EXPERIMENTELLE PHYSIK IV. Statistik-Thermodynamik- Festkörperphysik

Transkript

1 EXPERIMENTELLE PHYSIK IV Statistik-Thermodynamik- Festkörperphysik Skriptum zur Vorlesung von Ao. Univ.-Prof. Dr. Wolfgang Pfeiler Autoren: Sebastian Stefanitsch, Manuel Bahr Skript wurde großteils übernommen aus SS07, Autor: Georg Kopsky

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3 HINWEIS: Dieses Skript wurde, mit freundlicher Erlaubnis von Georg Kopsky, großteils von seinem SS07 Skript übernommen. Dieses Skript ist rein zur Unterstützung für die Vorlesung Einführung in die Physik IV gedacht und hat keinen kommerziellen Zweck. Alle Bilder die in diesem Skriptum vorkommen wurden, wenn nicht anders gekennzeichnet, aus den Vorlesungsfolien entnommen. Falls bestimmte Bilder gegen das Urheberrecht verstoßen, bitte ich Sie, mich darauf hinzuweisen und ich werde es sofort aus dem Skript entfernen. Danksagungen: Sebastian Stefanitsch: Herzlicher Dank geht an Georg Kopsky, da ich mit seiner Erlaubnis sein Skript übernehmen durfte. Ich bedanke mich recht herzlich bei unseren Vorlesenden Prof. Dr. Wolfgang Pfeiler für die tolle und interessante Vorlesung und das er diesen sehr langwierigen Stoff mit viel Mühe uns Studenten schmackhafter machen konnte. Großer Dank geht auch an Manuel Bahr, da ich ohne ihm nie das Skript zusammenfassen hätte können, da er in der Vorlesung die Formeln und Zeichnungen mitgeschriebn und in LaTeX übernommen hat. Ausserdem hat er mich mit Verbesserungsvorschlägen und Fehlersuche unterstützt. An Dominik Dillhof das er mir seine Vorlesungsmitschrift zur Verfügung gestellt hat, um bestimmte Formulierungen und Formeln zu kontrollieren, oder ggf. ausbessern zu können.

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Statistische Physik Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundgriffe Die eindimensionale Zufallsbewegung (random walk Diffusion) Mittelwertbildung Die Gauß sche Wahrscheinlichkeitsverteilung Statistik von Vielteilchensystemen Mikroskopische Beschreibung des Systemzustandes, Zustandsraum statistisches Ensemble und Makrozustände Das grundlegende Postulat Mikrokanonische Zustandssumme und Berechnung der Wahrscheinlichkeit makroskopischer Parameter Teilchen im 3-dimensionalen Kasten Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Thermische Wechselwirkung zwischen makroskopischen Systemen Thermisches Gleichgewicht und Temperatur statistische Physik und Thermodynamik Systeme in Kontakt mit einem Wärmereservoir, kanonische Zustandssumme großkanonisches Ensemble Der Gleichverteilungssatz Quantenstatistik idealer Gase Die Abzählung der Zustände Die Maxwell-Boltzmann-Statistik Die Fermi-Dirac-Statistik (1926) Die Bose-Einstein-Statistik Quantenstatistik im klassischen Grenzfall Festkörperphysik Die chemische Bindung Die Typen der chemischen Bindung Mehratomige Moleküle, Kovalente Bindung Ionenkristalle Kovalente und metallische Kristalle Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Kristallgitter Die Struktur einfacher Kristalle Kristallographische Ebenen und Richtungen Das reziproke Gitter Beugung am Kristall Gitterfehler

6 2.3 Spezifische Wärme eines Festkörpers molare Größen Wärmekapazität und spezifische Wärme Die klassische Theorie für die spezifische Wärme der Festkörper Das Einstein-Modell (1906) Das Debye-Modell (1912) Die spezifische Wärme der Leitungselektronen Phononen: quantisierte Gitterschwingungen Potonen und Phononen, Erhaltungssätze

7 1 STATISTISCHE PHYSIK 1 1 Statistische Physik Nun wir haben uns im letzten Semester mit Systemen aus wenigen Teilchen beschäftigt (Atome, Systeme Nukleonen, Elementarteilchen) Statistische Physik beschäftigt sich aus Systemen mit vielen Teilchen (Gase, Flüssigkeiten, Photonensysteme) Wir unterscheiden zwischen mikroskopischen und makroskopischen Systeme: mikroskopisches Systeme: Dimension 1µm (Atomare Dimension) makroskopisches Systeme: sichtbar im Licht Mikroskop ( µm); ein System das aus vielen Atomen und Molekülen besteht makroskopische Parametern: Volumen, Temperatur, Druck, Magnetisierung Ereignis: Ergebnis einer Messung (des Zustands eines Systems) Beispiel: Energie eines Gasmolekühls (Energie in gew. E, Druckmessung, Wurf eines Würfels) Ereignis ist zufällig wenn es unter gewissen Bedingungen eintritt oder nicht eintritt. Eine Größe (Variable) ist dann zufällig, wenn sie unter bestimmten Bedingungen nur vom Zufall abhängig ist. Zufällige Größen charakterisieren wir durch die Wahrscheinlichkeiten (W) mit der ihre Werte auftreten. Die statistische Methode untersucht welche Regelmäßigkeiten fallen bei solchen Vorgängen aus vielen zufälligen Einzelereignissen auf. 1.1 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundgriffe Für die statistische Beschreibung werden im allgemeinen sogenannte Ensembles verwendet: Ensemble ist die Gesamtheit (= statistisches Kollektiv = Schar) einer großen Zahl N von gleichen präperierten (= gleichen Randbedingungen unterworfen) Systemen Frage: Mit welcher W tritt ein bestimmtes Ereignis auf? Entweder: oder je eine Messung an N gleichartigen Systemen Enseblemittel = Scharmittel N Messungen am selben System Zeitmittel Wenn der Systemzustand zeitunabhängig ist, dann folgt das beide Methoden gleichwertig sind. Ein System ist genau dann im Gleichgewicht, wenn das zugehörige Ensemble zeitunabhängig ist.

8 2 1.1 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung M... Anzahl der Möglichkeiten einander ausschließender Ergebnisse N... Gesamtzahl der Messungen N j... Anzahl der Messungen die das Ergebnis j liefern (j = 1, 2,..., M) Definieren: die relative Häufigkeit (für das Ergebnis j): h j = N j N 1 statistische Wahrscheinlichkeit (für das Ergebnis j): W j = lim h N j(n) = lim j N N N 1 Es gilt: M N j = N jede Messung muss ein Ergebnis aus M liefern N h j = 1 j=1 j=1 Additions und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten irgendeines von zwei einander ausschließenden Ereignissen i und j: N i oder j = N i + N j W i oder j = W i + W j... Additionssatz (1.1) Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige oder hintereinander in Serie auftretender zweier Ereignisse i, j die voneinander unabhängig sind: W i und j = W i W j... Multiplikationssatz (1.2) Wenn wir keine weiteren Annahmen machen können, können wir auch keine Vorhersagen über das Auftreten der M Ereignisse machen. Wenn wir aber die Annahme machen, das gleiche Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der M Ergebnisse (gleiche a priori..von vornherein - Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse) W j wird unabhängig von j: W j = 1 M = 1 Anzahl der möglichen Ereignisse

9 1 STATISTISCHE PHYSIK 3 Beispiel 1: Würfel: Anzahl der Ereignisse M = 6 = 1,2,3,4,5,6 Experiment: Machen 100 Würfe 17 mal 6 W 6 = = Würfe mit Augenzahl 3 W 3 = = 0.48 Beispiel 2: 10 Kugeln in einer Schachtel: 5 Rote, 3 Grüne, 2 Blaue Fragen uns wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass beim wahllosen hineingreifen die grüne Kugel gezogen wird?: Annahme: Wahrscheinlichkeit ist für jede Kugel gleich groß Additionssatz: W grün = = 0.3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Grüne oder Blaue erwischt wird?: Additionssatz: W grün = 0.3, W blau = 0.2 W grün + W blau = 0.5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zuerst grün, dann blau? W gr dann bl = W grün W blau = = 0.06 wenn grün zurück gelegt wird! Wenn grüne Kugel draussen: W 1 9 W gr dann bl = W grün W blau = = 0.067

10 4 1.1 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Die eindimensionale Zufallsbewegung (random walk Diffusion) Wir haben ein Teilchen welches eine Verschiebung vom Ursprung (auf x-achse) erfährt Nach N Verschiebungen der Länge l befindet sich das Teilchen dann an der Stelle x = m l (m ganz, N m N, N wenn nur Linkssprünge, N wenn nur Rechtssprünge) Frage: Wahrscheinlichkeit P N (m), dass Teilchen nach N Verschiebungen an bestimmter Stelle x = m l ist? n 1 Verschiebung nach rechts n 2 Verschiebung nach links N = n 1 + n 2 resultierende Verschiebung (in Einheiten von l): resultierende Verschiebung vom Ursprung: m = n 1 n 2 m = n 1 n 2 = n 1 (N n 1 ) = 2n 1 N (1.3) Aus (1.3) folgt natürlich sofort, dass m (un)gerade ist N (un)gerade ist. Unter der Annahme, dass aufeinanderfolgende Sprünge statistisch unabhängig sind und kein Einfluss der Vorgeschichte besteht, definieren wir uns p als die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung nach rechts und q = 1 p für dasselbe nach links. Für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Abfolge von Sprüngen benötigen wir nach dem vorigen Abschnitt das Produkt der Wahrscheinlichkeiten: p p p q q q = p n1 q n2 n 1 n 2 (Produktsatz kommt ins Spiel Abfolge von Rechtssprünge n 1 & Linkssprünge n 2 ) (1.4) Jetzt kommt die Kombinatorik ins Spiel. Die Kombination von n Elementen zu je m Teilen ohne Berücksichtigung der Anordnung ist ja bekanntlich gegeben durch: ( n m ) = n! m!(n m)! (1.5) Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Sprünge so auszuführen dass n 1 nach rechts und n 2 nach links? ( N n 1 ) = N! n 1!(N n 1 )! = N! n 1!n 2! (1.6)

11 1 STATISTISCHE PHYSIK 5 Die Wahrscheinlichkeit, also das Objekt nach insgesamt N Sprüngen an einer bestimmten Stelle zu finden ergibt sich durch das Produkt aus Anzahl der Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeit der Abfolge: P N (m) = W N (n 1 ) = N! n 1!n 2! pn 1 q n 2 = ( N n 1 ) p n 1 (1 p) N n 1 Das ist die altbekannte Binomialverteilung. (1.7) Durch n 1 = 1 2 (N +m) und n 2 = N n 1 = N 1 2 N 1 2 m = 1 2 (N m) lässt sich (1.7) anschreiben als: N! P N (m) = ( N+m 2 )! ( N m 2 )! p N+m 2 (1 p) N m 2 (1.8) Ein Spezialfall, nämlich die Gleichverteilung folgt aus p = q = 1 2 : N! P N (m) = ( N+m 2 )! ( N m 2 )! (1 2 ) N (1.9) Abbildung 1: Binomialverteilung W N (n 1 ) für N = 30, mit der Wahrscheinlichkeit p für einen Rechtssprung als Parameter zwischen 0 und 1. Nur für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, sonst ist die Verteilung um den Maximalwert asymmetrisch. Es zeigt sich jedoch, dass die Verteilung noch in einem sehr breiten Bereich um p = 0,5 annähern symmetrisch ist. Für sehr kleine und sehr große Werte von p (hier p = 0,05 und p = 0,95) geht die Verteilung in eine Poissonverteilung über.

12 6 1.1 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Näherungen: N! 2πN ( N e ) N... Sterling Näherung N! ( N e ) N... für große N (1.10) N! 2πN ( N e ) N e 1 12N... für kleine N Beispiel: N = 3 zunächst Abfolgen der Sprünge: 1. alle 3 nach rechts: n 1 = 3 3! 3!0! = nach rechts 1 nach links: n 1 = 2 3! 2!1! = 6/2 = nach rechts 2 nach links: n 1 = 1 3! 1!2! = 3 4. Analog zu 1 N! n 1!n 2! jetzt: Wahrscheinlichkeit das Teilchen nach 3 Sprüngen x = ml, p = q = 1 2 n 1 = 0, 1, 2, 3 m = 2n 1 N = 3, 1, 1, 3 P 3 (m) = W 3 (n 1 ) = 1 8, 3 8, 3 8, 1 8 P 3 ( 3) = 3! 0! ( 6 2 )! ( ) =1 = 1 8 (1.11) (1.12)

13 1 STATISTISCHE PHYSIK 7 Die Wahrscheinlichkeit das es an der Stelle 0 ist, ist nach mehreren Sprüngen höher, für die gleiche Wahrscheinlichkeit von Rechts- und Linkssprüngen. Abbildung 2: Veranschaulichung der acht Folgen möglicher Verschiebungen für den Fall N = 3. Abbildung 3: Binomiale Wahrscheinichkeitsverteilung für p = 0.6 und q = 0.4, wenn N = 20. Der Graph zeigt wieder die Wahrscheinlichkeit W (n 1 ) für n 1 Rechsverschiebungen bzw. die Wahrscheinlichkeit P (m) für die resultierende Verschiebung von m Einheiten nach rechts. Die Mittelwerte m und ( m) 2 sind ebenfalls gegeben.

14 8 1.1 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Abbildung 4: Die Binomialverteilung für p = q = 1/2 und N = 20. Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeit W N (n 1 ) für n 1 Rechtsverschiebungen bzw. die Wahrscheinlichkeit P N (m) für eine resultierende Verschiebung um m Einheiten nach rechts Mittelwertbildung Wir betrachten die Variable u, M diskrete Werte: u 1, u 2, u 3,..., u M und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten: P (u 1 ), P (u 2 ), P (u 3 ),... P (u M ) Definition Mittelwert: u = M i=1 P (u i)u i M i=1 P (u i) (1.13) Allgemein für eine Funktion f(u): f(u) = M i=1 P (u i)f(u i ) M i=1 P (u i) (1.14)

15 1 STATISTISCHE PHYSIK 9 Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit normiert im Intevall [0, 1], sodass: M i=1 wodurch der Nenner bei Gleichung (1.13) und (1.14) wegfällt. Für die Mittelwerte gilt: f(u) + g(u) = f(u) + g(u) cf(u) = cf(u), c R P (u i ) = 1 (1.15) Der Mittelwert u ist das Maß für den zentralen Wert von u. Die u i sind um u gestreut. Sehen wir uns noch die Abweichung vom Mittelwert u = u u an, so ergibt sich für normierte: u = (u u) = M i=1 M P (u i )(u u) = P (u i )u i u P (u i ) = u u = 0 (1.16) i=1 u Daher benötigen wir eine Größe für die Abweichung. Schwankungsquadrat (= Streuung = Varianz): M i=1 1 M ( u) 2 = P (u i ) (u i u) 2 0 u i = u i= u i = (u u) 2 = u 2 2uu + (u) 2 = u 2 2uu +(u) 2 2(u) 2 = u 2 (u) 2 u 2 (u) 2 (1.17) Daraus folgt nun die Definition der Standardabweichung: u = u = ( u) 2 mittlere quadratische Abweichung (1.18) Man beachte, dass im Allgemeinen u 2 (u) 2 ist (siehe (1.17)).

16 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Anwendung der Mittelwertbildung auf die Zufallsbewegung: Zuerst verifizieren wir die Normierungsbedingung der Wahrscheinlichkeitsverteilung W (n 1 ): N n 1 =0 N! n 1!(N n 1 )! pn 1 q n 1 N = binomischer Lehrsatz = (1 p + p) N = 1 (1.19) Nun betrachten wir die mittlere Zahl der Sprünge nach rechts n 1 : n 1 = Analog gilt das für n 2 = Nq N n 1 W (n 1 )n 1 = Schwankungsquadrat von n 1 : N n 1 =0 ( n 1 ) 2 = n 2 1 (n 1) 2 n 1 = Np (n 1 ) 2 = N 2 p 2 n 2 N 1 = W (n 1 ) n 2 1 = (n 1 ) 2 + Npq n 1 =0 N! n 1!(N n 1 )! pn 1 q n 1 N n 1 = pn (1.20) ( n 1 ) 2 = Npq = Np(1 p) Schwankungsquadrat (1.21) Daraus folgt n 1 + n 2 = N und für die mittlere Gesamtverschiebung: m = n 1 n 2 = N(p q). Die Standardabweichung, also n 1 ist hier ( n 1 ) 2 = Npq. Sie ist ein Maß für die Breite der Verteilung. Jetzt bilden wir noch die relative Breite der Verteilung W N (n 1 ): n 1 Nqp q q 1 N = = = 0 (1.22) n 1 Np Np p N Hier fließt das Gesetz der großen Zahlen ein. Man erkennt sofort, dass im Falle der Gleichverteilung, also p = q = 1 2 für die relative Breite gilt. n 1 n 1 1 N (1.23)

17 1 STATISTISCHE PHYSIK 11 Für resultierende Gesamtverschiebung m: ( m) 2 = 4( n 1 ) 2 = 4Npq = 2Np(1 p) ( m) 2 = N... für p = q = 1 2 (1.24) Abbildung 5: Beispiel für p = q = 1 2

18 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Gauß sche Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Binomialverteilung ist für große Zahlen aufgrund der Faktoriellen nur schwer handhabbar, daher wollen wir uns nun um die Entwicklung einer neuen Verteilung kümmern, die sozusagen große Zahlen erlaubt. Dies wird spätestens dann notwendig sein, wenn wir Systeme betrachten, die vielleicht Teilchen beinhalten. Wie in Abbildung 4 zu erkennen ist, hat W (n 1 ) ein ausgeprägtes Maximum bei W (n max ). Daraus ergeben sich zwei Dinge: 1. W (n 1 ) ist unbedeutend für ein n 1, das weit weg ist von n max, daher studieren wir in der Folge W (n 1 ) nur in der Umgebung von n max. 2. Es ergibt sich, dass weder n 1 = 0, noch n 1 = N, wenn nicht p 0 und oder q 0. D.h.: Wenn N groß ist, dann liegt n 1 im Bereich von n max. Damit dies gilt, muss sein. W (n1 + 1) W (n 1 ) << W (n 1 ) Anders ausgedrückt, variiert W sehr langsam in einer kleinen Umgebung von n max. Wir betrachten aus diesen Gründen W als stetige Funktion von n 1 Was uns jetzt zugute kommt, ist der Umstand, dass ln W sehr viel langsamer variiert als W selbst, weswegen wir eine gute Näherung für ln W (n 1 ) im Bereich n 1 n max suchen. Setzen wir also den Logarithmus in die Binomialverteilung ein und setzen die Ableitung = 0 d ln x! und verwenden die (gute!) Näherung dx ln x. So ergibt sich das Maximum bei n 1 = Np = n 1 (1.25) Jetzt untersuchen wir das Verhalten von ln W in der Gegend des Maximums, also führen wir eine Taylorreihenentwicklung um n durch: ln W (n 1 ) = ln W (n 1 ) + d ln W (n 1 n 1 ) + 1 dn 1 n 1 2! =0 d 2 ln W dn 2 1 n 1 (n 1 n 1 ) (1.26)

19 1 STATISTISCHE PHYSIK 13 Man erkennt (oder auch nicht), dass d 2 ln W dn 2 1 N = n 1 (N n 1 ) (1.27) und an der Stelle n 1 = n 1 gilt n 1 = Np, sodass sich schreiben lässt: ln W (n 1 ) = ln W (n 1 ) (n 1 n 1 ) 2 2Npq (1.28) Bringt man schlußendlich noch den ln (mithilfe der Exponentialfunktion) weg, ergibt sich die bekannte GAUSS- oder Normalverteilung: W (n 1 ) = W e (n 1 n 1 ) 2 2Npq... W = const (1.29) Diese Verteilung geht natürlich gegen 0 für große (n 1 n 1 ). Machen wir uns nun noch daran, die Konstante W zu berechnen. Wie so oft erhält man diese aus einer Normierungsbedingung, wie in diesem Falle N W N (n 1 ) = 1 (1.30) n i =0 Wie wir bereits gesehen (oder besser gehofft) haben, ändert sich W N (n 1 ) kaum, wenn n 1 um 1 erhöht wird, d.h. wir können die Summe getrost durch ein Integral ersetzen. W N (n 1 ) dn 1 = W e (n 1 n 1 )2 2Npq dn 1 = W e y 2 2Npq dy = 1 (1.31) Dabei handelt es sich um ein Gauss sches Integral, dessen Lösung einfach π a für die Konstante: ist. Somit folgt W = 1 2πNpq (1.32) Wenn Schrittlänge l klein gegen kleinste Länge L des physikalischen Problems (Beispiel: Sprunglänge im Festkörper Gitterkonstante) beobachtbare Länge L µm P (m) als konstante Funktion der Variablen x, x wird konstante Variable im mirkoskopischen Maßstab. also: dx ist mikroskopisch groß, aber makroskopisch klein m = 2n 1 N m nimmt ganzahlige Werte im Abstand m = 2 in jeden Intervall dx liegen dx 2l Werte

20 Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung Man kann die Gaussverteilung auch über die Mittelwerte formulieren, was zur sogenannten Standardform führt. Dabei schreibt man die Verteilung unter Verwendung der Mittelwerte an und fragt nach P N (m), wobei m die effektive Verschiebung ist. Danach fragt man sich nach der Wahrscheinlichkeit, das Objekt nach insgesamt N Sprüngen im Intervall [x, x + dx] zu finden. und das zur gewünschten Stan- Das führt nach kurzer Überlegung auf P (x)dx = P N (m) dx 2l dardform der Gaussverteilung: 1 P N (m) = e [m N(p q)] 2 8Npq (1.33) 2πNpq P (x)dx = dx 2l P N(m) = 1 1 e [m N(p q)] 2 8Npq dx 2l 2πNpq = 1 2πσ 2 (x x) 2 e 2σ 2 dx hier ist σ = n 1 (1.34) mit σ = 2l Npq und x = P (x)xdx P (x) ist Wahrscheinlichkeitsdichte = Vertreilungsdichte Die Verteilung ist Maximal bei x = x. Die Schärfe des Maximums wird durch σ bestimmt. σ 2 = (x x) 2... Schwankungsquadrat = Varianz σ... Standardabweichung x h... Funktionswert wenn P(x) auf die Hälfte gefallen x h = 2(x h x) = 2 2 ln 2 σ = σ 1 es gilt: P (x) x h = σ 2π 2 2 ln 2 σ = 2 ln 2 = const. π kleine Halbwärtsbreite hohes Maximum und umgekehrt Für p << 1 q 1 Näherung für n << N, in diesem Fall ist sie die Poisson-Verteilung: W N (n 1 ) = λn 1 n 1! e λ... λ = n 1 = Np (1.35)

21 1 STATISTISCHE PHYSIK 15 λ bestimmt allein die Form der Verteilung! Abbildung 6: Die Wahrscheinlichkeit P (m) für eine resultierende Verschiebung nach rechts um m Einheiten, wenn die Gesamtzahl N der Einzelverschiebungen sehr groß und die Verschiebungslänge l sehr klein ist. 1.2 Statistik von Vielteilchensystemen Wie schon der Titel sagt, wollen wir in diesem Kapitel Systeme beschreiben, die aus vielen Teilchen bestehen. Wir wollen thermodynamische Gesetze aus statistischer Beschreibung gewinnen. Insbesondere werden wir folgende Punkte eingehender behandeln: Eine Beschreibung des Systemzustandes Von statistischen Ensembles zu Wahrscheinlichkeitsaussagen Das grundlegende Postulat der statistischen Physik und Die dazu notwendige Wahrscheinlichkeitsrechnung Mikroskopische Beschreibung des Systemzustandes, Zustandsraum Die hier betrachteten Systeme sind z.b. gekoppelte Oszillatoren, Gase, Fluide, Festkörper, u.v.m. Daraus folgt, dass die hier zu behandelnden Teilchen z.b. e, Atome, Moleküle,..., sind.

22 Statistik von Vielteilchensystemen In der Quantenmechanik werden wir den Teilchen Wellenfunktionen zuordnen müssen, d.h. ein System wird durch einen Satz von Quantenzahlen charakterisiert. Ein spezieller Mikrozustand ist dann gegeben durch r = (n 1, n 2,..., n f ) (n f sind QZ des Systems), wobei f die Zahl der Freiheitsgrade des Systems ist. Mikrozustand eines Systems ist festgelegt durch Angabe seines Quantenzustands (QZ, die seinen Zustand festlegt). Beispiele: 1. Ein ortsfestes Teilchen mit s = 1/2. Der Zustand ist also durch eine Quantenzahl gegeben, das entspricht einem Freiheitsgrad mit den zwei möglichen Werten bzw.. (z.b.: im B-Feld hat es zwei Einstellmöglichkeiten) 2. N Teilchen mit festem Ort und s = 1/2. Hier wird der Systemzustand durch N Quantenzahlen festgelegt. N QZ: m 1,..., m N 3. Der ortsfeste dreidimensionale harmonische Oszillator: Der Zustand wird durch die Energie festgelegt: E n = hω(n + 1/2). Das bedeutet, er hat einen Freiheitsgrad, gegeben durch n = 0, 1, N (schwach) gekoppelte Oszillatoren: Hier gibt es N Quantenzahlen, die den Systemzustand beschreiben. Gesamtenergie E = E n1 + E n2 + + E nn 5. Ein Teilchen ohne Spin, kräftefrei in 3 dim. Potential Topf mit eindimensionaler Breite L E n = h 2 π 2 2mL 2 n 2, n = 1, 2, 3,... jetzt 3-Dim: 0 x, y, z L x, L y, L z E = h 2 π 2 2m ( n2 x L 2 + n2 y x L 2 y 6. N nicht wechselwirkende (WW) Teilchen im Volumen V = L 3 Gesamtenergie E = E E N Zustand festgelegt durch 3N QZ + n2 z L 2 ) (1.36) z (n 1x, n 1y, n 1z,..., n Nx, n Ny, n Nz ) (1.37)

23 1 STATISTISCHE PHYSIK 17 Klassische Beschreibung des Systemzustandes Wir betrachten ein einzelnes Teilchen in einer Dimension. Die vollständige Beschreibung gelingt durch die Ortskoordinaten q und die zugehörigen Impulse p. Wird bilden Zellen gleichen Volumens (hier gleiche Fläche), dies ergibt einen 2-dimensionalen Phasenraum des Systems. Der Punkt (q(t), p(t)) (p und q sind kontinuierliche Größen) ist der repräsentative Punkt, der sich im Phasenraum bewegt. Abbildung 7: Phasenraum in Zellen gleicher Flächen δp δq = h 0 geteilt. h 0 hat die Dimension eines Drehimpulses, also einer Wirkung (hat Einheit [Js] und ist ein Skalar, kein Vektor) (aus Kopskyskript entnommen h 0 = δpδq = F δtδq = F δq E δt = Eδt (F = δp δt ) (1.38) Der Systemzustand liegt im Intervall [q, q + dq] und [p, p + dp], d.h. der repräsentative Punkt befindet sich in einer Zelle des Phasenraums (In Abbildung 7 eine Fläche). Klassisch kann h 0 beliebig klein gewählt werden, in der Quantenmechanik gilt aber die Heisenberg sche Unschärferelation dp dq h 2. Jetzt betrachten wir ein Vielteilchensystem: Dieses besteht aus N Teilchen, wo ein Teilchen f Ortskoordinaten (q 1,..., q f ) besitzt und dazugehörige Impulse (p 1,..., p f ), somit gibt es 2f Parameter, die das Teilchen beschreibt. Daraus folgt für ein Vielteilchensystem das es f N = Nf Freiheitsgrade und 2f N = 2Nf Parameter besitzt.

24 Statistik von Vielteilchensystemen Beispiel: Sei ein System von N Massenpunkten: Jedes Teilchen hat 3 Ortskoordinaten, woraus folgt das f N = 3N ist, und somit 2f N = 6N Parameter für die Beschreibung des Systems besitzt. (z.b.: ideales Gas (keine WW)) Die mikroskopischen Orts- und Impulskoordinaten sind Koordinaten eines i.a. hochdimensionalen (nämlich 2f) Phasenraum. Dieser Phasenraum wird auch Zustandsraum, Gibb scher Phasenraum oder Γ-Raum (Γ = Gamma) genannt. Γ = q 1,..., q f, p 1,..., p f Einem Mikrozustand wird also ein Punkt im Phasenraum zugeordnet. Erinnern wir uns an die vorhin besprochene Zelle des Phasenraums, so besteht hier durchaus ein klassisches Analogon zu Quantenzuständen, bei denen alle möglichen Zustände durch die Quantenzahlen durchnumeriert werden. Zelleinteilung: δq 1 δq f δp 1 δp f = h f 0 (2π h) f (1.39) klassischer Mikrozustand: r(q 1,..., q f, p 1,..., p f ) (1.40) Beschreibung ähnlich zur QM: Eine Zelle r im Phasenraum Γ ist klassisches Analogon zum Quantenzustand r

25 1 STATISTISCHE PHYSIK statistisches Ensemble und Makrozustände Der Makrozustand eines Systems wird durch äußere Parameter, wie z.b. Energie, Volumen usw. festgelegt. Zu jedem Makrozustand gehören sehr viele Mikrozustände, nämlich all jene, die gleiche äußere Parameter besitzen. Nehmen wir viele gleiche Systeme her. Diese seien im selben Makrozustand. Die Mikrozustände sind i.a. verschieden. Jetzt bilden wir das sogenannte statistische Ensemble, durch das genau ein Makrozustand repräsentiert wird. Das statistische Ensemble ist also die Menge der repräsentativen Punkte im Phasenraum. Anders ausgedrückt: Nehmen wir an, wir haben ein ideales Gas, bestehend aus 2 Atomen. Es gibt genau 2 Punkte auf einer Geraden, wo sie sich befinden können. In einem Fall wird das erste links und das zweite rechts sitzen, im zweiten Fall umgekehrt. In beiden Fällen hat das Gas denselben Druck, die selbe Temperatur, etc.. Es gibt also zwei Mikrozustände, die zum selben Makrozustand führen. Wir benötigen noch den Begriff der zugänglichen Zustände des Systems. Das sind Mikrozustände, die mit den äußeren Parametern verträglich sind. D.h. Ein Makrozustand ist charakterisiert durch die Wahrscheinlichkeit P r für das Auftreten eines gewissen Mikrozustandes r. P r = (P 1, P 2,... ) Frage: Wie groß ist das P r? Früher: Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses j aus N Messungen (Versuchen): N j W j = lim N N N j N (1.41) Jetzt: M gleichartige Systeme In Mikrozustand r seien M r der M Systeme M r P r = lim M M M r M... wenn M hinreichend groß (1.42) Makrozustand: nur durch Wahrscheinlichkeit seiner zugänglichen Mikrozuständen gegeben, also mit den Wahrscheinlichkeiten mit denen der Systemzustand mit einem der zugänglichen Mirkozustände übereinstimmt.

26 Statistik von Vielteilchensystemen Das grundlegende Postulat Wir betrachten ein isoliert abgeschlossenes System. Dieses tauscht ja bekanntlich keine Energie mit seiner Umgebung aus, d.h. degesamt dt = 0. Man kann dieses System also durch seine Energie E, bzw. durch ein Energieintervall [E, E + de] charakterisieren. Daraus folgt, dass alle dem System zugänglichen Mikrozustände diese Energie haben müssen. Weiters findet man bei der Betrachtung eines isolierten Systems im Gleichgewicht, dass die Wahrscheinlichkeit, das System in einem gewissen Mikrozustand zu finden, zeitunabhängig ist, sowie auch die makroskopischen Parameter zeitunabhängig sind. Wir wissen jetzt, dass das System in einem seiner zugänglichen Zustände, vereinbar mit E r ist. Postulat: DAS GRUNDLEGENDE POSTULAT DER STATISTISCHEN PHYSIK BESAGT, DASS JEDER DER ZUGÄNGLICHEN MIKROZUSTÄNDE, EINES ABGESCHLOSSENEN SYSTEMS IM GLEICHGE- WICHT, MIT GLEICHER WAHRSCHEINLICHKEIT AUFTRITT. Dieses grundlegende Postulat der gleichen a-priori-wahrscheinlichkeiten 1 erlaubt es uns, eine Verbindung herzustellen zwischen mikroskopischen Strukturen und makroskopischen Größen Mikrokanonische Zustandssumme und Berechnung der Wahrscheinlichkeit makroskopischer Parameter System im Gleichgewicht Gesamtenergie erhalten alle zugänglich Mikrozustände mit Gesamteenergie vereinbar. Energie ist nur mit endlicher Genauigkeit bestimmbar. Da die Energie nur mit endlicher Genauigkeit messbar ist und das liegt, wie wir wissen, nicht nur an der Geschicklichkeit eines Experimentators, definieren wir uns die mikrokanonische Zustandssumme als die Menge aller Mikrozustände, die für ein System mit E = E δe, E zugänglich sind. Ω(E) = 1... mikrokanonische Zustandssumme (1.43) r E δe E r E 1 lateinisch a von... her und lateinisch prior der vordere; also von vornherein

27 1 STATISTISCHE PHYSIK 21 Ω(E): Zustände zwischen E δe und E, abhängig von δe wählen δe: mikroskopisch groß (z.b E-Differenzen des E-Niveaus) makroskopisch klein (Gesamt-E) für große Teilchenzahlen ist Ω(E) eine konstante Funktion. Entwicklung nach Potenzen von δe δe klein nur linearer Term Ω(E) δe Ω(E) = ρ(e)δe + O([δE] 2 ) (ρ(e) Zustandsdichte unabhängig von δe) Das grundlegende Postulat sagt uns ja, dass alle Mikrozustände Ω(E) gleichwahrscheinlich sind. Das führt uns auf: 1 Ω(E)... E δe E r E P r = 0... sonst... mikrokanonische Verteilung (1.44) Da ein Makrozustand ja gegeben ist durch P r = (P 1, P 2,... ), liegt es auf der Hand, dass ein Makrozustand umso wahrscheinlicher ist, je mehr Mikrozustände er zulässt. Machen wir uns also jetzt daran, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten makroskopischer Parameter im Ensemble zu berechnen. Sei y ein beliebiger äußerer Parameter (z.b. Druck oder magnetisches Moment,... ). Dieser Parameter kann die Werte y y 1, y 2,..., y n annehmen. Insgesamt gibt es Ω Mikrozustände im betrachteten System. Ω i davon führt darauf, dass y den Wert y i annimmt. Wir brauchen jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem der Zustände Ω i befindet. Nach dem grundlegenden Postulat hat jeder Zustand Ω i die Wahrscheinlichkeit 1/Ω. D.h. wir bilden 1 Ω i Ω = Ω i 1 Ω (1.45) Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer messbaren Größe y i : P r (y i ) = Ω i Ω = Ω i(e, y i ) Ω(E) (1.46)

28 Statistik von Vielteilchensystemen Makrozustand charakterisieren ist realisierbar durch gewisse Anzahl gleicherwahrscheinlicher Mikrozustände jener häufiger, der durch mehr Mikrozustände realisierbar ist Makrozustand ist umso wahrscheinlicher je mehr Mikrozustände er zulässt Aus der Definition des Mittelwertes folgt hier: y = und für das Schwankungsquadrat: Beispiel: ( y) 2 = n i=1 P r (y i ) y i = 1 Ω n i=1 n i=1 P r (y i )(y i y i ) 2 = 1 Ω Ω i y i (1.47) n i=1 Ω i (y i y i ) 2 (1.48) Gegeben seien 3 ortsfeste Spin 1 2-Teilchen. Die z-achse eines Magnetfeldes sei vorgegeben. Die potentielle Energie ist durch das magnetische Dipolmoment µb = E pot gegeben. Nehmen wir an, µ weise in/gegen die z-richtung für m = ± 1 2 Wählen Gesamt-E: µb System ist Gleichwahrscheinlich: (+ + ), (+ +), ( + +) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spin des 1. Teilchens nach oben weist? Ω i = 2, Ω = 3 Daraus folgt für P 1 (+) = 2 3 µ z in positive z-richtung vom 1.Teilchen? Ω = 3, y = µ z, daher 2 Werte: y 1 = +µ und y 2 = µ Die Anzahl der Zustände mit y 1 ist also Ω 1 = 2 und mit y 2 ist Ω 2 = 1. y = µ z = 1 3 (2µ + 1( µ)) = 1 3 µ

29 1 STATISTISCHE PHYSIK Teilchen im 3-dimensionalen Kasten Teilchen im Kastenpotential: Bilden wir einen 3D Kasten mit den Kanten: L x = L y = L z = L, so ist die Energie eines Teilchens darin durch die QM gegeben durch: E = h 2 π 2 2mL 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) n 2 x + n 2 y + n 2 z = L2 π 2 h 2 2mE = R2 (1.49) Wir bilden den Zustandsraum (aus den QZ) mit Achsen: n x, n y, n z Abbildung 8: The points indicate schematically in two dimensions the possible values of n x, n y, n z = 1, 2, 3, 4,... of the quantum numbers specifying the state of a single particle in three dimensions. (The n z axis points out of the paper.) The values of n x, n y, and n z corresponding to the energy values E and E + δe lie on the indicated spherical surfaces. The region in light gray includes all values of n which the energy of the particle is less than E. The region in dark gray includes all the values of n for which the energy lies between E and E + δe. Das gesuchte der Zustandssumme liegt zwischen E δe und E Formel (1.49) ist der Radius einer Kugel im n x n y n z Raum. Für eine gegebene Energie befinden sich die Werte n x, n y, n z auf einer Kugeloberfläche mit Radius R. Der gleich auftauchende Faktor 1/8 rührt daher, dass nur positive Werte von n i physikalisch sind und wir daher

30 Statistik von Vielteilchensystemen nur einen Kugeloktanten brauchen. Betrachten wir erst nur Zustände mit Φ(E) E, so folgt für sie: Φ(E) = 1 8 (4 3 πr3 ) = π 6 ( L π h ) 3 (2mE) 3 2 (1.50) Φ(E) = Gesamtzahl der Zustände mit Energie E Abbildung 9: Zweidimensionale Darstellung einer Kugel im Impulsraum für ein freies Teilchen der Masse m, das zwei Freiheitsgrade besitzt. Die Energie ist E = (2m) 1 (p 2 x + p 2 y), der Radius der Kugel R = (2mE) 1/2 Wie wir vorhin gesehen haben, gilt Ω(E) = Φ(E) Φ(E δe) (Wählen δe mikroskopisch groß, aber makroskopisch klein Ω(E) stetige, kontinuierliche Funktion), und damit dω de Daraus folgt nach der Durchführung des Limes: = Φ(E) Φ(E δe) δe (1.51) Ω = dφ δe (1.52) de wobei wir den Differentialquotienten definieren als ρ(e) und als Zustandsdichte bezeichnen. Für die mikrokanonische Gesamtheit folgt dann insgesamt (mit V = L 3 ): Ω(E) = 3 π 2 6 ( L 3 π h ) (2mE) 1 V 2 2mδE = 4π 2 h 3 (2m) E 2 δe (1.53) Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass ρ(e) E ist.

31 1 STATISTISCHE PHYSIK Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Energieniveus sind auch von x = (x 1,..., x n ) abhängig. E r = E r (x 1,..., x n ) Mikrozustand: r = (n 1,..., n f ), für x = (x 1,..., x n ). Makrozustand: Satz von Wahrscheinlichkeiten P r = (P 1,..., P n ), für x = (x 1,..., x n ). Durch Änderung der äußeren Parameter ändern sich auch die Mikro- und Makrozustände Thermische Wechselwirkung zwischen makroskopischen Systemen Wir betrachten 2 Systeme A 1 und A 2 mit der Energie E 1 und E 2, die in Einheiten von δe skaliert ist. Die zugänglichen Zustände seien: A 1 Ω(E 1 ), E 1 δe E 1r E 1 A 2 Ω(E 2 ), E 2 δe E 2r E 2 Es seien zwar die äußeren Parameter x i fest, aber die Systeme NICHT voneinander isoliert, d.h. ein Energieaustausch zwischen A 1 und A 2 ist möglich. Aus diesem Grund betrachten wir ein zusammengesetztes System A A 1 + A 2 mit E = E 1 + E 2 = const. Wenn E 1 also von A 1 gegeben ist, folgt daraus E 2 = E E 1. Treffen wir die Annahme, dass A 1 mit A 2 im Gleichgewicht ist, so ist zwingend auch A im Gleichgewicht und daher ist das grundlegende Postulat anwendbar auf A. Frage: Was ist Wahrscheinlichkeit P (E), dass A 1 den Wert E 1 hat, wodurch A 2 den Wert E 2 = E E 1 hätte? Laut Voraussetzung sind alle zugänglichen Zustände von A gleichwahrscheinlich, was einer Zustandssumme Ω total entspricht. Unsere Frage muss daher lauten: Wieviele Mikrozustände Ω (E 1 ) erlauben, dass A 1 den Wert E 1 hat? Dies können wir bereits beantworten: P (E 1 ) = Ω (E 1 ) Ω total = c Ω (E 1 ) mit c = 1 Ω total (1.54)

32 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Bleibt nur noch nach Ω (E 1 ) zu fragen. Bei gleichzeitigem Auftreten hat A 1... E 1 zugängliche Zustände Ω 1 (E 1 ) und A 2... E 2 = E E 1 zugängliche Zustände Ω 2 (E E 1 ) Jeder zugängliche Zustand von A 1 und A 2 trägt zu den zugänglichen Zuständen von A bei. Zugänglicher Zustand von A bedeutet gleichzeitige Auftreten eines Zustands vona 1 und A 2 Multiplikationssatz. woraus folgt, dass Ω (E 1 ) = Ω 1 (E 1 ) Ω 2 (E E 1 ) und somit P (E 1 ) = c Ω 1 (E 1 ) Ω 2 (E E 1 ) (1.55) Frage: Wie sieht es nun aus mit P (E 1 ) als Funktion f(e 1 )? A 1, A 2 sind makroskopische Systeme sehr viele Freiheitsgrade. Ω 1 (E 1 ), Ω 2 (E) wachsen sehr schnell mit E 1 und E 2 (Kugelvolumen). Wenn E 1 wächst, steigt Ω 1 (E 1 ) sehr stark und Ω 1 (E 2 ) fällt sehr stark. P (E 1 ) steigt für große Systeme scharfes Maximum. (a) Enumeration of the possible numbers of states compatible with a specified total energy E = 13 of the systems A and A described in abb. Abb 11 (b). (b) Schematic illustration showing the dependence of the probability P (E) on the Energy E. Abbildung 10

33 1 STATISTISCHE PHYSIK 27 (a) (b) Graphs showing, in the case of two special and very small systems A and A, the number of states Ω(E) accessible to A and the number of states Ω (E ) accessible to A as function of their respective energies E and E. The energies are measured in therms of an arbitrary unit; only a few values of Ω(E) and Ω (E) are shown. Abbildung 11 Ω 1 (E 1 ) und Ω 2 (E 2 ) wachsen ja enorm mit E 1. Bei konstantem E steigt Ω 1 (E 1 ) mit E 1 und fällt Ω 2 (E E). Daraus folgt, dass P (E) ein ausgeprägtes Maximum bei, sagen wir Ê mit Breite E << E 1 hat. Begeben wir uns auf die Suche nach diesem Maximum. Zugute kommt uns hierbei, dass ln(p (E)) viel schwächer variiert, als P (E), so kommen wir auf: ln P (E 1 ) = ln(c) + ln(ω 1 (E 1 )) + ln(ω 2 (E 2 )) (1.56) Wobei wir uns nochmal in Erinnerung rufen, dass Ê1, Ê2 die Energiewerte von A 1, A 2 für P (E) = max sind. Es gilt also: β 1 (Ê1) = β 2 (Ê2)... Bedingungsgleichung (1.57)

34 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme mit β 1 (E 1 ) = ln Ω 1 E 1 = 1 Ω 1 Ω 1 E 1 (1.58) β hat die Dimension einer reziproken Energie und veranlasst uns, einen neuen Parameter T so einzuführen, dass 1 T 1 kt 1 gilt. k hat die Dimension einer Energie und sei vorerst noch beliebig. Später werden wir finden, dass es sich hierbei um die Boltzmannkonstante handelt. Sei also β 1 = 1, dann können wir 1 T 1 anschreiben als: kt 1 = ln Ω 1 E 1 1 T 1 = k ln Ω 1 E 1 = S 1 E 1 (1.59) und schon haben wir eine bekannte Größe gefunden, die Entropie: S 1 = k ln Ω 1... Boltzmann sche Entropiegleichung (1.60) Wie man in Gleichung (1.60) sieht, ist sie das logarithmische Maß für die Anzahl der zugänglichen Zustände des Systems. Frage: Was hat das nun für Konsequenzen für unser P max (E 1 )? Wir müssen logarithmieren: Daraus folgt, dass: ln P (E 1 ) = ln c + ln Ω 1 (E 1 ) + ln Ω 2 (E 2 ) S 1 S 2 k k P (E 1 ) = max S = S 1 + S 2 = max (1.61) Nebenbei sei bemerkt, dass ja dann wie oben bereits gezeigt auch β 1 (Ê1) = β 2 (Ê2) gilt und 1 damit kt 1 = 1 kt 2 woraus folgt: T 1 = T 2 Also: A 1 hat genau die Energie, bei der S von A maximal ist. Nur dann ist das Gesamtsystem A so gleichmäßig wie möglich über alle zugänglichen Mikrozustände verteilt. Damit gibt es eine Größe, welche die Unordnung beschreibt. Diese Größe ist eben die Entropie. Sie ist ein Maß für die Unordnung eines makroskopischen Systems. Durch Gleichung (1.60) wird eine Verbindung hergestellt zwischen mikroskopischer Struktur (Ω 1 ) und den makroskopischen Messgrößen S 1 und T 1. Sie ist eine der zentralen Gleichungen der statistischen Physik und wurde 1877 von Ludwig Boltzmann aufgestellt. heißt: System über größtmögliche Zahl von Mikrozustandes verteilt gleichmäßigste Verteilung der makroskopischen Systems auf seine zugängliche Mikrozustände

35 1 STATISTISCHE PHYSIK 29 Mikrozustand maximal unbestimmt System im Zustand maximaler Unrodnung Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Makroskopischen Systems Thermisches Gleichgewicht und Temperatur Wahrscheinlichkeit P (E 1 ) soll scharfes Maxima bei E 1 = Ẽ1 haben. Systeme in Kontakt: Gleichgewicht mit großer Wahrscheinlichkeit A 1 E 1 = Ẽ1 A 2 E 2 = E Ẽ1 Zeitpunkt t = 0 Systeme in Kontakt: A 1, E 1 0 A 2, E 2 0 i.a.: E 1 0, E2 0 unwahrscheinlich Energien für A Wartezeit t = t E 1 = Ẽ 1,..., sodass P (E 1 ) max. β 1 = β 1(E 1 ) = β 2 = E 1 und daraus folgt: T 1 = T 2 (1.62) P (E 1 ) ist max heißt: S ist max Anstreben von T 1 = T 2 heißt: Entropieaustausch erfolgt so, dass Gesamtentropie maximal wird. S 1 (E 1 ) + S 2 (E 2 ) S 1 (E 0 1) + S 2 (E 0 2) bzw. S 1 (E 1 ) S 1 (E 0 1) + S 2 (E 2 ) S 2 (E 0 2) = S 1 + S 2 0 Die Entropie eines abgeschlossenen Systems nimmt beim Anstreben des GG-Wertes immer zu. 2. HS der Thermodynamik aus statistischen Prinzipien abgeleitet

36 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Der Index soll die unendlichlange Wartezeit andeuten, bis sich die Systeme im Gleichgewicht befinden. Zwei Dinge sind zum Parameter β zu sagen: 1. Wenn zwei Systeme für sich im Gleichgewicht sind, aber β für beide denselben Wert hat, dann ist bereits ein Gleichgewicht erreicht und somit bei Kontakt auch kein Energieaustausch mehr im Gange. 2. Wenn der Wert von β aber nicht der gleiche ist, dann bleiben die Systeme solange nicht im Gleichgewicht, bis Gleichung (1.62) ereicht ist. Die folgende Bemerkung wird auch als 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik bezeichnet: Für drei Systeme A, B und C gilt: A ist in Kontakt und Gleichgewicht mit C β A = β C B ist in Kontakt und Gleichgewicht mit C β B = β C Daraus folgt: A und C sind im Gleichgewicht Wenden wir uns noch kurz dem Parameter T zu, so wissen wir Boyle-Mariotte: für festes T gilt: pv = const (... isotherm) Gay-Lussac: V T = const (... isobar) ideale Gasgleichung: pv = ct Ausdehnungskoeffzient: α = 1 V ( V T ) p = 1 V kin. Gastheorie: p = 1 N 3 V m v2 = C T c p = 1 T Frage: Wie können wir eine Temparaturskala entwickeln? Aus der kinetischen Gastheorie wissen wir, dass der Druck als Impulsübertragung anzusehen ist, also p = 1 N 3 V m v2, und damit pv = 2 3 N 1 2 m v2. E kin Setzen wir E kin = 3 2 kt (=kalorische Zustandsgleichung), so ist die Gesamtenergie E = 3 2 NkT. Wenn wir jetzt noch verlangen, dass T = 0 für E = 0 und in die ideale Gasgleichung pv = NkT (=thermische Zustandsgleichung), dann müssen wir uns nur noch entscheiden, ob wir T oder k festlegen. Wir halten uns an die Geschichte und legen k fest. Zwei Punkte der T -Skala liegen bereits fest, nämlich T = 0 und der Tripelpunkt von H 2 O bei 273, 16K. Sehen wir nochmal die ideale Gasgleichung an, nur diesmal mit Mol: p = νrt, wobei ν die Molzahl ist und R = 8, J mol K. Damit ist R N A k und damit k = (138066±0, 00006) J K wenn wir N A = (6, ± 23 Moleküle 0, ) 10 als Loschmidt-Zahl identifizieren. mol

37 1 STATISTISCHE PHYSIK statistische Physik und Thermodynamik Gehen von mikroskopischen Struktur aus, den Mikrozuständen. Frage: Wie kommen wir zu thermodynamischen Größen? Entscheidende Verbindung zwischen mikroskopischen Struktur eines Systems und der Thermodynamik, also makroskopischen Größen und ihren Beziehungen, stellt die Boltzmann sche Entropiegleichung (S = k ln Ω) dar. H(x) 1 E r (x) 2 Ω(E, x) 3 S(E, x) 4 T, X(E, x) 1. Die äußeren Parameter seien x = (x 1,..., x n ). QM: Wir bestimmen die Energieeigenwerte E r des Hamilton-Operators Ĥ(x). Das legt die Mikrozustände fest. klassisch: Funktion der Orts und Impulskoordinaten Hamilton-Funktion 2. Berechnung der Zustandsumme aller Zustände r, die mit E δe E r (x) E verträglich sind. Ω(E, x) = 1 r Summe r: Summen von f Termen über die QZ n i r = (n 1,..., n i ) f... Freiheitsgrade f klassisch: Summe Integral über Volumen im Phasenraum 3. Annahme: System isoliert und im Gleichgewicht: Grundlegendes Postulat. S = k ln Ω 1 Ω(E,x) E δe E r (x) E P r = 0 sonst 4. Wir benötigen den Begriff der Verallgemeinerten Kraft. Wenn 1 T = S(E, x) E die treibende Kraft für den Wärmeaustausch ist, dann ist X i = T S(E, x) Ω(E, x) = kt x i x i X i... verallgemeinerte Kraft zum äußeren Parameter

38 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme die verallgemeinerte Kraft für einen x i -Austausch. z.b. hat X i die Dimension einer Kraft, wenn x i die Dimnension einer Länge hat. Wenn Gleichgewicht herrscht, dann gilt also für den Wärmeaustausch: gleiches T Volumenaustausch: gleiches P Teilchenaustausch: gleiches µ (chemisches Potential) x i -Austausch: gleiches X i

39 1 STATISTISCHE PHYSIK 33 Beispiel: ideales, einatomiges Gas äußere Parameter: V = L 3, N 1. Mikrozustände r mit Energie E r : QM: r = (n 1,..., n 3 N) E r (N, V ) = h 2 π 2 2mL 2 3N i=1 n 2 i (1.63) n i : QZ des i-ten Freiheitsgrad gleiche QZ für mehrere Teilchen zugelassen klassische Näherung klassisch: E = E kin = m 2 N 3 vij 2 i=1 i=1 3 Raumrichtungen (1.64) 2. Auswertung der Zustandssumme: ln Ω(E, V, N) = 3N 2 ln ( E N ) + N ln ( V ) + N ln c (1.65) N 3. Entropie: ln c = ln ĉ ln (2π 3 ) (1.66) S(E, V, N) = k ln Ω = 3 2 Nk ln ( E N ) + Nk ln ( V ) + Nk ln c N bilden 1 T = S E = 3 2 Nk 1 E E = 3 2 NkT... klassische Zustandsgleichung (1.67) X i T = S x i und P T = S V = Nk 1 V P V = NkT... thermische Zustandsgleichung (1.68)

40 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Systeme in Kontakt mit einem Wärmereservoir, kanonische Zustandssumme Abbildung 12: Großes Wärmebad A in Kontakt mit dem kleinen Wärmereservoir A. E ist konstant und die Temperatur T ist vorgegeben von A. (Gezeichnet von Manuel Bahr ) Frage: Wie groß ist Wahrscheinlichkeit P r, dass klassische System A in Kontakt mit groß A in einem bestimmten Mikrozustand r mit Energie E r ist? So teilen wir die Energieskalen in passend kleine Intervalle δe Ω (E ) ist die Anzahl der zugänglichen Mikrozustände für A, wenn seine Energie zwischen E δe und E liegt. Zusammengesetzte Systeme A = A + A ist isoliert E = const E liegt zwischen E δe, E Annahme: A sei in einem seiner zugänglichen Mikrozustände r mit E r E = E + E r, E = E E r Wenn A in einem seiner Mikrozustände ist, dann Anzahl der für A zugänglichen Zustände nur mehr durch zugänglichen Zustände von A bestimmt, wenn seine Energie im Intervall E δe = E E r δe und E = E E r!

41 1 STATISTISCHE PHYSIK 35 Die zugänglichen Zustände von A sind: Ω = Ω (E E r ) Grundlegendes Postulat: A gleichwahrscheinlich in jedem seiner zugänglichen Mikrozustände Wahrscheinlichkeit: A im Zustand r zu finden ist proportional zur Anzahl der Zustände von A wenn A in Zustand r: P r = C Ω = C Ω (E E r ) (1.69) C aus Normierungsbedingung: r P r = 1 Wir brauchen Ω! Annahme: A ist Wärmebad = Energie Reservoir sehr, sehr viele Freiheitsgrade E r << E E r << E also: E = E E r E rechnen aus: vorzügliche Näherung für Ω (E ) durch Entwicklung der schwach variierende Funktion ln Ω (E ) Taylorentwicklung: ln Ω (E E r ) = ln Ω (E ) ln Ω E E E ln Ω E = ln Ω E E E E r (1.70) ln Ω E = β = 1 E E kt (1.71) β von E r unabhängige Konstante. sagen β = β (lassen weg): konstanter Temperaturparameter des Wärmebades A bedeutet physikalisch: T des Wärmebades A ändert sich nicht beim Austausch kleiner Energieportionen mit A. Ω (E E r ) = Ω (E ) exp( βe r ) Ω (E ) const., hängt nicht von r ab ln Ω (E E r ) = ln Ω (E ) βe r P r = C Ω (E E r ) = Ce βer = Ce Er kt... Boltzmann-Verteilung (1.72)

42 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme r P r = C e βer = 1 C = r 1 r e βer P r = e βer r e Er e kt = βer r e Er kt... kanonische Verteilung (canonical distribution) exp( βe r ) = exp ( E r kt )... Boltzmann-Faktor Z(T ) = exp ( E r r kt )... kanonische Zustandssumme (canonical partition function) zugehöriges Ensemble: kanonisches Ensemble = Gibbs Ensemble kanonisches System A: ist in genau einen seiner zugänglichen Mikrozustände kanonisches System A = Wärmebad: ist in irgendeinem seiner sehr vielen zugänglichen Zustände Ω (E E r ) Ω (E ) wächst sehr stark mit E : β = ln Ω E > 0 je größer E r desto kleiner E damit sinkt stark die Zahl der zugänglichen Zustände für Ω es sinkt Wahrscheinlichkeit im Ensemble für Systeme mit hoher Energie E r sinkt entsprechend. Abbildung 13

43 1 STATISTISCHE PHYSIK 37 Abbildung 14: Schematic illustration showing the states accessible to a particular system A and to a special (rather small) heat reservoir A. The top diagram shows the energy levels coresponding to a few distinct states of A. The bottom diagram shows, for a few values of E, the number of states Ω (E ) accessible to A as function of its energy E. The energy is measured in terms of an arbitrary unit. Berechnung vom Mittelwerten y sei eine messbare Größe, im Mikrozustand r von A: y r y = r P r y r = r e Er kt r e Er kt y r 1 = Z(T ) r y r e Er kt (1.73) E = r P r E r = r e Er kt r e Er kt E r = r e βer E r Z(T ) = r e βer E r r e βer = ln Z(T ) β

44 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme großkanonisches Ensemble Wie im kanonischen Fall ist hier die Temperatur T vorgegeben. Zusätzlich statt N kommt nun auch µ (=chemisches Potential) ins Spiel. Gegeben ist ein System A (Wärmereservoir) mit festem Volumen V, das sich in thermischen Kontakt mit einem Reservoir A (Teilchenreservoir) befindet. Es besteht ein Energie- und Teilchenaustausch zwischen dem System und dem Reservoir. Wiederum betrachten wir das aus System und Reservoir zusammengesetzte System A = A + A. Also: Vorgegebeben: T und µ µ = T ( S N ) E,V Bei festen Volumen V tauscht A und A (Wärme- und Teilchenreservoir) E und N aus (Energie und Teilchen). Es liegt auf der Hand, dass die Gesamtteilchenzahl N = N + N = const. ist und ebenso die Gesamtenergie E = E + E = const. Jetzt fragen wir uns, wie groß die Wahrscheinlichkeit P r ist, dass sich das System A in einem speziellen Zustand r mit E r und N r befindet: Wenn A in einem speziellen Zustand r ist, dann sind die zugänglichen Zustände Ω durch die zugänglichen Zustände Ω gegeben, d.h. die Wahrscheinlichkeit A in r zu finden ist P r (E r, N r ) Ω (E E r, N N r ) (1.74) E = E + E = const N = N + N = const mit der Voraussetzung, dass A sehr klein ist gegen A, woraus folgt dass E r << E und N r << N E = E E ; N = N N r N. Das bedeutet, wir können ln Ω um E und N entwickeln: ln Ω (E E r, N N r ) = ln Ω ln Ω ln Ω (E, N) E E r E =E N N r O(ε N 2 ) (1.75) =N β= 1 βµ kt Frage: Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass wir System A im speziellen Mikrozustand r finden in E r und N r? A sei im speziellen Zustand r mit E r, N r. Die Anzahl der für A zugänglichen Mikrozuständen gegeben durch die Anzahl der den Reservoir A zugänglichen Zustände: in A Fundamental postuliert Ω = Ω (E E r, N N r ) (1.76) P r (E r, N r ) Ω (E E r, N N r ) (1.77)

45 1 STATISTISCHE PHYSIK 39 Die Ableitungen an der Stelle E und N bei V = const. sind Konstanten, die das Reservoir A kennzeichnen. ln Ω E = β = 1 V,E =E kt, ln Ω N V,N =N = βµ (1.78) P r (E r, N r ) = C Ω (E E r, N N r ) (1.79) = C Ω (E, N )e β(er µnr) = C 1 e β(er µnr) (1.80) Y Womit wir schon bei der großkanonischen Verteilung wären: Mit Y aus der Normierungsbedingung: P r = 1 Y e β(er µnr) (1.81) P r = 1 (1.82) Y (T, V, µ) = e β(er µnr) (1.83) r Diese Gleichung ist schon die großkanonische Zustandssumme. Sprechen wir noch kurz über das chemische Potential µ: Es ist die verallgemeinerte Kraft zum äußeren Parameter Teilchenzahl N. hier:... F ist freie Enerie... G ist freie Enthalpie X i T = S k ln Ω = x i x i ln Ω N = βµ = µ kt µ = T S N E,V = E N S,V = F N T,V = G N T,P Es hat die Dimension einer Energie und ist auch eine, nämlich die, die nötig ist einem isolierten System 1 Teilchen hinzuzufügen. Bevor wir den Gleichverteilungssatz studieren werden, fassen wir kurz zusammen: Die jeweiligen Verteilungen haben folgende Abhängigkeiten: P r = P r (E, V, N) mikrokanonisch P r = P r (T, V, N) kanonisch P r = P r(t, V, µ) großkanonisch

46 Thermische Wechselwirkung und repräsentative Ensembles physikalischer Systeme Für makroskopische Systeme fluktuiert P r um E und N. Ist somit vernachlässigbar welches Ensemble verwendet wird, da es im Falle des makroskopischen Systems praktisch keinen Unterschied gibt Der Gleichverteilungssatz Klassisch: Die Energie ist ja eine Funktion von f Koordinaten und f Impulsen, also Wobei q i, p i einen Phasenraum aufspannen. Häufig ist es so, dass E = E(q 1,..., q f, p 1,..., p f ) 1. E = ε i (p i ) + E (q 1,..., p f ), wobei ε i (p i ) nur abhängig von einer einzigen Impuls- oder Ortskoordinate. (Beispiel: E = E kin + E pot ) 2. ε i quadratisch in p i, also ε i = b p 2 i (b = const.) Beispiel harmonischer Oszillator: E = p2 x 2m k2 x Frage: Wie groß ist der Mittelwert ε i im thermischen Gleichgewicht? T = 1 kβ ist im thermischen Gleichgewicht vorgegeben. Das führt uns auf die kanonische Verteilung und die wiederum auf ε i = 1 kt... Gleichverteilungssatz (1.84) 2 Jede unabhängige Variable die quadratisch in die Gesamtenergie (Hamilton-Funktion eingeht, liefert den Beitrag 1/2kT zur mittleren Energie, wenn das System mit der Temperatur T im Gleichgewicht ist (= 1/2kT pro Freiheitsgrad). Beispiel: mittlere E kin eines einatomigen idelaen Gases: ε = 1 2m (p2 x + p 2 y + p 2 z) ε = 3 2 kt mit p 2 x 2m 1 2 kt = p2 y 2m 1 2 kt = p2 z 2m 1 2 kt 1 Mol des Gases E = N A ( 3 2 kt ) = 3 2 RT (R = N A k) c V = U T V = 3 R Dulong Petit 2

47 1 STATISTISCHE PHYSIK 41 Quantenmechanisch: E E Abbildung 15: [Gezeichnet von Manuel Bahr ] Bei diskrete Energie Niveaus mit höherer Energien nimmt der Abstand der Niveus ab. Für T groß wird E zwischen Niveus klein: E << kt Aber: Wenn kt T wird die klassische Beschreibung ungültig! Gleichung 1.84 gilt ausschließlich klassisch und führt bei quantenmechanischer Betrachtung zu falschen Ergebnissen! Man denke nur an das Strahlungsgesetz von Rayleigh und Jeans, das jeder Schwingungsmode im Hohlraum Gleichung 1.84 zuordnet. Wir wissen aus E3 das Planck mit seiner Interpretation richtig lag. 1.4 Quantenstatistik idealer Gase Klassisch: Wir betrachten zunächst 2 gleichartige Teilchen ohne Wechselwirkung. Klassisch gesehen sind sie durch ihre Teilchenbahn unterscheidbar und es können sich beliebig viele Teilchen im selben Einteilchenzustand befinden. Keine Bedingung an Wellenfunktion geknüpft. es gilt die Maxwell-Boltzmann Statistik Quantenmechanisch: Um die Sache zu vereinfachen, schauen wir uns die beiden Teilchen im Kasten an. Die zugehörige zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kennen wir: ( h 2 2m ( x 1 + x2 ) + (E V (x))) ψ(x 1, x 2 ) = 0 (1.85) Mit x 1, x 2 als Teilchenkoordinaten. Der Kasten hat ja 0 < x < L als Geometrie und das Potential innerhalb ist V = 0.

48 Quantenstatistik idealer Gase Die mögliche Lösung von Gleichung 1.85 ist das Produkt der Einteilchenwellenfunktion: ψ n,m (x 1, x 2 ) = ψ n (x 1 )ψ m (x 2 ) (1.86) Beispiel: n=1, m=2 ψ 1,2 = A sin ( πx 1 L ) sin ( πx 2 L ) (A ist Produkt aus den A n) Allgemein: ψ n = A n sin ( nπx L ) Wobei ψ n, ψ m die Wellenfunktion jeweils eines Teilchens ist mit der Energiequantenzahl n bzw. m. Aufgrund des Kastens ist ψ n = A n sin ( nπx L ). Das A n folgt aus der Normierung. Jetzt wollen wir folgendes wissen: Was ist die Wahrscheinlichkeit, Teilchen 1 in einer Umgebung dx 1 um x 2 und Teilchen 2 in einer Umgebung dx 2 um x 1 zu finden? Wir wissen, dass wir in diesem Fall das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten brauchen. Dies führt uns auf ψ n,m (x 1, x 2 ) 2 dx 1 dx 2 = ψ n (x 1 ) 2 dx 1 ψ m (x 2 ) 2 dx 2 Wenn wir eine geeignete Normierung voraussetzen, dann entspricht ja ψ 2 einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Das Problem ist, dass unsere Teilchen in Wirklichkeit aber ununterscheidbar sind (Unbestimmtheitsrelation), also identisch sind. Das Quadrat der Wellenfunktion ψ(x 1, x 2 ) 2 muss unter Vertauschung von x 1 und x 2 invariant bleiben. Also muss ψ(x 1, x 2 ) 2 = ψ(x 2, x 1 ) 2 (1.87) gelten.

49 1 STATISTISCHE PHYSIK 43 Abbildung 16: The scattering of two identical particles in two possible collisions, a and b, shown as classical tracjectories. Initially particles enter from opposite directions, collide, and move apart. Both collision processes have exactly the same initial and final trajectories, the difference being that the particles have exchanged places in b as compared to a. If we now treat the particles as quantum objects, they have an uncertainty in their postition. If the uncertainty is comparable to the minimum separation of the trajectories, then the exchange of particles during the collision is possible, and we cannot tell which process has occurred. Die Lösung muß also entweder symmetrisch ψ(x 1, x 2 ) = ψ(x 2, x 1 ), oder antisymmetrisch ψ(x 1, x 2 ) = ψ(x 2, x 1 ) sein, was Gleichung 1.86 sicher nicht erfüllt, denn die Vertauschung ergäbe eine neue Funktion, wodurch die Teilchen unterscheidbar wären. Wir bilden daher: symmetrisch: und antisymmetrisch: ψ n,m + ψ m,n = A [ψ n (x 1 )ψ m (x 2 ) + ψ n (x 2 )ψ m (x 1 )] = ψ + (1.88) ψ n,m ψ m,n = A [ψ n (x 1 )ψ m (x 2 ) ψ n (x 2 )ψ m (x 1 )] = ψ (1.89) Beide Wellenfunktionen erfüllen die Symmetriebedingung. Die Symmetrieforderung gilt für eine beliebige Teilchenanzahl. Es sind daher nur zugelassen: ψ ± (1,..., µ,..., ν,..., N) = ±ψ ± (1,..., ν,..., µ,..., N) ν, µ...orts- und Spinkomponenten des ν-ten Teilchens (µ-ten) ψ ± total symmetrische/total antisymmetrische Wellenfunktion

50 Quantenstatistik idealer Gase Spektroskopie: Für Teilchen mit halbzahliger Spinquantenzahl ist die Wellenfunktion antisymmetrisch beim austausch zweier Teilchen - es sind Fermionen s = 1 2, 3 2, 5 2, ψ s = 0, 1, 2, ψ + Fermion Boson Wir betrachten nun eine antisymmetrische 2-Teilchen Wellenfunktion: ψ = ψ n,m ψ m,n Annahme: beide Teilchen sind im selben Einteilchenzustand. So ist n = m ψ 0 Für viele Teilchen: Wir sagen Teilchen ν und Teilchen µ seien im selben Quantenzustand. andererseits muss gelten: nur möglich für ψ 0 ψ (..., ν,..., µ,... ) = ψ (..., µ,..., ν,... ) (1.90) ψ (..., ν,..., µ,... ) = ψ (..., µ,..., ν,... ) (1.91) Zwei Fermionen dürfen in einem System nicht gleichzeitig in einem Zustand mit derselben Quantenzahl sein. Das Pauli-Verbot sagt uns, dass die Wellenfunktion von Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin antisymmetrisch ist. Wie man in diesem Fall für m = n leicht erkennt, muss die Wellenfunktion die Nullfunktion sein, was bedeutet, dass sich zwei Fermionen in einem System nicht im selben Quantenzustand befinden dürfen. Bei ganzzahligem Spin ist die Wellenfunktion symmetrisch, d.h. für Bosonen gilt das Pauliverbot nicht! Die Abzählung der Zustände Die Quantenmechanik bestimmt die Statistik (Verteilung der Teilchen auf Einteilchenzustände) von Vielteilchensysteme. Wir betrachten Quanten-Einteilchenzustände mit Index r, s z. Die Energie des Teilchens im Zustand r, s z sei ε r,sz und die Anzahl der Teilchen in diesem Zustand r, s z sei n sz r. Die Möglichkeiten für n sz r sind 0, 1 für Fermionen und 0, 1, 2,... für Bosonen. Der Mikrozustand des Gesamtsystems ist somit R = (n sz 1, nsz 2, nsz 3,... ) = {nsz r } n sz 1 1 = n 1 Teilchen im Zustand r = 1, s z = s z1

51 1 STATISTISCHE PHYSIK 45 n sz 2 2 = n 2 Teilchen im Zustand r = 2, s z = s z2 und die Energie des Mikrozustandes R: E R = n sz r ε r sz,r (heißt: Gesamtenergie der Gase im Zustand R, bei dem n sz 1 1 Teilchen im Zustand r = 1, s z = s z1, n sz 2 2 Teilchen im Zustand r = 2, s z = s z2 ). Die Gesamtteilchenanzahl des Mikrozustandes R ist N R = n sz r. sz,r Die Gesamtteilchenanzahl des Systems N ist entwerder vorgegeben (durch N, also mikrokanonisch oder kanonisch - durch µ bei groß kanonisch), dann handelt es sich um ein gewöhnliches ( normales ) Gas, oder es gibt keine feste Teilchenanzahl wie z.b. bei einem Photonengas im Hohlraum. Zur Illustration betrachten wir z.b. 2 Teilchen mit den Einteilchenzuständen ε 0 = 0 und ε 1 = ε. Bei Fermi sei der Spin +1/2. Die Zustandssummen für die einzelnen Statistiken sind einfach (siehe Abbildung 17): Fermi-Dirac: Z = e β(1 0+1 ε) = e βε Bose-Einstein: Z = e β(2 0) + e β(1 0+1 ε) + e β(0 0+2 ε) = 1 + e βε + e 2βε Maxwell-Boltzmann: Z = = 1 + 2e βε + e 2βε Diese Statistik ist für identische Teilchen offensichtlich falsch, deshalb soll die oben erwähnte Gibb sche Korrektur ( 1 ) N! zu einer für identische Teilchen richtigen Statistik führen: Z N! = Z 2 = exp( βε) + exp( 2βε) 2 Diese Korrektur bringt aber nichts, da sie wieder nicht verträglich mit der Quantenmechanik ist.

52 Quantenstatistik idealer Gase Abbildung 17: Zur Illustration der Quantenstatistik werden zwei Teilchen in zwei Energieniveaus betrachtet. Im Fall der Fermistatistik sollen die Spins der beiden Teilchen parallel stehen, in den anderen Fällen seien die Teilchen Spinlos. Bevor wir die einzelnen Statistiken im Detail studieren, seien noch einige Beispiele für ideale Gase mit E = ε r angegeben: e im Metall Phononen im Kristall (dazu mehr in der Festkörperphysik) Photonen flüssiges Helium 4 He Magnonen im Festkörper (Das sind Spin-Wellen) Die Maxwell-Boltzmann-Statistik Wir betrachten N Teilchen in Kontakt mit Wärmebad der Temperatur T. Die kanonische Zustandssumme ist ja Z = R e βer = e β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 + ) R (bei der Maxwell-Boltzmann Statistik gibt es keinen Spin) mit E R = n sz r ε r s z,r

53 1 STATISTISCHE PHYSIK 47 Da die Teilchen unterscheidbar sind, müssen wir N Teilchen verteilen: R = {n r } = (n 1, n 2,... ), N! also bei N Teilchen gibt es n 1! n 2! n r! Möglichkeiten die N Teilchen auf Einteilchenzustände so zu verteilen, dass n 1 im Zustand 1, n 2 im Zustand 2,..., sind. Also bei unterscheidbaren Teilchen gibt jede dieser Anordnungen einen bestimmten Zustand R. n 1,n 2,... N! n 1! n 2! n r! e β(n 1ε 1 +n 2 ε 2 + ) Die Summe im Exponent ist in ein Produkt verwandelbar, und mit der Polynomialentwicklung: kann man dann obiges Z schreiben als: (p + q + r +... ) N N! = n 1,n 2,... n 1! n 2! n r! pn 1 q n 2 r n 3 Z = (e βε 1 + e βε ) N N = ( E βεr ) = Z1 N (1.92) r Wir greifen bestimmten Zustand s heraus und fragen: Frage: Wie groß ist die mittlere Teilchenzahl n s im Zustand s (=Besetzungszahl)? Rechnung ergibt: 1 Z Zβ ε s Dies ist die klassische Maxwell-Boltzmann sche Statistik. Je kleiner die Energie der Teilchen, umso größer ist ihre mittlere Anzahl Die Fermi-Dirac-Statistik (1926) Für diese Statistik betrachten wir die große Zustandssumme Y (T, V, µ) = r e β(er µnr). Hier ist E R = n sz r ε r und N R = n sz r. sz,r sz,r Im Speziellen schauen wir hier ein System von Fermionen mit Spin = 1/2 an (Elektronen, Positronen, Neutronen, Protonen,... ). Der Mikrozustand des Gesamtsystems ist daher: R = {n sz r } = (n 1, n 1, n 2, n 2,... )

54 Quantenstatistik idealer Gase Unsere große Zustandssumme wird so zu Y = e β[(n 1 ε 1 µn 1 )+(n 1 (ε 1 µ)+... ] n sz r = 1 1 n 1 =0 n 1 =0 1 n 2 =0... e β[n 1 (ε 1 µ)] e β[n 1 (ε 1 µ)] e β[n 2 (ε 2 µ)]... erste Summe = (e 0 + e β(ε1 µ) ) (e 0 + e β(ε1 µ) ) = (1 + e β(ε1 µ) ) 2 (1 + e β(ε2 µ) ) 2... ε 1 ε 1 ε 1,ε 1 ε 2,ε 2 Y = (1 + e βεr µ) ) 2 (1.93) r Wie bei Maxwell-Boltzmann fragen wir uns auch hier nach der mittleren Teilchenanzahl n sz s in einem speziellen Zustand. Und wieder greifen wir einen bestimmten Zustand r = s heraus mit s z =

55 1 STATISTISCHE PHYSIK 49 Frage: Wie groß ist die mittlere Teilchenzahl n s? n s = P R n s = 1 R Y n se β( R = 1 Y 1 e βn 1 (ε 1 µ) n 1 =0 r nrεr ER 1 n 1 =0 e βn r nr µnr ) 1 (ε 1 µ) 1 n 2 =0 1 n s=0 e βn s(ε s µ) 1 n s=0 e βn s(ε s µ) = 1 Y (1 + e β(ε 1 µ) ) 2 e β(εs µ) (1 + e β(ε2 µ) )(... ) 2... # n s # n s = 0 Summand = 0, n s = 1 bleibt n s = = (1 + e β(ε s 1 µ) ) 2 e β(εs µ) (1 + e β(εs µ) ) (1 + e β(ε s+1 µ) ) 2 (1 + e β(ε s 1 µ) ) 2 (1 + e β(εs µ) ) 2 (1 + e β(ε s+1 µ) ) 2 e β(εs µ) e β(εs µ) 1 + e β(εs µ) e β(εs µ) = 1 e β(εs µ) + 1 ε s nicht von s z (, ) abhängig n s = n(ε s ) = 1 e β(εs µ) + 1 Fermi-Dirac Statistik (1.94) Fermion: Jeder Zustand nur einmal besetzbar! n(ε) 1, gewichtet durch e β(ε µ) 0 Chemisches Potential: µ = µ(t ), schwach T -abhängig. = Ferminiveau für ε = µ folgt: für ε = µ n(ε) = = 1 2 T (1.95) Wenn feste Teilchenzahl in Volumen V s n = N, damit ist µ = µ(t ) festgelegt.

56 Quantenstatistik idealer Gase 1 n(ε) = e β(ε µ) + 1 (1.96) 0 für ε > µ(t = 0) = ε F oder = (1.97) 1 für ε < µ(t = 0) = ε T für T 0 β = 1 kt eβ(ε µ) = für (ε µ(t = 0)) > 0 0 für (ε µ(t = 0)) < 0 (1.98) Abbildung 18: Fermiverteilung für ε f = µ(t = 0) = 7eV (entspricht der Fermienergie für Cu); Die Temeperatur nähert sich für T 0 immer weiter der Fermienergie an. Die Fermienergie ist nur definiert für T = 0 Wenn T << T F (T F = Fermitemperatur): ε F = kt F Fermigas ist entartet! Bei T = 0 sind alle Zustände besetzt, es kann also keine Energie mehr zugeführt werden. Wärmekapazität für T 0, C v 0 Gas des Leitungselektrons im Metall ist hochentartet: T F K ε F 4,3eV

57 1 STATISTISCHE PHYSIK Die Bose-Einstein-Statistik Wir nehmen jetzt, Bosonen mit ganzzahligem Spin (0, 1, 2,... ), hier speziell s = 0. Der Mikrozustand des Gesamtsystems ist R = n r = (n 1, n 2,... ). Jetzt schauen wir uns die große Zustandssumme an: Y = e β( R nrεr r n R R ER µ NR ) = n 1 =0 e βn 1(ε 1 µ) n 2 =0 e βn 2(ε 2 µ) Jede einzelne der Summen stellt eine unendliche geometrische Reihe dar, also: und somit: e βn 1(ε 1 µ) = 1 + e β(ε1 µ) + e 2β(ε1 µ) 1 + = n 1 =0 1 e β(ε 1 µ) 1 Y = 1 e β(ε 1 µ) 1 1 e β(ε 2 µ)... Y = r Wie gewohnt, greifen wir uns einen Zustand s heraus und suchen n s : 1 1 e β(εr µ) (1.99) n s = P R n s = 1 R Y n s e β(e R µn R ) = 1 R Y Mit dem Trick n 1 =0 n 1 e βn 1(ε 1 µ)... n s=0 n s e βns(εs µ)... µ n s e βns(εs µ) = e βnsεs n s kann man n s auch schreiben als µ n s e βnsµ = e βnsεs β n s e βnsµ = β n s n s n s e βns(εs µ) n s n s = 1 Y = 1 Y n 1 =0 e βn 1(ε 1 µ)... 1 β 1 1 e β(ε 1 µ) 1 β µ n s=0 e βns(εs µ) 1 1 e β(εs µ) 1 µ 1 e β(εs µ) = = = e β(ε 1 µ) β µ 1 e β(εs µ) e β(ε 1 µ) 1 e β(εs µ)

58 Quantenstatistik idealer Gase Mit Ableitung nach µ µ (1 e β(εs µ) ) 1 = (1 e β(εs µ) ) 2 ( β)e β(εs µ) folgt daraus die Bose-Einstein-Verteilung : n s = e β(εs µ) e β(εs µ) 1 e β(εs µ) e β(εs µ) = 1 e β(εs µ) 1 (1.100) Es gilt dabei: (ε s µ) 0 n s Also wenn µ > 0 dann wird n s ( ) singulär, wenn ε s = µ. Aber mit fester Teilchenzahl N R = N ist µ 0 und damit ε s µ > 0 (Die Energie kann ja nicht negativ werden). Wir fordern daher µ 0 ε S µ 0 für alle Energieniveaus ε S ε 0 = 0 Andererseits strebt der Exponentialfaktor e β(εs µ) für T 0 und (ε s µ) > 0 So folgt das die Besetzungszahl gegen Null strebt. Wir fordern somit insgesamt: Chemisches Potential µ des Bosegases strebt für T 0 so gegen den Grundzustand ε 0, dass Zahl N 0 der Teilchen im Grundzustand gegen Gesamtzahl N strebt. Sobald µ = 0 (maximalwert von µ erreicht ist (bei T = T C... kritische Temperatur ). Phasenübergang : für T +T C µ 0 Das heißt, dass für T 0 N 0 = n s N Gesamtzahl der Teilchen. T < T C : großer, makroskopischer teil des Teilchens im Zustand niedrigster Energie ε 0. Besetzung höherer Zustände vernachlässigbar klein. Bose-Einstein-Kondensat: E.A. Cornwell, W. Ketterle & C.A. Wieman: 2001: Nobelpreis 1995: Bose-Einstein-Kondensat an 87 Rb in magnetoptische Falle bei T = 1, K 87 Rb hat 1 ungepaartes Elektron. Photonen-Statistik: Photonenzahl nicht fest µ = 0 Daraus folgt die mittlere Besetzungszahl: n s = 1 e βεs 1... Planck sche Verteilung

59 1 STATISTISCHE PHYSIK 53 ε = hνn = hν 1 e hν/kt 1 statt ε = kt = kt spektrale Modendichte: n ν = 8πν2 c 3 spektrale Energiedichte: w ν,ρ (ν, T ) = 8hπν3 c 3 1 e hν/kt 1 spektrale Strahldichte: L ν,s (ν, T ) = c 4π w ν,s = 2hν3 c 2 1 e hν/kt 1 Abbildung 19: Chemisches Potential µ als Funktion der Temperatur (V/N = const.) (a) Mittlere Besetzungszahlen n s der Energieniveaus (b) Zahl der kondensierten Boseteilchen N 0 ε s für 0 < T < T c als Funktion von der Temperatur Abbildung 20 Unterhalb von T c befindet sich ein wesentlicher Anteil der Teilchen im niedrigsten Energiezustand, sodass höhere Zustände vernachlässigbar sind. Diese Anmerkungen führen geradewegs zur Bose-Einstein-Kondensation, auf welche hier nicht näher eingegangen werden kann.

60 Quantenstatistik idealer Gase In Zusammenhang mit der Bose-Einstein-Verteilung schauen wir uns noch kurz die Photonen- Statistik an, denn wie wir wissen, sind Photonen eben Bosonen. Die Teilchenanzahl ist nicht fixiert, woraus folgt, dass die Energiewerte nicht von der Teilchenanzahl abhängen. Dadurch ist µ = 0 und somit gilt für die mittlere Besetzungszahl des Zustandes s: n s = 1 e βεs 1 = 1 e βhν 1 (1.101) Es handelt sich um die bekannte Planck-Verteilung, die auch in seinem Strahlungsgesetz auftritt.

61 1 STATISTISCHE PHYSIK Quantenstatistik im klassischen Grenzfall Wir sehen uns die Quantenstatistiken von Fermi-Dirac und Bose-Einstein an (Diese unterscheiden sich ja nur um ein Vorzeichen). Legen wir die vorgegebene Teilchenzahl (N N) fest, so ist auch das chemische Potential µ festgelegt durch 1 n r = r r e β(εr µ) ± 1 Wir betrachten den Fall e βµ >> 1 wobei e +βµ << 1 Fugezität (1.102) 1 n s = e βεs e βµ ±1 1 e 0 =1 n s = e β(εs µ) 1 Bei sehr kleine Besetzungszahlen geht die Bedingung, das der Spin Einfluss auf die Statistik hat, verloren - ist somit klassisch. klassisch: n s = e βɛs e βµ mit Randbedingung: N = r n s = r n s = N e βεs r e βεr e β(εr µ) = e βµ e βεr = r n s e βεs r e βεr Frage: Wann wird e βµ >> 1? Bedingung für klassischen Grenzfall ist erfüllt wenn n s << 1, das heißt bei genügend verdünntes Quantengas. Rechnung zeigt: e βµ >> 1 mittlerer Abstand ( V N )1/3 zwischen benachbarten Teilchen groß gegen de Broglie Teilchenwellenlänge λ T bei der Temperatur T : λ T = therm. Teilchenwellenlänge (λ T ) 3 = thermische Teilchenvolumen V N >> (λ T ) 3 V N(λ T ) 3 >> 1 1 λ T T 1. wenn Teilchenzahldichte N V ist vorgegeben. Teilchenwellenlänge λ T muss klein sein hohe Temperatur. 2. Wenn niedrige Temperatur vorgegeben Teilchendichte N V muss klein sein. insgesamt: Im Fall e βµ >> 1 klassischer Grenzfall reduzieren sich die Quantenmechanische Verteilung FD und BE auf die klassische MB-Verteilung.

62 Quantenstatistik idealer Gase Wir stellen die Bedingung für hinreichende Verdünnung V N(λ T ) 3 << 1 und damit n S << 1 Abbildung 21: Vergleich der Bose-Einstein und der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion. Den klassischen Geltungsbereich erhält man für (ε µ) >> τ s, wo die beiden Verteilungen fast identisch werden. Abbildung 22: Vergleich der Energiezustandbesetzungen im klassischen und im Quantenbereich

63 2 FESTKÖRPERPHYSIK 57 2 Festkörperphysik Festkörperphysik ist die Physik der Kristalle. In der Materialphysik betrachten wir Kristalle, Gläser (=unterkühlte Flüssigkeiten), Quasikristalle (diese haben quasiperiodische Anordnung), Polymere und Flüssigkristalle, Cluster und dünne Schichten (damit meint man einige Atomlagen dicke Schichten). Frage: Was hält den Festkörper zusammen? Die Wechselwirkung zwischen den Atomen. Abbildung 23: Gleichphasige und gegenphasige Normalschwingung der gekoppelten Pendel. Abbildung 24

64 58 Die Aufspaltung der Energieniveaus entsprechen den Überlapp der Wellenfunktionen. In der Festkörperphysik haben wir eine große Teilchenzahl und daher quasikontinuierliche Energieniveaus welche als Bänder bezeichnet werden. Abbildung 25: Aufspaltung der Energieniveaus bei Annäherung einer großen Zahl gleicher Atome der ersten Reihe des Periodensystems aneinander (schematisch). Der Abstand r 0 soll etwa den Gleichgewichtsabstand in einer chemischen Bindung charakterisiern. Durch die Überlappung der 2s und 2p Bänder wird auch das Element Be (Beryllium) mit zwei s-elektronen zum Metall. Tiefliegende Atomniveaus spalten wenig auf und behalten deshalb weitgehend ihren atomaren Charakter. Aufspaltung der Energiebänder in einem Be-Kristall 1s,... Rumpfelektron, kleine Aufspaltung 2s, 2p,... Valenzelektronen, große Aufspaltung Energiebänder

65 2 FESTKÖRPERPHYSIK Die chemische Bindung Das Grundprinzip ist die Absenkung der Energie durch Umverteilung der Valenzelektronen entsprechend der Aufspaltung der Niveaus. Abbildung 26: Schematic representation of the energy (a) and force (b) between two atoms as function of their seperation r. The dashed curves are the sums of the attractive and repulsive curves. Eine Bindung kommt durch den Energiegewinn (Bindungsenergie) bei einer Umverteilung der Valenzelektronen zustande. Wir können diese Energie einmal ganz zwanglos ansetzen durch E pot (r) = α r n + β r m (2.1) Die Bindung wird wie erwartet stabil, wenn (2.1) minimal wird für r = r 0. Das ist der Gleichgewichtsabstand mit der Bedingung m > n. Definieren wir uns noch die Dissoziationsenergie D = E(r 0 ). Das ist die Energie, die nötig ist, um die Atome wieder auseinanderzubringen, also die Bindung aufzubrechen. Die verschiedenen Bindungstypen werden charakterisiert durch die Ausdehnung und Überlappung der besetzten Elektronenzustände. Wir unterscheiden: 1. Die Elektronen seien an den Ionen lokalisiert und es herrscht nur eine geringe Überlappung der Wellenfunktionen. Dann sprechen wir entweder von einer Ionenbindung (Salze) oder von einer van der Waals -Bindung. 2. Bei der Überlappung der Wellenfunktionen zwischen den Nachbarn besteht eine Winkelabhängigkeit. Das ist dann eine kovalente Bindung (halbleitende Elemente und deren Verbindungen, Moleküle).

66 Die chemische Bindung 3. Bei der metallischen Bindung sind die Wellenfunktionen der Elektronen gegenüber dem Nachbarabstand weit ausgedehnt. Die Elektronen sind dann gegenüber dem Atom nicht mehr lokalisierbar Die Typen der chemischen Bindung 1. Die Ionenbindung (heteropolar): (heteropolar deswegen, weil zur Ionenbindung verschiedene Atome benötigt werden.) Am Beispiel von NaCl. Natrium hat eine geringe Ionisierungsenergie (5,14eV, Alkalimetalle : kleine Ionisationsenergie (Li, Na, Ka, Rb, Cs) - Na: 1s2 2s 2 2p 6 3s 3 leicht entfernbar), d.h. es ist elektropositiv, da es leicht Elektronen abgibt. Chlor weist eine Elektronenaffinität von 3,61eV auf, d.h. es gewinnt bei der Ionisierung durch zusätzliches Elektron diese Energie. Für Na + Cl sind daher nur 1,53eV notwendig. Diese Energie gilt aber nur für unendlich ferne Atome, im Nahbereich ( nm) kommt es zu einem Elektronentransfer, aber auch zu einer Abstossung durch das Pauli-Verbot. 2. Die kovalente Bindung (homäopolar): Im Allgemeinen werden 2 Elektronen (eines von je einem der beteiligten Atome) dem Molekül gemeinsam. Beispiel: H 2, also sind 2 Teilchenwellenwunktionen beteiligt. Entscheidend sind die Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktionen, denn die gesuchte Wellenfunktion muss wegen des Pauliverbotes antisymmetrisch bezüglich einer Vertauschung sein. Wir müssen die Gesamtwellenfunktionen in einen Spinanteil und einen räumlichen Anteil zerlegen. Betrachten wir den Spinanteil der Elektronen: (a) parallele Spins der zwei Elektronen: Der Gesamtspin: S = = 1; m s = S, S + 1,..., S 1, S. Hier sind alle Möglichkeiten symmetrisch bezüglich des Austausches von e 1 und e 2. QM-Rechnung für S = 1, m s = S = 1, m s = S = 1, m s = Diese sind alle Symmetrische Wellenfunktionen. (b) Antiparallel: S = 0; m s = ist antisymmetrisch.

67 2 FESTKÖRPERPHYSIK 61 Da die Gesamtwellenfunktion ja antisymmetrisch sein muss ist durch den Spin der räumliche Anteil festgelegt (Pauliverbot). Für S = 1 (Spinparallel) ist der Raumanteil antisymmetrisch und damit nicht bindend. Im Falle von S = 0 (antiparallel) ist der Raumanteil symmetrisch und damit ist hier die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch, also bindend (und somit günstig). Was wir hier noch zu bedenken haben ist folgendes: Unbewusst ist es uns gelungen, eine Aufspaltung der Atomniveaus in bindende und antibindende Zustände zu erklären. H 2, O 2, N 2 sind zum Beispiel rein kovalente Bindungen, wohingegen bei unterschiedlichen Atomen die Bindung meist aus einem kovalenten und ionischen Anteil besteht ( fraktionierter Charakter der Bindung). 2 Elektronen Bindungsorbital stark gerichtete Bindungsorbital Abbildung 27: Für zwei Wasserstoffatome sind hier (eindimensional) die räumlichen Anteile der Wellenfunktionen dargestellt. ψ S ist die symmetrische und ψ A ist die antisymmetrische Wellenfunktion: a) bei großem Abstand, b) bei geringem Abstand der Protonen. c) Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ 2 der Elektronen bei geringem Abstand. Sie ist zwischen den Kernen groß bei der symmetrischen Wellenfunktion ψ S. Dadurch kommt die Bindung der Wasserstoffatome im H 2 - Molekül zustande. Bei der antisymmetrischen Wellenfunktion ψ A ist die Ladungsdichte zwischen den Protonen gering, und die Atome bilden kein Molekül.

68 Die chemische Bindung Abbildung 28: Die potentielle Energie des Ionenpaares Na + Cl als Funktion des Kern- Kern-Abstands r. Sie hat ihre Minimum beim Gleichgewichtsabstand r 0 = 0,236nm. Die Energie der beiden getrennten Ionen beträgt bei unendlich großem Kern-Kern-Abstand (r = ) 1,53eV. Diese Energie ist erforderlich, um die beiden Ionen aus den neutralen Atomen zu erzeugen. 3. van der Waals-Bindung: Zwischen induzierten oder permanenten Dipolen schwache elektrostatische Anziehung. Hier setzen wir die Atome als fluktuierende Dipole an welche ein Dipolmoment im 2. Atom induziert und führt zu einer attraktiven Wechselwirkung; es wirken sogenannte Londonsche Dispersionskräfte. Die Energie ist gegeben durch: Bei uns sei θ = 0. Daraus folgt: 2p cos θ E D = { 4πε 0 R 3, p sin θ, 0} (2.2) 4πε 0 R3 1 p E D = 2πε 0 R 3 p R 3 (2.3) p 1 erzeugt ein Feld am Ort vom Dipol p 2. E D p woraus folgt, dass p R 3 2 = αe α p 1, R 3 wobei α die Polarisierbarkeit ist. Somit ist E pot (R) = p 2 E α p 1 R 3 Dipolmoment p 1 R 3 F eld p 2 1 R 6 = c R 6

69 2 FESTKÖRPERPHYSIK 63 Durch einen Ansatz für die Pauli-Abstoßung B R 12 folgt das sogenannte Lennard-Jones - Potential: E pot (R) = 4ε [( σ 12 R ) ( σ 6] R ) (2.4) c = 4εσ 6, B = 4εσ 12 ε entspricht der Potentialtiefe und σ dem Kontaktabstand. Zu erwähnen ist hier noch die harmonische Näherung des Atompotentials: Um die Gleichgewichtslage kann man Gleichung (2.4) durch einen harmonischen Oszillator annähern. E pot R = σ R = R 0 = Gleichgewichts-Abstand ε R -ε Abbildung 29: Lennard-Jones Potential 4. Die Wasserstoffbrückenbindung: Wenn wir uns ein Ion des Wasserstoffatoms ansehen, so wissen wir, dass es lediglich ein nacktes Proton ist, d.h. es ist um ca. 5 Größenordnungen kleiner (r ), also 10 5 kleiner als alle anderen Ionen. Ausserdem hat der Wasserstoff mit 13,6eV eine hohe Ionisierungsenergie. Aus diesen Fakten, folgt ein besonderes Bindungsverhalten: Es geht Bindungen mit stark elektronegativen Atomen ein, also solche, die viel Energie gewinnen wenn sie ein Elektron aufnehmen (Das stärkste ist Fluor). Beispiele für solche Bindungen sind: HF Flusssäure; H 2 O Eiskristalle und in der Molekulargenetik vorprogrammierte Bruchstellen.

70 Die chemische Bindung Abbildung 30: Bindungsenergien für eine einzelne kovalente Bindung zwischen gleichen Atomen. (Nach Pauli) Abbildung 31: Das Wasserstoffdifluoridion HF 2 wird durch eine Wasserstoffbrücke gebildet. Die Zeichnung gibt ein extremes Modell wieder, extrem deshalb, weil das Proton ganz ohne Elektron dargestellt ist. Abbildung 32: The crystal structure of one of the many phases of ice. The large circles are oxygen ions; the small circles are protons. Ice is an example in which hydrogen bonding plays a crucial role.

71 2 FESTKÖRPERPHYSIK Mehratomige Moleküle, Kovalente Bindung H 2 O mit 18g/mol oder Riesenmoleküle (z.b. Proteine mit 10 6 g/mol) gehen meistens kovalente Bindungen ein, eventuell versehen mit Wasserstoffbrückenbindung. Bei kovalenten Bindungen gehören die bindenden Elektronen zu den beteiligten Atomen, woraus folgt, dass die Wellenfunktionen der Valenzelektronen, welche die Orbitale bilden, überlappen müssen. 1. Sehen wir uns erst die Bindung des H 2 O-Moleküls an: Für O gilt ja ein Grundzustand: 1s 2 2s 2 2p 4. Beim isolierten O sind 6 Elektronen in 2p möglich, wegen m = 1, 0, 1. 4 Elektronen seien z.b. in p z (2 ), d.h je eines aus p x und p y kann mit dem 1s Elektron des H-Atoms eine Bindung eingehen. Der Winkel zwischen den Bindungen ist aufgrund der Abstoßung größer als 90. Speziell beim H 2 O sind es 104,5 Abbildung 33: Schematische Darstellung der Elektronendichteverteilung im H 2 O- Molekül. 2. Die Bindungen des C-Atoms: C ist im Grundzustand 1s 2 2s 2 2p 2. C geht fast ausschließlich 4 Bindungen ein. Um jedoch 4 Bindunge eingehen zu können passiert eine sogenannte Hybridisierung (=Kreuzung). Dabei wird ein Elektron aus dem 2s-Orbital in das 2p-Orbital angehoben, also der 1. angeregte Zustand. Diese Promotion macht etwa 4eV aus. Es gibt jetzt 4 ungepaarte Elektronen: 2s, 2p x, 2p y, 2p z. Das ist die sogenannte sp 3 -Hybridisierung welche aus 2s und 3 2p Zuständen besteht.

72 Die chemische Bindung Hat also 4 gleichwertige Bindungsorbitale ( Hybridorbitale ). Hier ist die Elektronenabstoßung in einer Tetraeder-Ausrichtung. Als Beispiele dafür wären Methan (CH 4 ) und Ethan (C 2 H 6 ) zu nennen. Es gibt aber auch sp 2 -Hybridisierung, wo 3 Hybridorbitale in einer Ebene sind ( 120 ), was zu einer Doppelbindung wie beim Ethen (H 2 C CH 2 ) führt; und es gibt auch noch die sp-hybridisierung, bei der es zu einer linearen Dreifachbindung wie beim Acethylen (HC CH) kommt. Wie bei Atomen emitieren und absorbieren auch Moleküle elektromagnetische Strahlung, sodass es zu Spektren kommt. Diese zeigen die Energieniveaus der Moleküle. Bei einem 2-atomigen Molekül liegt die Energie bei der Absorption durch elektromagnetische Strahlung bei etwa 1eV, bei Schwingungen um den gemeinsam Massenmittelpunkt bei etwa 0,1eV und durch die Rotation um die Schwerpunktachse zwischen 10 2 ev und 10 6 ev. ev Ionenkristalle Ein Ion habe die Ladung ±q. Die Wechselwirkung mit anderen Ionen ist durch eine langreichweitige Coulombwechselwirkung ± q2 r gegeben. Die elektrostatische Bindungsenergie bezeichnen wir als Madelung-Energie. Jetzt betrachten wir zwei Ionen i und j des Kristalls und setzen für deren Wechselwirkungsenergie E ij pot = ae r ij b ± 1 4πε 0 q 2 r ij (2.5) an, wobei der erste Term die abstossende, sogenannte Born-Mayer-Potential beschreibt. Diese liefert nur einen Beitrag zwischen nächsten Nachbarn im Kristall. a ist die Stärke, b die Reichweite der B M-Kraft. Eine Abstossung soll nur zwischen nächsten Nachbarnstattfinden können. E ij pot = ae R b 1 4πε 0 q 2 R ± 1 4πε 0 1 p ij q 2 R... nächsten Nachbarn (2.6) Wenn R der Abstand zwischen nächsten Nachbarn ist und r ij = p ij R, dann ist die gesamte Wechselwirkung des Ions i mit allen anderen des Kristalls gegeben durch Epot(R) i = N E ij = N (Z a e R 1 αq 2 b i j 4πɛ 0 R ) (2.7) N ist hier die Anzahl der Ionenpaare und Z die Koordinationszahl, d.h. die Anzahl der nächsten Nachbarn. α ist Madelung-Konstante + für positive Ion, für negative Ion, (Aufion ist negativ).

73 2 FESTKÖRPERPHYSIK 67 Bevor wir uns dem α zuwenden, schauen wir uns den Gleichgewichtsabstand an: de i pot dr = 0 = d R 0 [N (Zae b 1 αq 2 dr 4πɛ 0 R )] = = 1 R b NZae 0 b + Nq2 α 4πɛ 0 R0 2 = 0 R 2 0e R 0 b = bαq2 4πɛ 0 Za a = 1 4πε 0 bαq 2 ZR 2 0 Eingesetzt in das Potential kürzen sich ein paar Dinge raus und übrig bleibt: Epot(R i 0 ) = 1 Nq 2 α (1 b ) (2.8) 4πɛ 0 R 0 R 0 als Gitterenergie im Gleichgewichtsabstand. Der Faktor 1 Nαq 2 4πε 0 R 0 wird als Madelung-Energie bezeichnet. Da in der Realität der Parameter b R 0 10 ist, wird Ei pot hauptsächlich bestimmt durch die Madelungenergie! Nun kommen wir zurück zu α. Wie oben schon angesprochen ist α die Madelung-Konstante und ist definiert durch: e R 0 b α = ± 1 (2.9) j p ij α ist stets > 0 und das Vorzeichen in der Summe ist abhängig vom Bezugsion (also, ob es positiv oder negativ geladen ist). Abbildung 34: Schematische Darstellung des linearen Gitters (Kette).

74 Die chemische Bindung Wenn wir uns Abbildung 34 ansehen, können wir die Madelung-Konstante sofort berechnen. Es ist r ij = p ij R und somit α R = (±) 1 = 2 ( 1 j r ij R 1 2R + 1 3R +... ) (2.10) (Der Faktor 2 in Gleichung 2.10 kommt von 2 Ionen im gleichen Abstand vom Bezugsion, siehe Abbildung 34). α = 2 [ ±... ] - Wenn wir uns die Reihe genau ansehen, erinnert sie uns an die Reihe von ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 ±..., also folgt α = 2 ln 2 Das ist unser Wert für α, die im Allgemeinen strukturabhängig ist. Hier ein paar Werte für α: Struktur α[r NN ] NaCl 1,7476 CsCl 1,7627 ZnS 1,6381 Tabelle 1: Verschiedene Werte für α (a) Modell des Natriumchlorids. Die Natriumionen sind kleiner als die Chlorionen. (aus A.N. Holden und P. Singer, Crystals and crystal growing ) (b) Die Kristallstruktur von Natriumchlorid. Das Raumgitter ist kubischflächenzentriert. Die Basis besteht aus einem Na + -Ion bei [000] und einem Cl -Ion bei [ ] Abbildung 35: Modell und Kristallstruktur des Natriumchlorids.

75 2 FESTKÖRPERPHYSIK 69 beide formeln stehen unten! Röntgenbeugung hat den Gleichgewichtsabstand: R 0 Kompressionsmodul: Stärke a des Born- Mayer Potentials Man bekommt 2 Gleichungen für a und b des Born-Meyer Potentials. 1. Gleichgewichtsabstand: a = αq 2 b e R 0/b 4πɛ 0 ZR Kompressionsmodul: K = 1 αq 2 4πε 0 (R 18R0 4 0 b 2) Das ist der Komressionsmodul eines Ionenkristalls. Die Reichweite b ist berechenbar. R 0 und K kann man messen (z.b. R mit Röntgenbeugung und K mit etwaigen Kompressionsversuchen) und damit U total (R 0 ) angeben. 1. Beispiel: NaCl: Aus der Berechnung: 0,8eV. Hier führt die Bestimmung der Bindungsenergie pro Ionenpaar über die experimentell gemessene Energiebilanz bei der Bildung von NaCl aus einzelnen Na-Atomen und einzelnen Cl-Atomen Die Messung ergibt 7,9eV

76 Die chemische Bindung 2. Beispiel: KCL (Na-Cl-Struktur): Aus dem Experiment ist gefunden worden: K = 1, Nm 2 ; R 0 = 3, m Die Madelung-Konstante ist ungefähr 1,75. Somit ist die Reichweite b = 0, m Die Gesamtenergie pro Ionenpaar ist ja Epot N = 1 αq 2 4πε 0 R 0 (1 b R 0 ) = 7,25eV. Das Experiment bringt einen Wert von 7,4eV. Abbildung 36: Potential der Moleküle im KCl-Kristall. Die Beiträge des Coulomb- Potentials und des abstoßenden Potentials sind getrennt eingezeichnet. Abbildung 37: Parameter des Born-Mayer-Potentials a und b berechnet aus R 0 und K sowie theoretische und experimentelle Bindungsenergien.

77 2 FESTKÖRPERPHYSIK Kovalente und metallische Kristalle 1. kovalente Bindung: Kohlenstoff hat ein Diamantgitter, C 1s 2 2s 2 2p 2 ; ist sp 3 -Hybrid. Die Promotion ergibt 4 equivalente Bindungen. Analog ist es bei Silizium, Si 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 Germanium, Ge 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 4p 2 Jedes Atom umgibt sich mit 4 Nachbarn (4 gleichwertige Hybridbindungen) woraus sich die Diamantstruktur ergibt. Kohlenstoff C: Graphit ist ein sp 2 -Hybrid, hat also eine hexagonale Struktur (6-er Ringe in Ebene) (abbildung suchen). Diese 6-er Ebenen werden durch die van der Waals- Bindung zusammengehalten welche 0,07eV hat. 2. metallische Bindung: Die typischen Metalle haben eine dichteste Packung. Abbildung 38: Die Energieaufspaltung des 1s- und des 2s-Energieniveaus für sechs Atome, als Funktion des Abstands der Atome. Als einen kurzen Einschub betrachten wir kurz das Sommerfeld sche Modell der freien Elektronen: Die Valenzelektronen von Metallionen sind von diesen völlig getrennt, d.h. sie gehören dem ganzen Kristall, weshalb man vom freien Elektronengas spricht. In einem anderen Bild schwimmen die positiven Metallionen in einem See von Leitungselektronen. Die metallische Bindung ist sozusagen superkovalent. Ohne Überlappung der Wellenfunktionen gäbe es keine Leitfähigkeit.

78 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Abbildung 39: Di Bandstruktur des Natriums. Das leere 3p-Band überlappt mit dem halbvollen 3s-Band. Unmittelbar oberhalb der gefüllten Zustände exestieren viele leere Zustände, in die Elektronen durch ein elektrisches Feld angeregt werden können; daher ist Natrium ein Leiter. 2.2 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Kristallgitter Zu Beginn des 20. Jahrhundert machten, unter anderem, Friedrich, Kripping und von Laue Experimente mit Interferenzerscheinungen von Röntgenstrahlen und fanden das Röntgenstrahlen elektromagnetische Wellen sind sowie die periodische Anordnung von Atomen in Kristallen. Wir definieren 3 fundamentale Translationsvektoren (= Basisvektoren) a, b, c: r = r + n 1 a + n 2 b + n3 c R (2.11) R heißt Gittervektor und wird uns noch öfters begegnen. Die Kristallstruktur ergibt sich aus der Basis und dem Translationsgitter.

79 2 FESTKÖRPERPHYSIK 73 Abbildung 40: Grafische Darstellung der des Gittervektors r. Die Anordnung der Atome in dem Kristall sieht für einen Beobachter in r genauso aus, wie für einen in r, vorausgesetzt, dass der Vektor R der r und r verbindet, als ganzzahliges Vielfaches von a und b ausgedrück werden kann. In unserem Beispiel ist R = a + 3 b. Die Vektoren a und b sind primitive Translationsvektoren des zweidimensionalen Gitters. Abbildung 41: Die Kristallstruktur ensteht, indem zu jedem Gitterpunkt des Gitters (a) eine Basis (b) hinzugefügt wird. Wenn man (c) betrachtet, kann man die Basis erkennen und danach das Raumgitter finden. Ohne Bedeutung ist die Lage der Basis in bezug auf ihren Gitterpunkt.

80 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Der Gittervektor R ist ein definierters Translationsgitter, welche eine periodische Anordnung von Punkten im Raum ist. Vom Gitter ausgehend bekommen wir eine Kristallstruktur die entsteht indem wir zu jedem Gitterpunkt des Gitters eine Basis hinzufügen (siehe Abbildung 41). Kristallstruktur = Gitter + Basis Der Begriff Einheitszelle ist in der Folge gleichzusetzen mit Strukturzelle und mit Elementarzelle. Die primitive Elementarzelle ist die mit dem kleinsten Volumen und der Dichte : 1 Gitterpunkt pro Zelle. Die Anzahl der Atome in der primitiven Zelle ist gleich der Anzahl der Atome in der Basis. Das Volumen der primitiven Elementarzelle ist gegeben durch wobie die Anordnung der Basisvektoren beliebig ist. V = ( a b) c (2.12) Eine andere Methode die primitive Elementarzelle zu konstruieren ist die sogenannte Wigner- Seitz-Zelle. (a) The Wigner-Seitz cell for the bodycentered cubic Bravais lattice (a truncated otahedron ). The surrounding cube is a conventional body-centered cubic cell with a lattice point at its center and on each vertex. The hexagonal faces bisect the lines joining the central point to the points on the vertices (drawn as solid lines). The square faces bisect the lines joining the central point to the central points in eacht of the six neighboring cubic cells (not drawn). The hexagons are regular. (b) Wigner-Seitz cell for the face-centered cubic Bravais lattice (a rhobic dodecahedron ). The surrounding cube is not a conventional cubic cell, but one in which lattice points are at the center of the cube and at the center of the 12 edges. Each of the 12 (congruent) faces is perpendicular to a line joining the central point to a point on the center of an edge. Abbildung 42: Wigner-Seitz Zelle für (a) body-centred cubic Bravais Gitter, und (b) face-centered cubic Bravais Gitter.

81 2 FESTKÖRPERPHYSIK 75 (a) (b) Abbildung 43: The true (fully drawn) and compound (dashed) unit cells of face-centered cubic (b) and body-centered cubic (a) lattices Sie wird durch folgendes Verfahren gefunden (Abbildung 44): Man zeichnet die Verbindungsstrecken von einem beliebigen Gitterpunkt zu all seinen Nachbarpunkten. Dann halbiert man diese Strecken und zeichnet dort die senkrechte Gerade (im 3-dimensionalen sind es dann Mittelflächen) ein. Diese Geraden schneiden einander natürlich. Die kleinste, so gefundene Fläche (im 3D das Volumen) bildet eine primitive Elementarzelle. Mit diesen Zellen kann der gesamte Raum ausgefüllt werden. Abbildung 44: Konstruktion einer Wigner-Seitz Zelle (aus Wikipediaartikel Wigner- Seitz-Zelle )

82 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Nun kommen wir noch zu den fundamentalen Gitterarten in 3 Dimensionen: In 3 Dimensionen ergeben sich aus den Symmetrien der Punktgruppen 14 verschiedene Gitter. Unter einer Gitterpunktgruppe versteht man die Gesamtheit der Symmetrieoperationen um einen Gitterpunkt als Zentrum, die das Gitter invariant lassen, also z.b.: Hier werden nur normale Kristalle betrachtet, keine Quasikristalle 1. Drehung um Achse durch Gitterpunkte: Drehwinkel: 2π, 2π 2, 2π 3, 2π 4, 2π 6 + ganzzahlige Vielfache Zähligkeit : 1, 2, 3, 4, 6 2. Spiegelung an Ebene durch einen Gitterpunkt: 3. Inversion : Drehung um π und anschließend eine Spiegelung an einer Ebene normal zur Drehachse. Dadurch geht der Gittervektor R R Die Symmetrieoperationen in 3-Dimensionen ergeben die 14 verschiedenen Punktegitter oder auch Bravaisgitter, welche in 7 Gittersystemen klassifiziert werden (siehe Abbildung 45 bis 51). (a) kubisch-primitiv (sc) (b) kubisch-raumzent. (bcc) (c) kubisch-flächenz. (fcc) Abbildung 45: Kubisches Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter )

83 2 FESTKÖRPERPHYSIK 77 (a) tetragonal-primitiv (b) tetragonal-raumz. Abbildung 46: Tetragonales Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter ) (a) rhomb.-primitiv (b) rhomb.-basiszent. (c) rhomb.-raumzent. (d) rhomb.-flächenz. Abbildung 47: Rhombisches Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter ) (a) hexagonal-primitiv Abbildung 48: Hexagonales Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter )

84 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung (a) rhomboedrisch Abbildung 49: Trigonales Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter ) (a) monoklin-primitiv (b) monoklinbasiszentriert Abbildung 50: Monoklines Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter ) (a) triklin Abbildung 51: Triklines Kristallsystem (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Bravais-Gitter )

85 2 FESTKÖRPERPHYSIK Die Struktur einfacher Kristalle In der Physik ist es oft besser, für ein bestimmtes Gebiet Theorien zu verwenden, welche nicht ein Großteil von der Physik beschreiben - sondern einfachere Modelle, die etwas bestimmtes genauer beschreiben, welche im Falle der Festkörperphysik das Modell der harten Kugeln ist. Viele Metalle + Legierungen: 3 Kristallsysteme Kubisch-Raumzentriert (krz-bcc) (bcc = base centred cubic) Kubisch-Flächenzentriert (kfz-fcc) (fcc = face centred cubic) hexagonaldichtesgepackt (hdp-hcp) (hcp = hexagonal close packed) Als einfaches Modell nähern wir die Gitterpunkte (also die Basis) durch harte Kugeln an. Zunächst brauchen wir zwei Begriffe: Packungsdichte: Diese gibt den maximalen Anteil des zur Verfügung stehenden Volumens für jeden Gitterpunkt an, der von harten Kugeln ausgefüllt werden kann. Stapelfolge: Wir haben drei verschiedene Atome a, b, c. Die Grundfläche sei mit den Atomen a ausgelegt und dazwischen jeweils ein b und ein c. Jetzt gehen wir einen Stock höher. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder b liegt auf einem darunterliegenden a und dann wieder ein a im 3.Stock dann ist die Stapelfolge ababab..., oder auf dem b im 2.Stock liegt ein c, dann wieder ein a, usw., Dann lautet die Stapelfolge abcabcabca... Speziell betrachten wir 3 Systeme: 1. Die kubisch-raumzentrierte Struktur: Es ist eine offene Struktur, α-fe (Ferrit) Es befinden sich genau 2 Atome in der Elementarzelle, nämlich eines im Zentrum und acht Kugeloktanten, also = 2, KZ 1 = 8, KZ 2 = 6 Die Dichte ist gegeben durch die Masse der Atome in der ELementarzelle dividiert durch das Volumen in der Einheitszelle. Am Beispiel von Ferrit ist die Dichte etwa 7,93g/cm 3

86 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Abbildung 52: In der linken Zeichnung befindet sich das mittlere Atom im Zentrum des Würfels. Stapelt man mehrere Würfel deckungsgleich übereinander, folgt daraus die rechte Zeichnung. 2. Die hexagonale Struktur (dichtest gepackt): Sie ist in der 1. Ebene dicht gelegt; In der 3. Ebene gibt es 2 Möglichkeiten: (a) über 1. Lage hdp (b) neue Lücken fcc Bei dieser Struktur lautet die Stapelfolge abababa.... Sie ist hexagonal dichtest gepackt. Vertreter davon sind u.a. Mg, Zn, Cd,... Strukturzelle: 12 Eckatome für 6 Zellen 6 Atome/Elementarzelle 2 Flächenzentrierte für 2 Zellen 3 innenzentrierte Wir haben 2 Gitterkonstanten a für den Abstand in der Ebene (vgl. Abbildung 40) und b für die Zwischenebene. Die dichteste Packung gelingt bei einem Verhältnis von c a = 1 8 = 1,633 Die Zahlen in der Wurzel kommen von der Zahl der Eckatome und den innenzentrierten Atomen. Abbildung 53: Die hexagonale Struktur

87 2 FESTKÖRPERPHYSIK Die kubisch-flächenzentrierte Struktur: Hier ist die Stapelfolge abcabc... Acht Eckatome liefern je ein Achtel und sechs Flächenatome je eine Hälfte, sodass insgesamt 4 Atome pro Einheitszelle vorhanden sind. Vertreter dafür sind z.b.: Cu, Ag, Au, Ni, γ-fe. Abbildung 54: Die kubisch-flächenzentrierte Struktur Kristallographische Ebenen und Richtungen Eine nützliche Vorstellung davon ist ein Aufbau aus sogenannten Netzebenen : Abbildung 55: Sätze von Ebenen in einem kubisch-raumzentrieren Gitter. Die schräg durchlaufenden sind jeweils verschiedene Ebenen, also (a) von rechts oben nach links unten und (b) von links oben nach rechts unten.

88 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung In der Abbildung 55 ist der Abstand der horizontalen Ebenen a 2. Diese bilden die (200)-Ebenen. Die Linien mit dem Abstand a 2 2 bilden die (110)-Ebenen und die mit dem Abstand a die (130)-Ebenen. Wir werden gleich sehen wieso die so heissen. Miller-Indizes Abbildung 56: Showing (a) a (321) set of planes; (b) that (111) direction lies in the (321) planes Die Lage einer Kristallebene ist durch 3 beliebige Punkte in der Ebene festgelegt. Wenn die Punkte auf jeweils unterschiedlichen Kristallachsen liegen, könnte man die Ebene durch die Achsenabschnitte in Einheiten der Gittervektoren (siehe Abbildung 55) charakterisieren. Es hat sich aber als nützlich erwiesen, die Lage der Ebene durch die Millerschen Indizes anzugeben. Diese werden wie folgt bestimmt: 1. Man bestimme die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen a, b, c. Die Achsen können primitiv sein oder auch nicht. In Abbildung 56 ist es z.b.: a 3, b 2, c 1 2. Man bildet nun die Kehrwerte der gefundenen Zahlen und bringt diese auf den gleichen Nenner. Nun sucht man 3 ganze Zahlen die im selben Verhältnis wie die Kehrwerte stehen - normalerweise die kleinsten.

89 2 FESTKÖRPERPHYSIK 83 Die sich daraus ergebenden Zahlen werden in Runde-Klammern () gesetzt und nennt man Millersche Indizes. Somit ist Abbildung 56 eine (321)-Ebene. Die Miller-Indizes werden mit (h k l) bezeichnet. Viele Ebenen sind zueinander äquivalent (d.h. sie sind parallel und decken die selben Atome ab). Wir können also die Anzahl s der Sätze äquivalenter Ebenen betrachten: Miller-Indizes s Beispiel h k l 0 24 (321) h = k l 0 12 (112) h = k; l = 0 6 (110) h = k = l 0 4 (111) h = k = 0 3 (001) Tabelle 2: Beispiele für Miller-Indizes Bevor wir zum reziproken Gitter kommen, sehen wir uns noch kurz die Abstände einzelner häufiger Ebenen an. Beispiele für verschiedene Flächen: Würfelflächen: (100)-Ebenen Hier haben wir den Abstand zwischen den (100)-Ebenen. Dieser ist gleich der Gitter- konstante a a. Bei den (110)-Ebenen haben wir als Abstand. 2 Beim Oktaeder haben die (111)-Ebenen den Abstand a. 3 0 heißt parallel zur angegebenen Achse (100) = 1 heißt orthogonal zur angegebenen Achse Abbildung 57: Bei den Würfelflächen ist z.b.: die (100)-Fläche zur a-achse; die (010)-Fläche ist zur b-achse, usw.

90 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Die eckigen Klammern [] geben die Richtung der Fl achen an: Abbildung 58: Showing (a) notations of various sets of planes; (b) Distance between sets of planes. Abbildung 59: Models illustrating face-centered cubic atomic arrangement. Ganz allgemein ist der Abstand der Ebenen (h k l) in einem kubischen Gitter gegeben durch: d= a h2 + k 2 + l2 Dieser Abstand wird uns noch bei der Bragg-Gleichung nλ = 2d sin θ begegnen. (2.13)

91 2 FESTKÖRPERPHYSIK Das reziproke Gitter Wir wissen das Ebenen durch Normalvektoren charakterisiert werden können und aus der Röntgenbeugung wissen wir das eine gleiche Schar von paralleler Netzebenen zu einem Beugungspunkt führen. Aus Bragg: nλ = 2d sin θ für λ = const. sin θ 1 d Konstruktion des reziproken Gitters: Die Konstruktion beginnt bei einem beliebigen Nullpunkt. d 100 d 100 d 200 2π/d 200 2π/d 100 (000) (100) (200) (200) (200) (100) (100) (100) Abbildung 60: Hier legen wir eine Normale durch die Gitterebene und machen einen Ursprung (000) Von dort aus trägt man 2π d hkl auf normaler Netzebene von (000) auf. So kommen wir über die Abbildung auf 2π d 100. Den Faktor 2π verwenden Kristallographen nicht, aber für die Festkörperphysik ist er zweckmäßig.

92 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Abbildung 61: Die Konstruktion des reziproken Gitters eines primitiven monoklinen Gitters. b zeigt normal zur Ebene Dem direkten Kristallgitter im realen Raum entspricht das reziprokes Gitter (=Beugungsgitter) im reziproken Raum (Fourier-Raum). So müssen wir uns jetzt eine Primitive Zelle anschaun. Das Volumen ist uns schon bekannt sowie a, b, c - Gittervektoren. V = a h d 001 = a b sin γ d 001 = a b d 001 (2.14) Abbildung 62

93 2 FESTKÖRPERPHYSIK 87 Wir wissen, dass Ebenen durch Normalvektoren charakterisiert werden. In Abbildung 62 ist c = n 2π = 2π a b d 001 V Daher sind die fundamentalen Translationsvektoren des rezirpoken Gitters: mit a = 2π b c V ; b c a = 2π V ; c = 2π a b V V = a[ b c] = b[ c a] = c[ a b] Das Theorem des reziproken Gitters: Für alle Sorten von Netzebenen im Abstand d gibt es reziproke Gittervektoren mit der kürzesten Länge 2π d normal zur Ebene. Daraus folgt die Definition des reziproken Gittervektors: G = h a + k b + l c (2.15) Dieser entspricht im reziproken Raum den Vektor R im Realraum. Definition: Die Miller-Indizes (h k l) einer Gitterebene sind Koordinaten des kürzesten reziproken Gittervektors, der auf dieser Ebene normal steht. Beispiel: (120) Ebene: G 120 = 1 a + 2 b + 0 c Anders Ausgedrückt (h k l) G Wir Merken noch an (Gegenüberstellung): Direktes Gitter (Realraum) a, b, c R = n 1 a + n 2 b + n3 c Reziprokes Gitter (Fourier-Raum) a, b, c G = h a + k b + l c Tabelle 3: Vergleich zwischen direktes Gitter und reziprokes Gitter. a i a j = 2πδ ij (2.16)

94 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Abbildung 63: All shaded planes in the cubic lattice shown are planes of the zone [001]. Um später fortfahren zu können benötigen wir noch die Ebenen einer Zone. Diese sind alle parallel zu einer Geraden = Zonenachse [uvw], dergestellt dass für alle (hkl) (=Ebenen der Zone) gilt: hu + kv + lw = 0 Damit ergibt sich für die Achse A = u a + v b + w c und den reziproken Gittervektoren G: A G = 0 (2.17) Beugung am Kristall 1. Röntgenstrahlen: Um Beugungserscheinungen zu untersuchen, muss die Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlung größenordnungsmäßig im Bereich des Abstandes der zu untersuchenden Objekte sein. Für ein Kristallgitter mit einem Atomabstand von etwa m muss daher die Energie der Welle E = hc λ 12,3keV sein.

95 2 FESTKÖRPERPHYSIK 89 Abbildung 64: The electromagnetic spectrum. The boundraries between regions are arbitrary, since no sharp upper or lower limits can be assignes. (H.A. Enge, M.R. Wehr, J.A. Richards, Introduction to Atomic Physics, Addison- Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Mass., 1972) Diese Energie entspricht der charakteristischen Röntgenstrahlung. Was diese charakteristische Röntgenstrahlung ist, soll die Abbildung 65 erklären.

96 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung Abbildung 65: X-ray spectrum of molybdenum as a function of applied voltage (schematic). Line widths not to scale. Ist nichts anderes eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ob das Elektron ihre gesamte oder wenige Energie abgibt. Röntgenstrahlung kann man mit folgenden Mitteln erzeugen: (a) Mit einer Röntgenröhre. Dabei sind Beschleunigungsspannungen zwischen 10kV und 50kV notwendig. Nur weniger als 1% (99% der kinetischen Energie wird in Wärme umgewandelt) der aufgewendeten Energie gehen in die Erzeugung von Röntgenstrahlen (= Bremsstrahlung + charakteristische Strahlung). (b) Mit einem Synchotron. Hier ist zwar der Wirkungsgrad wesentlich höher, aber auch die Kosten.

97 2 FESTKÖRPERPHYSIK Röntgenbeugung/Bragg-Bedingung: Abbildung 66: Diffraction fo x-rays by a crystal. Betrachten wir eine Schar paralleler Netzebenen, deren gegenseitiger Abstand gleich d ist. Die Richtung der einfallenden Strahlen liegt in der Ebene. Der Wegunterschied zwischen Strahlen die von aufeinander folgenden Ebenen reflektiert werden, ist 2d sin(θ) mit θ als Winkel zwischen Einfallsrichtung und Netzebene. Es kann nur konstruktive Interferenz der von benachbarten Netzebenen reflektierten Strahlen geben, wenn der Wegunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. 2d sin(θ) = nλ... Bragg-Bedingung (2.18) Bragg-Reflexion kann nur auftreten bei λ 2d. Man merke sich, das es sich bei θ um den Glanzwinkel handelt.

98 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung 3. Die Laue-Gleichung: Es ist keine spezielle Einteilung in den Netzebenen nötig! Abbildung 67: Eine Konstruktion zur Herleitung der Laue-Gleichung. Die Punkte stellen Atome dar. In Abbildung 67 sieht man, dass cos(α) = δ x ist und somit δ = x cos(α) = x n cos(α) = x n (Projektion von x auf n). Dasselbe gilt für die gestrichenen Größen, also δ = x n. Für konstruktive Interferenz muss die Phasendifferenz δ +δ = x( n n) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ sein. Die Beugungsbedingung für konstruktive Interferenz elastischer Streuung (λ = λ, k = k) ist somit x( n n) = mλ. Es geht ja bei der Multiplikation von n mit 2π λ eben dieses n über in den Wellenvektor k, sodass bei konstruktiver Interferenz x( k k) = 2πm gelten muss. Dehnen wir unsere Überlegung auf das ganze Gitter aus, so müssen wir x durch R unserem Gittervektor ersetzen (also: R( k k) = 2πm). Da R = n 1 a + n 2 b + n3 c ist, folgen daraus unmittelbar die drei Laue-Gleichungen: a( k) = 2hπ, b( k) = 2kπ c( k) = 2lπ (2.19)

99 2 FESTKÖRPERPHYSIK 93 Wobei wir k k = k als Streuvektor bezeichnen. Die reziproken Gitterpunkte sind identisch mit den Laue-Beugungspunkten. Für den Streuvektor ist es wichtig, sich vor Augen zu halten, dass bei elastischer Streuung k = k gitl, d.h. es handelt sich nur um eine Richtungsänderung. 4. Röntgenbeugung im reziproken Raum: Zuerst multiplizieren wir die Lauegelichungen (2.19) mit a, b, c und addieren diese anschließend, sodass herauskommt. a k a + b k b + c k c = 2π(h a + k b + l c ) Allgemein (aus Vektoranalysis): Sei v ein beliebiger Vektor mit kovarianten Koordinaten bezüglich des reziproken Gitters, dann gilt: ( a v) a + ( b v) b + ( c v) c = 2π v in Klammern (): kovarianten Komponenten bezüglich der reziproken Vektoren. Hier ist a k a eine Projektion von k auf a, also 2π mal die Komponenten des Vektors k auf das reziproke Gitter. Daraus folgt: und damit 2π k = 2π(h a + k b + l c ) k = G (2.20) Dann und nur dann kommt es zu positiver Interferenz. Diese Überlegung führen uns zu einer neuen Definition des reziproken Gitters: R( k k) = 2πm e i R k = 1 = e i R G (2.21) Es ist der Satz aller Vektoren k = G, die als Wellenvektoren ebenen Wellen mit der Periodizität der GIttervektoren R das gegebenen Gitters liefern, für die gilt R( k k) = 2πm e i R k = 1 = e i R G

100 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung 5. Äquivalenz von Bragg und Laue - die Ewald-Konstruktion : Es ist ja G = k. damit ist k G und G ist zu den Ebenen (h k l). G ist ja ein Vielfaches von 2π d also:. G = 2πn d Da wir nur elastische Streuung betrachten, ist k = k = k sin(θ) = k k 2k = k k n = d G 2π 2k sin(θ) = 2πn d Bringen wir die Wellenlänge statt dem Wellenvektor ins Spiel, so ist 2 λ damit sin(θ) = n d und nλ = 2d sin(θ) Abbildung 68: Die Skizze soll die hier verwendeten Größen vor Augen führen. Wichtig: Definition reziprokes Gitter: G e i R G = 1 Laue: R k = 2πm e i R k k = G (Laue-condition) Das bedeutet, ein Laue-Beugungspunkt ( G) entspricht der Bragg-Reflexion an den direkten Ebenen die normal zu G stehen. Er ist von der Ordnung n = d G 2π ; ( 2π d = G 0 ). Kommen wir zur Beugugnsbedingung so folgt k = k die Bedingung 2 k G + G 2 = 0. Jetzt exestiert für alle G genau ein G, sodass γ: G G keine Änderung der Aussage bewirkt. Daraus folgt 2 k G = G 2.

101 2 FESTKÖRPERPHYSIK 95 Nach einer Division durch 4 erhalten wir k G 2 = ( G 2 2 ) k G G = k n 0 = 1 2 G Alle Ebenen die nun normal auf den reziproken Gittervektor stehen und die durch 1 2 G gehen bilden Zonengrenzen der sog. Brillouin-Zonen. Wichtig ist sich zu verdeutlichen, dass die 1. Brillouin-Zone die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters ist! Wenn wir die Beugungsbedingung betrachten, sehen wir, dass sich die Brillouin-Zonengrenzen alle Wellenvektoren vorgeben, für die konstruktive Interferenz möglich ist. Eine Konstruktion von großer Einfachheit ist die Ewald-Konstruktion. 6. Ewald-Konstruktion: Gegeben ist k der einfallenden Strahlung. Abbildung 69 Wir wissen das aus der elastischen Streuung k = k folgt. Auf der Kugel müssen alle ausfallenden Wellenvektoren liegen. Die Skizze links in Abbildung 69 soll 2 Ebenen einer Brillouin-Zone andeuten. Rechts sehen wir eine Ewald-Konstruktion: Die Punkte auf der rechten Seite sind reziproke Gitterpunkte des Kristalls. Der Vektor k weist in Richtung der einfallenden Röntgenstrahlen und endet an einem beliebigen Punkt des reziproken Gitters. Nun zeichnet man eine Kugel mit Radius k = 2π λ um den Ursprung von k. Schneidet die Kugel einen beliebigen Punkt des reziproken Gitters, so entsteht ein gebeugter Strahl. Wie die Kugel hier gezeichnet ist, schneidet sie einen Punkt, der mit dem Ende von k durch den reziproken Gittervektor G verbunden ist. Der gebeugte Röntgenstrahl weist in

102 Kristallstrukturen, reziproker Raum und Kristallbeugung die Richtung k = k + G. Der Winkel ist der Bragg-Winkel. Hier noch ein paar experimentelle Verfahren: 2 (a) Laue-Verfahren Im Laue-Verfahren wird ein Einkristall polychromatischer Röntgenstrahlung ausgesetzt. Die Idee war, die Bragg-Gleichung durch Variation der Wellenlängen zu erfüllen. Die im Beugungsbild erhaltenen Reflexe sind jedoch nicht eindeutig einzelnen Netzebenenabständen zuzuordnen. Es wird heute noch zur Untersuchung dynamischer Prozesse, beispielsweise in Proteinkristallen verwendet. (b) Drehkristall-Verfahren Eine Auswertung des Laue-Verfahrens zur Bestimmung von d nach der Bragg- Gleichung ist kaum möglich. Ebenso können die Gitterkonstanten nicht bestimmt werden. Beim Drehkristallverfahren wird der zu untersuchende Einkristall um eine Zonenachse senkrecht zum Primärstrahl gedreht. Die Auswertung der Drehkristallaufnahme ermöglicht es, d und die Gitterkonstanten zu ermitteln. (c) Debye-Scherrer-Verfahren Das Verfahren arbeitet nicht mit Einkristallen, sondern mit pulverförmigen Proben. Das Pulver besteht aus einer Reihe zufällig angeordneter Kristallite, so dass auch die Netzebenen zufällig im Raum angeordnet sind und so einige immer die Bragg sche Reflexionsbedingung erfüllen. Zusätzlich rotiert die Probe um eine Achse senkrecht zum einfallenden Strahl. Um die Probe bilden sich Kegelmäntel aus Röntgenstrahlen, welche aus der konstruktiven Interferenz stammen. Um die Probe liegt ein fotografischer Film, auf dem sich die Kegelmäntel als Reflexe abzeichnen aus denen sich dann das Diffraktogramm generieren lässt. Abbildung 70: Debye-Scherrer-Verfahren (Entnommen aus dem Wikipediaartikel Röntgenbeugung 2 Entnommen aus dem Wikipediaartikel Röntgenbeugung