Mathematik 2 für Ingenieure

Transkript

1 Skriptum zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Differentialgleichungen Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) Fachhochschule Pforzheim FB-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

2 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Inhalt. Einführung. DGL. Ordnung.. Trennung der Variablen.. Integration durch Substitution..3 Lineare DGL. Ordnung..3. Homogene lineare DGL. Ordnung..3. Inhomogene lineare DGL. Ordnung.3 DGL. Ordnung.3. y'' = const..3. y'' = f(x,y').3.3 y'' = f(y).3.4 y'' = f(y,y').3.5 y'' = f(y,y') + S(x).3.6 Erzwungene Schwingungen.4 Partielle DGL am Beispiel der Wellengleichung Übungsblatt DGL Übungsblatt DGL Ergänzungsaufgaben zum Kapitel "Differentialgleichungen" Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) I

3 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen". Einführung. Differentialgleichungen Definitionen:. Jede Gleichung, die Ableitungen der gesuchten Funktion enthält, ist eine Differentialgleichung (DGL).. Jede Funktion, welche die DGL erfüllt, ist eine Lösung bzw. ein Integral der DGL. Einführendes Beispiel: "Freier Fall" t = 0 0 g a = &&x = g t = t Ziel: x(t) =? x d && x = dt d x dt = g dt d x& = g dt d x& = g dt x& = g t + C (*) d x dt = g t + C dt d x = g t dt + C dt d x = g t dt + C dt x = g t + C t + C (**) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

4 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" C und C aus Anfangsbedingungen, hier: t = 0 x(t=0) = 0 ; &x (t=0) = 0 (*): C = 0 Anfangsgeschw. (**): C = 0 Anfangsort Lösung: x = g t Definition: Ordnung der DGL = höchste vorkommende Ableitung Beispiel: - dy/dx = y n = /. Ordnung - d y/dx = y n = /. Ordnung übliche Schreibweisen: Ableitung nach Zeit, dy/dt = &y " " Weg, dy/dx = y allgemeine Lösung: unbestimmte Integrationskonstanten (C, C,...) Satz: Die allg. Lösung einer DGL n-ter Ordnung enthält genau n unbestimmte Integrationskonstanten. spezielle Lösung: Integrationskonst. aus Anfangswerten bzw. Randbedingungen (s.o.) partikuläre Lösung: Lösung mit weniger als n unbest. Konstanten Beispiel: d y = a y dx y = C sin ax + C cos ax (nachprüfen!) Allg. Lösung: Spez. Lösg.: z.b. y = sin ax (C =, C =0) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

5 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Einteilung gewöhnliche partielle DGL Anzahl Veränderliche mehrere Beispiel: d y + ω 0 y = 0 dt y(t) =? Schwingungsgleichung d y d y = dt c dx y(x,t) =? Wellengleichung Darstellung explizit Beispiel. Ordnung y'' = f (x, y, y') implizit F(x, y, y', y'') = 0 Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

6 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen". DGL. Ordnung Gleichung zwischen der gesuchten Funktion y = y(x) und deren Ableitung y' = dy/dx explizite Darstellung: gegeben: y' = f(x, y) (DGL - ) gesucht: y(x) =? Beispiel: y' = y y-wert = Steigung, Vermutung: y = e x Vorgehen: dy/dx = y dy/y = dx /y dy = dx ln y = x + C e y = e x+c y = k e x allgemeine Lösung (mit k = ± e C ) Aus der allg. Lösung erhält man die spez. Lösung aus der Randbedingung y(x 0 ) = y 0 spezielle Lösung (Beispiel) Randbedingung = Punkt P o (,) y(x 0 ) = y() = = k e k = / e 0,74 y = 0,74 e x Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 4

7 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".. Trennung der Variablen Lösungsmethode für DGLn der Form: y = g( x) h( y ) (DGL - ). Behandlung des Differentialquotienten dy/dx wie einen "normalen" Quotienten.. Alle Größen mit x auf eine Seite bringen; Größen mit y auf die andere: dy dx h( y) = g x dy h y = g x dx 3. Integration auf beiden Seiten: Lösung: d y g ( x) dx C h( y) = + (DGL - 3) speziell: y' + f(x) y = 0 Lösung: y = k e f ( x ) dx Beispiel: y' - x² y² - x² = 0 y' = x² ( + y² ) dy / (+y²) = x² dx arctan(y) =/3 x³ + C y = tan(/3 x³ + C ) Vorgehensweise. Auflösen nach y'. Trennen der Veränderlichen 3. Integration 4. Allgemeine Lösung Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 5

8 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".. Integration durch Substitution a) Lösungsmethode für DGLn der Form: Lösungsweg: y = f ( ax + by + c ) (DGL - 4). Substitution u( x, y) = ax + by + c. Rückführung auf (DGL - ) u = a + by 3. Trennung der Variablen (s.o) g( x ) = u = a + b f u (y' = f(u), DGL - 4) h( u) = a + b f ( u) 4. Einsetzen in Lösungsformel (DGL - 3) Beispiel: y' = x + y Substitution: u = x + y u' = + y' = + x + y = + u u' = + u Trennen d. Variablen: du / (+u) = dx Integration: ln + u = x + C + u = k e x (k = ± e C ) u = k e x - "alte" Variablen x + y = k e x - allgemeine Lösung: y = k e x - x - (Probe durch Einsetzen von y in DGL) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 6

9 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" b) Lösungsmethode für DGLn der Form: = y y f x (DGL - 5) Lösungsweg:. Substitution u( x y), =. Rückführung auf (DGL - ) y = u x y = u x + u (Produktregel) 3. Trennung der Variablen (s.o) g x 4. Einsetzen in Lösungsformel (DGL - 3) y x xu + u = f ( u) u = x [ f ( u) u] = x h( u) = f ( u) u Beispiel: xy y x = 0 y Auflösen nach y': = + = y y f x x Substitution: u = y x Rückführung: y = u x + u xu + u = + u xu = Trennung: u = Integration: x du = x dx u = ln x + C "alte" Variablen: y = x ln x + C x = allg. Lösung Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 7

10 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Zusammenfassung "Substitutionsmethode" DGL y' = f(ax+by+c) y' = f(y/x) Substitution u(x,y) = ax + by + c u = y / x u' = a + b f(u) u' = ( f(u) - u ) / x (Produktregel!) Lösung wie (DGL - ) g(x) = h(u) = a + b f(u) g(x) = /x h(u) = f(u) - u..3 Lineare DGL. Ordnung linear gesuchte Funkt. y(x) und deren Ableitung y' = dy/dx kommen nur in. Potenz vor "Normalform": f x y + f x y = s x 0 y + f ( x) y = S( x ) f x mit = 0 ( x) f f x S x ; = s x f x = "Störfunktion" homogene DGL: S(x) = 0 inhomogene DGL: S(x) 0 Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 8

11 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen"..3. Homogene lineare DGL. Ordnung kann stets durch Trennen der Variablen gelöst werden: dy y = f x dx Integration: ln y f ( x) dx + C = y = ± C e f ( x) dx allg. Lösung: y = K e f ( x ) dx y cos x + y sin x = 0 Beispiel: Normalform: y y sin ( x) 0 mit sin( x) = sin( x) cos( x) + = f x = sin Lösungsformel: x y = K e cos( x ) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 9

12 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen"..3. Inhomogene lineare DGL. Ordnung Lösungsmethode: "Variation der Konstanten". Lösung der homogenen DGL (S(x) = 0): y = K e f ( x ) dx. Ersetzen von K durch noch unbekannte Funktion K(x): 3. Differenzieren: y = K( x) e f ( x ) dx y = K ( x) e K e { } f ( x) dx f ( x) dx y = K K f x e 4. Einsetzen in Normalform (s.o.): f ( x) dx d dx f x dx Produktregel daraus folgt: 5. Integration: { } f x dx K K f x e + K f x e f x dx = S x K = S( x) e + f ( x) dx f ( x ) dx K( x) = S( x) e dx + C allg. Lösungsformel für inhomogene lineare DGL. Ordnung: f ( x) dx f ( x ) dx y( x) = e S( x) e dx + C Homogene lineare DGL = Spezialfall der inhomogenen DGL, d.h. Lösungsformel geht für S(x) = 0 in Lösungsformel für homog. DGL über. Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 0

13 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Beispiel: RL-Wechselstromkreis Kirchhoff: u + u = u L R u = Wechselspannung: u u t U t = = 0 sin ω + R i = U ( t) L di dt 0 sin ω Überführen in Normalform: di dt f x + a i = b sin ω t mit a = a ; S( x) = b sin( ω t) R = u. b = U 0 L L Einsetzen in Lösungsformel: f ( x) dx f ( x ) dx y x = e S( x) e dx + C f x dx = a dt = a t [ ] at f ( x) dx at b e K = S( x) e dx = b sin( ω t) e dt = a sin( ω t) ω cos( ω t) + C a + ω b + ω [ ] at i( t) = C e + a ( ω t) ω ( ω t) a sin cos allg. Lösung spezielle Lösung: i(t=0) := 0 i bω! 0 = C = 0 a + ω bω C = a + ω [ ] b + ω ω ω ω ω i( t) = e at + a sin( t) cos ( t) a Interpretation: für "große" t wird e -at "klein" Einschwingvorgang! b + ω [ ] stationärer Zustand: i( t) = a ( ω t) ω ( ω t) a sin cos (*) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

14 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" RL - Wechselstromkreis Einschwingvorgang 0,05 0,0 0,05 I 0,0 0, ,05 0, 0,5 0, 0,5 t /s RL - Wechselstromkreis 0,8 0,6 0,4 0, I 0-0, ,4-0,6-0,8 t /s Spannungs - Stromverlauf 0,5 U, I 0-0, U I - t /s Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

15 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Phasenverschiebung ϕ Additionstheoreme: i(t) kann auch als reine Sinusschwingung mit Phasenverschiebung geschrieben werden. a = A cosϕ ω = A sinϕ (**) in (*) : a sinωt - ω cosωt = A cosϕ sinωt - A sinϕ cosωt [Bronstein] = A sin(ωt - ϕ) A und ϕ aus (**): A sinϕ / A cosϕ = ω/a tanϕ = ω/a ϕ = arctan(ω/a) = arctan(ωl/r) andererseits: A² sin²ϕ + A² cos²ϕ = a² + ω² = A = a + ω o Endergebnis: I( t) = sin( ωt ϕ ) U R² + ω² L² Î(ω) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

16 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".3 DGL. Ordnung Implizite Form: F( y, y, y, x) = 0 Explizite Form: y = f ( y, y, x) es treten zwei Integrationskonstanten C und C auf, die durch zwei Rand- bzw. Anfangsbedingungen bestimmt werden können (spezielle Lösung). hier behandelte Fälle:.) y'' = c siehe z.b. "freier Fall" Lösung: * Integrieren "zu Fuß".) y'' = f(x, y`) Lösung: Rückführung auf DGL. Ordnung 3.) y'' = f(y) homogene DGL (z.b. "Pendel") Lösung: mit Formel bzw. Multipl. mit y' 4.) y = f(y,y ) homogene DGL (z.b. gedämpfte Schwingungsglg.) Lösung: Charakteristisches Polynom 5.) y = f(y,y ) + S(x) inhomogene DGL (z.b. erzwungene Schwingungen) Lösung: Y = Y h + Y p Y h aus Fall 4.), Y p Ansatz aus Tabelle.3. y'' = const. zweimalige Integration führt zur gesuchten Funktion y(x) Beispiel: geradlinige Bewegung mit Kraft F f(s), Masse m m && s = F ("Newtonsches Kraftgesetz") zweimalige Integration ergibt: s t = F m t + C t + C Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 4

17 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".3. y'' = f(x,y') rechte Seite enthält nicht y(x) u x = y x Substitution: Rückführung: u = f ( u, x) Lösung für u(x) siehe DGL. Ordnung (einschl. Integrationskonstante C ) Integration: y x = u x, C dx + C (allgemeine Lösung) y cos x + y sin x = 0 Beispiel: y = y tan x explizite Form: Substitution: u = y u = y u = u tan x Rückführung: Lösung z.b. durch Trennung der Variablen: du u du u = tan = tan x dx x dx ( cosx) + K = ln( cosx) ln( C ) ln u = ln + u = ~ C cos ( x) Berechnung von y(x): y = ~ u = C cos ( x) ~ ~ y = C cos sin + ( x) dx = C ( x) C Anfangsbedingungen (gegeben): y(0) = ; y'(0) = y(0) = = C sin(0) + C = C y'(0) = = C cos(0) = C y = sin x + spezielle Lösung: Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 5

18 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".3.3 y'' = f(y) rechte Seite enthält nur y Lösungsverfahren: Multiplikation mit y' y y = f ( y) y d dx y Beachte: y y = ( ) d dx y f y y f y dy dx ( ) = = ( ) = d y Integration: f y dy y = f y dy + C y = ± f y dy + C Lösung durch Trennung der Variablen (führt hier meistens auf "schwieriges" Integral!) Beispiel : "Fall aus großer Höhe" Es soll die Auftreffgeschwindigkeit beim Fall aus h 0 = 30 km Höhe berechnet werden. Newtonsches Gravitationsgesetz: 30km x F mm x ( x) γ = m & x = an Erdoberfläche (x = R) ist F(x) = - m. g F G mm m g = γ R γ M = g R R g R = = f x x &&x Typ: y'' = f(y) Formel s.o. 0 x& = g R² dx + C x ² Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 6

19 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" /x² dx = x - ² dx = - /x x& g R² = + C x Anfangsbed.: t = 0 &x = 0 C = - g R² / x o x o : Höhe bei t = 0 g R² g R² Auftreffgeschwindigkeit v = x& = x x o x = R + h, Auftreffen: h = 0 h o = 30 km v = g R² R ( R + h o ) mit /R - / (R + h o ) = (R + h o - R)/ (R + h o ) = h o / R(R + h o ) v = g R ho ( R + h ) o R = 6370 km v = 773 m/s Beispiel : "Mathematisches Pendel" ϕ'' = - ω o ² ϕ (ϕ max klein, d.h. sin ϕ ϕ) f(ϕ) ϕ = ± ω ϕ + C o ± : Richtung Anfangsbedingung: ϕ max : ϕ'(ϕ max ) = 0 C = ω o ² ϕ max Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 7

20 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" ϕ = ± ω0 ϕmax ϕ immer 0, da ϕ max ϕ ϕ dϕ ϕ max = ± ω dt o dx x arcsin(ϕ / ϕ max) = ± ω o t + C sin(...) (Bronstein: = arcsin a x a ) ϕ / ϕ max = sin(±ω o t + C) ϕ = ϕ max sin(±ω o t +C) Anfangsbedingung: ϕ(t = 0) = ϕ max ϕ max = ϕ max sin(c) C = π/: sin cos [ sin (x+π/) = cos x ] ϕ = ϕ max cos(ω o t) (± bestimmt durch Anfangsbed.).3.4 y'' = f(y,y') Satz: Sind Y und Y Lösungen, dann ist auch Y = C Y + C Y eine Lösung ebenso: Y = u(t) + j v(t) sei Lösung, dann sind der Realteil u(t) und der Imaginärteil v(t) einzelne Lösungen. Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 8

21 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Beispiel: y + y = 0 Lösung: y = e jx (spez. Lsg.) y x = cos x + j sin x Satz v. Euler: cos(x) und sin(x) sind auch Lösungen der DGL (Probe machen!) Allgemeiner Lösungsansatz für lineare homogene DGL mit konst. Koeffizienten: y( x) = e λx Lösungsweg: Ansatz in DGL einsetzen, λ i bestimmen ("Charakteristische Gleichung") homogene lineare DGL. Ordnung: y + ay + a0 y = 0 Beispiel: Schwingungsgleichung y'' + d y' + ω o ² y = 0 / \ Dämpfung Eigenfrequenz des ω o ² > 0 : Schwingung prop. y = v ungedämpften Systems ω o ² 0 : keine Schwingung Charakteristische Gleichung durch Einsetzen des Ansatzes y = e λt : λ λ λ λ e t + dλ e t + ω e t = 0 0 Lösung der ch. Gl.: λ / ² 4ω = d ± d o λ t falls λ λ : Lösungen Y = e, Y = e λ t allgemeine Lösung: Y = C Y + C Y Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 9

22 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" allg. Vorgehensweise. Charakteristische Gleichung. Berechnen von λ 3. y(x) = Linearkombination Y 3 Fälle: λ, λ Lösungstyp Name δt a) konjugiert komplex, negativ ( ω ω ) e Acos t + Bsin t gedämpfte Schwingung λ b) t λt λ λ, λ, λ R C e + C e Kriechfall c) λ = λ ( + ) λ C t C e t aperiodischer Grenzfall a) gedämpfte Schwingung, d < ω o λ / 4ω ² ² = d ± o d d d = ± j ωo = ρ ± j ω ω < ω o 4 ω = Frequ. des gedämpften Systems λ t Y = C e + C e λ t λ: komplex Y = C e + C e = e C e + C e ρ + jω t ρ jω t ρ t jω t jω t / Einhüllende Schwingung (*) aus Schwingungsteil: e jωt = ( ωt) + j ( ωt) cos sin (Euler) C cosωt + j sinωt + C cosωt j sin ωt = ( C + C ) cos ωt + j ( C C )sinωt A B = Acosωt + j Bsinωt in (*) : = ( cosω + sinω ) ρ Y A t j B t e t Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 0

23 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" A cosωt und B sinωt sind einzelne Lösungen, somit auch Linearkombination (s.o.): ( cosω sin ω ) ρ Y = A t + B t e t ρ bzw. Y = K e t ( ω t + ϕ) \ exponentionelle Dämpfung: Einhüllende!! sin mit K = A + B u. ϕ = arctan A B Gedämpfte Schwingungen 0,5 Einhüllende Amplitude 0-0, Zeit - schwach gedämpft Kriechfall Aperiodischer Grenzfall b) Kriechfall, d > ω o λ t Y = C e + C e λ t λ: reell keine Schwingung, abklingende Amplitude Plot s.o. Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

24 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" c) aperiodischer Grenzfall, d = ω o λ = λ da = 0 Beispiel: y + y + y = 0 λ = λ = - ergibt nur eine Lösung y = C e -ρt ist aber nicht allgemeine Lsg mit Integrationskonstanten! Vorgehensweise: Variation der Konstanten (siehe..3.) Y = C( t) e ρ t Y' = C' e ρ C e = C' ρ C e ρ t ρ t ρ t ( ) Y'' = C'' e ρ C' e ρ C' e + ρ² C e = C'' ρ C' + ρ² C e ρ t ρ t ρ t ρ t ρ t in DGL einsetzen (e -ρt kürzen) y'' + dy' + ωo y = C'' ρ C' + ρ² C + d C' d ρ C + { ωo C = y'' y' y C'' + ( d ρ) C' + ( ρ² d ρ + ω ) C = 0 Fall: ρ = d/, 4 d² = 0 ω o d² d² C'' + ( d d ) C' + + ωo C = d ² ω o = 0 4 o C'' = 0 * Integrieren: C' = C C = C t + C Y = (C t + C ) e -ρt Anfangsbed.: t = 0 Y = C Endebed.: t Y 0 Plot s.o. Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

25 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".3.5 y'' = f(y,y') + S(x) Inhomogener Fall mit Störfunktion S(x), z.b. bei erzwungenen Schwingungen Inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten Allgemein: Die allgemeine Lösung Y = Y(x) ist die Summe aus der Lösung der allgemeinen Lösung y h der zugehörigen homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung y p der inhomogenen DGL: y x = y x + y x h p Lösungsansatz für partikuläre (spezielle) Lösung hängt vom Typ der Störfunktion ab: angepaßter Lösungsansatz, d.h. "ähnliche" Funktion wählen Typ I: Beispiel: Lösungsansatz: S x = S + S x + S x + K + S x 0 y x = s + s x + s x + K + s x 0 y + y - 8y = x homogene Lsg.: λ² + λ - 8 = 0 λ / = ± + 8 λ = λ = - 4 n n n n y h = C e x + C e -4x inhomogene Lsg.: y p = A + Bx y p ' = B y p '' = 0 Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

26 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Einsetzen in DGL: B - 8A - 8Bx = x Koeff.vgl. nach Potenzen -8B = B = -/8 B -8A = 0 -/4-8A = 0 A = -/3 partik. Lsg: y p = -/3 - x/8 allgem. Lsg.: y = C e x + C e -4x - x/8 -/3 Typ II: S( x) Lösungsansatz: y( x) bzw. y( x) = K e cx = A e cx (falls c keine Lsg. d. Charakterist. Glg.) = A x e cx (falls c einfache Lsg. " " ) bzw. y x = A x e cx (falls c doppelte Lsg. " " ) Beispiel: y 5y + 56, 5y = 4e 3x 7, 5x homog. Lsg.: y = e C ( 0 5x) + C ( 0 5x) Ansatz: y = A e h p 3x cos, sin, (nachrechnen!) Einsetzen: A 3 e 5 A 3 e + 56, 5 A e = 4 e 3 x 3 x 3 x 3 x A = 0,95 y x = e C cos 0, 5x + C sin 0, 5x + 0, 95 e 7, 5 Allg. Lsg.: x 3x Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 4

27 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Typ III: S( x) = S cos( ωx) + S sin( ω x) Lösungsansatz: y( x) = A cos( ωx) + B sin( ω x) (Ansatz muß immer aus cos- und sin-term bestehen, auch wenn S(x) nur aus einem Term besteht!) Spezialfall: ω ist eine Lsg. der Charakt. Glg. [ ] dann y( x) = x A cos( x) + B sin( x) ω ω wählen y 4y + 4y = cos 3x Beispiel: y x = K + K x e homog. Lsg.: h x (bitte nachrechnen, Hilfe: siehe Kap..3.4, aperiod. Grenzfall) Ansatz: y ( x) A cos( 3x) B sin( 3 x) p = + Einsetzen: y = Asin( x) + Bcos ( x) p y p = 9Acos 3x 9Bsin 3x! 9Acos 3x 9Bsin 3x + Asin 3x Bcos 3x + 4Acos 3x + 4Bsin 3x = cos 3x! cos sin cos ( 5A B) ( 3x) + ( A 5B) ( 3x) = ( 3x) 5A B = A 5B = A = B = = 0 p partik. Lsg.: y cos( 3x) sin ( 3x) Allg. Lsg. der inhomogenen DGL: y( x) = ( K + K x) e x cos( 3x) sin ( 3x) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 5

28 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Typ IV: S( x) = f ( x) + f ( x) Lösungsweg:. Lösung der homogenen DGL. Lösung der inhomogenen DGL mit S (x) = f (x) 3. Lösung der inhomogenen DGL mit S (x) = f (x) 4. Gesamtlsg.: y( x) = y ( x) + y ( x) + y ( x) Summe zweier Funktionen h Lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten a d n y n d y a a dy n n + n n + K + + a0 y = S x dx dx dx Anmerkungen zur inhomogenen linearen DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten: Die Parameter (z.b. A, B, ϕ) sind so zu bestimmen, daß die Funktion die lineare DGL löst. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit genau einer Lösung. Bei periodischen Störfunktionen kann man auch einen komplexen Ansatz verwenden. y p j( ax ϕ ) = C e Falls Störfunktion nicht Typ I...IV: Reihen- bzw. Fourierentwicklung möglich. Zusammenfassung: Das Vorgehen zur Lösung der inhomogenen linearen DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y'' + d y' + ω o ² y = S(x) lautet:. Bestimmung der allgemeinen Lösung y h der homogenen DGL: y'' + d y' + ω o ² y = 0. Lösungsansatz für partikuläre Lösung y p 3. Addition von. und. zur allgemeinen Lösung: y(x) = y h + y p Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 6

29 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".3.6 Erzwungene Schwingungen Wirkt auf eine mechanische oder elektrische Anordnung eine periodische Kraft bzw. Spannung, z.b. = sin( ω ) bzw. U( t) = U sin( ω t) F t F t so führt das System erzwungene Dauerschwingungen aus. Beschreibende DGL: y + d y + ω 0 y = S( x) Beispiel : Elektromagnetischer Reihenschwingkreis Aus Kirchhoffschen Gesetzen: && I I& + δ + ω I = o U& a L mit R δ = L und ωo = LC gilt ebenso für mechanisch gedämpfte Schwinger, z.b. Federpendel,... (siehe Physik I) Zuerst homogene Lösung: Freie Schwingung (U a = 0) am interessantesten: freie gedämpfte Schwingung (s. Kap..3.4a). Lösung mit Charakteristischem Polynom : I = e λt λ + δλ + ω o = 0 für ω o > δ : λ / = δ ± j ωo δ = δ ± jωd 4 43 δt jωdt jωdt allgemeine Lösung: I ( t) e ( C e + C e ) h ω D = Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 7

30 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" R mit ω D = LC 4 L ω D < ω o wegen Dämpfung durch R Partikuläre Lösung Annahme: sinusförmige Spannung U = U e a $ jω t $ && I I& I j U j t + δ + ωo = ω e ω L partikulärer Lösungsansatz (siehe Kap..3.5: periodische Störfunktion) I ( t) = I$ e p ( ω t ϕ ) j I( t) = e C e + Ce + Iˆ e δt jωdt jωdt j( ωt ϕ ) inhomogene Lösung: Die Lösung der DGL der erzwungenen Schwingung besteht aus der von den Anfangsbedingungen abhängigen Lösung der homog. DGL, durch die der Einschwingvorgang δ beschrieben wird ( e t t 0 ), und aus einer nur von den Parametern des schwingungsfähigen Systems abhängigen partikulären Lösung der inhomogenen DGL, welche die ungedämpfte Schwingung des Dauerzustandes nach Abklingen des Einschwingvorgangs wiedergibt. Bestimmen von Î und ϕ : durch Einsetzen von I p in DGL &I ( t) = j I p ω ; && I p p = ω I p jωu$ ω I p + jδωi p + ω 0 I p = e L jωt U$ ω ω + jδω = jω LI$ ( 0 ) ϕ e j Euler: e jϕ = cosϕ + jsin ϕ U$ LI$ ( ω ω ) δω ω 0 + j = ( sinϕ + j cos ϕ) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 8

31 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Vergleich von Real- und Imaginärteil: LI$ U$ sinϕ = ω ( ω ω0 ) LI$ cosϕ = δω ω U$ sinϕ ω ω0 tanϕ = = cosϕ δω ωl ϕ = arctan ωc R sin ϕ + cos ϕ = [( ω ω0 ) δ ω ] LI$ ωu$ + 4 = I$ = ω $ $ L U U = ω ω + 4δ ω R + ωl ωc ( 0 ) $ $ I$ U U = = Z R + ωl ωc mit Scheinwiderstand Z = R + ωl ωc Stromverlauf nach dem Einschwingen ( t >> δ ): j( t ) I t I t = I e p $ ω ϕ Resonanz für ω = ω = o LC Î = Û / R Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 9

32 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Erzwungene Schwingungen Eigenfrequenz 0 Hz Schwingungs-Amplitude Schwache Dämpfung Mittlere Dämpfung Starke Dämpfung Erregerfrequenz /Hz,5 Erzwungene Schwingungen: Phasenverschiebung 0,5 Phase 0-0, Schwache Dämpfung Mittlere Dämpfung Starke Dämpfung - -,5 Eigenfrequenz Hz - Erregerfrequenz /Hz Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 30

33 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Beispiel : schwingendes mechanisches System DGL: δ ω ( ω ) y + y + y = asin t mit a = 0 Fext m Lösungsweg wie oben Y = y h + y p aus allgemeinem, mechanischen Ansatz: = e -δt ( A sinω D t + B cosω D t ) + A ab sinωt + A el cosωt ; ω ω δ y h freie ged. Schwingung (δ < ω 0 ) (z.b. allg. Math. Pendel) y p D = 0 Bestimmung von A ab bzw. A el durch Einsetzen von y p in DGL... (s.o.) Def: A ab : absorbierende Amplitude (mittlere zugeführte Leistung) A ab F = m ext ω ω 0 ( ω ω ) + 4δ ω o A el : elastische Amplitude (augenblicklich zugeführte Leistung) Fext A el = m δ ω ( ω ω ) + 4 δ ω o Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

34 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Anfänglich ruhende Oszillatoren mit schwacher Dämpfung und Erregerfreq. Eigenfreq. Anfangsbedingung: Y(t=0) = 0 und Y'(t=0) = 0 Y(0): B = - A el e -δt ist während Schwingung praktisch konstant Y'(t=0) ω A ab + ω D A mit ω ω D A = - A ab Y'(t=0) ( ω - ω D ) A ab Y(t) = A ab (sinωt - e -δt sinω D t) + A el (cosωt - e -δt cosω D t) Resonanzfall: ω = ω D Y(t) = ( - e -δt ) * (A ab sinωt + A el cosωt ) = ( - e -δt ) y p mit A ab 0 = - ( - e -δt ) cosωt F ext / ( m δ ω) f(t) cosωt Maximalamplitude ω 0 nach Einschwingen (t groß) Y(t) = -A max cosωt Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

35 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen" Erzwungene Schwingungen Erregerfrequenz = Eigenfrequenz (Resonanz) 0,8 0,6 0,4 0, Amplitude 0-0, ,4-0,6-0,8 - t Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 33

36 Vorlesungsskript "Mathematik für Ingenieure: Teil - Differentialgleichungen".4 Partielle DGL am Beispiel der Wellengleichung Partielle DGL: mehrere Veränderliche in einer DGL, z.b. Ort und Zeit. Wellengleichung im 3-dimensionalen Raum: r r d a a = c dt (z.b. EM-Wellen) d d d kartesische Koord.: = + + dx dy dz (Laplace-Operator) eindimensional: = d dx eindim. Wellengleichung: d a d a = bzw. a = a&& dx c dt c Lösungsansatz: ( ω ± ) a = a$ e j t kx ω einsetzen in DGL: k a = a c k = ω c (ω = πf ; λ = ) c f Wellenzahl k = π λ (nach rechts fortschreitende Welle) Problem: Lösung der Wellengleichung unter Randbedingungen (z.b. Hohlleiter) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 34