Differentialgleichungen sind überall!
|
|
|
- Gundi Dieter
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Differentialgleichungen sind überall! Helmut Abels Fakultät für Mathematik Universität Regensburg Folien und Co.: Fak I/abels/Aktuelles.html Tag der Mathematik am Albrecht-Altdorfer-Gymnasium Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
2 Was sind Differentialgleichungen? Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion f mit deren Ableitungen f, f,... in Beziehung setzen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 2 / 5
3 Was sind Differentialgleichungen? Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion f mit deren Ableitungen f, f,... in Beziehung setzen. Beispiele: f (x) = f(x) f (x) = f(x) 2 + sin x sin(f (x)) = cos(f (x)) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 2 / 5
4 Was sind Differentialgleichungen? Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion f mit deren Ableitungen f, f,... in Beziehung setzen. Beispiele: f (x) = f(x) f (x) = f(x) 2 + sin x sin(f (x)) = cos(f (x)) Eine Funktion, welche die Gleichung für alle x erfüllt, heißt Lösung der Gleichung. f(x) f (x) x Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 2 / 5
5 Erinnerung: Die Ableitung Zu einer Funktion f(x) bezeichnet f (x) die Steigung von f(x) an der Stelle x. Die Funktion f (x) heißt Ableitung von f(x). D.h.: f (x) ist die Steigung der Tangente am Graphen von f im Punkt (x, f(x)): f(x) f (x) x Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 3 / 5
6 Erinnerung: Die Ableitung Zu einer Funktion f(x) bezeichnet f (x) die Steigung von f(x) an der Stelle x. Die Funktion f (x) heißt Ableitung von f(x). D.h.: f (x) ist die Steigung der Tangente am Graphen von f im Punkt (x, f(x)): f(x) f (x) x Des Weiteren bezeichnet f (x) die Ableitung der Funktion f (x). Die Ableitung von f (x) ist f (x) usw. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 3 / 5
7 Was beschreiben Differentialgleichungen? (I) Die Funktion f beschreibe eine Größe wie: den Ort eines Gegenstandes (Auto, Flugzeug, Stein,...) die Temperatur, die Konzentration oder die Radioaktivität eines Stoffes die Größe einer Population (Einwohner, Kaninchen,...) den Wert einer Aktie, Währung,... Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 4 / 5
8 Was beschreiben Differentialgleichungen? (I) Die Funktion f beschreibe eine Größe wie: den Ort eines Gegenstandes (Auto, Flugzeug, Stein,...) die Temperatur, die Konzentration oder die Radioaktivität eines Stoffes die Größe einer Population (Einwohner, Kaninchen,...) den Wert einer Aktie, Währung,... Dann beschreibt f die Änderungsrate dieser Größe, d.h.: die Geschwindigkeit des Gegenstandes die Zunahme/Abnahme der Temperatur,... das Wachstum der Population die Wertsteigerung der Aktie bzw. Währung f beschreibt die Änderungsrate der Geschwindigkeit (Beschleunigung), des Wachstums,... Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 4 / 5
9 Was beschreiben Differentialgleichungen? (II) Also: Eine Differentialgleichung setzt eine Größe, beschrieben durch die Funktion f, mit deren Änderungsraten (f, f,...) in Beziehung. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 5 / 5
10 Was beschreiben Differentialgleichungen? (II) Also: Eine Differentialgleichung setzt eine Größe, beschrieben durch die Funktion f, mit deren Änderungsraten (f, f,...) in Beziehung. Beispiel: f(t) beschreibe die Menge an Bakterien zur Zeit t Wachstum der Bakterienzahl Zahl der Bakterien f (t) = cf(t) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 5 / 5
11 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 6 / 5
12 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 6 / 5
13 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 6 / 5
14 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Das Lösen von Differentialgleichungen ermöglicht Vorhersagen über die Entwicklung der Größen im betrachten System. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 6 / 5
15 Wofür werden Differentialgleichungen verwendet? Mit Differentialgleichungen können (natur-) wissenschaftliche Gesetze mathematisch formuliert werden. Dabei werden die Gesetze im Rahmen vereinfachender Annahmen (Modell) aufgestellt. Das Lösen von Differentialgleichungen ermöglicht Vorhersagen über die Entwicklung der Größen im betrachten System. Realität Situation Vorhersage Modellierung Interpretation Mathematik Differentialgleichung Lösung Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 6 / 5
16 Was sind die mathematische Fragestellungen? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
17 Was sind die mathematische Fragestellungen? Existenz: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
18 Was sind die mathematische Fragestellungen? Existenz: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Eindeutigkeit: Ist die Lösung eindeutig? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
19 Was sind die mathematische Fragestellungen? Existenz: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Eindeutigkeit: Ist die Lösung eindeutig? Wenn nein, unter welchen zusätzlichen Bedingungen ist sie eindeutig? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
20 Was sind die mathematische Fragestellungen? Existenz: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Eindeutigkeit: Ist die Lösung eindeutig? Wenn nein, unter welchen zusätzlichen Bedingungen ist sie eindeutig? Berechnung: Kann die Lösung (explizit) berechnet werden? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
21 Was sind die mathematische Fragestellungen? Existenz: Existiert eine Lösung der Differentialgleichung? Eindeutigkeit: Ist die Lösung eindeutig? Wenn nein, unter welchen zusätzlichen Bedingungen ist sie eindeutig? Berechnung: Kann die Lösung (explizit) berechnet werden? Wenn nein, wie kann die Lösung näherungsweise berechnet werden? Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 7 / 5
22 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (I) Es beschreibe x(t) die Position eines Steines der Masse m zum Zeitpunkt t im leeren Raum. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 8 / 5
23 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (I) Es beschreibe x(t) die Position eines Steines der Masse m zum Zeitpunkt t im leeren Raum. Dann ist: v(t) = x (t) die Geschwindigkeit a(t) = v (t) = x (t) die Beschleunigung Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 8 / 5
24 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (I) Es beschreibe x(t) die Position eines Steines der Masse m zum Zeitpunkt t im leeren Raum. Dann ist: v(t) = x (t) die Geschwindigkeit a(t) = v (t) = x (t) die Beschleunigung Es wirke die Gravitationskraft F = m g. Newtonsches Gesetz: F = m a. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 8 / 5
25 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (I) Es beschreibe x(t) die Position eines Steines der Masse m zum Zeitpunkt t im leeren Raum. Dann ist: v(t) = x (t) die Geschwindigkeit a(t) = v (t) = x (t) die Beschleunigung Es wirke die Gravitationskraft F = m g. Newtonsches Gesetz: F = m a. Damit erhält man die Differentialgleichung m x (t) = m g Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 8 / 5
26 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (II) Lösung: m x (t) = m g Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 9 / 5
27 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (II) Lösung: m x (t) = m g x (t) = g t + c Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 9 / 5
28 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (II) Lösung: m x (t) = m g x (t) = g t + c x(t) = g t2 2 + c t + c 2 dabei sind c, c 2 beliebige reelle Zahlen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 9 / 5
29 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (II) Lösung: m x (t) = m g x (t) = g t + c x(t) = g t2 2 + c t + c 2 dabei sind c, c 2 beliebige reelle Zahlen. Lösung existiert, ist aber nicht eindeutig! Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 9 / 5
30 Beispiel: Stein im Gravitationsfeld (II) Lösung: m x (t) = m g x (t) = g t + c x(t) = g t2 2 + c t + c 2 dabei sind c, c 2 beliebige reelle Zahlen. Lösung existiert, ist aber nicht eindeutig! Lösung wird eindeutig durch Festlegung von x() = a x () = b Anfangsort Anfangsgeschwindigkeit x(t) = g t2 2 +b t+a ist eindeutige Lösung des Anfangswertproblems: m x (t) = m g x() = a x () = b Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 9 / 5
31 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
32 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Erinnerung: Für f(x) = e x ist f (x) = e x. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
33 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Erinnerung: Für f(x) = e x ist f (x) = e x. Ansatz: f(t) = e at, e = 2, Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
34 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Erinnerung: Für f(x) = e x ist f (x) = e x. Ansatz: f(t) = e at, e = 2, Dann ist f (t) = a e at = a f(t). Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
35 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Erinnerung: Für f(x) = e x ist f (x) = e x. Ansatz: f(t) = e at, e = 2, Dann ist f (t) = a e at = a f(t). Wähle a = c! Somit löst f(t) = e ct die Gleichung (). Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
36 Beispiel: Bakterienwachstum Gesucht: Lösungen von f (t) = c f(t) () Erinnerung: Für f(x) = e x ist f (x) = e x. Ansatz: f(t) = e at, e = 2, Dann ist f (t) = a e at = a f(t). Wähle a = c! Somit löst f(t) = e ct die Gleichung (). Aber: Für jede reelle Zahl C löst f(t) = C e ct ebenfalls (). Durch die Bedingung f() = C ist die Lösung aber eindeutig bestimmt. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
37 Grenzen von Modellen Sei f(t) die Zahl der Kaninchen auf einer einsamen Insel zur Zeit t. Dann gilt: Vermehrung der Kaninchen Zahl der Kaninchen f (t) = cf(t) Also: f(t) = C e ct, wobei C die Zahl der Kaninchen zur Zeit t = ist. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
38 Grenzen von Modellen Sei f(t) die Zahl der Kaninchen auf einer einsamen Insel zur Zeit t. Dann gilt: Vermehrung der Kaninchen Zahl der Kaninchen f (t) = cf(t) Also: f(t) = C e ct, wobei C die Zahl der Kaninchen zur Zeit t = ist. Problem: f wächst sehr schnell an: Ist t sehr groß, erhält man unrealistische Kaninchenpopulationen. Alternatives Modell: Vermehrung Zahl der Kaninchen verhungerte Kaninchen f (t) = cf(t) af(t) 2 Dabei ist cf(t) af(t) 2 cf(t), falls af(t) klein ist. (Mehr: Übungen) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 / 5
39 Berechnung der Lösung im Allgemeinen Nicht immer lässt sich die Lösung der Differentialgleichung explizit berechnen. (Sie muss noch nicht einmal existieren oder eindeutig sein.) Dies gilt vor allem für nichtlineare Differentialgleichungen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 2 / 5
40 Berechnung der Lösung im Allgemeinen Nicht immer lässt sich die Lösung der Differentialgleichung explizit berechnen. (Sie muss noch nicht einmal existieren oder eindeutig sein.) Dies gilt vor allem für nichtlineare Differentialgleichungen. Beispiel: Mathematisches Pendel mϕ (t) = mg sin(ϕ(t)), ϕ() = a,ϕ () = b. ϕ(t) F = mg sinϕ(t) Die Lösungen lassen sich nicht mehr exakt, sondern nur noch näherungsweise (z.b. mit Computer) berechnen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 2 / 5
41 Partielle Differentialgleichungen (I) Alle Größen/ Funktionen hingen bis jetzt nur von einer Variablen ab. Die zugehörigen Differentialgleichungen heißen auch gewöhnliche Differentialgleichungen. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 3 / 5
42 Partielle Differentialgleichungen (I) Alle Größen/ Funktionen hingen bis jetzt nur von einer Variablen ab. Die zugehörigen Differentialgleichungen heißen auch gewöhnliche Differentialgleichungen. Hängt die Funktion z.b. vom Ort x und Zeit t, so müssen partielle Ableitungen betrachtet werden: x u(x, t) Steigung, wenn x variert und t fixiert ist. t u(x, t) Steigung, wenn t variert und x fixiert ist. (x, t) x t u(x, t) Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 3 / 5
43 Partielle Differentialgleichungen (II) Beispiel: t u(x, t) = c x u(x, t) (Transportgleichung) u(x, t) beschreibt z.b. die Konzentration eines Stoffes am Ort x zur Zeit t. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 4 / 5
44 Partielle Differentialgleichungen (II) Beispiel: t u(x, t) = c x u(x, t) (Transportgleichung) u(x, t) beschreibt z.b. die Konzentration eines Stoffes am Ort x zur Zeit t. Lösung: u(x, t) = u (x + c t) wobei u eine beliebige von einer Variablen abhängige differenzierbare Funktion ist. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 4 / 5
45 Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 5 / 5
46 Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Die Differentialgleichungen werden oft aus physikalischen Prinzipien wie Erhaltung von Masse und Impuls und Kräftegleichgewichten hergeleitet. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 5 / 5
47 Partielle Differentialgleichungen (III) Partielle Differentialgleichungen beschreiben komplexe Sachverhalte. Z.B.: elektrische und magnetische Felder Verbiegen von Körpern die Bewegung von Flüssigkeiten Die Differentialgleichungen werden oft aus physikalischen Prinzipien wie Erhaltung von Masse und Impuls und Kräftegleichgewichten hergeleitet. Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ist im allgemeinen Fall ein ungelöstes Problem und aktuelles Forschungsgebiet. Helmut Abels (U Regensburg) Differentialgleichungen 25. Juli 22 5 / 5
Lösung zur Übung 19 SS 2012
Lösung zur Übung 19 SS 01 69) Beim radioaktiven Zerfall ist die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne dn/dt direkt proportional zur momentanen Anzahl der Kerne N(t). a) Formulieren Sie dazu die
Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder
DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/
Mathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 8.12.2016 20. Vorlesung Differentialgleichungen n-ter Ordnung Lösung einer Differentialgleichung Veranschaulichung der Lösungsmenge Anfangswertprobleme Differentialgleichungen
Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1
Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 121 Einführende Beispiele und Grundbegriffe Beispiel 1 ( senkrechter Wurf ) v 0 Ein Flugkörper werde zum Zeitpunkt t = 0 in der Höhe s = 0 t = 0 s = 0 mit der Startgeschwindigkeit
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
Analysis: exp. und beschränktes Wachstum Analysis
Analysis Wahlteilaufgaben zu exponentiellem und beschränktem Wachstum inkl Differenzialgleichungen Gymnasium ab J1 Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom Februar 2014 1 Aufgabe 1 Zu Beginn eines Experimentes
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n
![2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n](/thumbs/49/25862272.jpg "2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n")
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve
Modellschularbeit. Mathematik. März Teil-2-Aufgaben. Korrekturheft
Modellschularbeit Mathematik März 2014 Teil-2-Aufgaben Korrekturheft Aufgabe 1 Druckmessung in einem Behälter a) Lösungserwartung: Momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 12: p(t) = 1 64 t 3 3 16 t 2
16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
6 Differentialgleichungen
88 6 Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y = y(x) und Ableitungen (die erste oder auch höhere) von y vorkommen. Lösungen einer Differentialgleichung
Nichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
4. Differentialgleichungen
4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 10.11.2011 Seite 1 Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter
2. Lagrange-Gleichungen
2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen
WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades
WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades Wenn zwischen den Elementen zweier Mengen D und W eine eindeutige Zuordnungsvorschrift vorliegt, dann ist damit eine Funktion definiert (s. Abb1.), Abb1. wobei D als
Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik
ZK M A1 (mit CAS) Seite 1 von 5 Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik 1. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe. Materialgrundlage
Einstieg in die Informatik mit Java
Vorlesung vom 07.01.2008 Übersicht 1 Warm-Up zum Jahresbeginn 2 Anfangswertprobleme 3 Polygonzüge 4 Das Eulersche Polygonzugverfahren Warm-Up zum Jahresbeginn 1 Warm-Up zum Jahresbeginn 2 Anfangswertprobleme
Numerische Verfahren
Numerische Verfahren Numerische Methoden von gewöhnlichen Differentialgleichungen (AWP) Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf, Prof. Dr.-Ing. P. Wolfsteiner Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät
Differentialgleichungen
Kapitel Differentialgleichungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 05/6 Differentialgleichungen / Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachstumsmodell treffen wir die folgenden Annahmen: () Erhöhung der
Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.
Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus
Mathematik II für Inf und WInf
Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell
R. Brinkmann Seite Anwendungen der Exponentialfunktion
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..2 Aufstellen der Funktionsgleichung : Anwendungen der Eponentialfunktion Coli Bakterien verrichten ihre Arbeit im menschlichen Darm. Sie vermehren sich durch
M1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen
M1 Maxwellsches Rad Stoffgebiet: Translations- und Rotationsbewegung, Massenträgheitsmoment, physikalisches Pendel. Versuchsziel: Es ist das Massenträgheitsmoment eines Maxwellschen Rades auf zwei Arten
Mathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 20/202 Mathematik für Anwender I Vorlesung 30 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Definition 30.. Eine Differentialgleichung der Form y = g(t)
Gewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
Energie und Energieerhaltung
Arbeit und Energie Energie und Energieerhaltung Es gibt keine Evidenz irgendwelcher Art dafür, dass Energieerhaltung in irgendeinem System nicht erfüllt ist. Energie im Austausch In mechanischen und biologischen
Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel des harmonischen Oszillators
Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel des harmonischen Oszillators Horst Laschinsky 12. Oktober 1999 Inhaltsverzeichnis 1 Gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Die Summen- bzw. Differenzregel
Die Summen- bzw Differenzregel Seite Kapitel mit Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln Level Grundlagen Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt
Funktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
- 1 - zum Extremum macht, wenn y(x) eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse ( n
- 1 - Variationsrechnung Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle. So kann man die Grundgleichungen der Newtonschen Mechanik aus einem Lagrangeschen Variationsprinzip herleiten.
Elektrodynamik. Übungsblatt 5 Musterlösungen. 1 c t( i A i ) = 4πρ, A i = i g + ( v) i. t ρ(τ, x)dτ + w( x) w 0 (t, x) + w( x),
UNIVERSITÄT LEIPZIG INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK Elektrodynamik Übungsblatt 5 Musterlösungen 13 Aufgabe (a) Der Ausgangspunkt für diese Aufgabe sind die Maxwell-Gleichungen a ( a A b b A a ) = 4π c
GRUNDLEGENDE MODELLE. Caroline Herbek
GRUNDLEGENDE MODELLE Caroline Herbek Lineares Wachstum Charakteristikum: konstante absolute Zunahme d einer Größe N t in einem Zeitschritt Differenzengleichung: N t -N t-1 =d => N t = N t-1 +d (Rekursion)
Funktionen in der Mathematik
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft
Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II
Analysis NT GS - 0.06.06 - m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe 006 - Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie,
Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung)
Einfache Differentialgleichungen (algebraische Lösung) 0. Definition, Einschränkung Definition: Sei die Funktion mit Gleichung = f() n-mal differenzierbar. Gilt F(,,,,, (n) ) = 0 (für alle ), so erfüllt
Erste Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am
Erste Schularbeit Mathematik Klasse 7A G am 12.11.2015 SCHÜLERNAME: Punkte im ersten Teil: Punkte im zweiten Teil: Davon Kompensationspunkte: Note: Notenschlüssel: Falls die Summe der erzielten Kompensationspunkte
Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome
Proseminar Lineare Algebra SS10 Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Natalja Shesterina Heinrich-Heine-Universität ASymmetrische Polynome Definition 1 Sei n
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik. 4. Versuch: Atwoodsche Fallmaschine
Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik 4. Versuch: Atwoodsche Fallmaschine 1 Einführung Wir setzen die Untersuchung der beschleunigten Bewegung in diesem Versuch fort.
Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
PP Physikalisches Pendel
PP Physikalisches Pendel Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen 2 2.1 Ungedämpftes physikalisches Pendel.......... 2 2.2 Dämpfung
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 12. Jänner Mathematik. Teil-1-Aufgaben. Korrekturheft
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS 12. Jänner 2017 Mathematik Teil-1-Aufgaben Korrekturheft Aufgabe 1 Mehrwertsteuer für Hörbücher y = x 1,19 1,07 Ein Punkt für eine korrekte
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen
Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory
Nichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
4.2 Der Harmonische Oszillator
Dieter Suter - 208 - Physik B3, SS03 4.2 Der Harmonische Oszillator 4.2.1 Harmonische Schwingungen Die Zeitabhängigkeit einer allgemeinen Schwingung ist beliebig, abgesehen von der Periodizität. Die mathematische
4. DIE ABLEITUNG (DERIVATIVE)
31 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
Stetigkeit von Funktionen
Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte
Theoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische
Aufgabe 1 (Exponentielles Wachstum, wird teilweise auch in Vorlesung besprochen, Teile a) bis c) sind exakt die Aufgaben von Blatt 2, Aufgabe 3))
Formalisierungspropädeutikum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Th. Augustin, Dr. R. Poellinger, C. Jansen, J. Plaß, G. Schollmeyer WiSe 2015/16 Aufgabe 1 (Exponentielles Wachstum, wird teilweise auch in Vorlesung
2. Kinematik. 2.1 Modell Punktmasse
2. Kinematik 2.1 Modell Punktmasse 2.22 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.4 Beschleunigung (1-dimensional) 2.5 Bahnkurve 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter
Mathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z
R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des
Mathematik I für Chemie
Mathematik I für Chemie Dr. Sebastian Franz WS 2012/13 sebastian.franz@tu-dresden.de Mathematik I 1 / 24 Physikalische und chemische Gesetzmäßigkeiten werden häufig mittels mathematischer Formeln beschrieben.
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;
Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung
Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich
TECHNISCHE MECHANIK III (DYNAMIK)
Klausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK III (DYNAMIK) WS 2014 / 2015 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Ergebnis Klausur Aufgabe: 1 2 3 4 Summe Punkte: 15 7 23 15 60 Davon erreicht Bearbeitungszeit: Hilfsmittel:
Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale
Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
ε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
Modell der Punktmasse
Kinematik Die Kinematik (kinema, griech., Bewegung) ist die Lehre von der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum, beschrieben durch die Größen Weg (Änderung der Ortskoordinate) s, Geschwindigkeit v und
Übungen: Lineare Funktionen
Übungen: Lineare Funktionen 1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen und berechnen Sie die Nullstelle. a) f: y = 2x - 3 b) f: y = -3x + 6 c) f: y = ¼ x + 3 d) f: y = - 3 / 2 x + 9 e) f: y =
Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion
Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
ν und λ ausgedrückt in Energie E und Impuls p
phys4.011 Page 1 8.3 Die Schrödinger-Gleichung die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik (in den bis jetzt diskutierten Fällen) eine Wellengleichung für Materiewellen (gilt aber auch allgemeiner)
6. Funktionen von mehreren Variablen
6. Funktionen von mehreren Variablen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 24.11.2011 Seite 1 Funktionen von mehreren Variablen n {1, 2, 3,...} =: N. R n := {(x 1,..., x n) x 1,..., x n R} = Menge aller n-tupel
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Aufgaben. zu Inhalten der 6. Klasse
Aufgaben zu Inhalten der 6. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) November 2010 Aufgaben vom Typ 1 Potenzen und Wurzeln Die folgende Tabelle enthält in jeder Zeile
konvergent falls Sei eine allgemeine ("gutmütige") Funktion. Frage: kann man sie in der Nähe des Punktes darstellen mittels einer Potenzreihe in
C5 Funktionen: Reihenentwicklungen C5.1 Taylorreihen Brook Taylor (1685-1731) (Analysis-Vorlesung: Konvergenz von Reihen und Folgen) Grundlegende Frage: Wann / unter welchen Voraussetzungen lässt sich
Musso: Physik I. Teil 4 Newton-Axiome
Tipler-Mosca 4. Die Newton'schen Aiome (Newton's Laws) 4.1 Das erste Newton'sche Aiom: Das Trägheitsgesetz (Newton's first law: the law of inertia) 4.2 Kraft, Masse und das zweite Newton'sche Aiom (Force,
2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Bem. Die mittlere Geschwindigkeit hängt i.a. nicht nur von t, sondern auch von t ab.
40 8. Anwendungen der Differentialrechnung Beispiele aus der Phsik: Momentangeschwindigkeit Die Bewegung eines Massenpunktes wird mathematisch durch die zugrundeliegende Weg- Zeitfunktion beschrieben,
Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis
Thema aus dem Bereich Analysis - 3.9 Differentialrechnung I Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung I 5.06.009 Theorie+Übungen 1 Stetigkeit Wir werden unsere Untersuchungen in der Differential- und Integralrechnung
m 1 und E kin, 2 = 1 2 m v 2 Die Gesamtenergie des Systems Zwei Wagen vor dem Stoß ist dann:
Wenn zwei Körper vollkommen elastisch, d.h. ohne Energieverluste, zusammenstoßen, reicht der Energieerhaltungssatz nicht aus, um die Situation nach dem Stoß zu beschreiben. Wenn wir als Beispiel zwei Wagen
Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen)
Übungsaufgaben zu Mathematik III (ohne Lösungen) 1. Lösen Sie intuitiv (d.h. ohne spezielle Verfahren) die folgenden DGLn (allgemeine Lösung): = b) =! c) = d)!! = e at. Prüfen Sie, ob die gegebenen Funktionen
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren
Mathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2
Mathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2 Fortsetzung der komlexen Zahlen : 9. Radizieren und Potenzen a) Berechnen Sie (1+i) 20 und geben Sie das Resultat als Polarkoordinaten
Charakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
9. Vorlesung Wintersemester
9. Vorlesung Wintersemester 1 Die Phase der angeregten Schwingung Wertebereich: bei der oben abgeleiteten Formel tan φ = β ω ω ω0. (1) ist noch zu sehen, in welchem Bereich der Winkel liegt. Aus der ursprünglichen
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Beispiel: Evolution infizierter Individuen
Differentialgleichungen sind sehr nützlich in der Modellierung biologischer Prozesse, denn: damit kann man auch sehr komplizierte Systeme beschreiben die Mathematik liefert mit der gut entwickelten Theorie
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung
Leitfaden a tx t
Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und
Algorithmische Mathematik und Programmieren
Algorithmische Mathematik und Programmieren Martin Lanser Universität zu Köln WS 2016/2017 Organisatorisches M. Lanser (UzK) Alg. Math. und Programmieren WS 2016/2017 1 Ablauf der Vorlesung und der Übungen
Kinematik & Dynamik. Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze. Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG
Kinematik & Dynamik Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017 1 Einleitung Die Mechanik ist der älteste Teil
Übungen zu Partielle Differentialgleichungen, WS 2016
Übungen zu Partielle Differentialgleichungen, WS 2016 Ulisse Stefanelli 16. Januar 2017 1 Beispiele 1. Betrachten Sie die Beispiele von nichtlinearen PDG und Systemen, die wir im Kurs diskutiert haben,
Physik A3. 2. Mechanik
Physik A3 Prof. Dieter Suter WS 02 / 03 2. Mechanik 2.1 Kinematik 2.1.1 Grundbegriffe Die Mechanik ist der klassischste Teil der Physik, sie umfasst diejenigen Aspekte die schon am längsten untersucht
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
Einführung in die Modellierung: Statische und dynamische Bilanzgleichungen
Einführung in die Modellierung: Statische und dynamische Bilanzgleichungen Mengenbilanzen: Beispiel 1: Kessel Wirkungsgraph Flussdiagramm Modellgleichungen Statische Mengenbilanz Deispiel 2: Chemische
Flüsse, Fixpunkte, Stabilität
1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher
Polynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 1 von 6. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT Seite von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 0 Mathematik, Grundkurs. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage
Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:
Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 1/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 008 (3. Juli 007) Bearbeitungszeit: