Theoretische Physik 4 Statistische Mechanik und Thermodynamik WS2011/12 Prof. Martin Zacharias

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1 htsh hys tatstsh ha ud hdya W/. at ahaas D 8.. tat l d statstsh ha ud hdya l d statstsh ha st s aushd ssh Whslwu ud ustäd ussa u assh shat ltlhsyst u ah. D hdya tstad d statstsh ha ud bshbt yst duh hälsh R d au tll bahtu buh Hautsät d hdya Ittat sh Gstäßt. D statstsh ha ht d athatsh Wahshlhtsth ud hysalsh Gst u shbu d Whslwu lh aus ud laubt d Hltu thdyash Gst/R. I d lsu u ha ltdya ud Quatha wud hysalsh Gst ü d Whslwu ud wu lh ud Kö bhadlt. I d tat. ha wd u Kät d Gst u ssh Whslwu bhadlt. D Gst u ssh Whslwu wd als bat a ud b. s tsst w sh yst ü d all sh ß lhahl assh hält. I a a suh ü yst aus sh l lh d lasssh wuslhu d quathash ustäd Wllut ausuh. Das st.. duh ush ah ud ü bt lhahl auh ähusws ölh. Wd d d statstsh hys auh lah ulat duhüht. uh das a utt wd assh ssba Göß u halt üht ab ht ubdt u ll tss üb d usaha wsh ssh ustäd ud assh ssba Göß. W wd sh dass d hdya bät ü ss tshdd Rll sl d auh autt w lh auß Iulsaustaush ht tad whslw. sl assh Göß t d w l u tu hab wd sd d Gsat d atu das lu Du Wäauah ab auh shat w Gsatatsu yst. d d statstsh ha ud hdya au hausuabt ht a sat dalst yst aus a. abshlss slt yst wd lh- h austaush b. shlss yst austaush ab lhaustaush t bu. yst swhl lh- als auh austaush htlhwhtsustäd sd slh ü d sh assh ssba shat tlh äd. W wd us hautsählh t yst Glhwht bshät d. h. d assh ssba shat sd tlh stat. D statstsh hdya slt ß Rll l Gbt d hys..

2 stöhys K- t- ud lülhys hys t. Hstsh Dat ay 8; Jul 89 Äqual Wä ud Clausus; Kl ud Gbbs usabtu d hdya lta; Gbbs 86-9 usabtu d statstsh hdya sl yl-attshs Gst Gas bstht aus l lh t d lül d dalws au whslw auß w s usastß d u Wad stß da a s u Iulsübtau lastsh töß. W wd us u tat ah uähst Gda u slh Gas ah u Gühl u tw wu s d statstsh hdya ht. das halt s slh Gass thtsh u utsuh öt a d wt sh Glhu dau ush tshtt lös. Dau wüd a bstt asuat d Gasat ud asshwdt wähl. lls Wt bt sh aus d Lösu d wuslhu. s t sh dass ah u t d lh duh töß d jwl - y- - Rhtu lhtlt Gshwdt hab. Das btahtt yst bstht aus htwhslwd lh lu. u tl ass Gshwdt ds tls wt d Kat d d lhdu =/ st. jd lhstß d tl lt Iuls ud haltu. ' ' ü >> lt * =**. D t -Rhtu d lh dt uült st d=dt*. 5% d lh t lu * *dt t au d Dl ud übta Iuls. ü d Gsatt ttall dt lt.5*** * dt. ü d ttl Kat lt =Gsatt*Iulsübtau /ttall I Gas sd d Gshwdt d lh tulh tlt ud d Du hät

3 ttl Gshwdtsquadat ab. us ytüd sd d ttlwt y- Rhtu lh. y y st. yl at' shs Gst tll dt a dass b stat atu =st./ ahu uabhä d t ds Gass düts Gas lt. a a a ds tll d atu ds Gass als d tsh tal Göß üh. Dab st b taltätsstat ltastat 8 - J/K s dass lt =5 K Gut Wass ud =5K dut Wass. Ltt Glhu hßt auh d dal ustadslhu. D dal ustadslhu stllt ü l Gas bs u Dü ba ut ähu da. D ttl Gshwdt Gasat lt b tatu ü O b ~5 /s. sl Gshwdtstlu d lh Gas W sht tlh d Gshwdtstlu d lh Gas aus? Ds a hat sh sh awll 859 stllt ud auh batwtt. s da aus dass jd d Gshwdtst bw. das Quadat d Gasat d lh tlu y auws sllt ud jd Kt uabhä aus d tlu a wd öt. Da lt ü d at a lh Gshwdtsbh +d y y +d y +d d d d d d d y y y Glht uss ah awll s Üblu auh lt dass d tlu u d Gsatshwdt bw. Quadat d lh abhä a da s ausht Rhtu bt. D.h. ü d tlu sllt lt * y * = tt = + y + hu w duh d ut

4 tt = -+y+ üllt. ü tlu ds tas d Gshwdt lt da s uss auh lt Ltt Glhu st d awll-lta-gshwdtstlu. Ds Glhu wud sät auh duh L. lta au ad Ws hltt. ; d d d t t d d ; 8

5 athatsh tatst/wahshlhtsth D.. utat du lt b Odu. ü utshdba lt bt s! dusölht au lät. ü < bt s *-*-* -+ dusölht d auh!! W w d Rhl d lt ht baht dut sh d ahl d ölht ad u d at! d.h s lt da!!! W btaht t dass -al duhüht wd Wül ad wal latu lh tlu ustäd. Jds t lt bs. Dss bs tt al au ud wd als abslut Häut bht. D lat Häut st da h = /. t d Gsatahl a ölh ss I lt I h I Gall sh ß ahl aalll d htad ausüht suh stbt h d Wahshlht ü s. ü h I hlß sh ss b d duhüht suh aus ud bd sh ht s lt d ddtssat ud s lt ü d Gsatwahshlht ddtssat d w ss ud uabhä lt d ultlatssat I d statstsh hys sl ttlwt üb l ölh ystustäd d üb d tlh twlu s ysts wht Rll. wd u.a. bött u assh ssba shat u bh. W btaht suh bw. ölh ystustäd. s lt wdu ü d ölh ss d ystustäd. blb ystöß.. u-ahl b Wü ustäd t. t jd s asst.. da lt

6 ü d aa tuu d auh ttl quadatsh bwhu lt Ltt Göß hßt auh hwau tadadabwhu Rad wal/altlu D tahtu d uäll lhbwu Rad wal laubt ua u l tlu lhlatu Iuls -ustäd Wü ustäd wsh wu d häu d statstsh hys autt. D-Rad Wal uäll lhbwu t -htt twd ah hts d ah ls l lh httwt d tla hs ud t jwl Wahshlht q +q= autt = + l Was st d Wahshlht ah -htt ad htt ah hts aht u hab? Das wd duh d altlu haatst. D lshtt b Rad-Wal sd uabhä dah ultl sh d Wahshlht ü wählt W. Da sh d lw ausshlß hält a d Gsatwahshlht ü at ölh W duh ddt d Wahshlht jd W. D Ralsu s Ws t ssat htt ah hts tsht d tlu l ud htt au Gsatshtt.Wüd a jd ddull htt utshd äb s! ölht. Da hts- bw ls-htt jwls ht utshdba ht at sd dut sh d ahl u d at! ud l! bw.! ud -!. Da jd W aus uabhä t Wahshlht ud l t Wahshlht q htt bstht bt sh d lh Wahshlht ü jd ds W q -!!! s lt wth ü d u üb all Wahshlht ü all = bs aal ölh htt ah hts.! q!! q

7 Wht sd ttlwt ud aa d altlu D ttlwt lässt sh w lt aush ü d aa bött a d ttlwt hwau hwau lat u ttlwt +q= da dab bs stt wd ab ht d utll bhät q d utll bhät st b d ldu d bltu tshdd. Obwhl d hwau t std ahl ut wd d lat hwau t uhd l. D altlu u shbu d Wahshlht Rad-Wal aus -htt ad -htt ah hts u ah st ü ß uatsh. ü bu u d ttlwt <> a a suh ah tlu.. Gaussut als ähu u wd. bl altlu hät sh dlh ab dah wdt a d Lathus d altlu ud suht daü ayltwlu. t d du dass ß ud d Wahshlht dlh -> udlh ü udlh ö w d altlu bw. d Lathus ah q q q q!!!!!! q q q q!!!!!!

8 t d wdu d tl-l sh Übu ds ut ö w das tu * bst bltu lh ull D.h. Ls sh ß stbt d ttlwt <> d wahshlhst Wt au d tlu. u a a u das tu tw. st ayltwlu ü tulh tlu = - bs = + ud u! q O * * * * q q d d t d d q d d *

9 athatsh tatst/wahshlhtsth D 5.. ü wt Gall sh l << usytsh tlu a a d altlu ähusws duh ss-tlu bshb...!...!...! ü dlh! t ud ü! s t sh dass d ttlwt t übstt ud d tlu t st. t! Ktulh uallstlu t tulh uallsaabl st Wahshlhtsdht asst Dht st t watuswt d d all d dst Wahshlhtstlu. watuswt ut a d tll

10 d -ts t d aa hwausquadat d d d d hdsal tlu u dt Itat üb stlh aabl. t wd aus w Ds bht.... d d K j d j d... j D Kaa st aß ü d st bhät uallsaabl. ü d all d abhät uallsaabl shwdt d Kaa. Chaatstsh ut D haatstsh ut Wahshlhtstlu st sh hlh b d hu t tlusut. Dab st d haatstsh ut d watuswt d ut wb d Wahshlhtsaabl dastllt ud dat auh d utast d tlusut. G d G d

11 bltu d haatstsh ut b = l t d tlu u a a d haatstsh ut als ayltwlu shb s a tlhat s d Lathus G ah ayl u tw D s dt Kuulat tlu sth usaha u d t sl altlu d lsu tal Gwtsat das Rsultat u l uallsss da stbt t wahsd ahl d uallsss d Wahshlht ü Gaußtlu=altlu. ttlwt ud hwau jd ltlu sll dlh s. Wth sll d luallsss ad uabhä s. Wahshlht ü uallsss sd dah u ultl. W stat uähst lh ualls-tlu ab ht ubdt Gauss-tlt ut. d G d d G d d d G d d G d G!! G d G d!

12 Dab st G d haatstsh ut d ut. Ds lässt sh au d all shd Wahshlhtstlu all. <> st da u üb < > aus ü hwau. D bshätu ds Gülttsbhs hät höh Kuulat ab t dass sla a sh au tadadabwhu bshät d u d ltlu t uhd shll altlu t. dg d d d d d d d d !! äu duh quadatsh Lösu d Itals ds usüh G Odu bs Kuulat üshtu G Dastllu G t

13 hasau ud Lull-Glhu D 7.. Klasssh tahtu D ustad s ysts lh ustad st bstt duh d ab d Ot ud Gshwdt bw. Iuls d lh 6 htsad. Klasssh tsht ustad d ab d Iuls ud Ot all lh. D 6dsal Γ-Rau wd hasau ds ysts at. assh ustad st ll duh lahl ölh ustäd b atbl. D d ut d austad äst t a sbl Gsatht. I lässt sh t b asustad d tlh l d ustäd ajt duh Lös d wuslhu ü all lt bh. u shbu d tlh twlu st s üst d Halt sh wuslhu u wd ds sth d quathash hadlu a ähst. s lt ü jut Kdataa q t t H t H H H q q t... W H ht lt d t abhät tsht H = + d Gsat ds ysts H q tt q st. a a d Halt sh Glhu auh d wt sh wuslhu uwad. wu hasau a sl hash Osllat ü lh dass -Rhtu u Glhwhtsst = shwt. ü d all dass huüt d ab wd lt H st. b a tt tt D ltt Glhu t dass d wu s lhs lls Rau tsht. Ds tau tsht d ü d hash Osllat üba tl ds hasaus ud bldt shlss ajt. D wuslhu lass sh ablt

14 ü yst aus sh l lh wd austad duh Wl sbl ustäd ästt. D Häut t d ut ds Wl auttt wd duh d Wahshlhtsdht ρ q t bshb. D Wahshlhtsdht ud d tlh twlu sd tal dutu ü hu assh shat. W twlt sh ρ q t? W h lu hasau aus Dab st d Gshwdt hasauut. Da u hasauut lu tsth ö lt t Gauß sh h Da ds ü blb lua lt uss d Itad shwd ud s lt t Hl d Halt sh wuslhu a a dass d ltt shwdt. a hält d Lull-Glhu d d wuslhu ü lasssh tlusut ρ q t abt D usdu {ρ H} wd auh als ssla bht. D wu s sbls hasau a a sh als töu ssbl q q t q d t q d dt d t q d t t q d q q q q q q t q d t H q H q H q q t t t t t H t t H t t H t H t s s

15 lüsst stll üdl hasautajt. D hasaudht tla ajt blbt stat. uh das lu s sbls blbt dab stat s a ab s äd. dtätssat ut hasau wd t d t jd blb üba hasut auh s tatut ah all ht shlss ah wd jdh bts bsuht ut ht wd bsuht-> dutt d Lösu. Ksqu dss ats st dass ü üd la t das hattl ssöß lh d tttl st. ashs sbl W btaht u abshlsss yst b stat lhahl ud lu auh stat t <Hq<+δ δ blb l I Glhwht d.h. tlh Ädu d hasaudht bht s dt l ds hasaus das ash sbl ash Gsatht. u Gud d ussa u hasaudht tla ajt ud d shwd d tlh Ädu d hasaudht st d Wahshlhtsdht ü d s dt uälh h lh. ll uälh hasauut sd lhwahshlh. Ds wd auh t als stulat ult ü abshlss slt yst t stat ash Gsatht lt dass all hba ustäd lhwahshlh sd. D u d das Ital üb all uälh ustäd t a d ustadsu. ustadstal ds sbls. Quatha W wss dass d lasssh ha u ähusws lt. D lasssh ha bt sh als Gall d Quatha ü hh. Wlh ustäd sd quathash laubt bw. w sht d tlh twlu aus? wht Ksqu d Quatha st dass u ad jut lasssh aabl w q ud ht lht t blb Gaut ssba sd Hsbsh shälat. I d Quatha tt ystustäd t abählba dst aus au. D ssh ustad wd duh d ab Wllut ψ q q q bw. ψ.. t haatst. D Wllut b sh als Lösu d hödlhu H t Ds thält d Haltat quathashs dat u lasssh Haltut. Dab sd Iuls ud Ot duh tshd Oat stt. H q t q... q

16 alls d H-Oat ht lt d t abhät a a d hödlhu duh aatsasat lös t t D ψ sd da ut Lösusut ds Haltats ü d statä tuabhä hödlhu t dst wt. H

17 lsu D.. alls d H-Oat ht lt d t abhät a a d hödlhu duh aatsasat lös t t D ψ sd da ut Lösusut ds Haltats ü d statä tuabhä hödlhu t dst wt. H sl dals lh Kast t = ü < <L sst D-hödlhu statä ustad ölh Lösu Radbdu φ= b = =L s L t * d D ölh Lösusut sd ut φ u Haltat t wt ε. h 8L h h L Lösu sd dst Wllut t dst. ü b ustad t b Iuls sd all ü d Lösu t l ht all Ot uälh udu uthaltswahshlht. ü ß d.h. ß bt sh Quastuu a laubt Ot. I -dsal all bt sh ü d ölh ustäd h y 8 a b D.h. ü Wül bt s auh tatt ustäd. D shäu duh d shälat d Quatha üht udsätlh u u d ahl d ölh utshdba ustäd hasau. ü lh D- ud u au Itall [a] sd lasssh blb l

18 ahlwt Iuls ölh. ü = a d Iuls ==+/- h/ u w Wt ah d.h. ht hasault bt duh = ud =a als Ots sw =-h/ ud =h/ als Iuls bdt sh u ystustad. D Gudustad st als lsts hasaulu d udt h d d a h a uh d ad Quatustäd a ltalu=h udt wd s bt als ü b bh dlh ahl ltalua bw. ustäd. I D hat d ltall d Göß h. sl Idals Gas aus ht whslwd lh. D.h. Haltat st u tlhat Wllut st da dut aus tlhwllut. ustad quathash lasssh q q.q. ölh Iuls j h L L L uähst bh w d ahl d ustäd t <. L L W d ttl Iuls sh l öß als d quathash alwt sd ö u duh Ital stt wd.... d... d d Itat wd at ud st ulass dah at /. Itats sd duh d bbdu < shät. tatt üb d Quatahl a a auh üb d Iuls t =πh/l d... d Dab wd d Göß d hasaultall büshtt. Glhat lh sd uutshdba d.h. w üss h all ölh taushu

19 dusölht d lh üb b at Quatahl büsht duh d at /!. D üshtu d utshdbat lhat lh wud sh d ühu d Quatha als twd at. W wd usaha t d Gbbs sh aad sh wau. D Itat üb d ölh Iuls tsht d Itat üb -dsal Kul D ustadssu ds dal Gass ü ustäd Itall < <+δ W w yst t b / lh btaht wd d bd ltt d Glhu ü Ω ü üd ß l d st d tsh Φ. Dss bs t dass bdt duh d hh Ds ds hasaus d ß hht d ustäd au d Obläh d D-Kul lalst st. / 5 / / / / / / / / / 6!!!!! h tlä hu ad R t R R ad ü R R 5/ / / / / h t ls üd ü /

20 W wd ld sh dass d Lathus d ustadssu d statstsh hdya a bsd dutu ut. W btaht u w yst thsh Ktat d.h. s a austaush wsh d yst stattd das Gsatsyst st ab abshlss. D Gsat s ud d d lsyst ud =-. I Glhwht sd ash sbl all Ω ustäd lh wahshlh =/ Ω. W tlt sh d Glhwht? D Wahshlht bt sh als u üb d Wahshlht all ustäd ü d lt = +. Dab sd Ω Ω d ustadssu d lsyst t < < +δ. W h us bs ü das dal Gas aus dab bht d ahl d htsad ds ysts. ü das au b lt aylh ü Lathus d Wahshlhtsut / d d dba stt sst W a Rad h st. d d

21 ü assh yst t l htsad ~ 5 bt sh t sha tlu u. D.h ast all ustäd l b = Δ / ~ - b htsad. a D tlt sh duh d Wäaustaush s au dass d ahl ölh ustäd aal wd. ds utlu st d htsad bd yst lh. s bt atsh bwhu da. sh hab w d Lathus d ash ustadssu h dutu ushb W d d t Glhwht ü das ash sbl wt aat Dt d atu duh ü d u d t d lsyst lt a I Glhwht Ktat lht sh d atu aus d.h. d atuutshd st d tbd Kat ü atuauslh. Ds t a auh d t Hautsat d hdya. Dt t ud atu bh sh au Glhwhtsustad. t ud atu sd assh ssba.

22 lsu D 8.. I d Wahshlhtsth st d t duh d watuswt ds Lathus all Wahshlht d ustäd dt t ds dal Gass a shbt d ash ustadssu ds dal Gass t als Ds üht us uü au d Gülttsbh d lasssh ähu λ st quathash Wlllä ü lh t Iuls =π. D.h... b d u assh Wlllälä üh st d wdt lasssh ähu tulh tlu ustäd ht h aushd. Quasstatsh ss Ädu äuß du äd sh swhl ud htlhwhtsustad. W d ss üd lasa lh t d Rlaatst ds ysts läut stllt sh b ss wd us / / sbl ash Glhu td au st h dal dal. / 5 / / h t h h dal dal dal / /

23 Glhwht -> tulh assu a äuß Ädu-> ss l Glhwhtsustäd tsht d watuswt d. Hws I l üh wd auh d watuswt d t d ybl sh. dw W thsh slt yst d aat quas-statsh ädt wd da blbt das yst lh Quatustad t Ädu d wt ustad. u aat höd allt Kat Kt ush. u aat höd allt Kat. bhät d t aat D. h. ustad wd Wstlh bstt b = sha u. W ustaushöß wsh w lsyst.. d ü Gas da bdutt ds dass d jwls uhö allt Kat u uslh d atu d u uslh Duutshd üht u dab d t u a.-> lt - >t als thdyashs ttal. W Q d d d d s q d X W X d d tlu d u t au ds b Wt lu Göß ts

24 allt Kät aus ustadssu allt Kat Ltt Glhu w sh thsh ustadslhu ds dal Gass. W ö thdyash Göß duh bltu ds Lathus d ustadssu w. wt Göß d sät Rll slt st d bltu ah Ädu d lhahl hshs ttal Kashs sbl I d as hat a s häu t shlss yst u tu d.h. yst d t d bu austaush ö ab lh. W btaht dau ls yst bttt sh l ößs yst. ü ustad yst lt ü sts sd all uälh hasauut lh wahshlh. bhä hat das Rs t =- h d w uälh ustäd... / / X X X d d X d d h lh Gwht t ustäd atbl d t all da d ttlwt duh stu d X d d t d d d d d d d st Gas dals X /.

25 b duh d ustadssu Ω -. Ist lsyst ustad t da st d Wahshlht ü tal Ω - ü d Ralsu ölh ustäd d atbl t sd. Wl << ö w ü d Lathus ut ähu shb D.h. d ahl d uälh ustäd t tll t d lsyst ab. W ö ü d Wahshlht ustäd shb t t bstt duh ü tulh tlu Ital Hws D utshdbat.. all lh lh wud h ht büshtt. -β t a ltaat ds ustads. I all tulh ustäd st Ital üb d ltaat ü jd ustad. hdyash Göß b sh ash sbl duh O O b tulh tlu O d Ga aal w ü das ash sbl d w uhös thdyashs ttal d =- dab stht wd ü ustadsaat.. ü Gas. I Gsat u t ash sbl stbt d Glhwht u u. Wd lt dass das yst au d ustadssu b b u. Glhwht t stbt. D t ash sbl tsht d watuswt -

26 lsu tat. ha u. hdya D.. ü ß hahl wd ash ud ash Gsatht äqualt sh Übu. D hwau d lat u ttlwt wd ash sbl ü ß sh l s dass d tlu ash sbl t b tsht auh t u. ad thdyash Göß wd äqualt..hautsat d hdya yst wd duh Haltat d lasssh duh Haltut bshb ud hä äuß assh aat ustadsaabl ab. Übä austad u ad austad ö u Ädu d üh d= -. D ädu a w tä autlt wd. übtau b stat äuß aat ustadsaabl all s Gass.. d. D übta tsht d u- d abüht Wä δq.. Ädu d äuß aat b lht thsh Islu adabatsh ss δq=. Übta tsht d a yst d yst lstt bt δw D st Hautsat tsht d haltu d=δq+δw dab a δw ht u luabt sd auh ad tä thalt.. au Gud Ädu d lhahl D st ustadsöß t dt Wt ü b assh aat bw. ustadsaabl wähd δq ud δw ustadsöß sd ud Ädu W abhä dsutt lsu. ü d Ädu d t lt d Q d d t X qs d d Q W qs qs W W quasstatsh qs qs d W qs d Q qs X d athatsh sd Ädu ustadsöß llstäd ttal Dtal. W btaht dba ut y t stt atll bltu. W lt y y d d dy y y d y dy y d y dy da hßt d=yd+ydy das ttal Dtal d ut y. Das Ital

27 ut y u ad ut y st wuabhä Lstal shwdt. Duh Ld-asat ttal Dtal lass sh duslhu ü ustadsöß bw. d Ädu uh ud u ustadsöß d. Glhtlussat taht Haltut d D j ö Iuls- d Otsdat ab auh ad Kdat Dhuls hwushtsad t. äst. D ahl d quadatsh d Haltut auttd aabl hßt htsad ds Halt... sd b ; dy ü y y y y y y y y y y y a d a da d a atülh aabl u a d a da a d d a da a d d d a a d d Dt al ttals a a j j j H

28 dal Gas ds d Otsaabl htsad. D.h. d tlt sh ds all au all htsad t j.5. Wäaatät D Wäaatät st d Wä d öt st u d atu ds ysts u ta Δ u höh. ΔQ hät ss ab ustadsut.. Gas b st lhahl = C st d Wäaatät b st lu d= ü yst t htsad bt sh aus d Glhtlussat d H d u j j j j j j j j j j j j j j j j C Q d Q C d d d d d W d Q C

29 Gasat hab d alsh htsad Gaslül hab ll h htsad s.u.. d u ds htsad st allds tatuabhä. Gstt -at lül hab quadatsh Dhulshtsad ud *-5 hwushtsad. Gwlt lül hab Dhulshtsad ud *-6 hwushtsad. Jd htsad tät b u t.5 u C b all hwu b sh hwu w htsad d quadatsh h Iuls- ud Otsädu. Ot st d du d= shw u als u. d as st a t a d Wäaatät b stat tsst =. u thdyash Göß H thal=+ lh d Wäaatät ü das dal Gas I all =stat üht d wäu auh u luädu d.h. u btslstu d dah C>C. d Q C d ü d d Q d d d dal dal C C ud t 5 H C

30 8. lsu D hdyash ttal b stat 8.. ushd d t ash sbl lass sh systatsh ds thdyash ttal stu d a jwl hysalsh tuat aasst sd. t = d d d d t atll bltu usdu ü das Dtal d hält a duh ustll d d d d Wt thdyash ttal all t Ds aasst a d jwl hysalsh tuat.. b stat Du t. 8.. = = - ; =- d d d d d d d d d d d d d t atll bltu Hws hßt auh t Hlhlt t auh t d ybl. I all s sth as d= ud h lhaustaush d= tsht d ädu d bt d yst htt d au wd thal sh lt usaha t C H=+. Ka duh Ldtasat aus d Dtal ü d w wd d d d d dh H d d d t atll bltu H H ü sba ä d= ud d=

31 8.. thal d Gbbs aal u ab b b Du thal d Ädu d thal wd d as t btahtt wl t hysalsh tuat t b btahtt wd. 8. awlllat ü llstäd Dtal taush atll bltu utu d hu wsh wt bltu. Ds lässt sh ut u hu wsh atll bltu d thdyash ttal u halt. al awll-rlat hält a aushd ad thdyash ttal. wsh Ädu thdyash Göß b st bt s h ld awll-rlat 8. Jab-Dtat Ot st s öt aa thdyash aabl u ad aa G G G bltu atll t d d d dg H G d d d d a a a a d a d a d dg aus bw dh aus d aus d aus.

32 aabl übuh. ü d dau öt hu st s t wäß d Jabs- Dtat u wd. Dt d Jab-Dtat slawdu d Jab-Dtat u hu d hu wsh C ud C u u u u u u u u u u u u auh alls u u y ü u u auh lt s u y alls y u u y lt da y ud y u u s u u u u u C C C t C

33 t ld ubsta-ssh aat α Kt d sba thsh as ud κ τ sth Kssbltät bt sh ld hu wsh C ud C C C 8. Gbbs-Duh-Glhu W btaht hs thdyashs yst t. wts yst s u at α öß da sal auh t α.. lt α=ααα. a t da h ut st Gads. H G hß ts tal u α. μ sd ts. I all h yst bt sh G=-+= tsht d hsh ttal μ=μ=g/. Duh d du d Htät sd d aabl ht h uabhä d.h. lh st u abhä. ü das Dtal ds hsh ttals lt Gbbs-Duh-Glhu dμ=d/-d/=-sd+d dab sd l s ud d t bw. lu lh.

34 9. lsu D.. u bshluss us sbl-tahtu bshät w us t w wt wht thdyash Gsatht d sba sth sbl ud d ßash sbl. 9.. Isbas sths sbl sba sth sbl st b d auh das lu aabl ud stllt sh duh b atu ud Du. W btaht ls ubsyst t aabl ud aabl lu bttt Rs t stat Gsat ud Gsatlu. t d lh utat w b ash sbl lt abhä ud hat das Rs h d w uälh ustäd d duh d ustadssu Ω - - usaasst wd. Ist lsyst ustad t bstt ud lu da st d Wahshlht daü tal Ω - - lat u ustadssu ds Gsatsysts Ω ab ds st stat. t << ud << ö w wd Ω t ud tw t ud D.h. d ahl d uälh ustäd t tll t d ud t d lu lsyst ab. W lass Wt d Id w wl w us u ü das l lsyst tss. 9.. ustadssu ud thdyashs ttal Wahshlht ud ustadssu ü das sba sth sbl sd d d d h... /! t w als Dht ustäd w G G H dd dq... dq H q d

35 Dab st G thal d Gbbs- das thdyash ttal ds sba sth sbls. hu wt thdyash Göß lt dt duh ldu sbl-ttlwt d duh atll bltu ds thdyash ttals bül. t jut ustadsaabl lushwau W halt sh hwau ds lus lat u ttlwt ds lus t uhd lhahl? H sll d a lät wd b sh ü bs ud ds sba sthsh sbls dts lu d stabl t hh hwau stllt. H dd w dd w d Gas dal ü dd w dd w dd w dd w dd w dd w dd w

36 D lat hwau ds lus b b Du ud atu sd ü ba ü assh yst äußst l ö ahlässt wd d.h. s stllt sh dts lu. 9. Gßashs sbl ßash sbl st d Wad wsh yst ud swhl duhläss als auh lh-duhläss. s s lh t. Ga aal u h b sba sthsh sbl btaht w all ds ßash sbls d ayltwlu bül. ud. 9.. ustadssu ud thdyashs ttal ustadssu ds ßash sbls dd w dd ud t J uatät d t shb als auh t dd w

37 Gßash t 9. ash ash ud ßash tahtu ds dal Gass W wll u d thsh ud alsh ustadslhu ds dal Gass aushd ash ash ud ßash sbl hlt. uähst böt w dau d uhö ustadssu. G G G J J dd w.!!! /......! / / / 5 / st ßash h dq dq d d d h ash h h ash

38 us d Lath d ustadssu ö w u d ustadslhu ds dal Gass bh. s t sh dass w aushd all sbls d us sh bat bss ü das dal Gas halt. llds dt.. d twlu d ustadssu ü das dal Gas Rah ds ash sbls öß athatsh uwad w us a d Itat üb d hdsal Kul als bslsws all ds ash sbls. J ah hysalsh tuat st s sll dau ts sbl u wd. / ßash ash ash

39 . lsu D.. Klasssh hdya. Gudla ud a. hdyashs yst asshs yst t l htsad b. hdyash aat ustadsaabl ustadsöß sd ssba Göß d thdyashs yst haats.. hdyash ustad-> haatst duh ab Wt ü all thdyash aat/ustadsaabl. d. hdyashs Glhwht hsht w sh ustadsaabl ht h äd.. ustadslhu ü ustadsöß bw. aat.. ustadslhu lass sh aus thdyash ttal hlt.. ustadsädu üh yst Glhwhtsustad ad üb. h. Quasstatsh asat l s lasa dass yst ah a Glhwht.. Klassu ustadsädu s wd all dalstt ustadsädu btahtt.. ss b d sh u ustadsaabl/aat quasstatsh ädt. a utshdt Isba Ish Isth Ist Isthalsh dabatsh =st. =st. =st. =st. H=st. δq=. a utshdt sbl ud sbl ss sbl ss st quasstatsh ablaud ss d duh tsal Ädu d äuß aat d d ad Rhtu shb wd a. Isbsd a duh sat d ss halt bt d usasustad wdhstllt wd. ht all quasstatsh ss sd sbl. sbl ss ht h usätlh sat bt ht wd d usasustad uü... sl atuauslh W btaht abshlsss yst L Rs t l ubsyst H dss atu sh d ds Rss utshdt.

40 Q s lt bt Q H L L H L C Q C st. sat H L Q L Q H Lqs Lqs Q C H d L H L H Q H Q d L L H C L L C L Q Q L H H CH d C H L H L H H C H H Q L C H L H L H L H L L H L.. Isbl as s Gass Gay-Lussa-t ls dllsyst btaht w uähst d sbl as s Gass lu au ößs lu ah Ö Kla tl. s lt Wäaustaush ud d ds Gass sll sh auh ht äd. ah d st Hautsat wd da auh bt htt. d= δq+ δw= I all ds dal Gass ädt sh auh ht d atu d= b d as s.u. all all. D tatst ashs sbl sat us dass d t b d as ut. t d d d d dals Gas W us dass quasstatsh sbl all alt Q qs Ist ds Wdsuh b sbl ss wd Wä ustt? a a d Gay-Lussa-suh auh quasstatsh l htt ausüh blbt ab sbl da w bt w hab d w ut öt u u

41 usasustad uüuh. slbst ht lt as ht wd uü. I d lsu wd t dass d Wahshlht daü tll t d lhahl abt. I all all a b d as s Gass auh atuädu autt st ab auh da sbl. D atuädu b luädu st b duh.. Rsbl as s Gass W btaht u d sbl as ds Gass d w das yst a Wäbad ud d ss quasstatsh üh ud dab sll htu hl sh du d aal ölh bt wí. Ds shht duh tl ud s stllt äuß Kat dass ds t d sh ausdhd Gas au Glhwht stht. D lstt bt st da Da d ss sthsh tla Isth /-Daa läut ud sh all ds dal Gass auh d ht ädt d= tsht d bt d aus d ad au Wä δq t t Hautsat. ü d tädu ds ysts lt w ü d sbl all Das Rs bt d lh Wä ab w yst au. Dah blbt d Gsatt Rs + yst lh abshlss yst st d= ü sbl ss. D ss st sbl wl duh tsal sbl Ädu d hl sh du ud duh sat u d wätsss w bt d usasustad wdhstllba st. d C d C C C C d d W qs Q qs

42 .. Hautsat d hdya I abshlss yst lt ü bw. shlss t austaush yst I all sbl ss Ltt Glhu sat aus dass w d tädu b sbl ss duh Kstut s sbl satsss t lh as- ud dustad ud stu d dab ustt sbl Wä halt ö.. dabatsh as Q Q qs ht u d sth as sd auh d adabatsh as a sbl ausüht wd wd b d tahtu Ksss Rll sl. W btaht d adabatsh as ü das dal Gas. Q adabatsh; d d W d ud 5 d D ustt bt st l als b sth as. D dabat läut /- Daa stl als d Isth läh ut d dabat l als ut Isth.

43 . lsu D 9... Jul-hs-as wt thd d Gasas d w d adabatsh as u bühlu Gas butt wd a st d Jul-hs-as. Gas wd duh Du Katt t atu duh ös t Katt tastt t Du ud atu. Das yst st thsh slt δq=. D ss tsht Glhwhtsustad ab ü üd lasa töu a a d bd t ds ts als ähusws Glhwht btaht. I ttall wd bstts lu ud Du aus d -Katt das -Katt t da ut Du shb. D Katt lstt bt st W= Katt wd d bt a d bu lstt. D.h. d btsbla st δw= -. us d st Hautsat lt Δ= - ud daaus + = + W tss us ü d atuädu b tsau ds Gass ü dals Gas α=/ bt s t. W α >/ bt sh bühlu sst wäu ds Gass b tsau. whl adabatsh as als auh Jul- hs-as ö u uu t atu butt wd.. talshat thdyash ttal Das htt halt thdyash yst st t d talshat d thdyash ttal bud. W wll us d daü öt du all ü d t ashau... W l bs yst w lh ß lsyst W btaht tull Ädu δ δ yst dtshd δ -δ wt yst Ädu d t C C H H H..

44 I statä Glhwhtsall lt t t Hautsat dass la st bltu shwd au d t. alls auh h tull lhahlädu btahtt wd lt auh h μ =μ alls tatsählh aal Glhwht üss d ld du lt Das Rsultat düt d tabltät ds ysts aus C ud κ τ üss st s. Wäauah wd yst wä ht ält ud b Kss höht sh d Du. L Chatl W sh yst stabl Glhwht bdt üht jd sta Ädu s aat u Rat d das yst wd s Glhwht uüüht. D lhu C >= aatt thsh tabltät ud κ τ >= aatt hash tabltät... yst b stat atu W btaht d sth as als sl t Wäusat ΔQ C C C w Id lass W W W W W Q W Q Q H syst tt s t s syst tt ; ;..

45 D.h. d dt d aal bt d das Gas b stat atu ht a. W btaht usätlh d= bw. dw= luabt a ab au ad t bt auh übta wd. Ds bdutt ü tatustad uss öß s als b Glhwht dab st h =st. tsht ash sbl. Cat-ss D Cat-ss st alall s Kssss ud dt als tadadbsl dsh abtd Wäatash. Ksss st asud dustad ah ssylus üb. Δ==ΔQ+ΔW ah ylus D Cat-ash abtt duh as/ktat Gas b shd atu. ü sbl Ksss /-Daa hält a d tt ylus lstt bt aus Kstal d /-b... blau a utshdt b Cat-ss ustäd C D ut /- Daa ud lss -> sth as b hh atu = luausdhu -> das yst t d Wä Q > au d lstt bt tsht b sbl ühu w ahläss Rbuslust d au Wä dals Gas ->C adabatsh as ΔQ= C / = / y Wt lustu - C d sh aus dabatlhu bt. D lstt bt tsht d Ädu d ds Gass wlhs sh dab abühlt. C->D Isth Kss b d atu = s wd bt a yst lstt d Wä a Wäbad ühl t abb wd. C -> D Q=-Q < D-> adabatsh Kss ΔQ= luu Gäß dabatlhu wät sh das Gas dab wd au d hh atu D / = / y la D adabatsh Kss dt aus l bt w d adabatsh as lt. l d b d sth as w bt wd b d

46 sth Kss wd bött. Dah st d btsbla ΔW=W -W = Q - Q.. tbla W hab bts t dass b d sbl sth as tädu ds ysts Δ -> =ΔQ / auttt b wt sth htt ttt lh ß tädu t uht h au wähd d adabatsh htt tädu usah sh /-Daa. D sat tädu st als w u wat ull. J ah Rhtu ds blaus ds sss lass sh Wäatash Wäu ud Kühlsyst als... Wusad ds Cat-sss W h a dass jd lshtt ds Cat-sss sbl üht wd d.h. d Wä Q -> wd llstäd bt uwadlt bs wd d bt W b sth K llstäd Wä Q ü das Rs t d t atu uwadlt. W st d Wä Q d Wä Q ht l. D Wusad st dt als d w bt stt Wä. W Q ; Q Q t d dal Gas als btssubsta Q C Q Q Q D C D D Wusad hät hälts d atu d Wäs ab. Cat D Wusad st us öß j höh bw. j l. Wusad a b -> ht wd st ab hysalsh ht hba.

47 . lsu D... shd ulu ds wt Hautsats Rudl Clausus Wä a slbst ält wäs Rs übh. Wlla hs Kl ölht s tuu bl t t. tuu bl t t uu bt aus d hts Wdsuh u t Hautsat tuu bl t t dsh abtd ash d d uüht Wä u % bt uwadlt. ü abshlsss yst bsthd aus Wäs R ash ud h d w bt lt ü d ashss Δ= Δ R +Δ + Δ >= D h hab d w htsad.. htsad ü d Dhu d-> Δ ~. Das Wäs hat sh l h htsad Δ R >> Δ. D ash hat ah ylus d lh t Δ =. ü das Wäs lt quasstatsh-sbl all Δ R =-q/. Ds d ash au Wä wd bt uwadlt ud sht. Δ= Δ R +Δ + Δ = -q/ < ttls s.. t t öt a aus Rs b Wä th ud Cat-ss bt uwad. Ds öt a ut u hßs Rs u wä tsht luss Wä ält u wä ad. D.h. Clausus-Dt st äqualt u Kl-Dt ht Köt Wä ält hßs Rs lß s öt a ds Cat-ss wd ud d Wä da wd a das alt Rs uüüh. Dab hätt a t u d ält Rs Wä t ud dat bt lstt-> tuu bl t t Kl äqualt u Clausus. D wt H.. lt tl st d.h. bwhl d ssh atust.. aat üb tuh sd ö sbl assh ss u Rhtu lau... Cat-ash st tal Q Q Cat ; d ; Q d W btaht d all Ksss b d Wäaustaush t d bu stattd a ht twdws u b aal- ud altatu. W l d ss bshtt t dq > ud Wäabab dq < ud laub auh Q

48 sbl ssühu. ü d bstölh stu Wä bt lt D Wusad st als u da lh d Cat-Wusad w Wäübtau u b d aal- ud altatu lt ud w all lss sbl l. Jd sbl wsh w atu abtd ash ht d Cat-Wusad. Ds a a duh usashalt d ash t als Wäu abtd Cat-ash bws. Das Rsultat t dass ds auh uabhä d btssubsta lt. a a ds ut u atusala u d ut bhu Rtatu. D abslut ullut tsht da d atu ü das ält Rs Cat-ash t Wusad Wusad ull b d Rtatu... Dtt Hautsat d hdya W btaht yst t sh l Wt d. D Quatha sat us s bt Gudustad t. W w d ölht d tatu ustäd uähst auß ht lass tsht ds ustad. Ω-> = W Q Q Q Q Q Q Q Q Q => -> = Ω-> = W a aushd Gudustad höh aus at Ω ~- ~/ Q wt Hautsat Q Q Q Q Q lt w Q Q Q Q Q Q Q Q Q Cat / ~ /- -> ü -> => ->= tatu ds Gudustads a autt.. yst ht d ast ht t ad whslwd Objt.. Ks. bühl b sh ü ½ stllölht d Kss -ah tatu ds Gudustads. Ds üht u Rstt = = --Whslwu st allds b sh t atu u.. ht h ahlässba. at Gall

49 -> t Wt < us ds ysts ädt sh d t ht h d.h. Δ->+ =. Ds st d dtt Hautsat d auh st shs h... hasübä sh hab w ustadsädu ü bstt atustad s ts btahtt d.h. d ustadsöß äd sh tulh. I d Raltät hab w s t shd atustäd auh at has asö lüss st u tu. Glhwhtsustäd ubsta ö duh ab lu ud ahl a lh bshb wd. atsh sll st d ab ds Dus ud d atu ud lhahl als ustadsaabl ü ubsta. s bstht d ölht all shd atustäd dass s ü bstt wt aa d aabl w d h Lösu d ustadslhu bt.. st ht ubdt dut. ü ds all ö auh w d h has ubsta st. a hält da ahst all --hasdaa Kstl. wt a sh üb d Kstl tsht ds hasüba.. st-lüss ublat; st-lüss hl; lüss-asö da. Dab äd sh ustadsöß ht-stt Ws. lut alls sh Kstl a ut t sht a lut dt ö d has st. Das d Kstl st tsh ut. W hab bts t dass ü w lsyst lh ß Glhwht ustad t = = μ =μ wd. D.h. d lh tl sh s das ts thdyashs ttal us all G da w b u t. ü h yst jd has btaht w als h alt d Gbbs-Duh-Glhu G = μ + μ t = + Das llstäd Dtal ds hsh ttals h yst wa dμ=-/ d+/d W btaht w ölh has.. lüss ud asö ud tss us ü d Üba uähst tla aabl. Da d tutu d has utshdlh st wd d lau ds hsh ttals als ut utshdlh s ü jd has. Kst lt μ =μ. t G = μ + μ al Glhwht h ü blb ut --hasdaa all lh d has t d d hsh ttal üb als μ= μ alls a wählt -ut μ <μ da st G = μ μ= μ alls a wählt -ut μ >μ da st G = μ W läut μ? taht uähst b st Du als ut d atu. Iat dau ö w aus d st ud wt bltu ds hsh ttals ah halt.

50 ; da C D bd bltu l lau d Küu ud tu d hsh ttal ü d bd atustäd st. has das Gas ud d lüss ustad ü < tsht d Ksttatu st μ <μ d.h. has wd. ü > tshd d uht all. D. h. d hsh ttalu shd sh b ud s bt Whsl wadlu d has u has t d jwls d. Ds lt K ü das hsh ttal b ud d at bltu ah d atu tsht d ssh t lh aht u stttstll. als halt a a ü d aat ds Dus b sthalt atu a bbahtt da u lu. tsh ut hasdaa shwdt d sttt d st bltu wt bltu blb ustt. Klassu hasübä ah hst d all t bltu t < hsh ttal μ stt d t bltu ab ustt sht a hasüba t -Odu.

51 . lsu D 6... Clausus-Clay sh Glhu W btaht Kstl ü hasüba.. lüss-asö. s lt μ d =μ d ttal bltu ah t d sd d ud dd d dd s s d dd s s d dd s s d ; dd d dd d Ltt Glhu st d Clausus-Clay sh Glhu. Ds düt -- hasdaa d tu d Kstu Daduu us all als ut d wadlust ud d asst luädu aus.... t Hl d Clausus-Clay sh Glhu a a bslsws d Ädu d dtatu Wass t uhd Höh d.h. b d Du bh. Dau bött a d dausthal Wass ud t a dass sh Wassda ähusws w dals Gas hält. Duh st d Clausus-Clay sh Glhu t Duaball u. a twa üb d ssl bt sh dab u ds duts Wass u a. 9 Kl.. Oss stsh t ht s u Dud wsh Lösusttlhas ud Lösu d astss Lösusttllül usah ö. s-lh s d ts Lösusttl L löst. lhdht ds dsts s = s /; lhdht ds Lösusttls L = L / Ktat L = / L = / L

52 H w ld aht a d ah dass sh d löst t Lösusttl dal hält. D.h. d löst lül bluss sh ht st halt sh als w dals Gas t d Lösusttl als äsubsta. Ω L u d ustäd ds Lösusttls Ω u d ustäd ds löst ts Ω * Ω L Gsatahl a ustäd Ω~ s w dals Gas t d Lösu L = Ω * Ω L = L + Du d Lösu L L L s D. h. d Du saltt sh au ta ds Lösusttls ud ds löst ts d als stsh Du bht wd Gsatdu st u aus bd tä. bdt a u w Katt d das t Lösusttl ud das ad t d Lösu üllt sd duh sabl ba d u Lösusttllül ass lässt t s u Oss. u d t ds Lösusttls hsht d Du = L ud au d t d Lösu = L + s. Das yst st ht Glhwht sd stbt uslh ds Dus duh dü d Lösu a. Duh äuß Du d s tsht a das yst s Glhwht baht wd. I all usätlh Wasssäul Lösusatt lt s =ρ h= Ds st das a t Hsh Gst.. dutshöhu ud Gutsdu b Du sdt d t lüsst b bstt atu. D Lösu s dsts bwt t Duädu daduh t s u shbu d- ud Gtatu. W h wd a dass sh Lösu dal hält. D.h. t d a t H Glhu lt lösu = s = = Δ; Duädu duh löst t L = -Δ; Du au Gud ds Lösusttls ataldu ds Lösusttls Lösu hab Ktat = / L t << L. W ö ü das hsh ttal ähusws shb

53 lüsst s has wt has asö d st s has. ü das Lösusttl lt d hasüba a d tll s lt μ =μ. t löst t shbt sh d atu a d das hsh ttal has dtsh u hsh ttal st. s lt da μ + Δ =μ + Δ t dμ=-sd+d μ + Δ ~ μ + Δ - + Δ ~ μ -s Δ - Δ μ + Δ ~ μ s Δ s lt b d wadlustatu Glhht ds hsh ttals ~ μ s Δ = μ -s Δ - Δ Daaus lt Δ = Δ / s -s D td s st alls d asö has st da st Δ auh st dutshöhu. ü = st has st d td at ud s t u Gutsdu. Ds a a sh auh qualtat duh dt Daduu --Daa ashaulh... Chsh Ratslhwht sh hab w hasübä wsh shd atustäd bw. löst ustäd btahtt. Dab ö auh hsh wadlu autt. tadadbsl st d asyths aus Wassst ud tst + H <-> H D Gas-Kt wd wdu als dal btahtt aus auh dal Lösu. s lt ü d u d satahl jd Kt X X D Whslwu t d Lösusttl a d Rattät bluss bw. lh ab yst st h jd löst Kt. D.h. t ahl

54 u. hsh ttal μ lt jd Rat ädt sh d ahl d lül jd t d = d Das h d hät Ratshtu ab. twd du ü u G W btaht jd Kt als dals Gas dah a a das hsh ttal jd Kt w lt shb t /= / Dab wud das hsh ttal tä d u ud abhä ausalt. ultlat au bd t t ud uat üb d Kt bt asst a all u ab ht abhä u -abhä ut K usa bt sh Ltt Glhu hßt asswusst. ü d Rat d asyths halt w Dab st d Glhwhtsstat K ut d shat jd btlt Kt d w ht äh btaht. G... G G..... st st. st K K K H H

55 . lsu D... düt al at Gas l stllu d ustadssu ü als Gas ud bltu ähu uähst ü d thsh ud sät ü d alsh ustadslhu Haltut ah Gas st düt ud d attat Whslwu wdqqj wsh lh sd aaws ud shwäh als hu shwäh als ttl tsh. D ash ustadssu lautt q d Haltut stht stllttd ü all Iuls ud Ot. D Itat üb d Iuls bt W btaht uähst d ash ustadssu ü bw. lh D ustadssu ü lh bt d dal Gas bts bat Wt /λ. ü w lh bt sh bhä d d Whslwusut w a d Itat u sh aalytsh ht h d u h ähusws ölh s. D uswtu d ustadssu t uhd lhahl t a d ßash ustadssu d w auh but u d ustadssu ähusws ausuh. W us s lt Gbbs-Duh ü h yst G = -+ = μ J = - = - μ j j q w q q H......! q H d d q d q d h j j q q w q d q d...! 6 q q w q d q d t ;

56 s lt J = - d = / lt ü das dal Gas hatt w halt = /λ = / = D.h. ü dal yst st la d uatät bw. d lhahl lu als d Dht s lt ja = λ /. W wat dass sh ds all whslwd lh ädt t ad Wt = / = wd ht h lt sd / wd d lhdht abhä. Idals Gas la uatät / = = b ht üb usdu d t h ht äh st Kt b / = = b + b + b + bw. als ut d lhdht / = = + / + / + Dab st = ud st da Ktu st Odu u thsh ustadslhu ds dal Gass altwlu. s lt ah u u suh d Lathus d ßash ustadssu t d uatät u tw u s duh Ktlh d alt u w. s lt ü...; t D uatät ü das dal Gas ud ähusws auh ü das düt al Gas = λ / << da / >> λ all düt Gas. ü d twlu but w d aylh ü + = ½ + / +..

57 u ö w duh Ktlh d b suht Ktut ü d thsh ustadslhu halt. b = ; b = / ; b = +/ t d Dt d ayut = -βwq q bt sh ü = / λ ud tshd ü. u lass sh d twlust d twlu bw. /K t d uatät shb als ü b b sh Kbat dut ayut. D auttd Ital w d ayut shll u au ull abällt. s lt ud büu t 6 q d q d 6 q d q d b b ; / / d u lh lat Radaldat q d q d b b t b b b t b b b b b b b b

58 Dat hab w d t alt w. Ds st d whtst alt d d Ktu st Odu d dal ustadslhu bül. d lhdht ästt wd t auh als st alt bht. a a assh ss ud daduh Rüshlüss au d ssh Whslwu d lh w. ht a ü b Whslwusut d hsa ud t tll bss lh.

59 5. lsu D a d Waals-ustadslhu l stllu ustadslhu ü als Gas basd au slttal ud d altwlu bs u Ktu st Odu ah lh dü b alabstad ht utsht d.h. d lh halt sh w hat Ku b Üblau uthalb s alabstads. Ds st lausbl ähu au Gud ds auls. öß tu h w attat Whslwu aus d t ah t t d tu abällt W = ü < W =-w / s ü > Dab st s st a ahl. D hu sll ü jd Dsta ta l als d ttl tsh lh s ü all >. u lässt sh d wt alt bh ds dt allds twlu d talut ut da sst das Ital ht lösba st. H haatst d tl b d uhwt bstßu tal d usshlusslu d Ku wsh d lh. D tl a ästt d t ttl hu d lh Ital üb d tusbh ü d attat Whslwu. st d altwlu bs a b s s s w w w a b s w d w w d w d ü w ü w da d d

60 Duh wt ähu ü d uls tl a a ds Glhu d a d Waals-ustadslhu übüh shaulh dut d b das u üu sthd lu üb d dal Gas u das lu d Ku wähd d aat a t Duhöhu duh d usätlh hu d lh bwt. 5. Kalsh ustadslhu ds düt al Gass u llstädu d hadlu ds al düt Gass wll w h sh w sh d ds al Gass lat u dal Gas hält. ü als Gas hatt w t tsht dal Gas bs au at d Dht twlt. s alt = b + b + b + = b + b + b + W ahläss dtt Odu ud daüb ud but a d = λ / lt b ß düu ds Gass. D.h. d ds al Gass tsht d ds dal Gass t Ktu d d Dht ud d ttl hu d lh abhät. 5. a d Waals Gas Isth D thsh ustadslhu ds a d Waals-Gass a d Waals Glhu a a K a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b a

61 shb wd a b Od auh t =/ a b D a d Waalslhu wa t Hl d altwlu ut d ausstu ß düu abltt wd. a ab hälsh t aasst aat auh ü höh Dht wdt wd als dll da s.. üts halt b hh Dü ud hh Dht t. ü ß lu l Isth ählh -Daa w dals Gas ab au d -hs u b shb ds lt ull abwhds allu st. uh ü hh atu st das halt d ds dal Gass ählh. ü l Wt bt sh b tsh atu attlut d Isth. D dab auttd Du hßt tsh Du ud das lu tshs lu. =b; K =8a/7b; =a/7b thalb hab d Isth u ud au. ü d Isth uthalb b sh ü b Du d utshdlh Lösu ü. d Lösu lt uhysalsh h t d/d> d.h. h wüd das lu ast w a d Du höht. d h ö als lüss ls wthd ssbl ud asö hts Isth da ählh w ü das dal Gas dtt wd. us d hadlu d hasübä wat w dass das yst au ut d Kstl d has ädt s dass ud stat blb sh ab das lu u Δ ädt ds tsht Htal --Daa d uthalb d lüss t d asö h bdt. 5.. awllstut a wlh Du = asst d hasüba ü bs? s lt ü jd h lüss bw. asö has μ= G/=/+/=+ sd d lh ht bw. lua. W us dass d d d b sbl ss ustt bt tsht. D.h. s lt b = - = μ - μ + - = - Ltts Glhhtsh lt wl a d tll ds hasübas d hsh tal ü bd has lh sd. D.h. d läh --Daa ut d

62 suht Du tsht d d ü d hasüba. dsts st d ustadsöß llstäds Dtal ud w ö D duh Itat tla blb Übasw bh sbsd auh tla d uhysalsh --Ku läh ut d --Ku d w aus d a d Waalslhu halt hatt. d d Ds hu usa t d du d Glhht d läh hßt awllstut d D awllstut lt d lau d Daduu ds a d Waals Gass hasdaa --Daa st. Obhalb d tsh atu bt s utshdlh has u uthalb ds tsh uts ttt hasüba st Odu sh hst-klassu au. D Wt ü ud ds a d Waals-Gass d Kstat / =.75 d ah a d tll Wt ü Rh Gas lt h.5-.. a a d a d Waals-Glhu auh dssls t Du atu ud lu ht d tsh Wt shb Gst d sdd ustäd 8ˆ ˆ ˆ ˆ t ˆ ; ˆ ; ˆ staulhws wht ds shbu u w ~% tatsählh halt l Gas bstt h ds --Daas ab. D a d Waals-Glhu ählh Glhu wd lah auh ü löst d lldal lh t t Whslwu Lösu wdt.

63 6. lsu D.. 6. Idal Quatas W hatt bts alst dass d lasssh shbu s ysts lh u Gall d quathash shbu dastllt. I all uabhä whslwus lh st d Haltat u tlhat. D Lösu all ds Kastttals ab dst Iuls ud ustäd ü d lh. I d Q-shbu üss w h d d lh t büsht. Ds üht u qualtat tshd wsh s aahl ud halbahl. D Quatahl s bt d ölh stllölht ds s a. D Wllut wd da u ; ds t lhs all lh t / auh t. bw. al b sh als Lösu ü das ltlhsyst dutwllut d tlhlösu. u lt ü lh t halbahl st d Wllut atsytsh bül. lhtaushu d.h. d Wllut whslt h h b lhtaushu. Ds st äqualt u aul atsystsh Wllut shwdt alls w lh d lh tlhut bst. atsytsh Wllut d sh als Labat dutwllut dastllt a als Dtat d...! Gshb wd taushu l bw. alt bt Ädu ds hs; w lh lh w l bt uslöshu d Wllut. ü lh t aahl s st d Wllut sytsh b lhtaushu. I ds all a jd tlhut hah bstt wd ö all lh lh ustad s. D quathash ustad st duh d ab d stusahl ü d tlhwllut haatst. ustad s ; s ;..{ s } D stu s tlhustads s a ü d Wt d ah ü s atülh ahl +. =Σ s ε s = Σ s s Gsat tsht d u üb all stusahl ultlt t d ; Gsatahl d lh tsht d u üb all stusahl.

64 6. hu d ustadssu ud stusahl Quatas D bbdu b lhahl shwt d hadlu Quatas duh d ash ustadssu. uh st ü l yst d lhahl ht b.. lasa ht. Dah wd d ßash ustadssu wdt. ü ß lhahl u. =<> aus d ßash ustadssu sd d bss äqualt. 6.. statst uähst all =/ ü d lhahl lt a baht dass d at d u d ahl d ölh ustäd =+ tsht. 6.. s-tatst uähst all = } { s stuahl ttl uabhä ab blb ü wd bstt hah ö ustäd......

65 ü d lhahl d s-st-tlu lt ttl stuahl t d Kts d ustadssu ü das dal s- ud -yst lass sh u thdyash Göß aush s.u stusahl als ut d äh lau d stusahl als ut ε -μ ü das s-st- -Da ud awll-lta-sbl. awll-lta s-st -Da ε -μ I all d s-lh da ü st ε das h. ttal μ u höhsts s sst wä ε -μ at ud dat wä auh d stusahl at ausstu wa dass stusahl >= sd. ü üd ß ε -μ>> st d stusahl tal u ltaat d a ü lasssh tlu awll-lta-tlu wat wüd. st b l ε -μ-wt wh -Da- ud s-st-tlu d lasssh tlu ab.

66 7. lsu D.. 7. düt Quatas uud d ustaushsyt b sh all ht whslwd lh bts Quattu w d ttl lhabstad d Gößdu d thsh Wlllä t. Ds Ktu ö ähusws als altwlu d Dht ds Gass quathash alt dastllt wd. ü lasssh dal Gas d düt al Gas =βμ<< lt =λ / d.h. übas lu lh st ß λ ud st la d Dht d lh. Ählh w b d altwlu ü das al lasssh Gas suh w wd twlu ds Lathus d ßash ustadssu t d uatät <<. s bt sh Id / dutt au das jwl h ü s bs h ud tatst h st d d lh W st thdyash Ls d uat üb Iuls duh Itat u. l duh ltalu. D twlu bs u quadatsh t lässt sh ut u das hsh ttal ähusws als ut d lhahl atu ud lu ausudü. u bshätu st w das Rsultat ü das lasssh dal Gas =λ / d quadatsh d twlu ü... 5/ t t d d h D h d t t..

67 D bshätu dutt a dass das hsh ttal ü s-lh ut d ü d awll-lta ud -lh lt. D lh thd a utt wd u u usdu ü t d lhdht u w u lässt sh altwlu / shb s lt J=-K =- lh t d lasssh dal Gas bwt das sas shba hu at alt t uhd Dht. D sah st ab ads bähl üba ustäd als b lasssh dal Gas ht hu. Ds bt Rll u sl sbald sat tl a ustäd b uhd Dht ht h höhsts ah bstt st u ut ds ausstu st d /! at u üshtu d utshdbat lh b d lasssh hadlu t. ü d alsh ustadslhu ud d Wäaatät lt t -> äht sh C ü das sas b ud ü das as ut a d Wt ü das lasssh dal Gas a. quadatsh Gas dals st 8 t as t sas q q q 8 C q

68 7. Idals sas b t atu s-st-kdsat t atu ttt ü dal s hasüba au. W hatt bts ststllt dass -u>= lt da sst at stusahl autt. ü st a u ü d Gwt -> u höhsts ull wd. W shb d ttl stusahl als tsh Rh [ ] l l l l W st d u üb d Iulsustäd duh Iulstal bts bsh h t d h ud ubsttut l ; d / d l l l / l Ra' sh l l d l / h d / l taut l / l t stlt =/ ud hält a lt stlu bw. μ als ut ud. ü -> wd λ ->. Da / dlh st uss / -> ud dat auh -> ud μ -> - h. abhd atu wähst λ ud dat auh / bw.. D Lösu t d aal Wt μ = bw. = /.6 / / al l. Ra ' sh taut hat sll dutu ud at tsh atu. s au ahlat tsht ds d du dass d thsh Wlllä d ttl lhabstad tsht. / / / D bsh hadlu lt allds Lösu uthalb μ a ht h wt ast. D Gud lt d ah dass d thdyash Ls Üba Iulssu -> Iulstal ü all aushd ut ähu dastllt.

69 I Ital / d ht d D / -> l das lult ht t d.h. b = d =π d bt sh u ta d d tsal bu = shwdt. D.h. d ta tauht a ht Ital au. D ta u Gudustad uss sdt bhadlt wd. sat s bt sh dst Übastatu ab d uhtl d lh d tst dst ustad übht. D tl wähst a bs au = b =. Ds t wd s-st-kdsat at 9 st hsat tll 995 t. /. / / / / / ;. ] [ / / / / / Od ü t lt t t ü ht st ab ü ü d h d h

70 8. lsu D Idals sas Gßashs ttal bw. uähst bh w usdu ü Lathus d ustadssu ds sass ü d sat atubh. Ds ölht us da d ab wt thdyash Göß. all saat da th. dyash Ls Itat h bts dsutt ; t d D ut Itats a wählt wd da Gudustad = u Ital hts btät. Das Ital lässt sh duh ubsttut = / / ud duh Rhtwlu ds Lathus als Ra sh taut lös. s lt 5/ d 5/ l l l 5/ l l l 5/ 8.. stu ds Gudustads aushd Kdsat W bh d ttl lhahl / / ü -> wd λ-> d.h. t sd atu wd d l d b Glhu blb ß. u d ht t d Glhu st d / -ut bshät au.6 d.h. d stu ds Gudustads tsht d st au d ht t d b Glhu wd dat u d Glhu u üll.

71 W utshd w äll a / I ds all a d ahlässt wd da duh ds ü sts blb l wd a da lt / / all b / I ds all a d. ht h ahlässt wd. W btaht d all ah ud st = ähl. Ds tsht d all dass λ > λ dab st λ ud dat auh duh d höhst ölh Wt / = bstt. t / / / ü d stu ds Gudustad t ε = lt ~ / 8.. hdyash Göß ds sass u lass sh thdyash Göß ds ssass bh. t J = - all ds ßash ttals lt t =/ ü d thsh ustadslhu 5/

72 tl ds Gudustads u ü λ>λ lat? s alt ü /- d ld usdu Da λ>λ lat h st d ähl usdu ü - bshät d a h sh ß wd d.h. -=- <<. ü ß slt als d st ü das dut Rll d wt t t u. uh slt d st ü d Rll Gudustad hat ε = Duh lh t d usdu ü / h d st w w d alsh ustadslhu ü das sas 8.. lt Glhu ü ud C W tw u lt Glhu ü ud C als ut d.h. / ud uähst ü < t = 5/ 5/ 5/ ' 5/ 5/ 5 / / 5/ / / 5/ 5/ / 5/ h h C h

73 ü d Gsatahl a lh alt C C b s 5 5 ü /.9 5 / / 5 / / Kdsat / / 5 / t s / ud lu s h Gas / s Kdsat / D lu d Gsatt tl ds Kdsats ud tl ds Gass lt dass u das Gas u t btät ab ht h das Kdsat das Kdsat hält sh sh w at a abslut ullut. Obhalb stt a 5/ duh 5/ ud hält da Glhu bslsws ü ud bhalb slt d Gudustad st ht Rll / h h / / 5/ 5/ 5/ 5/ I d uatät stt h d luabhät. b atu a allds d Du ht üb d Wt ü = st b ha. / s Gas h / 5/ 5/ Das bdutt außd dass ü < d Du uabhä lu st hät u h ab. D tsh atu hät d Dht bw. d ssh lu ds sass ab ud wa lt tal u -/. t tal 5/ lt tal -5/. Ds lt us --Daa ü b atu tshs sshs lu st ab d Kdsat stt ud = st lt uabhä lu. u lass sh d Isth --Daa s.

74 9. lsu.. 9. ltatshs tahlusld I s Hhlaus hwa Kö ltatsh Wll I s ubsh Hhlaus Lä L üll d Wlllhu w h ltd Radbdu a a a ab auh dsh Radbdu ah ud blb t Rau aus slh aubaut btaht t Dab st ψ atssh Kt.. ds ltsh lds. Lösusasat als b sthd Wll Wllahl d D Wllt t t t D t t t w D Wllahl a u dst Wt ah s dass d Wll d Hhlau ass t Kt a d G. tshd ü y L D Quatsu ds tahluslds bt sbl hash Osllat jd ölh sthd Wll tsht Osllat. Klasssh a jd Osllat blb ah. Quathash sd ab u dst Wt als lahs Gud = ħ w = ħ = jwls t tä ü ud bw. a duh ht bstt wd d hab Iuls d sh aus d latstsh bhu = + t = ü ht bt. w ht hab = ab tatusad = D tsht d lasat d Wll lat u usbtushtu. ü Lht lt ab d assalshat d.h. s bt ltudal lasat lat u usbtu ds wüd = tsh dah st d tatusad = ü ht. ü ustads- ud dht lt D d D d d ht ö ubshät ahl ut d htt wd bs hut u

75 ahl ull. I lu stllt sh b b atu htahl d d t d/d = dah st das hsh ttal μ=. ü d ustadssu bt sh μ-tl tällt ab s t üb d bsh bhadlt s ud h tl ds Gudustads dau / 9.. Gßashs ttal J w st d u duh Ital J d D tl u Gudustad jds Osllats dt ab da ds l ht d atu t. abhät a wt wlass wd w tss us ü Ädu d ustadssu b Ädu äuß aat. d J d t J t J 5 5 d 5 d J K Ltt Glhu ü d alsh ustadslhu d ht hßt auh ta-lta-gst. ht u duh h Iuls auh tahlusdu d u d atu ab ht lu abhät ählt ds Hsht d dal sas uthalb d tsh atu. ht u duh h Iuls auh tahlusdu ta lta Kst.

76 5 C dd la shs tahlusst Itss st w sh d au d ölh Osllatd qu ds tahluslds tlt d.h. d stal dht ds htass. ü d ahl a bstt ustäd lt d lt ü qu Itall w w dw w stal dht ultlat t w ud Ds duh u w d w w w dw w d D ltt Glhu st das la sh tahlusst. us d la sh tahlusst bt sh das W sh shbusst bül. ds aus d dht ħw a =.8. ü ħw<< bw. ħ-> lasssh Gall bt sh quadatsh st d t d qu Raylh-Jas-Gst tsht d lasssh watu. 9. Gttshwu h stö stö Kstall bstht aus läß adt lh D-Gtt. a a ähusws ah dass d lh hash hwu ad ausüh bdu duh d. ü slhs hashs yst t -htsad b sh alshwu ds tsh sthd hall-wll stö. d G ds stös sll Wllt l. D üst Wlllä st duh d bstad d d lh Gttstat bstt λ>=d. ü d ölh Wlllä d sthd Wll lt λ=d/ = d.h. shd qu bw. Wll. s bt d ölh hwushtu d lh lat u usbtushtu d Wll ltudal ud tassal hwusölht. D hwusustäd bld ssyst h t = tshd lasatsustäd. d

77 u lt ü d ahl d hwusd bt w lst ölh Wlllä t w a d w D w dw w D Ds lt us b G d ölh qu st st d hallshwdt d Wll stö h wd d ah aht dass jd lasatshtu d Wll d lh hallshwdt bt. Klasssh a jd hwusd hash Osllat ds Gtts blb wt ah. Quathash sd u dst Wt aal w b d ht ölh. Das yst d Gttshwu h bldt dals ssyst. ü d bt sh w dw d w t w D w D w dw w w D Das Ital u hu lässt sh duh Rhtwlu ds Itad lös. u lässt sh auh d Wäaatät ds stös als ut d atu bh Übusauab. s bt sh ü hh atu Wäaatät d asyttsh t / d Wt K ht Dul-tt Gst ud b d atu t = wähst Dby-dll. Das Dby-dll d Wäaatät stö stt ut t tll Dat üb.

78 . lsu 7... Das dal as Wht syst lt tall sbsd Ltuslt stt t t ht-shwdd Ks H sthys utst wß w I all st d aal stusad ustäd b üshtu ud Iuls =. D uatät st ht w b s au Wt ut bt sd a auh Wt öß ah. W hält sh dals -yst b shd Dht ud atu? Isbsd tsst us das halt b hh Dht ud d atu. a btahtt w b sas dalsts dllsyst d.h. d lh sd Kast t bstt Katlä shlss.. t dsh Radbdu. s b sh dst ölh Wllut bw. Iuls- d ustäd. al u hadlu ds sass btahtt a thdyash Ls das Ital üb all Iuls- d ustäd tlt duh das Rastlu. s lt h t y ; y / y / y dy y d y / y y dy D st d Glhu ü st ull. y / y y / dy dy 5/ y y 5 D ut 5/ hßt -Da-ut. ll lt ü d Italdastllu Ra sh taut ud -Da-ut y y y y dy dy

79 ü bstt h a a d ut auh als Rhtwlu shb ü ud dat ü bt sh als a aal Glhu w all ds s-ysts -Da-ut astll Ra sh taut. s lass sh wt thdyash Göß bh als ut -Da- ut. Ds sd da ut d uatät d w u shw b ö. a öht d uatät als ut äuß aat ausdü bw. aus d Glhu l. ü hh atu ht d tlu lasssh awll-lta-tlu üb. ü sh düt Gas << la us ahu sh duh Rhtwlu d uatät bw. d Dht ds Gass h tauh d ustadslhu u h ab ht au Itssat st u d all t atu ud hh Dht bw. >>. ü ds all st Rhtwlu ut hh t. I Gall = ht d tlusut d stu üba ustäd da tuut üb all ustäd bs u G sd bstt ud ustad üb ds au. a suht u d ut 5/ u ut t twas ad aabl uu ud daü da t Rhdastllu u d -> ldtwlu. Duh d talut st d Itad ü ß u atsh lh ull tät ht 5 / / / 5/ / / 5 / / 5 / l du u t dy y u u y y y

80 u Ital b. D albash tl st ü ß ν ud ü h u b d d talt wstlh ull shd st u lasa ädlh ut. D ut hu=-/ u + st ut d ah b u= stt Wt au d Wt whslt. D bltu d ut h`u= u / u + st u d ullut sytsh a-ut. u ö w lν duh atll Itat u l 8 l 5 u u / u du u 5 5 / h u du h u u h u du I d Italdastllu lν tw w d albash Itad. 5 / / l 8 l 5 u 5 / u u 5 / / u u du u 5 5/ 5/ h u du 5/ 5 / 5 u 8 h u 8 5 twlu st u ült ü l u. W utsuh d all ß ν. ü u-wt ü d d twlu shlht ähu als ßs u dastllt st h u s l dass s wstlh ta u Ital lt. a a als d Rhtwlu st ud d Itats au - bs wt. 8 l 5 5/ h u du / Ds twlu hßt ld-twlu. Das st Ital bt d Wt das wt st ull da d ut uad st das dtt Ital a a lös s bt d Wt π /. t bt sh lν 8 5/ 5 / l / l 8 5/ ü ttl lhahl D s w ähu ü >> st ü d hu thdyash Göß t ud laubt d lu bw. auh d u u hu ds hsh ttals. 5/ / u uh u du / /... 8 / / u 5 / u h u du... h u du

81 . lsu 9... W btaht uähst d öbst ähu als ut / / / Da λ tal t / wähst st das hsh ttal b öbst ähu tatuuabhä. / h / Das hsh ttal ds öbst ähu t a at u b =. = sd all ustäd bs u ah bstt all wt ustäd ubstt. l atu sd bh ~ u d at. lbst b = hab d h tsh ud Iuls das üht u Rstdu b = s.u... atuabhät ds hsh ttals a a u twas bss ähu ü das hsh ttal w a 5 a 5 / 5 / 8 / 5 8 / a Dau lös w d ltt Glhu ah au ud stt dau d jwls öbst ähu ü d höhst at t. / a 8 a a 8 / a / a 8 t d dst ähu ü a /

82 Ds bt u ähusws atuabhät ds hsh ttals / / / / I lasssh all st das hsh ttal ü das dal Gas at ud st t uhd atu. dal sas st s at ud ht ahu ull ab tsh atu. I all ds dal systs wd das hsh ttal b d atu st ud stt bs au d b =. D ähusausdu ü ö w jtt auh d usdu ü st aa 5 t a aa 5 5 / / / a 5 a / / 5 / 5 a a 8 / / 5 5 t D s w ustadslhu thsh ud alsh h ü ß ht d bat usdü ü das lasssh dal Gas üb sd als tatsählh u ü t atu ud >> ähusws ült. D a ausalt wd d ht d atu abhät ud d d uüllu all Iulsustäd bs u -Iuls b - tsht ud d quadatsh t d atu ut. Ittat dss s st dass u l d lh slh ah d +/- ~ b atuhöhu u btät s.u.. Ds tl st duh das hälts /ε bstt.. Ltuslt tall Ltuslt wd t ähusws als dals s ltas btahtt. Da sllt tall lasssh jd quadatsh htsad d lt ta.5 u Wäaatät l. s wd jdh tll

83 bbahtt dass b Rautatu ds ta d lt jdh sh l st. ü d Wäaatät ds dal ass b t atu lt C Ittat u ssh Wä tät u d uhtl π /ε d lt b d sh h d Gößdu u ε bd. D ad lt t aus ö w ds auls a ht at wd u duh l öß als. D Wäaatät t ah b Glhu la t d atu u C= b =. Daaus lt auh C=d/d=. ü lt tall a a d ahlwt d abshät. t ttl Wlä a..5 ü lt tall bt sh ε =.. Ds tsht d ttl thsh b atu twa 5 K. D.h. b Rautatu st d tatsählh l öß als. Das bdutt dass d lt w tll ud u l ta u C l lh u ta d h b Rautatu. st b atu b d d ta d h t bt abus übwt d la ta d lt.. du I Gsat u lasssh Gas d u dal sas ht d Du ds ass ü -> ht ull sd dlh Wt d a du t D du st tshdd ü d tabltät d at ud stllt.. utst d wß w lt Gdu u Gatatsdu da hdt Kllas. t stht.. lt lu =/ b = u üu. u Gud d shälat hat s da bstt tsh dst. das lu wt abus uss d tsh ast dt btslstu. aaatsus ähst bshtt.