Technische Mechanik. Band 3: Dynamik

Transkript

1 Technische Mechanik Band 3: Dynamik

2

3 Technische Mechanik Band 3: Dynamik von Peer Hagedorn Jörg Wallaschek 5., vollsändig überarbeiee Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Sraße Haan-Gruien Europa-Nr.: 56924

4 Auoren: Prof. Dr. Peer Hagedorn verri an der Technischen Universiä Darmsad das Fach Technische Mechanik in Lehre und Forschung. Er ha jahrzehnelang Vorlesungen über Technische Mechanik und über Technische Schwingungslehre für Hörer unerschiedlicher Fachrichungen gehalen. Professor Dr.-Ing. Jörg Wallaschek is Direkor des Insiues für Dynamik und Schwingungen an der Gofried Wilhelm Leibniz Universiä Hannover und verri die Fächer Technische Mechanik und Maschinendynamik in der Fakulä für Maschinenbau. 5., vollsändig überarbeiee Auflage 2017 Druck ISBN ISBN (E-Book) Alle Reche vorbehalen. Das Werk is urheberrechlich geschüz. Jede Verwendung außerhalb der gesezlich geregelen Fälle muss vom Verlag schriflich genehmig werden. c 2017 by Verlag Europa-Lehrmiel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruien hp:// Umschlaggesalung: braunwerbeagenur, Radevormwald Druck: UAB BALTO prin, Vilnius LT-08217, Liauen

5 Vorwor zur fünfen Auflage Die drei Bände zur Technischen Mechanik von Peer Hagedorn haben inzwischen große Verbreiung als Lehrbücher an Universiäen und Hochschulen gefunden. Mi der vorliegenden 5. Auflage is Jörg Wallaschek als Ko-Auor dazu gekommen. Ein wesenlicher Teil der Überarbeiung der neuen Auflage durch den Ersauor erfolge während Gasaufenhalen am Deparmen of Mechanical Engineering der Universiy of Canerbury, Chrischurch, Neuseeland. Der Ersauor dank dem Deparmen für die freundliche Aufnahme und dafür, dass das Deparmen die Infrasrukur zur Verfügung gesell ha. Das bewähre Konzep zur Einführung der Grundbegriffe und mahemaischen Hilfsmiel wurde beibehalen. Tex, Abbildungen und Aufgaben wurden behusam überarbeie und an einigen Sellen ergänz, um das Buch noch besser auf die Anforderungen der Ingenieur-Ausbildung abzusimmen. Die Abbildungen wurden farbig gesale, um die Übersichlichkei zu erhöhen. Bei der Ersellung der Zeichnungen und des druckferigen Manuskrips wurden wir von Herrn Dipl. Ing. Hendrik Ohrdes und Herrn M. Sc. Henrik Wesermann sowie Frau Parsamanesh und Frau Wiechens akräfig unersüz, wofür wir herzlich Dank sagen. Wir danken dem Verlag Europa-Lehrmiel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG für die sehr gue Bereuung unseres Buchprojekes und insbesondere unserem Lekor, Herrn Klaus Horn für die verrauensvolle Zusammenarbei. Darmsad / Hannover, im Herbs 2016 Peer Hagedorn hagedorn@dyn.u-darmsad.de Jörg Wallaschek mechanik@wallaschek.eu

6 Vorwor zur vieren Auflage Dieser Band ensprich dem drien Teil einer dreisemesrigen Vorlesung, die ich sei mehr als 30 Jahren für Hörer verschiedener Fachrichungen an der Technischen Universiä Darmsad hale; zwei weiere Bände behandeln die Saik und die Fesigkeislehre. Niveau und Aufbau der drei Bücher orienieren sich an den Lehrveransalungen, wie sie besonders für Ingenieur Sudenen an prakisch allen Hochschulen angeboen werden. Die unerschiedliche Vorbildung, die unsere Sudenen von der Schule mibringen, ha zur Folge, dass in den Vorlesungen für die Erssemeser Grundbegriffe und mahemaische Hilfsmiel sehr elemenar eingeführ werden müssen. Ich war in dem vorliegenden Buch bemüh, das Gebäude der Mechanik auf dem soliden Fundamen dieser Grundlagen sysemaisch aufzubauen. Die freundliche Aufnahme des Buches, die sehr schnell Neuauflagen nowendig mache, zeig mir, dass dies zumindes eilweise gelungen is. Dank des Einsazes der Herren Dr. Ing. Daniel Hochlener und Dipl. Ing. Florian Fischer war es möglich, die gesame Reihe von Grund auf zu überarbeien, so dass die drei Bände jez in einem neuen Layou vorliegen. Dabei wurden in allen drei Bänden zahlreiche Verbesserungen, neue Beispiele und bei der numerischen Behandlung von Aufgaben miels Malab, insbesondere in den Bänden 1 und 3 eine Reihe von Ergänzungen vorgenommen. Viele dieser Änderungen gehen direk auf Anregungen der Herren Hochlener und Fischer zurück, die auch die Ersellung der reprodukionsfähigen Vorlagen überwach haben. Ich danke beiden für den unermüdlichen Einsaz. Mi der vorliegenden Auflage des Bandes 3 wurde Kapiel 5 (Dynamik der Syseme) vollkommen überarbeie. Dies beriff sowohl die Darsellung als auch eilweise die Noaion. Weierhin wurden in Kapiel 3 neue Beispiele zu Sößen sarrer Körper mi und ohne Reibung eingefüg, die klar die Schwierigkeien der Behandlung von Sößen in der Sarrkörpermechanik belegen. Diese Änderungen wurden im wesenlichen durch Dr. Hochlener angereg, der sie dann auch eingearbeie ha. Manche Kollegen und viele Sudenen haben mich in der Vergangenhei auf mögliche Verbesserungen hingewiesen, die hier eingearbeie wurden. Ihnen allen sei an dieser Selle gedank. Dem Verlag Harri Deusch danke ich für die bewähr gue Zusammenarbei. Peer Hagedorn

7 Inhalsverzeichnis 1 Einleiung Kinemaik Kinemaik des Punkes Die geradlinige Bewegung Erse Bemerkungen zu Differenzialgleichungen Die allgemeine ( krummlinige ) Bewegung Kinemaik des sarren Körpers Winkelgeschwindigkei und Winkelbeschleunigung des sarren Körpers Ebene Bewegung sarrer Körper, der Momenanpol Relaivbewegung Ergänzungen zur Kinemaik des sarren Körpers Zusammenfassung Dynamik des Massenpunkes und des Punkhaufens Das Newonsche Grundgesez Freie und geführe Bewegungen Der Arbeissaz für den Massenpunk Der Punkhaufen Der Schwerpunksaz Arbeissaz Impulssaz, Anwendung auf den Soß Drallsaz Umrechnungsformeln für Impuls, Drehimpuls und kineische Energie Das Zweikörperproblem Zusammenfassung Dynamik des sarren Körpers Der sarre Körper Modellbildung Impuls und Drall Massenrägheismomene Kineische Energie Ebene Bewegung sarrer Körper Schwerpunksaz und Drallsaz Massenrägheismomene scheibenförmiger Körper Arbeissaz Soß und Drehsoß

8 II Inhalsverzeichnis 4.3 Allgemeine räumliche Bewegung sarrer Körper Schwerpunksaz und Drallsaz Drallsaz im körperfesen Bezugssysem Zusammenfassung Dynamik der Syseme Eine Umformung der Bewegungsgleichungen (D Alembersche Trägheiskräfe) Das Prinzip der viruellen Geschwindigkeien Lagrangesche Gleichungen Zusammenfassung Einführung in die Schwingungslehre Syseme mi einem Freiheisgrad Freie ungedämpfe Schwingungen Freie gedämpfe Schwingungen Erzwungene Schwingungen Syseme mi zwei Freiheisgraden Freie ungedämpfe Schwingungen Erzwungene ungedämpfe Schwingungen Der Balken: Ein Sysem mi unendlich vielen Freiheisgraden Zusammenfassung Elemene der Hydromechanik Grundbegriffe Das Grundgesez der Dynamik für ideale Flüssigkeien Die Bernoullische Gleichung Der Sonderfall der Hydrosaik Der Impulssaz für saionäre Bewegung Anwendungsbeispiele Zusammenfassung Aufgaben mi Lösungen Kinemaik Roboerarm Geführer Bolzen Geführe Dreieckscheibe Ebenes Geriebe aus zwei Sangen Planeengeriebe Durch zwei Muffen geführe Sange Verriegelungsmechanismus Kurbelrieb Sonnenschirm Ebenes Geriebe mi einer Sange und zwei Rädern

9 Inhalsverzeichnis III 8.2 Dynamik von Massenpunken und sarren Körpern Kaapulwagen Radrennfahrer Bowlingbahn Zylindrische Walze auf glaer und rauer Bahn Schweres Seil auf Rolle Walze auf Schlien Walze auf Förderband Sysem aus zwei Rollen und Seil Kreisscheibe auf schiefer Ebene Kippender Sab auf beschleunigem Wagen Soß von Hanel auf sarre Unerlage Walze auf Knüppeldamm Soß von elasischer Hanel auf Sab Hochlauf eines Elekromoors Soß einer rollenden Kugel gegen eine Sufe Soß einer Kreisscheibe auf ein Drehkreuz Soß einer Laufkaze auf einen Puffer Kippender Quader Soß zwischen Sab und Massenpunk Blockieren eines Roors Soß auf rollenden Ring Sab auf Transporwalze Schwingungslehre Wagen mi Federkombinaion Sysem mi zwei Wagen Sysem zweier Körper Walze auf einer schiefen Ebene Drehelasisch gelagerer Roor Schwingende Walze Kise auf LKW Schwingende Quadrascheibe Schwingender, lorecher Balken Schwingende Hanel Klingel Balken mi Drehfeder Halbzylinder auf Rüelisch Hydromechanik idealer Flüssigkeien Reduziersück Düsenmundsück Flüssigkeismanomeer Radialdiffusor Springbrunnen Druckbehäler Offener Behäler mi zwei Ausflüssen

10 IV Inhalsverzeichnis Fernwärmeleiung Behäler mi Vereilerrohr Ausflussrohr mi veränderlichem Querschni Wassersrahlpumpe A MATLAB-Aufgaben A.1 ARCHIMEDISCHE Spirale A.2 Gelenkviereck A.3 Schiefer Wurf mi Lufwidersand A.4 Massenpunk am Ende eines sich verkürzenden Fadens A.5 Punk auf rauer, schiefer Ebene (räumlich) A.6 Schwingung auf rauer, schiefer Ebene A.7 Ruschende Leier A.8 Beschleunigung eines PKW B Massenrägheismomene sarrer Körper C Beweis der Ideniä (5.151) Index Die mi gekennzeichneen Abschnie können bei einer ersen Leküre weggelassen werden.

11 1 Einleiung In diesem Buch befassen wir uns mi der Bewegung von Massenpunken und sarren Körpern uner dem Einfluss von Kräfen, d. h. wir behandeln die Kineik einfacher mechanischer Syseme. Im inernaionalen Sprachgebrauch ha sich hierfür allerdings sa des korreken Ausdrucks Kineik die Bezeichnung Dynamik (englisch: dynamics) durchgesez. Eigenlich bedeue Dynamik ja Lehre von den Kräfen, während hier die Bewegung uner der Wirkung von Kräfen im Mielpunk unserer Berachungen seh. Wir schließen uns dem modernen Sprachgebrauch an und verwenden die Bezeichnung Dynamik anselle von Kineik. Als Lehre von den Bewegungen und den Kräfen verwende die Dynamik Begriffe der Saik, d. h. der Geomerie der Kräfe, und der Kinemaik, also der Geomerie der Bewegung. Mi der Saik haben wir uns schon in TM 1 (= Technische Mechanik, Bd. 1) beschäfig. Die Kinemaik wurde bisher noch nich behandel. Wir müssen uns daher zunächs der Beschreibung der Bewegungen, d. h. also der Kinemaik, widmen, bevor wir dann in der Dynamik den Zusammenhang zwischen den Kräfen und den Bewegungen genauer unersuchen. Zu den Grundbegriffen aus der Saik (TM 1) und der Fesigkeislehre (TM 2) ri dabei als zusäzlicher, neuer Begriff die Zei auf. Dami sind Raum, Zei, Masse und Kraf die wichigsen Grundbegriffe der Dynamik. In der klassischen Newonschen Mechanik 1, die für eine hinreichend genaue Behandlung der meisen mechanischen Probleme der Technik ausreich, geh man von der Exisenz einer absoluen Zei sowie eines absolu ruhenden Bezugssysems, eines so genannen Inerialsysems, aus. Lediglich bei wenigen, speziellen Problemen der Technik muss man über den Rahmen dieser klassischen Mechanik hinausgehen, um auf zufrieden sellende Lösungen zu kommen. Wir fassen die Grundlagen der klassischen Mechanik in den Newonschen Gesezen zusammen, die in ewas anderer Form auch schon in TM 1 angegeben wurden. Sie sind zwar nich in dieser Formulierung bei Newon zu finden, es is jedoch heue allgemein üblich, sie mi seinem Namen zu verbinden. Das erse Gesez, auch Trägheisgesez genann, besag: Es exisier ein Bezugssysem (Inerialsysem), bezüglich dessen jeder Massenpunk in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung bleib, wenn keine Kräfe auf ihn wirken. 1 Nach dem Physiker und Asronom Sir Isaac Newon, *1643 in Woolshorpe, 1727 in Kensingon (heue London).

12 2 1 Einleiung Das zweie Gesez (= Bewegungsgesez, Grundgesez der Dynamik) laue: In diesem Inerialsysem gil für einen Massenpunk der Zusammenhang F = m a, (1.1) d. h. der Krafvekor is proporional zum Beschleunigungsvekor; die Proporionaliäskonsane is die Masse (räge Masse). Das drie Gesez (= Gegenwirkungsgesez, Gesez von acio & reacio) besag: Kräfe reen immer paarweise auf. Üb ein Körper 1 eine Kraf auf einen Körper 2 aus, so is diese gleich groß und engegengeriche zu der Kraf, die der Körper 2 auf den Körper 1 ausüb. Dieses drie Newonsche Gesez wird auch of prägnan durch die Gleichung acio = reacio (1.2) formulier. Wir nehmen im Folgenden an, dass die drei Geseze für Massenpunke gelen und werden daraus dann Aussagen für andere Körper herleien. Als von den Newonschen Gesezen unabhängiges Axiom führen wir in Kapiel 3 und 4 noch den Drehimpulssaz oder Drallsaz ein, den man nur für Spezialfälle aus diesen Gesezen ableien kann.

13 2 Kinemaik 2.1 Kinemaik des Punkes Die geradlinige Bewegung In der Kinemaik beschreiben wir die Lage von Körpern in Abhängigkei von der Zei. Zunächs behandeln wir die Kinemaik eines Punkes und führen die Grundbegriffe Geschwindigkei und Beschleunigung anhand der geradlinigen Bewegung ein. Gemäß Abb. 2.1 berachen wir einen sich auf einer gegebenen Geraden bewegenden Punk P. Seine Lage wird auf der Geraden durch die einzige Koordinae x beschrieben. Als Bewegung bezeichnen wir die Funkion x(), also die Abhängigkei der Variablen x von der Zei. Grafisch kann sie z. B. wie in Abb. 2.2 dargesell werden. x α x O P x() + 2.1: Zur geradlinigen Bewegung eines Punkes 2.2: Zum Begriff der mileren Geschwindigkei Die milere Geschwindigkei in dem Zeiinervall von bis + is durch den Quoienen v m = x( + ) x( ) = x (2.1) definier ( = Dela ). Gemäß Abb. 2.2 is die milere Geschwindigkei in dem gegebenen Zeiinervall proporional zur Seigung der Sekane an die gegebene Kurve x(): v m an α (2.2) (α = alpha ). Als momenane Geschwindigkei oder auch einfach Geschwindigkei zum Zeipunk = bezeichnen wir den Grenzwer v( ) := lim 0 x = ẋ( ) (2.3)

14 4 2 Kinemaik der mileren Geschwindigkei für 0. Wie man sieh, is dies die Ableiung von x() nach. Die Geschwindigkei v() is demnach proporional zur Seigung der Tangene an der Selle = in Abb Die milere Beschleunigung in dem Zeiinervall (, + ) is als a m = v (2.4) definier und die (momenane) Beschleunigung zum Zeipunk als a( ) := lim 0 v = ẍ( ). (2.5) Kenn man die Bewegung x(), so kann man Geschwindigkei ẋ() und Beschleunigung ẍ() durch Differenziaion besimmen. Die Formelzeichen v und a für Geschwindigkei und Beschleunigung sind inernaional gebräuchlich, sie ensprechen den englischen Bezeichnungen velociy bzw. acceleraion, die ihrerseis aus dem Laeinischen kommen. Definiionsgemäß werden Geschwindigkei und Beschleunigung im SI-Sysem in m/s bzw. m/s 2 gemessen Erse Bemerkungen zu Differenzialgleichungen Im Newonschen Grundgesez (1.1) sind die Kräfe in der Regel nich konsan; nur in wenigen Fällen sind sie vorgegebene Funkionen der Zei. Meis hängen die Kräfe vom Or und auch von der Geschwindigkei ab. Die Lufwidersandskraf is ein ypisches Beispiel einer geschwindigkeisabhängigen Kraf. Nehmen wir an, dass die Kraf als Funkion des Ores, der Geschwindigkei und der Zei gegeben is, so nimm das Newonsche Grundgesez (1.1) für die geradlinige Bewegung die Form m ẍ() = F (x(), ẋ(), ) (2.6) an, wobei die Funkion F (x, ẋ, ) bekann und gleich der Summe aller auf den Massenpunk in x-richung wirkenden Kräfe is. Das Grundgesez der Dynamik führ also auf eine Gleichung der Ar ẍ() = a(x(), ẋ(), ), (2.7) wobei die reche Seie eine Funkion von x, ẋ und is. Wir nehmen jez an, dass die Funkion a(x, ẋ, ) bekann und die Bewegung x() zu besimmen is. Gleichungen der Ar (2.7), die einen Zusammenhang zwischen den Ableiungen einer (unbekannen) Zeifunkion, der Funkion selbs und der Zei hersellen, bezeichne man als Differenzialgleichungen. Eine Lösung der Differenzialgleichung (2.7) is eine Funkion x(), die in (2.7) eingesez diese für alle Zeien erfüll.

15 2.1 Kinemaik des Punkes 5 In der Mechanik, aber auch in vielen anderen Bereichen der Physik und der Technik, spielen Differenzialgleichungen eine zenrale Rolle, und ensprechend viel Aufmerksamkei wird ihnen in den Mahemaik-Vorlesungen gewidme. Da dies aber of ers zu einem späeren Zeipunk geschieh, werden wir (2.7) an dieser Selle ewas näher beleuchen. Zunächs sellen wir fes, dass die Differenzialgleichung (2.7) von zweier Ordnung is (Die Ordnung einer Differenzialgleichung is die Ordnung der höchsen in ihr aufreenden Ableiung). Der Grund dafür is, dass im Grundgesez der Dynamik zwar Beschleunigungen, aber keine höheren Zeiableiungen von x() aufreen. Beschleunigung als Funkion der Zei Im Folgenden besprechen wir die wichigsen Spezialfälle von (2.7). Zunächs berachen wir den Fall, in dem die Beschleunigung lediglich eine Funkion der Zei is. Dann reduzier sich (2.7) zu ẍ() = a(), (2.8) wobei die reche Seie eine gegebene Funkion der Zei is. Die Inegraion dieser Gleichung bezüglich liefer v() = ẋ() = a() d + C 1. (2.9) Die Geschwindigkei kann also durch Inegraion aus der Beschleunigung ohne weieres besimm werden, wenn a() vorgegeben is. Die Inegraionskonsane C 1 is dabei noch feszulegen. Sie ergib sich z. B. aus einer Anfangsbedingung für die Geschwindigkei. Anselle des unbesimmen Inegrals kann man auch das besimme Inegral schreiben, bzw. wobei v() v(0) = v() = 0 0 a() d (2.10) a() d + v(0), (2.11) v(0) = ẋ(0) = v 0 (2.12) jez die Bedeuung der Geschwindigkei zum Zeipunk = 0, d. h. der Anfangsgeschwindigkei ha. Ganz analog liefer eine zweie Inegraion nunmehr x() = mi x 0 als Anfangslage. 0 v() d + x 0 (2.13)

16 6 2 Kinemaik Als erses Beispiel zu (2.8) berachen wir den Sonderfall der Bewegung mi konsaner Beschleunigung a() a 0 = cons. (2.14) Dies führ mi (2.11) auf v() = a 0 + v 0 (2.15) und daraus folg mi (2.13) x() = a v 0 + x 0, (2.16) d. h. die Koordinae x() is eine quadraische Funkion der Zei, während die Geschwindigkei v() = ẋ() linear in is (s. Abb. 2.3). ẍ a 0 ẋ v 0 x x 0 2.3: Zur Bewegung (2.16) Als zweies Beispiel behandeln wir die Bewegung mi harmonischer Beschleunigung a() = â sin ω, (2.17) wobei ω (ω = omega ) und â gegebene Konsanen sind. Hier ergib die Inegraion der Beschleunigung so dass v() = â 0 sin ω d + v 0 = â 1 ω cos ω + v 0, (2.18) v() = â ω (cos ω 1) + v 0 (2.19) 0

17 2.1 Kinemaik des Punkes 7 a = ẍ â a = ẍ π/ω 2π/ω π/ω 2π/ω v = ẋ v = ẋ â/ω â/ω 2 x x 2.4a: Zur Bewegung (2.20) für v 0 = â/ω, x 0 = 0 2.4b: Zur Bewegung (2.20) für v 0 = 0, x 0 = 0 is. Eine weiere Inegraion liefer schließlich x() = â ω 0 = â sin ω + ω2 (cos ω 1) d + v 0 + x 0 ( v 0 + â ) (2.20) + x 0 ω Das Ergebnis häng von den Anfangsbedingungen ab. Der Verlauf der Beschleunigung a(), der Geschwindigkei v() und der Bewegung x() is für x 0 = 0, v 0 = â/ω in Abb. 2.4a dargesell. Man bezeichne eine solche durch rigonomerische Zeifunkionen beschriebene Bewegung als harmonische Schwingung. Offensichlich gehören zu einer harmonischen Schwingung x() eine Geschwindigkei und eine Beschleunigung, die ebenfalls harmonisch sind. Wähl man als Anfangsbedingungen x 0 = 0, v 0 = 0 so ergib sich der in Abb. 2.4b dargeselle Verlauf von Beschleunigung, Geschwindigkei und Auslenkung. Diese Bewegung is keine harmonische Schwingung. Beschleunigung als Funkion der Geschwindigkei Als zweien Sonderfall von (2.7) berachen wir ẍ() = a ( ẋ() ) ; (2.21)

18 8 2 Kinemaik hier is die Kraf bzw. die Beschleunigung als Funkion der Geschwindigkei vorgegeben, wie es z. B. beim Lufwidersand der Fall is. Mi v = ẋ (2.22) schreib sich (2.21) als dv d = a(v) und dies kann auch als dv a(v) = d (2.23) (2.24) geschrieben werden ( Trennung der Veränderlichen ). Auf der linken Seie seh in (2.24) jez ein Ausdruck, der lediglich von v abhäng, während die reche Seie nur enhäl. Beide Seien können daher gemäß v v 0 dv a(v) = 0 d (2.25) inegrier werden. Bezeichne man die Sammfunkion (d. h. das Inegral) von 1/a(v) mi G(v), so folg G(v) G(v 0 ) =. (2.26) Dami is als Funkion von v bekann. Geling es, (2.26) nach v aufzulösen, so ergib sich daraus v() = f(v 0, ). (2.27) Eine weiere Inegraion liefer dann x() = x f(v 0, ) d. (2.28) Im Gegensaz zu dem ersen Sonderfall (2.8) der Differenzialgleichung (2.7) war es hier nich möglich, beide Seien von (2.21) ohne weieres zu inegrieren, da in (2.21) die reche Seie nich als Funkion von vorlieg. Es war daher nowendig, zunächs die Trennung der Veränderlichen durchzuführen. Als Beispiel zu (2.21) behandeln wir die Differenzialgleichung ẍ() = g k ẋ 2 (), (2.29) wobei g und k konsan sind. Diese Differenzialgleichung beschreib einen Körper im freien Fall uner Berücksichigung des Lufwidersandes, der in guer

19 2.1 Kinemaik des Punkes 9 Näherung quadraisch in der Geschwindigkei is. Trennung der Veränderlichen in (2.29) liefer zunächs mi ẋ = v dv g k v 2 = d, (2.30) und die Inegraion mi v 0 = 0 ergib woraus v 0 dv g k v 2 = ( ) 1 k aranh v gk g 0 d, (2.31) = (2.32) folg. Auflösung nach v liefer v() = g ( k anh ) g k, (2.33) und der Verlauf dieser Funkion is in Abb. 2.5 wiedergegeben. Man erkenn an (2.29) (durch Nullsezen von ẍ) und auch an (2.32), dass für große Zeien die Geschwindigkei gegen den endlichen Grenzwer g v end := lim v() = k (2.34) sreb. Die Beschleunigung zum Zeipunk = 0 ensprich der Seigung im Koordinaenursprung in Abb. 2.5, und es gil an α g. Eine weiere Inegraion von (2.33) ergib x(). v v end α 2.5: Verlauf der Geschwindigkei gemäß (2.33) Beschleunigung als Funkion der Lage Als drien Sonderfall von (2.7) unersuchen wir noch die Differenzialgleichung ẍ() = a ( x() ), (2.35)

20 10 2 Kinemaik die sich ergib, wenn die Beschleunigung als Funkion der Lage gegeben is. Dabei schreiben wir (2.35) zunächs als dv d = a(x) (2.36) bzw. dv = a(x) d. (2.37) Muliplikaion beider Seien mi v ergib v dv = a(x) v d, (2.38) wobei nun auf der rechen Seie das Produk vd durch dx ersez werden kann. Dami kann (2.38) gemäß v v 0 v dv = x x 0 a(x) dx (2.39) inegrier werden. Mi H(x) als der Sammfunkion von a(x) folg hieraus v 2 v = H(x) H(x 0 ), (2.40) und Auflösung nach v bzw. ẋ (sofern möglich) liefer ẋ = h(x, x 0, v 0 ). (2.41) Hier kann nun wieder die Trennung der Veränderlichen durchgeführ werden, und die Inegraion von x x 0 dx h(x, x 0, v 0 ) = d (2.42) 0 ergib schließlich (x), also die Zei als Funkion der Orskoordinae x. Als Beispiel berachen wir die Bewegung mi zum Weg proporionaler Beschleunigung, die auf die Differenzialgleichung ẍ() = ω 2 x() (2.43) mi der posiiven Konsanen ω 2 führ. Das Minuszeichen in (2.43) zeig an, dass die Beschleunigung dem Weg engegengeriche is. Wir schreiben (2.43) als dv d = ω2 x(), (2.44)