7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle

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1 In Anwendungen ist es oft interessant zu wissen, ob man überhaupt von einem Knoten v zu einem Knoten w gelangen kann, ganz gleich wie lang der Weg auch ist. Gegeben sei dabei ein gerichteter Graph G = (V, E). Der Algorithmus von Warshall berechnet als Ergebnis einen Graphen G+ = (V, E+) der genau dann eine Kante (v, w) enthält, wenn es in G einen Weg von v nach w gibt. Der Graph G + heißt transitive Hülle von G, da seine Kantenrelation E + die kleinste transitive Relation ist, die E umfasst Kante des Graphen Zusatz-Kante der transitiven Hülle 1

2 Der Graph G+ wird aus G entwickelt, indem schrittweise neue Kanten hinzugenommen werden: In Schritt 0 kommt eine Kante (i, j) hinzu, wenn sich aus zwei Kanten ein Weg von i nach j bilden lässt, der über den Knoten 0 führt (d.h. wenn (i, 0) und (0, j) Kanten sind). In Schritt 1 kommt eine Kante (i, j) hinzu, wenn sich aus zwei Kanten ein Weg von i nach j bilden lässt, der über den Knoten 1 führt; hierbei werden die in Schritt 0 neu gefundenen Kanten mit berücksichtigt. Dieses Verfahren wird für alle Knoten fortgesetzt. Warshall-Algorithmus Warshall-Algorithmus Eingabe: Eingabe: Graph Graph G = (V, (V, E) E) mit mit V = {0, {0,...,..., n-1} n-1} Ausgabe: Ausgabe: Graph Graph G + + = (V, (V, E + + ) Methode: Methode: E + + := := E für für Knoten Knoten k = 0, 0,...,..., n-1 n-1 für für alle alle Paare Paare von von Knoten Knoten (i, (i, j) j) wenn wenn (i, (i, k) k) und und (k, (k, j) j) Kanten Kanten in in E+ E+ sind, sind, dann dann erzeuge erzeuge neue neue Kante Kante (i, (i, j) j) in in E E+ + 2

3 Beispiel: 3

4 Implementierung: Man geht von der Adjazenzmatrix des Graphen G aus, d.h. H0=A[i, j] und ermittelt eine neue Matrix H1, die neue Wege zwischen Knoten angibt. Das macht man solange, bis keine neuen Kanten mehr hinzugefügt werden können. Beim Übergang von Hk-1[i, j] nach Hk[i, j] entscheidet man: existiert eine Kante von i nach k und von k nach j, dann wird Hk[i, j]=1 ansonsten bleibt Hk[i, j] unverändert 4

5 template <class TV, int maxnodes> bool *Warshall(Digraph<TV, maxnodes> g) {// berechnet transitive Hülle von g bool *H = new bool[maxnodes*maxnodes]; for (int i=0; i<maxnodes; i++) for (int j=0; j<maxnodes; j++) H[i*maxNodes+j] = g.isarc(i,j); // Initialisiere Feld H[i,j] for (int k=0; k<maxnodes; k++) for (int i=0; i<maxnodes; i++) for (int j=0; j<maxnodes; j++) H[i*maxNodes+j] = H[i*maxNodes+j] H[i*maxNodes+k] && H[k*maxNodes+j]; } return H; Dies führt zu einem Verfahren mit Komplexität O(n3). 5

6 Beispiel: Adjazenz Matrix: Warshall Matrix:

7 8. Kürzeste Wege Bisher haben uns die Kantengewichte nicht interessiert. Nun wollen wird Fragestellungen, wie etwa folgende beantworten können: Gegeben sei ein Graph, dessen Knoten Städte sind. Eine Kante führt von einem Knoten v nach w und ist mit x gewichtet, wenn es eine befahrbare Straße der Länge x zwischen der Stadt v und w gibt. Frage: Wie ist die kürzeste Verbindung zwischen Stadt A und Stadt B? Frage: Wie ist jeweils die kürzeste Verbindung zwischen je zwei von allen Städten? Lösung: Der Algorithmus von Floyd berechnet für alle Paare von Knoten (i, j) die Länge des kürzesten Weges von i nach j. Der Algorithmus hat dieselbe Struktur wie der Warshall-Algorithmus. 7

8 8. Kürzeste Wege Algorithmus: Man verwendet eine Kosten-Matrix C, in der die Summe der Kantengewichte zwischen Knoten errechnet und gespeichert werden: Zu Beginn ist: C0[i, i] = 0 C 0[i, j] =, falls keine Kante von i nach j existiert C0[i, j] = Kantengewicht von (i, j), falls eine Kante von i nach j existiert beim Übergang von Ck-1 nach Ck wird unterschieden: C k-1[i, j] =, d.h. es wurde noch kein Weg von i nach j festgestellt, aber es gibt einen Weg von i nach k und k nach j: dann setze Ck[i, j] = Ck-1[i, k] + Ck-1[k, j] C k-1[i, j]!=, (d.h. es wurde ein Weg von i nach j festgestellt) und es gibt einen kürzeren Weg über k (von i nach k und k nach j): dann setze Ck[i, j] = min(ck[i, j], Ck-1[i, k] + Ck-1[k, j]) 8

9 8. Kürzeste Wege Beispiel: Kostenmatrix Schritt 1-3: C Kostenmatrix C 3 [1,2]= : 1,3, Kostenmatrix C 4 [1,2]=8: 1,4,

10 8. Kürzeste Wege template <class TV, int maxnodes> float *Floyd(Digraph<TV, maxnodes> g) { const float infinit = MAXFLOAT; // (MAXFLOAT = unendlich) float *C = new float[maxnodes*maxnodes]; // Kostenmatrix for (int i=0; i<maxnodes; i++) // Kostenmatrix initialisieren for (int j=0; j<maxnodes; j++) if (g.isarc(i,j)) C[i*maxNodes+j] = g.getarc(i,j);// C[i,j] mit Kantengew. belegen else C[i*maxNodes+j] = infinit; // C[i,j] mit unendlich belegen for (int i=0; i<maxnodes; i++) // Kostenmatrix initialisieren for (int j=0; j<maxnodes; j++) if (i == j ) C[i*maxNodes+j] = 0; // C[i,i] = 0 Der Algorithmus hat eine Laufzeit von O(n3). } for (int k=0; k<maxnodes; k++) for (int i=0; i<maxnodes; i++) for (int j=0; j<maxnodes; j++) if (C[i*maxNodes+j] > C[i*maxNodes+k] + C[k*maxNodes+j]) C[i*maxNodes+j] = C[i*maxNodes+k] + C[k*maxNodes+j]; return C; 10

11 8. Kürzeste Wege Beispiel: Adjazenz Matrix: Floyd Matrix: oo oo oo oo 1 oo oo oo 0 oo oo 3 oo oo 6 0 oo 4 oo oo 2 oo Bemerkung: Der Algorithmus funktioniert nur für nicht-negative Zahlen. Will man die längsten Wege berechnen, kann anstelle vom Minimum jeweils das Maximum ermittelt und als Initialwert MINFLOAT verwendet werden. 11

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