Fachwissenschaftliche Grundlagen

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1 Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 5. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 1 / 30

2 Themen heute paarweise Zuordnung Abbildungen und Funktionen Graphen injektiv, surjektiv, bijektiv Umkehrabbildung Verkettung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 2 / 30

3 Wiederholung: Paarweise Zuordnung Wir hatten schon folgende Aussagen über paarweise Zuordnung diskutiert, wobei der Begri paarweise zuordnen noch genau deniert werden muss: Wenn zwei endlichen Mengen gleichviele Elementen haben, dann lassen sie sich paarweise zuordnen. Wenn zwei endlichen Mengen verschieden viele Elementen haben, dann lassen sie sich nicht paarweise zuordnen. Zwei unendliche Mengen lassen sich manchmal paarweise zuordnen, auch wenn die eine Menge eine echte Teilmenge der anderen ist: Die Mengen N und N 0 lassen sich paarweise zuordnen. Die Mengen N und Z lassen sich paarweise zuordnen. Die Menge Z der ganzen Zahlen und die Menge {2x x Z} der geraden ganzen Zahlen lassen sich paarweise zuordnen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 3 / 30

4 Paarweise Zuordnung mittels Abbildung Es gelten auÿerdem (das werden wir noch zeigen): N und Z N lassen sich paarweise zuordnen (Begründung folgt noch). Die Mengen N und R lassen sich nicht paarweise zuordnen (Begründung folgt ebenfalls noch). Wir werden paarweise Zuordnung genauer denieren. Zunächst das einfachere Konzept der Abbildung. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 4 / 30

5 Abbildung: einfache Denition Denition Seien A und B Mengen. Eine Abbildung f von A nach B (auch genannt eine Funktion f von A nach B) ist eine Vorschrift, die jedem x A genau ein y B zuordnet. Wir schreiben: oder wir schreiben: f : A B f : A B a f (a) f (a) =...(hier Denition von f einfügen). Beachten Sie die verschiedenen Pfeile. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 5 / 30

6 Beispiele Beispiel für eine Abbildung: f : {0,1} {0,1} Beispiel für eine (andere) Abbildung: f : {1,2,3} {6,7,8,9} Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 6 / 30

7 Schreibweisen Die beiden Beschreibungen f : N N x x + 1 oder f : N N f (x) = x + 1 beschreiben beide dasselbe f. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 7 / 30

8 Denitionsmenge, Zielmenge Denition Wenn f : A B eine Abbildung ist, dann heiÿt A die Denitionsmenge von f (auch genannt der Denitionsbereich von f ), und B heiÿt die Zielmenge von f. Diese gehören zu f dazu und müssen immer angegeben werden. Zwei Funktionen mit derselben Formel für f, aber verschiedenen Denitionsbereichen sind verschiedere Funktionen. Beispiel: f : R R, x x 2 und f : [0,1] R, x x 2 sind verschieden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 8 / 30

9 Unterschied Funktion und Funktionswert Denition Wenn f : A B eine Funktion (Abbildung) ist und x A, dann heiÿt f (x) der Wert der Funktion f an der Stelle x. Oder auch: f (x) heiÿt das Bild des Punktes x. Vorsicht: Verwechseln Sie nicht f und f (x). Denn: f (x) ist keine Funktion, es ist nur ein einzelner Wert. Die Funktion heiÿt nicht f (x), sondern f. (Oder, wenn Sie das nicht-eingesetzte Argument betonen möchten, können Sie für die Funktion auch f (.) schreiben.) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 9 / 30

10 Abbildung: Mengentheoretische Denition, Graph Denition Eine Abbildung ist ein Tripel f = (A, B, G) von Mengen, wobei die Menge G erstens Teilmenge von A B ist, d.h. G A B, und so dass G die folgende Eigenschaft hat: x A! y B : (x, y) G. Hierbei heiÿt A wieder Denitionsmenge, und B heiÿt Zielmenge. Denition Diese Menge G heiÿt der Graph von f. Wir schreiben in Formeln Graph(f ). Es gilt: Graph(f ) = {(x, f (x)) x A}.

11 Beispiele für Graphen Die Funktion f : {1,2,3} {6,7,8,9} hat den Graphen Graph(f ) = {(1,7), (2,6), (3,6)}. Der Graph der Funktion f : R R x x 2 ist eine (parabelförmige) Kurve. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 11 / 30

12 Wertemenge, Bildmenge Denition Wenn f : A B eine Abbildung (Funktion) ist, dann heiÿt die Menge f (A) := {f (x) x A} die Wertemenge oder die Bildmenge oder das Bild von f. Wir schreiben statt f (A) auch Bild(f ) := f (A). Hierbei dürfen wir die Bildmenge nicht verwechseln mit der Zielmenge B. Es gilt immer Bild(f ) B, aber nicht immer Bild(f ) = B. Anders gesagt: Es gilt immer f (A) B, aber nicht immer f (A) = B. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 12 / 30

13 Beispiel Denitions-, Werte- und Bildmenge Beispiel: Die Funktion f : {1,2,3} {6,7,8,9} hat Denitionsmenge (Denitionbereich) A = {1, 2, 3}, hat Zielmenge (Zielbereich) B = {6,7,8,9} und hat Wertemenge (Bildmenge, Bild) Bild(f ) = {6,7}. Hier ist also die Wertemenge eine echte Teilmenge der Zielmenge. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 13 / 30

14 Bilder von allgemeinen Teilmengen Es gibt auch Bilder von Teilmengen der Denitionsmenge A : Wenn M A ist, dann ist das Bild der Teilmenge M gegeben durch f (M) := {f (x) x M} = {y B x M : f (x) = y}. In dieser Formel ist f jetzt eine Abbildung, die Mengen als Argument (in der Klammer) erwartet und als Ergebnis auch Mengen liefert. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 14 / 30

15 Urbild Denition Sei f : A B eine Abbildung. Wenn N B eine Teilmenge des Zielbereichs ist, dann denieren wir f 1 (N) = {x A y N : f (x) = y} und nennen diese Menge das Urbild der Menge N unter f. Dazu muss f nicht invertierbar (Denition folgt noch) sein. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 15 / 30

16 Beispiele Urbild Beispiele: Sei f die Funktion f : {1,2,3} {6,7,8,9} Dann sind die Urbilder der Mengen {6}, {7,8} und {8,9} gegeben durch f 1 ({6}) = {2,3}, f 1 ({7,8}) = {1}, f 1 ({8,9}) = {}. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 16 / 30

17 Injektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt injektiv, wenn gilt: Jedes Element y B wird höchstens einmal von f getroen. Also: f (x) = f ( x) = x = x. Äquivalent: x x = f (x) f ( x). Es muss aber nicht jedes Element aus B getroen werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 17 / 30

18 Surjektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt surjektiv, wenn gilt: Jedes Element y B wird mindestens einmal von f getroen. Also: y B x A : f (x) = y. Es muss aber nicht jedes Element aus B nur einmal getroen werden. Es ist erlaubt, dass manche Elemente mehrmals getroen werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 18 / 30

19 Bijektiv Denition Sei f : A B eine Abbildung. f heiÿt bijektiv, wenn gilt: f ist injektiv und f ist surjektiv. Dann gilt: Jedes Element y B wird genau einmal von f getroen. Also: y B!x A : f (x) = y. Für bijektive Abbildung sagen wir auch kurz Bijektion. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 19 / 30

20 Bijektiv (Beispiele) Beispiele: Die Abbildung f : [0,1] [0,1], x x 2 ist bijektiv (injektiv und surjektiv). Die Abbildung f : [0,1] [ 1,1], x x 2 ist injektiv aber nicht surjektiv. Die Abbildung f : [ 1,1] [0,1], x x 2 ist surjektiv aber nicht injektiv. Die Abildung f : [ 1,1] [ 1,1], x x 2 ist weder surjektiv noch injektiv. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 20 / 30

21 Umkehrabbildung Wenn die Abbildung f : A B bijektiv ist, dann denieren wir die Abbildung f 1 : B A (genannt Umkehrabbildung) durch f 1 : B A f (x) x. Diese Vorschrift macht bei bijektiven Abbildungen Sinn und gibt dann wieder eine Abbildung. Deswegen: Für bijektiv können wir auch umkehrbar oder invertierbar sagen. Aber Vorsicht: es gibt mehrere Arten von Umkehrbarkeit. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 21 / 30

22 Umkehrabbilung (Beispiel) Beispiele: Die Abbildung f : {1,2,3} {6,7,8} ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung f 1 : {6,7,8} {1,2,3} Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 22 / 30

23 Identität als Abbildung Sei A eine beliebige Menge. Die Identitätsabbildung auf der Menge A ist gegeben durch id A : A A, x x. Die Identitätsabbildung ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung id 1 A = id A. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 23 / 30

24 Zwei Bedeutungen von f 1 Die Umkehrabbildung f 1 darf nicht verwechselt werden mit dem Urbild (Mengenabbildung), also mit f 1 (N) mit N B. Die Schreibweise f 1 bedeutet also zwei verschiedene Dinge. Es gilt zum Glück: Das Bild von N B unter der Umkehrabbildung f 1 ist genau das Urbild von N unter der Mengenabbildung f 1. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 24 / 30

25 Verkettung von Abbildungen Denition Wenn f : A B eine Abbildung ist und g : B C eine Abbildung, dann denieren wir die Verkettung von f und g durch g f : A C, (g f )(x) := g(f (x)). Aussprache: g nach f. Zuerst wird f angewendet, dann g. Ausgewertet wird also von rechts nach links. Die Reihenfolge ist wichtig. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 25 / 30

26 Verkettung (Beispiel) Beispiel: f : Z Z, x x + 1 g : Z Z, x x 2. Dann ist g f : Z Z gegeben durch x (x + 1) 2. Dagegen wäre f g : Z Z gegeben durch x x Dies ist nicht dasselbe (z.b. für x = 1). Es gilt also kein Kommutativgesetz. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 26 / 30

27 Für mehrfache Verkettungen gilt das Assoziativgesetz: Seien f : A B, g : B C und h : C D Abbildungen. Dann gilt: Beweis: Übung. h (g f ) = (h g) f. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 27 / 30

28 Verkettung mit sich selbst, beliebig oft Wenn f : A A eine Abbildung ist mit gleicher Denitionsmenge und Zielmenge, dann darf f beliebig oft mit sich selbst verkettet werden. D.h. die Ausdrücke f f f f f f f f f f... sind alle sinnvoll deniert. Wegen dem Assoziativgesetz müssen hier keine Klammern geschrieben werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 28 / 30

29 Paarweise Zuordnung, präzise deniert Mit Abbildungen können wir unsere Idee der paarweisen Zuordnung präzise denieren: Denition Die beiden Mengen A und B heiÿen paarweise zuordenbar, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. In diesem Fall heiÿt f eine paarweise Zuordnung zwischen den Mengen A und B. Wir sagen auch, f ist eine Bijektion zwischen den Mengen A und B. Es genügt auch, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen B und A gibt, d.h. eine bijektive Abbildung g : B A. So ein g gibt es genau dann, wenn es eine Bijektion f : A B gibt. Wenn es eine Bijektion f zwischen den Mengen A und B gibt und eine Bijektion g zwischen B und C, dann gibt es auch eine Bijektion zwischen A und C, nämlich g f : A C. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 29 / 30

30 Beispiele (paarweise Zuordnung) Beispiele: Die Mengen N 0 und N sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion f : N 0 N, x x + 1. Die Mengen Z und N sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion Die Mengen Q und N sind paarweise zuordenbar mit einer Methode namens Cantors Diagonalverfahren. Die Mengen R und N sind nicht paarweise zuordenbar. Dies läÿt sich beweisen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5. Vorlesung 30 / 30