Quader Für das Volumen eines Quaders der Länge l, Breite b und der Höhe h gilt: Maße: Höhe Breite Länge. V Q =5cm 3cm 4cm=60cm 3

Transkript

1 Definition Die Größe des Raumes, die ein Körper einnimmt, nennt man. Körper können mit Hilfe von Einheitswürfeln gefüllt werden, womit das gemessen oder bei verschiedenen Körpern verglichen werden kann. Die Umrechnungszahl für aufeinander Einheiten beträgt m 3 dm 3 (l) cm 3 (ml) mm Quader Für das eines Quaders der Länge l, Breite b und der Höhe h gilt: V Q =Länge Breite Höhe V Q =l b h Beispiel Quader: Höhe Breite Länge h=4 cm b=3 cm l=5 cm V Q =5cm 3cm 4cm=60cm 3 Für das eines Würfels mit der Seitenlänge s gilt dementsprechend: V W =s s s=s 3 Beispiel Würfel: Seitenlänge s=5 cm V W =5 cm 5 cm 5 cm=(5 cm) 3 =125 cm 3 Seite 1 von 6

2 Prisma Man kann jedes Prisma in Quader und halbe Quader zerlegen. Für den Quader (siehe oben) gilt: V Q =l b h=g h Damit gilt auch für das Prisma: Das ist das Produkt aus der Grundfläche G und der Höhe h. Beispiel Prisma: Höhe (Prisma) h 1 =4 cm Grundfläche (Dreieck) Höhe h 2 =3 cm Grundlinie a=5 cm Grundfläche: G P = 1 g h 2 2= 1 5 cm 3 cm=7,5 cm2 2 : V P =G P h 1 =7,5 cm 2 4 cm=30 cm 3 Zylinder Auch für den Zylinder gilt: Das ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Kreis und lässt sich mit der Formel G=r 2 π berechnen. Damit ergibt sich für das Zylindervolumen: V Zylinder =G Z h=r 2 π h Beispiel Zylinder: Höhe (Zylinder) h=4 cm Radius (Zylinder) r=2 cm V Z =G Z h=r 2 π h=(2 cm) 2 π 4 cm= =4 cm 2 π 4 cm=16π cm 3 50,27 cm 3 Seite 2 von 6

3 Pyramide Das einer Pyramide beträgt ein Drittel des s eines Prismas mit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe. Damit gilt: V Pyramide = 1 3 G Pyramide h Beispiel Pyramide: Höhe (Pyramide) h=6 cm Seitenlänge (quadratische Grundfläche) s=4 cm V Py = 1 3 G Py h= 1 3 s2 h= 1 3 (4 cm)2 6 cm= = cm2 6 cm= cm3 =32 cm 3 Kegel Das eines Kegels ist ein Drittel des s eines Zylinders mit der gleichen Höhe und Grundfläche: V Kegel = 1 3 G Kegel h=r 2 π h 1 3 Beispiel Kegel: Höhe (Kegel) Radius (Grundfläche) h=5 cm r=2 cm V K = 1 3 G K h= 1 3 r2 π h= 1 3 (2 cm)2 π 5 cm= = cm2 π 5 cm= cm3 π= 20 3 cm3 π 20,94 cm 3 Seite 3 von 6

4 Aufgaben eines E Der Körper in der nebenstehenden Abbildung hat die Form eines E. Berechne sein! b=2 cm c=3 cm d=3 cm Schneevolumen nach BMT Um für den Langlauf im November genügend Naturschnee zu haben wird im Februar Schnee gesammelt und mit einem Dämmmaterial bedeckt. Trotzdem schmilzt während des Sommers 30% des ursprünglichen Schnees. Wie viel m 2 Schnee muss man im Februar mindestens sammeln, um eine 3,5 km lange, 4 m breite und 100 cm dicke Schneeschicht zu haben? Pyramiden- Eine gerade Pyramide hat die Höhe h = 60 cm und eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a = 0,9 m. Wie hoch wäre ein Quader mit dem gleichen und der gleichen Grundfläche? Seite 4 von 6

5 Lösungen zu Aufgaben eines E b=2cm c=3cm d=3cm Man kann das E in 5 Quader aufteilen. Die Teile des Körpers mit der gleichen Farbe und gleicher Schraffur haben das gleiche rote Teile (oben und unten): Die roten Quader haben die Länge 3c = 3 3cm, die Breite b = 2 cm und die Höhe d = 3 cm. Die Formel für das eines Quader ist: V Q =l b h in diesem Fall: V Qr= 3c b d V Qr= 3 3cm 2cm 3cm = 9cm 2cm 3cm = 54 cm 3 grüne Teile (schmale Stücke): Die grünen Quader haben die Länge c = 3cm, die Breite b = 2cm und die Höhe d = 3cm. Die grünen Teile sind wie die roten auch Quader. Dementsprechend gilt: V Qg = c b d = 3cm 2cm 3cm = 18cm 3 blauer Teil (Mittelstück): Das blaue Quader hat die Länge 2c = 2 3cm, die Breite b = 2cm und die Höhe d = 3cm. V Qb = 2c b d = 2 3cm 2cm 3cm = 6cm 2cm 3cm = 36cm 3 Gesamtes : 2 V Qr + 2 V Qg + V Qb =2 54cm cm 3 +36cm 3 =108cm cm cm 3 = 180cm 3 Seite 5 von 6

6 Schneevolumen Die Skilanglaufpiste kann man als Quader betrachten. l = 3,5 km = 3500 m b = 4 m h = 100 cm = 1 m Das beträgt: V Q = l b h = 3500 m 4 m 1 m = m³ 30% des ursprünglichen Schnees schmilzt während des Sommers. Nach dem Sommer sind noch 70% übrig. 2 verschiedene Wege um die ursprüngliche Schneemenge auszurechnen: x: Menge des ursprünglichen Schnees m 3 70% % 70% x = m³ m % 0,70 x = m³ : 0,70 x= 14000m3 = m³ 0,70 Man muss also im Februar m³ Schnee anhäufen. Pyramiden- einer Pyramide: V P = 1 3 G h= 1 3 a2 h Diese Pyramide hat das V P = 1 3 (90cm)2 60cm=162000cm 3 eines Quaders: V Q = G h Quadratische Grundfläche der Pyramide und des Quaders: G= a 2 = (90 cm) 2 = 8100 cm² Höhe des Quaders: V Q = G h :G h = V Q G = V P = cm 3 G 8100cm 2 =20cm Der Quader muss also 20 cm hoch sein. Seite 6 von 6