Technische Mechanik III WiSe Name : Vorname : Matrikelnummer : Klausurnummer : Allgemeine Hinweise:

Transkript

1 Technische Mechanik III WiSe Nae : Vornae : Matrikelnuer : Klausurnuer : Aufgabe Punkte Allgeeine Hinweise: alle Blätter it Naen und Matrikelnuer beschriften! keine grüne oder rote Farbe benutzen! alle Rechnungen üssen nachvollziehbar sein! Skizzen (Freikörperbilder) groÿ und sauber zeichnen! neue Aufgabe = neues Blatt! Lösungen üssen eindeutig sein, falsche Lösungswege durchstreichen! Die Klausurnuer bitte erken oder notieren! Zulässige Hilfsittel: Forelblatt, -seitig, ohne Lösungswege. Taschenrechner, nicht prograierbar.

2 Technische Mechanik III F- Aufgabe Punkte a) Gegeben ist die Dierentialgleichung eines Einassenschwingers: ẍ + dẋ + c x + c x = g + F 0 cos(ωt) Skizzieren Sie ein ögliches zugehöriges echanisches Syste. b) Die Eigenfrequenz ω 0 der skizzierten Systee ist bekannt. Die Federkonstante c ebenso. Eritteln Sie die Federkonstante c a, c b für die gegebenen Sytee. C C Ca C b (a) (b) c) Kann es bei eine Einasseschwinger ohne äuÿere Anregung zur Resonanzkatastrophe koen? Begründen Sie Ihre Anwort.

3 Technische Mechanik III F- Aufgabe 9 Punkte Auf einer Minigolfbahn soll der Golfball (Punktasse ) in das Loch i Punkt D befördert werden. Der Ball soll auf de Kreisbogen C-D (α = 0 o ) nicht abheben. Auf der Strecke A-B hersht Reibung it Reibungskoezient µ AB, der Rest der Bahn ist reibungsfrei. C D g α R A R µ AB B Gegeben: g, R, =, =, e = 0, 5, µ AB = 0, 5, α = 0 o. a) Wie groÿ uÿ die Geschwindigkeit der Masse i Punkt A indestens sein, dait der Ball den Punkt D erreicht? b) Wie groÿ darf die Geschwindigkeit der Masse i Punkt A höchstens sein, dait sie i Punkt C nicht abhebt? Die Masse erhält ihre Geschwindigkeit durch einen Stoÿvorgang it eine Schläger der Masse. Der Stoÿ erfolgt teilelastisch it Stoÿzahl e. Betrachten Sie den Schläger als Punktasse. c) Welche Geschwindigkeit uss der Schläger direkt vor de Stoÿ haben, dait der Golfball die in Aufgabenteil a) erittelte Geschwindigkeit v a erreicht?

4 Technische Mechanik III F- Aufgabe 0 Punkte Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α, Reibungskoezient µ) gleitet eine Masse in x -Richtung. Das dargestellte Syste besteht zusätzlich aus einer Masse und einer Rolle (, Θ ), u die ein Seil ohne Schlupf geschlungen ist. Das Seil wird über eine asselose Ulenkrolle geführt und ist an der Masse befestigt. Das Seil ist als asselos und nicht dehnbar anzusehen. g asselos ( = 0) x µ r x α, Θ x a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder der vier einzelnen Eleente. b) Berechnen Sie die Seilkräfte in Abhängigkeit der gegebenen Gröÿen und der Beschleunigung ẍ. Gegeben: = = ; = 0; = ; µ; r ; α; Θ ; g

5 Technische Mechanik III Musterlösung F- Aufgabe Musterlösung Gegeben ist die Dierentialgleichung eines Einasseschwingers: ẍ + dẋ + c x + c x = g + F 0 cos(ωt) Skizzieren Sie ein ögliches zugehöriges echanisches Syste. F o cos( Ωt) g C C d Die Eigenfrequenz ω der skizzierten Systee ist bekannt. Die Federkonstante c ebenso. Eritteln Sie die Federkonstante c für beide Sytee. C Ca ω = C +C C = ω C (a) C ω = Cers C b C ers = C + C ω = C C C +C (b) C ers = C C C +C

6 ω = C +C C C = C + C C = ω C = ω C ω ω C C = C ω ω C C = ω C C ω Kann es bei eine Einasseschwinger ohne auÿere Anregung zur Resonanzkatastrophe koen? Begründen Sie Ihre Anwort. Nein, da es nur zu einer Resonanzkatastrophe koen kann, wenn die Erregerfrequenz Ω gleich der Eigenfrequenz ω ist. In diese Fall wäre Ω jedoch gleich 0. Technische Mechanik III Musterlösung F- Aufgabe Musterlösung Auf einer Minigolfbahn soll der Golfball (Punktasse ) in das Loch i Punkt D befördert werden. Der Ball soll auf den Kreisbogen C-D (α = 0 o ) nicht abheben. g C D µ AB =0,5 µ BD =0,0 α R A B R Gegeben: g, R, =, =, e = 0, 5, µ AB = 0, 5, µ BD = 0, 0, α = 0 o. a) Wie groÿ uÿ die Geschwindigkeit der Masse in Punkt A indestens sein, dait der Ball den Punkt D erreicht? Arbeitssatz: E KD = 0 E KD E KA = W D A

7 E KA = v A W D A = W H + W R v A = g R µ ABg R v A = (g R + g R) v A = g R (indestens) b) Wie groÿ darf die Geschwindigkeit der Masse in Punkt A höchstens sein, dait sie in Punkt C nicht abhebt? g Newton: F = ṡ R = g cos(α) N gcos(α) α N N = g cos(α) v c R 0 v c = g R cos(α) = g R Arbeitssatz: E Kc E KA = WA c v C v A = g R cos(α) µ g R va = v C + (cos(α)g R + g R) = g R cos(α) + g R cos(α) + g R v A = g R ( cos(α) + ) v A =, g R Die Masse erhält ihre Geschwindigkeit durch einen Stoÿvorgang it de Schäger der Masse. Der Stoÿ erfolgt teilelastisch. Betrachten Sie den Schläger als Punktasse. c) Welche Geschwindigkeit uÿ des Schläger direkt vor de Stoÿ haben, dait der Golfball die Geschwindigkeit v a erreicht? Punktasse/Punktasse

8 v = v +v e (v v ) + gesucht v : geg: v = 0, v = v A v A = v +v e + = v ( + e) + v = v A( + ) + e = v A(+) + = v A

9 Aufgabe : a) Freikörperbild: S S R S S S g N F g F+g b) Bewegungsgleichungen: Körper(): x Körper(): asselos Körper(): ( Körper(): x N g cos 0 S x R N R g sin ) r g F F g () () () () (5) (6) (7) Kineatik: Gleichung () in (): r x r x x x r x x (8) (9) R g cos (0) (0) in (): Aus (5): Aus (7): S S x g cos g sin x g cos g sin [ x x r r g cos g sin ] x [ g cos g sin ] () () F g x ()