Mathematische Methoden der Physik

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1 Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln A. Schadschneider A. Hackl Mathematische Methoden der Physik Lösungsvorschlag zur Präsenzübung ( Probeklausur ) Wintersemester 7/8 Lesen Sie die Aufgabenstellung sorgfältig durch. Die Aufgaben sind thematisch und nicht nach Schwierigkeit geordnet. Sie haben min. Zeit. Es sind maximal 5 Punkte zu erreichen. Im Ernstfall hätten Sie mit 5 Punkten bestanden. Bitte kreuzen Sie bearbeitete Aufgaben auf dem Deckblatt an. Außer Papier und Stift sind keine Hilfsmittel erlaubt! Viel Erfolg!. Quickies (keine Rechnung nötig!) 3 = 3 Punkte Beantworten Sie folgende Fragen, ohne eine explizite Rechnung durchzuführen: (i) Was ist log e (e)? (ii) x(cos x)3 (sin x) 48 dx =? (mit Begründung!) (iii) Mit welcher Funktion stimmt n= xn für x < überein? (iv) Vereinfache ( x a x b) c! (v) Drücken Sie Re(z), Im(z) und z durch z und z aus! (vi) Drücke a b durch die Beträge von a, b und den Winkel φ zwischen ihnen aus. (vii) Welche Funktion wächst für x schneller: x, ln x, exp(x), x 9? Ordnen Sie die Funktionen nach ansteigender Wachstumsgeschwindigkeit! (viii) Wie lautet der Zusammenhang zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten? (ix) Wie lautet das totale Differential einer Funktion f(x, x )? Drücken Sie dieses auch durch den Gradienten von f aus! (x) Welcher Ausdruck macht Sinn, falls f, g Skalarfelder und A, B Vektorfelder sind? grad(a B), rot(f grad g), div(a B), rot(f rot g), div(f A). (i) Nach Vorlesung gilt log a (b) = ln(b)/ ln(a), also log e (e) = ln(e) ln(e ) = ln(e) ln(e) =. (ii) Das Integrationsintervall [, ] ist symmetrisch bzgl. x =, während der Integrand eine ungerade Funktion von x ist, d.h. f( x) = f(x) mit f(x) x(cos x) 3 (sin x) 48. Damit folgt: f(x) dx = f( x) d( x) = f(x) dx =. (iii) Die dargestellte Reihe ist die geometrische Reihe, n= x n = x für x <.

2 (iv) Mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Potenzgesetze vereinfacht sich der Ausdruck zu (x a x b ) x = (x a+b ) c = x c(a+b). (v) Sei z = x + iy eine beliebige komplexe Zahl. Mit z = x iy folgt: (vi) Nach Vorlesung gilt: Re(z) = z + z, Im(z) = z z, z = zz i. a b = a b sin φ mit φ = (a, b). (vii) Es gelten folgende Abschätzungen für das Wachstum der Exponentialfunktion bzw. des Logarithmus (s. Vorlesung): x n lim x e x = mit n N. und ln(x) lim x x n = mit n N. Mit anderen Worten: Die Exponentialfunktion wächst schneller, der Logarithmus aber langsamer als als jedes Monom x n. Damit kann man folgende Abschätzung für das Wachstum treffen: ln(x) < x < x 9 < exp(x) für x (viii) Der Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten x, y, z und den Zylinderkoordinaten r, φ, z ist durch folgende Relationen gegeben: x = r cos φ r = x + y y = r sin φ φ = arctan(x/y) z z (ix) Das totale Differential der Funktion f(x, x ) lautet Mit Hilfe des Gradienten, df = f(x, x ) x dx + f(x, x ) x dx. grad f = n i= f x i ê i, lässt sich das totale Differential auch schreiben (hier ist n = ) als dx df = grad f dx mit dx =.. dx n (x) Seien f, g zwei Skalarfelder und A, B zwei Vektorfelder, die hinreichend oft stetig differenzierbar seien. Dann sind folgende Ausdrücke wohldefiniert: grad(a B), rot(f grad g), div(f A). Die anderen beiden Ausdrücke sind nicht wohldefiniert, da sowohl Rotation als auch Divergenz nur für Vektorfelder definiert sind und somit rot(f) und div(a B) nicht gebildet werden können.

3 . Vektorrechnung = 9 Punkte Gegeben seien die Vektoren 3 a = und b =. a) Berechnen Sie Skalar- und Vektorprodukt der beiden Vektoren a und b und ihre Beträge a, b. b) Finden Sie einen Vektor der senkrecht auf den Vektoren a und b steht. c) Zerlegen Sie den Vektor a in seine Anteile normal und parallel zu dem Vektor b. d) Gegeben sei die Orthonormalbasis B = {e, e, e 3 } des Vektorraums V. Zeigen Sie, dass die Menge von Vektoren B = {f, f, f 3 } mit f = (e + e 3 ), f = e, f 3 = ( e + e 3 ) ebenfalls eine Orthonormalbasis von V ist. a) Skalarprodukt und Vektorprodukt von a, b ergeben sich zu a b =, a b = 5. Für die Beträge der beiden Vektoren erhält man a =, b = 4. b) Aus den Eigenschaften des Vektorproduktes folgt, dass c a b (wie in a) berechnet!) senkrecht zu den beiden Vektoren a und b ist. Also: λc a, b für alle λ. c) Gesucht ist die Zerlegung a = a + a in Parallel- und Normalkomponenten bzgl. b. Nach Vorlesung gilt: a = a b b b und a = a a. Einsetzen von a, b ergibt: a = 3/4 4 b = /4 und a = a /4 4 b = /4. /7 8/7 3

4 d) Gegeben ist die Orthonormalbasis B = {e, e, e 3 } von V, d.h. es gilt e i e j = δ ij. Zu zeigen ist, dass B = {f, f, f 3 } ebenfalls eine Orthonormalbasis von V ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass f i f j = δ ij, denn hieraus folgt die lineare Unabhängigkeit der Vektoren f i. Hierzu: f f = (e e + e e ) =, f f 3 = ( e e + e e 3 e 3 e + e 3 e 3 ) = ( + ) =, f f 3 = (e e e e 3 ) =, f f = (e e + e e 3 + e 3 e 3 ) = ( + ) =, f f = e e =, f 3 f 3 = (e e e e 3 + e 3 e 3 ) = ( + ) =. Damit ist f i f j = δ ij, und die Behauptung ist bewiesen. 3. Komplexe Zahlen = 6 Punkte a) Bestimmen Sie für die Zahlen ( + i) und ( i) Betrag und Argument. Zeichnen Sie anschließend diese Zahlen in die komplexe Ebene ein. b) Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung z 6z + 3 =. c) Beweisen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel folgende Relation: ( sin x ) = ( cos x). a) Seien z = + i und z = i = z. In Polarkoordinaten lassen sich z, darstellen als Dann folgt leicht: z = e i/4, z = z = e i/4. z = ( e i/4 ) = / e (i/4) = 3e i/ = 3i, z = ( e i/4 ) = / e ( i/4) = 3e i/ = 3i. 4

5 Im z Re z b) Die quadratische Gleichung z 6z + 3 = lässt sich leicht durch quadratisches Ergänzen lösen. Die Nullstellen der Gleichung sind z, = 3 ± i mit z = z. c) Nach der Eulerschen Formel gilt: Damit folgt dann: ( sin x ) = (e ix/ e ix/ i cos x = eix + e ix und ) = 4 (eix +e ix ) = sin x = eix e ix. i ( eix + e ix ) = ( cos x). 4. Differenzieren = Punkte a) Berechnen Sie die Ableitungen d dx cos(ex ) und y (y + z)x. b) Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x sin( ) auf folgende Gesichtspunkte: x + (i) Bestimmen Sie die Grenzwerte x und x. (ii) Bestimmen Sie den Wertebereich von des Terms x + (iii) An welchen Stellen nimmt f den Wert bzw. an? (iv) Skizzieren Sie nun die Funktion. und der Funktion f. c) Berechnen Sie die Zeitableitung von a(t) = ( ) cos t t +. t d) Es sei e(t) ein zeitabhängiger Einheitsvektor, e(t) = für alle t. Zeigen Sie: e(t) e, d.h. ė(t) steht immer senkrecht auf e(t). d dt 5

6 a) Mit Hilfe der Kettenregel folgt: und d dx cos(ex ) = sin(e x )e x y (y + z)x = x(y z) x. b) (i) Die Grenzwerte sind ( ) ( ) lim sin x x = sin() = und lim + sin x x = sin() =. + (ii) Für x R ist (, ] und damit f(x) [, ]. x + (iii) Aus sin(k) = und sin((k + /)) = mit k Z und (, ] folgt, dass x + f(x) = bei x = und bei x = ± und dass f(x) = bei x = ±. Da f(x) [, ] nach b), sind dies auch die Extrema der Funktion f. (iv) Skizze: c) Komponentenweises Differenzieren nach der Zeit liefert ( ) d sin t dt a(t) = t + /(. t) d) Da e(t) normiert ist, folgt leicht: = d dt e(t) = d dt (e(t) e(t)) = ( d dt e(t) ) e(t) = ė(t) e(t), d d.h. dte(t) e(t). 6

7 5. Integrieren +7 = 7 Punkte a) Berechnen Sie die bestimmten Integrale xe x dx und d dx. da ax + b) Bestimmen Sie x dx mit Hilfe der Substitution x = sin y. a) Das erste Integral lässt sich mittels partieller Integration lösen: xe x dx = [ xe x] ( e x ) dx = e x dx = [ e x] =. Zur Berechnung des zweiten Integrals substituieren wir zuerst y = ax und integrieren dann elementar: d dx = d a dy da ax + da y + a = d ( [ ] ) a y + da a = d ( ) a + = a + + da a a a a a + + a. Alternativ kann man erst die Ableitung unter das Integral ziehen und partiell integrieren: d dx = dx = x dx = x d ( ) da ax + a ax + (ax + ) 3/ dx a dx ax + [ ] x [ ] = a ax + a ax + dx = a a + ax + a = a a + a ( a + ). b) Mit Hilfe der Substitution x = sin y erhalten wir: dx = cos y dy = x cos y dy = y + C, wobei C eine beliebige Integrationskonstante ist. Aus der Substitution x = sin y folgt y = arcsin x, also dx = arcsin x + C. x 7

8 6. Potenzreihen und Taylorentwicklung 8+8 = 6 Punkte a) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von sin(x) um x = (mit Rechnung!). b) Geben Sie die Potenzreihendarstellung von [sin(x)] um x = bis auf ein Restglied von O(x 5 ) an. Setzen Sie hierzu die Taylorentwicklung von sin(x) ein. a) Die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um x ist definiert durch f(x) = (x x ) n d n n! dx n f(x ). n= Hier ist f(x) = sin x und x =. Die Ableitungen des Sinus sind gegeben durch sin x für n = mod 4 (d.h. n =, 4, 8, ) d n dx n sin x = cos x für n = mod 4 (d.h. n =, 5, 9, ) sin x für n = mod 4 (d.h. n =, 6, 9, ) cos x für n = 3 mod 4 (d.h. n = 3, 7,, ) Wegen sin x = und cos x = brauchen wir nur die Ableitungen mit ungeradem n zu betrachten. Dann erhalten wir: sin(x) = n ungerade x n n! ( )(n )/ = ( ) k x k+ (k + )!, wobei wir im letzten Schritt n = k + eingesetzt haben. Offensichtlich ist die Taylor- Reihe gleich der Reihendarstellung des Sinus. b) Aus Teil a) kennen wir die Entwicklung des Sinus um x = bis zur vorgegebenen Ordnung O(x 5 ): k= sin(x) x x3 6 + O(x5 ). Quadrieren dieser Entwicklung liefert die gesuchte Entwicklung von [sin(x)] : [sin(x)] ) (x x3 + O(x 5 ) = x x O(x5 ). 8

9 7. Differentialgleichungen +6+8 = 6 Punkte a) Klassifizieren Sie die Differentialgleichung f (x) + af(x) =. b) Bestimmen Sie die vollständige Lösung der Differentialgleichung f (x) + af(x) = mit a >. c) Lösen Sie die Differentialgleichung y (x) = y durch Trennung der Veränderlichen. a) Die Differentialgleichung f (x) + af(x) = ist eine gewöhnliche, homogene, lineare Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. b) Zur Lösung der Differentialgleichung machen wir einen Exponentialansatz: f(x) = Ce λx, wobei A und λ zu bestimmen sind. Da die Differentialgleichung linear ist, ist die triviale Lösung f(x), d.h. C =, stets eine Lösung. Im folgenden sei daher C vorausgesetzt. Einsetzen dieses Ansatzes in die Differentialgleichung ergibt: und wegen f(x) folgt (λ + a)f(x) =, λ + a = oder λ, = ±i a. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet daher f(x) = C e i ax + C e i ax, wobei die Konstanten C, C R durch die (hier nicht angegebenen) Anfangsbedingungen bestimmt sind. Probe: f (x) + af(x) = ( ac e i ax ac e i ax ) + af(x) = af(x) af(x) =. c) Die Differentialgleichung y (x) = y löst man mittels Separation der Variablen: dy dx = y dy = dx y y dy = dx y(x) = x + C mit einer beliebigen Konstante C R. Probe: y (x) = d dx x + C = (x + C) = y. 9

10 8. Vektoranalysis 6+8 = 4 Punkte a) Berechnen Sie grad(r ) und rot r. b) Der Luftdruck über Köln werde durch die Funktion f(x, y, z) = tanh(x + y)e z beschrieben. Bestimmen Sie im Punkt r = (,, ) die Richtung, in welcher der Luftdruck am stärksten ansteigt. Dabei ist tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex e x e x +e x a) Komponentenweise Differenzieren ergibt wegen r = x + x + x 3 : also folgt r x i = x i, grad(r ) = r. Das gleiche Ergebnis folgt aus der bekannten Regel für die Ableitung von radialsymmetrischen Skalarfeldern f(r). Die Rotation von r verschwindet identisch, rot(r) = rot grad(r ). Alternativ kann man dies natürlich auch mit der Definiton der Rotation direkt nachrechnen. b) Die Richtung des Anstiegs bzw. Abfalls einer Funktion f(r) ist durch ihren Gradienten gegeben. Für f(r) = f(x, y, z) = tanh(x + y)e z lautet dieser: Im Punkt r = (,, ) ist der Gradient [cosh(x + y)] e z grad f(r) = [cosh(x + y)] e z tanh(x + y)( z)e z e grad f(r) = e = e. In Richtung (,, ) ist der Anstieg des Luftdrucks also am größten.