Mathematische Methoden der VWL

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1 Mathematische Methoden der VWL Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen Till Stowasser Klaus Schmidt, 2001 / Till Stowasser, 2014 LMU, Wintersemester 2014/ / 30

2 Syllabus Syllabus 1.1 Funktionen mit einer Variablen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion 2 / 30

3 1.1 Funktionen mit einer Variablen 1.1 Funktionen mit einer Variablen Betrachten Sie das folgende Maximierungsproblem: max z(x) x Dabei sei x eine reelle Zahl und z(x) eine reellwertige Zielfunktion, die wenigstens zweimal differenzierbar ist. Wenn x ein Maximum dieser Funktion ist, dann müsste die Steigung der Funktion an x genau gleich 0 sein. Warum? 3 / 30

4 1.1 Funktionen mit einer Variablen Bedingung erster Ordnung (BEO) Die BEO lautet: z(x ) x = 0 Die Bedingung erster Ordnung ist eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für ein Maximum. Was bedeutet das? 4 / 30

5 1.1 Funktionen mit einer Variablen Wenn die Bedingung erster Ordnung erfüllt ist, können wir also noch nicht sicher sein, dass tatsächlich ein Maximum vorliegt. Diese Bedingung ist auch bei einem Minimum oder einem Wendepunkt erfüllt. Beispiele: z(x) = 4x x 2 z(x) = 4x ln x z(x) = 2x 3 z(x) = 5 x 3 5 / 30

6 1.1 Funktionen mit einer Variablen z(x) = 4x x 2 6 / 30

7 1.1 Funktionen mit einer Variablen z(x) = 4x ln x 7 / 30

8 1.1 Funktionen mit einer Variablen z(x) = 2x 3 8 / 30

9 1.1 Funktionen mit einer Variablen z(x) = 5 x 3 9 / 30

10 1.1 Funktionen mit einer Variablen Bedingung zweiter Ordnung (BZO) für ein Maximum Die BZO lautet: 2 z(x) x 2 < 0 Diese Bedingung zweiter Ordnung ist eine hinreichende Bedingung für ein Maximum. Wenn die Bedingung zweiter Ordnung an der Stelle x erfüllt ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Maximum handelt. Ein globales Maximum liegt an der Stelle x vor, wenn die Funktion z(x) global (d.h. für alle möglichen Werte von x) die BZO erfüllt. 10 / 30

11 1.1 Funktionen mit einer Variablen Bedingung zweiter Ordnung (BZO) für ein Minimum Die BZO lautet: 2 z(x) x 2 > 0 Diese Bedingung zweiter Ordnung ist eine hinreichende Bedingung für ein Minimum. Wenn die Bedingung zweiter Ordnung an der Stelle x erfüllt ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Minimum handelt. Ein globales Minimum liegt an der Stelle x vor, wenn die Funktion z(x) global (d.h. für alle möglichen Werte von x) die BZO erfüllt. 11 / 30

12 1.1 Funktionen mit einer Variablen Bedingung erster und zweiter Ordnung für ein Maximum Theorem (1.1 Bedingungen für ein Maximum) Die Funktion z(x) hat an der Stelle x ein globales Maximum, wenn und wenn für alle x R. z(x ) x = 0 2 z(x) x 2 < 0 12 / 30

13 1.1 Funktionen mit einer Variablen Bedingung erster und zweiter Ordnung für ein Minimum Theorem (1.2 Bedingungen für ein Minimum) Die Funktion z(x) hat an der Stelle x ein globales Minimum, wenn und wenn für alle x R. z(x ) x = 0 2 z(x) x 2 > 0 13 / 30

14 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? Modell-Setup Sei: x Anzahl der verkauften Bücher p(x) inverse Nachfragefunktion, p(x) = a bx C(x) Kostenfunktion, C(x) = cx t Tantiemensatz: Erlösanteil, den der Autor erhält Mit a, b, c > 0 sowie 0 < t < 1 Wir fragen jetzt, welche Menge für den Autor bzw. für den Verlag optimal wäre. 14 / 30

15 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? Welche Menge würde der Autor wählen? Maximiere Gewinnfunktion des Autors: max Π A = t (a bx) x x Bedingung erster Ordnung impliziert (Ausrechnen, Produktregel): x A = a 2b Bedingung zweiter Ordnung ist für alle x R erfüllt (Prüfen). Fazit: x A = a 2b ist die Verkaufsmenge, bei der der Autor seine Tantiemen maximiert. 15 / 30

16 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? Welche Menge würde der Verlag wählen? Maximiere Gewinnfunktion des Verlags: max Π V = (1 t) (a bx) x cx x Bedingung erster Ordnung impliziert (Ausrechnen, Produktregel): x V = a c 1 t 2b Bedingung zweiter Ordnung ist für alle x R erfüllt (Prüfen). Fazit: x V = a c 1 t 2b ist die Verkaufsmenge, bei der der Verlag seinen Gewinn maximiert. 16 / 30

17 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? Beachten Sie Die gewinnmaximale Menge des Verlages ist kleiner als die optimale Menge für den Autor. Der gewinnmaximale Preis des Verlages ist höher als der optimale Preis für den Autor. Was ist die ökonomische Intuition für dieses Ergebnis? Argumentieren Sie mit Grenzerlös und Grenzkosten für den Autor und für den Verlag. 17 / 30

18 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve Modell-Setup Gelegentlich wird argumentiert, dass eine Senkung der Steuersätze zu einer Erhöhung des Steueraufkommens führen würde. Kann das tatsächlich passieren? Einfaches Beispiel mit Einkommensteuer. Sei: x Beschäftigungsmenge in Stunden w Bruttolohn pro Stunde s Steuersatz pro Stunde (Stücksteuer!) N Arbeitsnachfrage, N(w) = a bw A Arbeitsangebot, A(w) = c + d(w s) Mit a, b, c, d, w > 0 sowie 0 < s < w 18 / 30

19 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve Gleichgewicht auf dem Arbeitsmarkt N(w ) = A(w ) impliziert (ausrechnen!): w = a c b+d + d b+d s und x Beachten Sie: = N(w ) = A(w ) = a b w (s) s = d x (s) s b+d > 0 = bd b+d < 0 ( ) a c b+d + d b+d s 19 / 30

20 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve Bei welchem Steuersatz sind die Steuereinnahmen maximal? Maximiere Steuereinnahmen-Funktion : Die BEO impliziert: T s = a max T (s) = s x (s) s b(a c) b + d 2s bd b + d = 0 s ad + bc = 2bd Bedingung zweiter Ordnung ist global erfüllt. Prüfen! Fazit: Wenn der Steuersatz höher ist als s, dann führt eine Senkung des Steuersatzes tatsächlich zu einer Erhöhung des Steueraufkommens. Was ist die ökonomische Intuition? 20 / 30

21 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen Betrachten Sie das folgende Maximierungsproblem: max x 1,...,x n z(x 1,..., x n ) Dabei seien x 1,..., x n reelle Zahlen und f ( ) : R n R sei eine reellwertige, multivariate Funktion, die wenigstens zweimal differenzierbar ist. Alternative Vektor-Schreibweise: x = (x 1,..., x n ), z(x). Wenn (x 1,..., x n ) ein Maximum dieser Funktion ist, dann muss die Steigung der Funktion an der Stelle x in allen Richtungen genau gleich 0 sein. Warum? 21 / 30

22 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen Bedingungen erster Ordnung Die BEO lauten: z 1 (x ) = z(x ) x 1 = 0 z 2 (x ) = z(x ) x 2 = 0. z n (x ) = z(x ) x n = 0 Wieder gilt, dass die Bedingung erster Ordnung eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für ein Maximum ist. 22 / 30

23 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen Bedingungen zweiter Ordnung Die BZO verlangt, dass die Hesse-Matrix (Matrix aller zweiten partiellen Ableitungen)......negativ definit ist für ein Maximum....positiv definit ist für ein Minimum. Exkurs: Definitheit der Hesse-Matrix ( ) z11 z Eine Hesse-Matrix H = 12 ist z 21 z 22 negativ definit, wenn z 11 < 0 und z 22 < 0 und H > 0 positiv definit, wenn z 11 > 0 und z 22 > 0 und H > 0 23 / 30

24 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen Alternative Formulierung der Bedingung zweiter Ordnung Die Bedingung zweiter Ordnung verlangt, dass die Funktion z(x) an der Stelle x konkav ist, damit ein Maximum vorliegt. Wenn die Funktion z(x) an der Stelle x konkav ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Maximum handelt. Wenn die Funktion z(x) überall konkav ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein globales Maximum handelt. Analog: Für ein Minimum muss die Funktion konvex sein. 24 / 30

25 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Konkavität (bei Maximierungsproblemen) Was genau bedeutet Konkavität und was hat das mit der Bedingung zweiter Ordnung zu tun? Definition (1.1 Konkavität) Eine Funktion z(x) : R N R ist konkav, genau dann wenn für alle k (0, 1) und alle x, x R N gilt: z(kx + (1 k)x ) kz(x ) + (1 k)z(x ) 25 / 30

26 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Eine konkave Funktion z(x) 0 x 26 / 30

27 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Konvexität (bei Minimierungsproblemen) Die Definition von Konvexität ist analog: Definition (1.2 Konvexität) Eine Funktion z(x) : R N R ist konvex, genau dann wenn für alle k (0, 1) und alle x, x R N gilt: z(kx + (1 k)x ) kz(x ) + (1 k)z(x ) 27 / 30

28 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Eine konvexe Funktion z(x) 0 x 28 / 30

29 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Bemerkungen 1 Versuchen Sie sich klar zu machen, was diese Bedingung anschaulich verlangt. Warum muss die Funktion z(x) an der Stelle x konkav sein, wenn die Funktion an der Stelle x ein Maximum hat? 2 Eine Funktion ist streng konkav, wenn durch > ersetzt werden kann. 3 Wir wissen bereits, dass eine differenzierbare Funktion mit einer Veränderlichen genau dann (streng) konkav ist, wenn z (x) (<) 0. Anschaulich: Wenn man eine Tangente an die Funktion anlegt, dann biegt sich eine konkave Funktion nach allen Richtungen von der Tangente nach unten weg. 29 / 30

30 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion 4 Für eine Funktion mit mehreren Veränderlichen gilt ganz analog: Wenn man eine Tangentialebene an dieser Funktion betrachtet, und wenn sich die Funktion in allen Richtungen nach unten von der Tangentialebene wegbiegt, dann ist die Funktion konkav. 5 Perfekt Analog gelten die gleichen Zusammenhänge für Konvexität und die Existenz von Minima. 30 / 30