Nicht-Kanonizität von AIGs Systemtheorie 1 Formale Systeme 1 # WS 2006/2007 Armin Biere JKU Linz Revision: 1.6

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1 Nicht-Kanonizität von AIGs BDDs Binar Decision Diagrams BDDs 2 neue dreistellige Basis-Operation ITE (i-then-else): Bedingung ist immer eine Variable ( ) ( ) gehen zurück au Shannon (deshalb auch Shannon-Graphs) meist verwendete Version sind die ROBDDs Reduced Ordered Binar Decision Diagrams beide Formeln und AIGs beschreiben XOR von und (Ausmultiplizieren der rechten Formel ergibt linke Formel) i.allg. gibt es mehrere AIGs ür dieselbe boolesche Funktion [Brant86] hat Kanonizität von ROBDDs gezeigt: Jede Boolesche Funktion hat genau einen ROBDD Graphische Darstellung BDDs 3 Semantik BDDs 4 Knoten ist markiert mit einer Variablen innere Knoten sind ITE, Blätter sind boolesche Konstante ELSE Nacholger wird über gestrichelte oder rote Kante erreicht THEN Nacholger wird über durchgezogene Kante erreicht Schreibweise ite(,, ) bedeutet wenn dann ansonsten (beachte: ELSE-Argument kommt hinter trotz umgekehrter Indizierung) Semantik eval produziert booleschen Ausdruck aus einem BDD eval() eval() eval((ite(,, )) eval( ) eval( ) Boolesche Konstante FALSE Boolesche Konstante TRUE BDDs sind auch wieder algebraisch reduzierte DAG s (ma. Sharen von isomorphen Teil-Graphen wie bei AIGs) Negations-Kanten wie bei AIGs möglich

2 Von der Funktionstabelle zum BDD BDDs 5 Algebraische Reduktions-Regel BDDs 6 Entscheidungs-Baum Entscheidungs-Diagramm (DAG) Maimales Sharen isomorpher Teil-Graphen Semantische Reduktions-Regel BDDs 7 Reduced Ordered BDDs BDDs 8 maimale algebraische und semantische Reduktion (das Reduced in ROBDDs) Variablen von der Wurzel zu den Blättern sind gleich geordnet (das Ordered in ROBDDs) diesen Annahmen machen BDDs kanonisch modulo Variablenordnung unterschiedliche Ordnungen ühren i.allg. zu unterschiedlichen BDDs Elimination redundanter Innerer Knoten Variablenordnung bestimmt essentiell die Grösse von BDDs im weiteren meinen wir immer ROBDDs, wenn wir BDD sagen

3 Linearer BDD ür Vektoren-Vergleich BDDs 9 Eponentieller BDD ür Vektoren-Vergleich BDDs Boolesche Funktion: Π n i= i = i Verschränkte Variablen-Ordnung (interleaved) 3 > 3 > 2 > 2 > > > > Fehlende Kanten gehen zur Allgemein: Vergleich zweier n-bit Vektoren braucht bei verschränkter Ordnung 3 n innere Knoten. Variablen-Ordnung BDDs Tautologie, Erüllbarkeit, Äquivalenz BDDs 2 es gibt eponentielle Unterschiede zwischen Variablen-Ordnungen Kanonizität der BDDs ür boolesche Funktionen ergibt: es gibt aber leider auch eponentielle Funktionen: BDD ist immer eponentiell, z.b. mittlere Ausgabe-Bits von Multiplizierer ein BDD ist eine Tautologie, gdw. er nur aus dem -Blatt besteht ein BDD ist erüllbar, gdw. er nicht aus dem -Blatt besteht es gibt Heuristiken zur statischen Variablen-Ordnung: meist einache Aulistung der Variablen in DFS des DAG/AIG (etwa wie in input cone aig) zwei BDDs sind äquivalent, gdw. die BDDs sind isomorph (werden BDDs wie AIGs in der gleichen Unique-Tabelle gespeichert, dann ist der Test au Äquivalenz ein einacher Pointer-Vergleich) zusätzlich gibt es noch dnamische Umordnung von Variablen basiert au in-place Austausch von benachbarten Variablen Frage: Wo ist die NP-Vollständig der Erüllbarkeit geblieben? Antwort: Versteckt sich im Autwand der Erzeugung eines BDDs.

4 Shannonsche Epansionsregel BDDs 3 Repräsentation von BDDs in C BDDs 4 lautet wie olgt: () () () Sei nun die oberste Variable zweier BDDs und g: ite(,, ) g ite(,g,g ) mit i bzw. g i die Kinder von und g ür i =,. Dann olgt () = g() = g () = g() = g da nach dem R in ROBDD nur ganz oben in und g vorkommt. ( ()@g()) ( ()@g()) ) ) eine beliebige zweistellige boolesche Operation ist (z.b.,,,...) Rekursives Schema zur Berechnung von Operationen au BDDs tpede struct BDD BDD; struct BDD int id, mark; child[2], *net; ; #deine sign_bdd(ptr) ( & (unsigned) ptr) #deine strip_bdd(ptr) ((BDD*) (~ & (unsigned) ptr)) #deine not_bdd(ptr) ((BDD*) ( ^ (unsigned) ptr)) #deine true_bdd ((BDD*) ) #deine alse_bdd ((BDD*) ) #deine is_constant_bdd(ptr) \ ((ptr) == true_bdd (ptr) == alse_bdd) Unique-Tabelle ür BDDs BDDs 5 Normalisierung von BDD Knoten BDDs 6 #deine UNIQUE_SIZE ( << 2) unique[unique_size]; * ind_bdd (int id, c, c) r, **p; unsigned h = (id + ((int) c) * * (int) c); h = h & (UNIQUE_SIZE - ); or (p = unique + h; (r = *p); p = &r->net) i (r->id == id && r->child[] == c && r->child[] == c) break; return p; ite(,, ) ( ) ( ) ite(,, )

5 Hils-Konstruktor ür BDDs BDDs 7 Konstruktor ür BDDs BDDs 8 new_bdd_au (int id, c, c) res; assert (!sign_bdd (c)); i ((res = *ind_bdd (id, c, c))) return res; res = () malloc (sizeo (BDD)); memset (res,, sizeo (BDD)); res->id = id; res->child[] = c; res->child[] = c; *ind_bdd (id, c, c) = res; new_bdd (int id, c, c) res; int sign; i (c == c) return c; i ((sign = sign_bdd (c))) c = not_bdd (c); c = not_bdd (c); res = new_bdd_au (id, c, c); return res; return sign? not_bdd (res) : res; Unterschiedliche Top-Indizes BDDs 9 Top-Inde Berechnung BDDs g int top_id_bdd ( a, b) int res[2]; res[] = (is_constant_bdd (a))? - : strip_bdd (a)->id; res[] = (is_constant_bdd (b))? - : strip_bdd (b)->id; return res[res[] < res[]]; gibt einach den Inde der Variablen im obersten Knoten zurück ( g)() ( g) ( g) (hier kann einer der beiden Argumente eine Konstante sein) bei nicht passenden Indizes wird nur ein Knoten zerlegt

6 Berechnung einacher Koaktoren BDDs 2 Divide BDDs 22 coactor ( bdd, int pos, int id) res; int sign; i (is_constant_bdd (bdd)) return bdd; i ((sign = sign_bdd (bdd))) bdd = not_bdd (bdd); res = (bdd->id == id)? bdd->child[pos] : bdd; return sign? not_bdd (res) : res; pos-ter Koaktor von bdd ist pos-tes Kind wenn Variablen-Inde passt ansonsten wird der gleiche BDD zurückgegeben (man beachte Propagierung des Vorzeichens) void coactor2 ( a, b, c[2][2], int *id_ptr) int id = *id_ptr = top_id_bdd (a, b); c[][] = coactor (a,, id); c[][] = coactor (a,, id); c[][] = coactor (b,, id); c[][] = coactor (b,, id); bestimme Top-Inde der beiden BDDs a und b und berechne Koaktoren bezüglich des Top-Inde Basis-Funktoren ür Appl BDDs 23 Brant s Appl Algorithmus BDDs 24 basic_and ( a, b) assert (is_constant_bdd (a) && is_constant_bdd (b)); return () (((unsigned) a) & (unsigned) b); basic_or ( a, b) assert (is_constant_bdd (a) && is_constant_bdd (b)); return () (((unsigned) a) (unsigned) b); basic_or ( a, b) assert (is_constant_bdd (a) && is_constant_bdd (b)); return () (((unsigned) a) ^ (unsigned) b); tpede (*BasicFunctor) (, ); appl (BasicFunctor op, a, b) tmp[2], *c[2][2]; int id; i (is_constant_bdd (a) && is_constant_bdd (b)) return op (a, b); coactor2 (a, b, c, &id); tmp[] = appl (op, c[][], c[][]); tmp[] = appl (op, c[][], c[][]); return new_bdd (id, tmp[], tmp[]); Deinition eines Funktions-Pointer-Tp, zur Aunahme von Operationen

7 Abkürzungen BDDs 25 Zusammenassung Appl BDDs 26 and_bdd ( a, b) return appl (basic_and, a, b); or_bdd ( a, b) return appl (basic_or, a, b); or_bdd ( a, b) return appl (basic_or, a, b); var_bdd (int id) return new_bdd (id, alse_bdd, true_bdd); es ehlt noch ein Cache : dann linear in beiden Argumenten im Cache merkt man sich schon mal durchgeührte Berechnungen dann können alle Knoten von beiden Argumenten nur einmal autreten Optimierung : Spezialalgorithmen ür AND und XOR einühren auch wenn nur ein Argument konstant ist, kann man rüher abbrechen ebenso, wenn beide Argumente bis au das Vorzeichen identisch sind weitere BDD-Algorithmen basieren au gleichem Schema: Koaktoren bestimmen, Rekursion, mit Shannon zusammensetzen Zusammenassung BDDs BDDs 27 Kanonische Datenstruktur ür boolesche Funktionen kein Allheilmittel aber wesentlich besser als DNF häuig kompakt ür in der Prais autretenden Funktionen Trade-O: Platz statt Zeit Anwendungen: Snthese, Smbolische Simulation, Equivalence Checking, Model-Checking