Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54

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1 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme (X) - SÄ Versuch vo K.J. ARROW ud J.W. PRATT [964] ee Maßgröße für dfferezertere Aussage zu etwckel Arrow-Pratt-Maß r(x) für de lokale Rskoaverso a der Stelle x R: u (x) r(x) u (x)

2 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 55 Verlauf des BRNOULLI- Nutzes u(x) lear streg kokav streg kovex (X) ud SÄ (X)... SÄ (X)... > SÄ (X)... < SÄ stellug zum Rsko Rskoeutral Rskoavers Rskofreudg Rskoräme ARROW- PRATT- Maß r(x) π 0 r(x) 0 π > 0 r(x) > 0 π < 0 r(x) < 0 Welche Rskoestellug hat e tscheder mt der Nutzefukto u (x) 2x + 0? Bestmme Se das ARROW-PRATT-Maß für dese Nutzefukto.

3 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel Beroull-Prz ud Fuzzy-rgebsse s 0,5 a (70; 80; 200; 220; 225; 230) a 2 (40; 55; 65; 75; 80; 90) a 3 (20; 35; 45; 50; 60; 70) a 4 (85; 90; 00; 0; 5; 25) a 5 (45; 48; 50; 53; 58; 60) s 2 2 0,3 (70; 83; 90; 00; 0; 20) (85; 93; 00; 0; 5; 25) (5; 30; 35; 40; 45; 50) (85; 93; 00; 05; 08; 5) (40; 45; 50; 50; 53; 55) s 3 3 0,2 (-0; -97; -90; -77; -60, -50) (-85; -80; -70; -58; -50; -40) (-30; -20; -0; 0; 5; 0) (-5; -0; -5; 5; 0; 5) (35; 40; 45; 50; 55; 60) Beroull rskoeutraler tscheder rwartete Gewe [X ] a (84 ; 95,5 ; 09 ; 24,6 ; 33,5 ; 4) a2 (78,5 ; 89,4 ; 98,5 ; 08,9 ; 4,5 ; 24,5) a3 (88,5 ; 02,5 ; ; 7 ; 24,5 ; 32) a4 (65 ; 70,9 ; 79 ; 87,5 ; 9,9 ; 00) a5 (4,5 ; 45,5 ; 49 ; 5,5, 55,9 ; 58,5)

4 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel ,5 0, a, a 2, a 3, a 4 f ρ a 5 (mt ρ ) a2 f a4, a3 f a4, a f a4, a3 f a2, a f a2 d.h. tschedug zwsche a ud a 3??!! Nveau-bee-Verfahre: , ,6 + 33,5 + 4 Ê 4,6 6 88,5 + 02, , Ê 3 2,58 6

5 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 58 Beroull rskoscheuer tscheder (x + 0) u(x) + 2(x + 0) d.h. Umrechug vo X G (a,s ) U : s 0,5 s 2 2 0,3 s 3 3 0,2 a a2 a3 a4 a5 (329; 333; 337; 340; 340; 340) (36; 323; 328; 33; 333; 335) (304; 33; 39; 32; 326; 329) (278; 282; 290; 298; 30; 308) (239; 243; 245; 248; 253; 255) (265; 276; 282; 290; 298; 304) (278; 285; 290; 298; 30; 308) (30; 3; 33; 36; 39; 32) (278; 285; 290; 294; 296; 30) (234; 239; 245; 245; 248; 250) (0; 26; 39; 63; 93; 09) (48; 57; 75; 96; 09; 26) (4; 56; 7; 84; 9; 98) (63; 7; 78; 9; 98; 204) (228; 234; 239; 245; 250; 255)

6 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 59 Fuzzy-Nutzeerwartugswerte [U ] U a (244; 254; 26; 270; 278; 283) a2 (25; 259; 266; 274; 279; 285) a3 (27; 28; 288; 292; 297; 30) a4 (255; 26; 268; 275; 279; 285) a5 (235; 240; 244; 246; 25; 253) ,5 0,05 a f a 2, a 3, a 4, a 5 a 3 f ρ a 2, a 3, a 4, a 5 (mt ρ ) Zur Awedug des Beroull-Przs reche rgebsse Form vo Fuzzy-Itervalle aus!!!

7 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel tscheduge be Fuzzy-Wahrschelchketsvertelug s s s2 s3 Fuzzy-Wahrschelchkete P (s e?? e e,? ) ( ; ; ; ; ; ) P(s, ) (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,5; 0,53 ; 0,55) P (s, 2 ) (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,3; 0,33) P(s, 3 ) (0,7 ; 0,8; 0,2 ; 0,2 ; 0,2; 0,23) erweterte Multlkato: ( a, a, a, a, a, a ), ( b,b,b,b,b,b ), ( a b, a b, a b, a b, a b,a b ), A, ( ; ; ; ; ; ) U P(s)... U P(s ), wobe u, u, u u, u, u.

8 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 6 Mt Tabelle 3.7 vo Sete 64 (Besel 3.) Fuzzy-Gewerwartugswerte A e?? e e,? ( ; ; ; ; ; ) a (06,9 ; 4,4 ; 5,9 ; 2, ; 25,5 ; 30,) a2 (93,6 ; 00,2 ; 0,75 ; 06,2 ; 0,05 ; 4,35) a3 (02,2 ; 09,4 ; 2, ; 6,5 ; 20,8 ; 26,4) a4 (73,77 ; 78,96 ; 8,03 ; 84,5 ; 87,27 ; 9,4) a5 (44 ; 47 ; 49 ; 50,5 ; 52,5 ; 55,5) ,5 0,05 a a a f a 2, a 3, a 4, a 5 f ρ a 4, a 5 (mt ρ ) f ρ a 2 (mt ρ )

9 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 62 bsher: Verwedug der Agabe des tscheders als Fuzzy- Wahrschelchkete Problem?? kee Garate, daß sch de Summe der Wahrschelchkete auf de ezele Nveaus zu addert Resultat: efach zu berechede Fuzzy-rwartugswerte aber ur Näherugslösug, da Sawete m Verglech zu rwartugswertkozet zu groß A ; daher Berückschtgug der Bedgug Durch de Berückschtgug deser Restrkto wrd de Fuzzess der rwartugswerte.a. gerger. D.h.: Präferezaussage ach der ρ-präferez mt dem Nveau ρ werde verschärft.

10 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 63 Idee: -Schtte ees Fuzzy-Itervalls auf -, - ud - Nveau beschrebe Itervall möglcher rgebswerte Auswahl der Werte so, daß sch Summe vo auf alle Nveaus ergbt!!! Rechealgorthmus zur Berechug der Fuzzy- rwartugswerte Zur Berechug der Nutzeerwartugswerte ; ; muss de Wahrschelchketsmasse vergrößert werde ud daher sd ach dem Vorschtsrz de kleste rgebswerte de höchste trttswahrschelchkete zuzuorde. Be Gewerwartugswerte ; ; legt de Wahrschelchketsmasse ursrüglch über, so daß etzt de hohe Nutzewerte auch de höchste Wahrschelchkete zugeordet werde.

11 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 64 xakte Berechug der Nutzeerwartugswerte, P ) ; ; ; ; ; ( über: } ud ], [ u M{ J } ud ], [ u M{ J } ud ], [ u M{ J } ud ], [ u Max{ J } ud ], [ u Max{ J } ud ], [ u Max{ J.

12 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 65 Berechug der a () zur Kalkulato der rwartugswerte e? ; ; Zuächst setzt ma alle trttswahrschelchkete auf de kleste Wert, d. h. (). Da erhöht ma de Wahrschelchket für de Umweltzustad mt dem edrgste Nutzewert so wet we möglch. Se (ohe Beschräkug der Allgemehet) s deser Zustad, so glt () Max{ [, ] + } Glt der vorstehede Bedgug das Uglechhetszeche m strege Se, da st m ächste Schrtt de Wahrschelchket für de Zustad mt dem zwetedrgste Nutze zu bereche. Des se (ohe Beschräkug der Allgemehet) s. () Max{ [, ] Deses Verfahre st be aaloger Vorgeheswese solage fortzusetze, bs de Uglechug als Glechug erfüllt st. }

13 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 66 Berechug der a () zur Kalkulato der rwartugswerte? e ; ; : Zuächst setzt ma alle trttswahrschelchkete auf de kleste Wert, d. h. (). Da erhöht ma de Wahrschelchket für de Umweltzustad mt dem höchste Nutzewert so wet we möglch. Se (ohe Beschräkug der Allgemehet) s deser Zustad, so glt () Max{ [, ] } + 2 Glt der vorstehede Bedgug das Uglechhetszeche m strege Se, da st m ächste Schrtt de Wahrschelchket für de Zustad mt dem zwethöchste Nutze zu bereche. Des se (ohe Beschräkug der Allgemehet) s 2. 2 () Max{ [, ] } 3 Deses Verfahre st be aaloger Vorgeheswese solage fortzusetze, bs de Uglechug als Glechug erfüllt st.

14 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 67 Besel s s s2 s3 P (s e?? e e,? ) ( ; ; ; ; ; ) P(s, ) (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,5; 0,53 ; 0,55) P (s, 2 ) (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,3; 0,33) P(s, 3 ) (0,7 ; 0,8; 0,2 ; 0,2 ; 0,2; 0,23) Her mmer x x 2 x3 für alle, 2,...,5. a e?? e a a 2 a 3 a 2 a 3 Achtug!!!! De Zahle () ud () sd re rechersche Größezur Bestmmug der rwartugswerte!! aufstegede Ordug der "Wahrschelchkets"- werte cht zwged otwedg

15 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 68 Fuzzy-Gewerwartugswerte P P e?? e e,? ( ; ; ; ; ; ) a (08, ; 5 ; 9 ; 20, ; 25,9 ; 29,9) a 2 (96,3 ; 0,6 ; 04,5 ; 05,2 ; 09,8 ; 2,7) a 3 (0 ; 3,3 ; 5 ; 5, ; 8,3 ; 20) a 4 (79,9 ; 82 ; 83, ; 83, ; 85,2 ; 86,3) a 5 (50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50) ,5 0, Fuzzy-Gewerwartugswerte P fuzzy als de Näherugswerte A sd weger

16 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 69 Fuzzy-rwartugswerte aus Fuzzy-Nutze ud Fuzzy-Wahrschelchkete Tabelle 3.5 aus Besel < 3.2 > vo S. 9 s s 2 s 3 a (70; 80; 200; 220; 225; 230) (70; 83; 90; 00; 0; 20) (-0; -97; -90; -77; -60, -50) a2 (40; 55; 65; 75; 80; 90) (85; 93; 00; 0; 5; 25) (-85; -80; -70; -58; -50; -40) a3 (20; 35; 45; 50; 60; 70) (5; 30; 35; 40; 45; 50) (-30; -20; -0; 0; 5; 0) a4 (85; 90; 00; 0; 5; 25) (85; 93; 00; 05; 08; 5) (-5; -0; -5; 5; 0; 5) a5 (45; 48; 50; 53; 58; 60) (40; 45; 50; 50; 53; 55) (35; 40; 45; 50; 55; 60) ud

17 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 70 Fuzzy-Wahrschelchkete aus Tabelle 3.23 auf Sete 95 s s s2 s3 Fuzzy-Wahrschelchkete P (s e?? e e,? ) ( ; ; ; ; ; ) P(s, ) (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,5; 0,53 ; 0,55) P (s, 2 ) (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,3; 0,33) P(s, 3 ) (0,7 ; 0,8; 0,2 ; 0,2 ; 0,2; 0,23)? (4) 0,5? 2 (4) 0,28? 3 (4) 0,2?? e a (5) 0,53 0,55 a 2 (5) 0,28 0,26 a 3 (5) 0,9 0,9 Matrx der Berechugsgröße? (4),? (5) ud e (5)

18 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 7 P e?? e e,? ( ; ; ; ; ; ) a (73,6 ; 9,8 ; 09 ; 25,8 ; 40,4 ; 5,6) a2 (70,7 ; 86,4 ; 98,5 ; 09,6 ; 9,8 ; 32,7) a3 (83,9 ; 00,9 ; ; 7, ; 27,8 ; 37,2) a4 (62 ; 69,8 ; 79 ; 87,6 ; 94, ; 03,5) a5 (4, ; 45,4 ; 49 ; 5,5 ; 56 ; 58,7) Matrx der Fuzzy-Gewerwartugswerte P be Vorgabe vo Fuzzy-Gewe des e-?-tys ,5 0, Möglchket der Vorselekto Kozetrato auf wesetlche Alteratve

19 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel tschedug be uzuverlässge Wahrschelchkete HODGS-LHMANN-Regel I Φ ( ak) max[ u + ( ) mu] Kombato zwsche dem Nutzeerwartugswert ud dem Maxm-Krterum: st vo dem tschedugsträger dvduell festzulege Vertrauesarameter (Je größer, desto größer das Vertraue de Wahrschelchketsvertelug) Für l HODGS-LHMANN-Regel I BRNOULLI-Akto Für l 0 HODGS-LHMANN-Regel I Maxm-Regel

20 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 73 < 3.27 > l 0,5 (s ) 0,5, (s 2 ) 0,3, (s 3 ) 0,2; 0,5 s s 2 s 3 (a ) + 2 u m 2 a ,5 a ,5 22,25 a ,5 a , 4,55 a HODGS-LHMANN-Regel I mt Fuzzy-Nutzewerte Φ(a k ) R Ma x [ U + ( ) R M U ]

21 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 74 < 3.28 > l 0,5 (s ) 0,5, (s 2 ) 0,3, (s 3 ) 0,2; 0,5 a a2 a3 a4 a5 Maxm (-0; -97; -90; -77; -60, -50) (-85; -80; -70; -58; -50; -40) (-30; -20; -0; 0; 5; 0) (-5; -0; -5; 5; 0; 5) (35; 40; 45; 50; 55; 60) BRNOULLI (84; 95,5; 09; 24,6; 33,5; 4) (78,5; 89,4; 98,5; 08,9; 4,5; 24,5) (88,5; 02,5; ; 7; 24,5; 32) (65; 70,9; 79; 87,5; 9,9; 00) (4,5; 45,5; 49; 5,5; 55,9; 58,5) HODGS- LHMANN I (-3; -0,8; 9,5; 23,8; 36,8; 45,5) (-3,3; 4,7; 4,3; 25,5; 32,3; 42,3) (29,3; 4,3; 50,5; 58,5; 64,8; 7) (25; 30,5; 37; 46,3; 5,0; 57,5) (38,3; 42,8; 47; 50,8; 55,5; 59,3)

22 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 75 HODGS-LHMANN-Regel II. Schrtt: Bestmmug ees dvduelle Mdestutzeveaus u 0, Obergreze u 0 Maxmum der schlechteste Werte aller Alteratve -max m u Be u 0 mmal, d. h. BRNOULLI-Akto otmal. 2. Schrtt: u, st ede 0 m m u Awedug des rwartugswertkrterums u k u für alle, de m u u erfülle. 0

23 Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 76 < 3.29 > Setze Besel < 3. > u 0-0, HODGS-LHMANN-Regel II mt Fuzzy-Nutzewerte Φ ( a ) R Ma x{ U R M U k u0} < 3.30 > Fuzzy-Matrx scharfe Greze u0-0 uscharfe Schrake der Form U e?? e e,? 0 (u0,u0,u 0,u 0, u 0, u 0 ) mt u? e 0 u 0 u 0 u 0 be U, 0 ( 35, 20, 0, 0, 0, 0), Fuzzy-Matrx ud Fuzzy-rwartugswerte

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