiben wir an Stelle von n i=1 G i häufig G 1 G n, an Stelle von n i=1 G i häufig G 1 G n, falls zusätzlich G 1 = G 2 = = G n = G gilt, an Stelle von n i=1 G i stets G n. Satz 1.97 Alle zyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie gegeben durch (Z, +) und (Z n, +), n N, n 2. Beweis. Sei (G, ) zyklisch mit erzeugendem Element g, das heißt G = g. Falls G endlich ist, sei n = G = g. Dann gilt G = { e, g, g 2,..., g n 1}. Sei ϕ : G Z n mit ϕ(g k ) = k. Dann ist ϕ ein Isomorphismus und es folgt (G, ) = (Z n, +). Falls G unendlich ist, G = { g k : k Z }, so definieren wir ϕ : G Z, ϕ(g k ) = k. Dann ist ϕ ein Isomorphismus und es folgt (G, ) = (Z, +). Korollar Jede zyklische Gruppe ist abelsch. 2. Jede zyklische Gruppe ist entweder endlich oder abzählbar. 3. Jede zyklische Gruppe ist homomorphes Bild von (Z, +).
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