Statistik für Naturwissenschaftler

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1 Hans Walser Statistik für Naturwissenschaftler 9 t-verteilung Lernumgebung

2 Hans Walser: 9 t-verteilung ii Inhalt 1 99%-Vertrauensintervall %-Vertrauensintervall Akkus Wer ist der Größte? Hochsprung Länge von Kuckuckseiern Neue Weizensorte Noten in Mathe... 9 last modified: 25. Juli 2011

3 Hans Walser: 9 t-verteilung %-Vertrauensintervall Wir haben folgende acht Messwerte: Für diese Messwerte gilt: x = 5, s x = SD x =1.8655, SE x = s x 8 = Von wo bis wo geht das zu diesen Daten gehörende 99% Vertrauensintervall? In unserem Beispiel ist = n 1 = 8 1 = 7. Relevanter Ausschnitt aus der Tabelle: Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test Schranken der t-verteilung Es ist t krit = 3.499; der kritische Wert ist größer als im alten Beispiel. Die Latte wird höher gelegt. 99% Vertrauensintervall: [ x t 1%,7 SE x, x + t 1%,7 SE x ] = [ , ] [ ] = , %-Vertrauensintervall Wir haben folgende fünf Messwerte: Gesucht sind x (Mittelwert), s x (Standardabweichung), SE x (Standard-Error). Von wo bis wo geht das 95%-Vertrauensintervall? Verwenden Sie bitte die volle Genauigkeit Ihres Rechners. x = 3.42, s x = , SE x = In unserem Beispiel ist = n 1 = 5 1 = 4. Relevanter Ausschnitt aus der Tabelle:

4 Hans Walser: 9 t-verteilung 2 Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test Schranken der t-verteilung Es ist t krit = Daraus ergibt sich das 95%-Vertrauensintervall: x t 5%,4 SE x, x + t 5%,4 SE x = = , [ ] [ ] = , Akkus Es soll auf dem Signifikanzniveau 5% getestet werden, ob die durchschnittliche Laufzeit von Notebook-Akkus tatsächlich mindestens 3.2 Stunden beträgt, wie der Hersteller behauptet. Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen. Es ergeben sich die Laufzeiten: Akku Nr Laufzeit Wegen mindestens 3.2 Stunden testen wir einseitig. Wir erhalten zunächst: Akku Nr Mittelwert SD Laufzeit Mittelwert SD SE Testgrösse t_exp Für diese Messwerte gilt also: x = 3.5, s = SD = , SE = s 10 = Nullhypothese: Der Mittelwert 3.5 liegt rein zufällig oberhalb der vom Hersteller angegebenen Grenze 3.2. Für die Testgröße erhalten wir: t Exp = x 3.2 = SE = = Wir haben den Freiheitsgrad = 10 1 = 9. Tabelle, relevanter Ausschnitt:

5 Hans Walser: 9 t-verteilung 3 Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test t-verteilung Die Tabelle liefert den kritischen Wert Da unsere Testgröße t Exp = größer ist, können wir die Nullhypothese verwerfen. Bemerkung 1: Aus der Sicht des Konsumenten macht es natürlich keinen Sinn, bei den gegebenen Daten mit x = 3.5 an den Angaben des Herstellers (mindestens 3.2) zu zweifeln. Anders sieht die Sache aus der Sicht des Herstellers aus. Falls es sich wie in unserem Beispiel zeigt, dass x = 3.5 bei der Nullhypothese 3.2 sehr unwahrscheinlich ist, kann die Nullhypothese verworfen werden. Das heißt, der Hersteller kann mit gutem Gewissen eine höhere mittlere Laufzeit versprechen. Bemerkung 2: Excel liefert: TVERT( ;9;1) = Dabei ist die oben berechnete Testgröße, 9 der Freiheitsgrad und 1 bedeutet, dass einseitig getestet wird. Die Ausgabe bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines so extremen oder noch extremeren Ergebnisses für die Testgröße nur % beträgt. Es ist also < 5%. 4 Wer ist der Größte? Im Sommersemester 2006 wurde an der Uni Basel bei n x = 90 Studenten eine Durchschnittsgröße x = m mit einer Standardabweichung s x = m festgestellt. Bei n y = 110 Studentinnen ergab sich eine Durchschnittsgröße y = m und eine Standardabweichung s y = m. Wir testen die Nullhypothese, dass Studenten und Studentinnen gleich groß sind, gegen die Alternative, dass Studenten größer sind. Wir haben also einen einseitigen Test. Als Signifikanzniveau wählen wir 1%. Testgröße: t = ( x y ) n x n y n x +n y n x +n y 2 s 2 x ( n x 1)+s 2 y n y 1 ( ) = Und nun gehen wir in die t-tabelle. Wir haben = n x + n y 2 Freiheitsgrade. In unserem Fall ist = n x + n y 2 = = 198. Das ist nicht in der Tabelle, aber

6 Hans Walser: 9 t-verteilung 4 = 200 tut es auch. Weil wir einseitig testen, müssen wir unten in die Tabelle einsteigen. Tabelle, relevanter Ausschnitt: Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test Schranken der t-verteilung Somit erhalten wir auf dem Signifikanzniveau 1% den kritischen Schrankenwert t krit Dies ist deutlich kleiner als unsere berechnete Testgröße t Wir können also die Nullhypothese verwerfen. Die Studenten sind größer oder zumindest länger. 5 Hochsprung Untersuchen Sie die Hochsprungleistungen zweier unabhängiger Sportvereine. Folgende Werte sind gegeben: n x = 24 x =151cm s x = 8.98cm n y =18 y =155.5cm s y =10.10cm Signifikanzniveau 5%. = 5%. Zweiseitiger Test. Testgröße: t Exp = ( x y ) Freiheitsgrad: n x n y n x +n y n x +n y 2 s 2 x ( n x 1)+s 2 y n y 1 ( ) = = n x + n y 2 = =

7 Hans Walser: 9 t-verteilung 5 Tabelle (relevanter Ausschnitt): Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test Schranken der t-verteilung Wegen t Exp < muss die Nullhypothese beibehalten werden. Die beiden Sportvereine unterscheiden sich nicht im Hochsprung. 6 Länge von Kuckuckseiern Es wurden total 25 Kuckuckseier gemessen [in mm]: aus Zaunkönigsnestern Mittelwert: mm aus Rohrsängernestern Mittelwert: mm Macht der Kuckuck einen Unterschied zwischen Zaunkönigs- und Rohrsängernestern? Vergleichen Sie die beiden Mittelwerte (zweiseitig, = 5 %).

8 Hans Walser: 9 t-verteilung 6 Z R Z R 1 22 Z R Z R Z 1 22 R Z 1 21 R Z R Z 1 21 R 1 22 Z R Z R Z 1 22 Z 1 20 Z Z Z 1 21 Anzahl 15 Anzahl 10 Mittelwert Mittelwert SD SD Testgröße t Zaunkönigsnester: n x =15 x = mm s x = mm Rohrsängernester: n y =10 y = mm s y = mm Testgröße: Freiheitsgrad: t Exp = ( x y ) = = 5%. Zweiseitiger Test. n x n y n x +n y n x +n y 2 s 2 x ( n x 1)+s 2 y n y 1 ( ) = n x + n y 2 = =

9 Hans Walser: 9 t-verteilung 7 Tabelle (relevanter Ausschnitt): Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test Schranken der t-verteilung Wegen t Exp > ist die Nullhypothese zu verwerfen. Der Kuckuck macht einen Unterschied zwischen Zaunkönigs- und Rohrsängernestern. 7 Neue Weizensorte Eine neue Weizensorte W neu wurde entwickelt. Sie wird mit einer Standardsorte W Standard bezüglich ihres Ernteertrages in folgender Versuchsanordnung verglichen: beide Sorten werden jeweils an 6 Standorten verschiedener Höhenlage und verschiedener Bodenbeschaffenheit angebaut. An jedem Standort werden die Erträge in kg/m 2 ermittelt. Erträge in kg/m 2 Standorte W neu W Standard a) Welcher Signifikanz-Test ist für einen Vergleich geeignet? Begründen Sie Ihre Wahl. b) Wie lautet das Test-Resultat (Signifikanzniveau 5%)

10 Hans Walser: 9 t-verteilung 8 a) Die Standorte führen zu einer Paarung der beiden Weizensorten. Wir verwenden den t-test für gepaarte Stichproben. b) Rechnungen i W neu W Standard Differenz Mittelwert Streuung Testgröße t Die Nullhypothese lautet: Beide Weizensorten sind gleich gut. Die Testgröße ist negativ; die neue Weizensorte scheint ein Flop zu sein. Wir arbeiten mit dem Betrag der Testgröße weiter. Die Tabelle Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test liefert für den Freiheitsgrad 5 und das Signifikanzniveau 5% den Schrankenwert Wegen > muss die Nullhypothese verworfen werden. Die neue Weizensorte ist signifikant schlechter.

11 Hans Walser: 9 t-verteilung 9 8 Noten in Mathe Mathematik 1 für Naturwissenschaften, Prüfungen vom Fr, 22. Januar 2010 Es ergaben sich folgende Notendurchschnitte. Studienrichtung Anzahl Notendurchschnitt Standardabweichung Biologie Chemie Geowissenschaften Pharmazie Sind die Abweichungen der Notendurchschnitte signifikant? Beispiel Wir wählen die Extrema, nämlich Biologie (x) und Pharmazie (y). Hier sind auch die Anzahlen am größten, so dass die Statistik am aussagekräftigsten ist. Wir testen die Nullhypothese, dass Biologie-Studierende gleich gut sind in Mathe wie Pharmaziestudierende, gegen die Alternative, dass Pharmaziestudierende besser sind. Als Signifikanzniveau wählen wir 1%. t Exp = x y SE x y = x y Wir haben = n x + n y 2 = 245. Tabelle, relevanter Ausschnitt: n x n y n x +n y n x +n y 2 s 2 x ( n x 1)+s 2 y n y 1 ( ) = Irrtumswahrscheinlichkeit für den einseitigen Test Schranken der t-verteilung Somit erhalten wir auf dem Signifikanzniveau 1% den kritischen Schrankenwert t krit Dies ist größer als unsere berechnete Testgröße t Wir müssen also die Nullhypothese beibehalten. Pharmaziestudierende sind nicht besser in Mathe also Biologiestudierende.

12 Hans Walser: 9 t-verteilung 10 Weitere Beispiele Bio vs Chemie: t Exp = 0.805, Freiheitsgrade = 198. Kritischer Schrankenwert = Nullhypothese beibehalten. Bio vs Geo: t Exp = 0.088, Freiheitsgrade = 214. Kritischer Schrankenwert = Nullhypothese beibehalten. Chemie vs Geo: t Exp = 0.642, Freiheitsgrade = 108. Kritischer Schrankenwert = Nullhypothese beibehalten. Chemie vs Pharma: t Exp = 0.435, Freiheitsgrade = 139. Kritischer Schrankenwert = Nullhypothese beibehalten. Geo vs Pharma: t Exp = 1.309, Freiheitsgrade = 155. Kritischer Schrankenwert = Nullhypothese beibehalten. Es ergeben sich keine signifikante Unterschiede zwischen den verschiedenen Studienrichtungen.

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