2. Statische lineare Panelmodelle

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1 2. Statische lineare Panelmodelle 2.1 Fixed effects Schätzung Eine gegenüber der first-differenced OLS-Schätzung oft vorteilhaftere Vorgehensweise zur Beseitigung der fixen Effekte α i in linearen fixed effects Modellen ergibt sich durch eine fixed effects Transformation Ausgangspunkt ist dabei folgendes lineares Panelmodell mit unbeobachteter Heterogenität: y = β x + β x + + β x + α + v für i = 1,..., n; t = 1,..., T it 1 it1 2 it2 k itk i it Für jede Querschnittseinheit i wird bei diesen Gleichungen das arithmetische Mittel über die Zeit gebildet: y = β x + β x + i 1 i1 2 i2 k ik i i Dabei gilt: T T 1 1 i it i1 it1 T t=1 T t=1 + β x + α + v y = y ; x = x usw. Da der fixe Effekt α i zeitinvariant ist, erscheint er in beiden Gleichungen. 1

2 Im Folgenden wird für alle t = 1,, T die obige Gleichung subtrahiert: y - y = β (x - x ) + β (x - x ) + + β (x - x ) + v - v it i 1 it1 i1 2 it2 i2 k itk ik it i Mit y it = y it - y i, x it1 = x it1 - x i1,, x itk = x itk - x ik sowie v it = v it - v i ergibt sich: y = β x + β x + + β x + v it 1 it1 2 it2 k itk it Diese fixed effects Transformation wird auch als within Transformation bezeichnet. Da der unbeobachtete Effekt (ebenso wie eine Konstante) nun beseitigt ist, kann hier eine gepoolte OLS-Schätzung durchgeführt werden (üblicherweise wird dabei von ökonometrischen Programmpaketen wie z.b. STATA auch eine geschätzte Konstante ausgewiesen, siehe unten). Dieser Schätzer wird als fixed effects oder within Schätzer bezeichnet. Diese Bezeichnung basiert darauf, dass sich die OLS-Schätzung auf die zeitliche Variation aller Variablen innerhalb (within) jeder Querschnittseinheit bezieht. Einen entsprechenden between Schätzer erhält man durch eine OLS-Schätzung allein mit den arithmetischen Mitteln der abhängigen und erklärenden Variablen über die Zeit, wobei zusätzlich noch eine Konstante einbezogen wird. Dabei handelt es sich letztlich um eine Querschnittsgleichung, die wie ein lineares Regressionsmodell mit Querschnittsdaten behandelt werden kann. Allerdings wird dieser Schätzer nicht sehr häufig angewendet, da er die wichtige Information, wie sich die Variablen über die Zeit verändern, ignoriert und da er verzerrt ist, falls α i mit den arithmetischen Mitteln der erklärenden Variablen korreliert ist. 2

3 Der fixed effects Schätzer erlaubt ebenso wie der first-differenced Schätzer in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität in jeder Zeitperiode beliebige Korrelationen zwischen α i und den erklärenden Variablen. Allerdings müssen beim within Schätzer für dessen Erwartungstreue dieselben Annahmen vorliegen wie bei der Erwartungstreue von first-differenced Schätzern: Annahme D1: Lineares fixed effects Modell y it = β 1 x it1 + + β k x itk + α i + v it Annahme D2: Zufallsstichprobe Es liegt im Querschnitt eine Stichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit vor Annahme D3: Keine perfekte Kollinearität und Zeitvarianz Jede erklärende Variable muss für einige i über die Zeit variieren (es können also erneut Variablen wie z.b. Geschlecht nicht einbezogen werden) und es besteht keine exakte lineare Beziehung zwischen den erklärenden Variablen Annahme D4: Bedingter Erwartungswert von v it ist null Für alle t ist der bedingte Erwartungswert des idiosynkratischen Fehlers, gegeben die erklärenden Variablen in allen Perioden sowie der unbeobachtete Effekt, null, d.h. E(v it x i, α i ) = 0. Diese Unkorreliertheit von v it und x i impliziert wiederum die strikte Exogenität der erklärenden Variablen. Mit diesen vier Annahmen D1 bis D4 sind auch die within Schätzer der Regressionsparameter erwartungstreu und für festes T mit n konsistent. 3

4 Weitere Annahmen: Annahme D5: Homoskedastizität Var(v it x i, α i ) = σ 2 (für alle t = 1,, T) Annahme D6: Keine Autokorrelation Für alle Perioden t s sind die idiosynkratischen Fehler unter der Bedingung von x i und α i ) unkorreliert, d.h. Cov(v it, v is x i, α i ) = 0 Mit diesen sechs Annahmen D1 bis D6 sind die fixed effects Schätzer der Regressionsparameter die besten linearen unverzerrten Schätzer. Da der first-differenced Schätzer auch linear und unverzerrt ist, besitzt der within Schätzer notwendigerweise eine geringere Varianz. Diese Überlegenheit des within Schätzers basiert auf Annahme D6, die keine Autokorrelation in den idiosynkratischen Fehlern impliziert (und sich deshalb von Annahme C6 unterscheidet). Zusätzliche Annahme D7: Normalverteilung Unter der Bedingung von x i und α i sind die idiosynkratischen Fehler v it unabhängig und identisch normalverteilt mit Erwartungswert null und Varianz σ v 2 Annahme D7 impliziert die Annahmen D4 bis D6, ist aber aufgrund der Annahme der Normalverteilung restriktiver. Mit den sieben Annahmen D1 bis D7 folgen die t- und F-Statistiken bei fixed effects Schätzern exakt den t- und F-Verteilungen. Ohne die Annahme D7 können jedoch (bei großen n und kleinen T) asymptotische Approximationen abgeleitet werden. 4

5 Bemerkungen: Bei der fixed effects Schätzung der Parameter der k erklärenden Variablen (Konstanten werden durch die within Transformation eliminiert) können insgesamt N = nt Beobachtungen verwendet werden. Dies könnte bei der Ableitung von Teststatistiken zu einer Betrachtung von nt-k Freiheitsgraden verleiten. Allerdings geht für jede Querschnittseinheit i bei der within Transformation ein Freiheitsgrad verloren, so dass die korrekte Anzahl an Freiheitsgraden nt-n-k = n(t-1)-k lautet. Diese Korrektur muss bei einer eigenen within Schätzung durchgeführt werden, wird aber bei der Verwendung von Programmpaketen (z.b. STATA) üblicherweise beachtet. Obwohl zeitinvariante erklärende Variablen bei fixed effects Schätzungen nicht verwendet werden können, ist die Einbeziehung von Interaktionstermen von zeitinvarianten und zeitvarianten Variablen (einschließlich Dummy- Variablen für Zeitperioden) möglich. Zur Erklärung von individuellen Löhnen kann z.b. Bildung nicht einbezogen werden, wenn diese für alle betrachteten Personen über die Zeit konstant ist. Jedoch kann zur Überprüfung, ob der Effekt von Bildung sich über die Zeit ändert, Bildung mit allen Dummy- Variablen für Zeitperioden (außer für die Basisperiode) interagiert werden. Die Einbeziehung der maximal möglichen Anzahl an Dummy-Variablen für die Perioden (oder eines linearen Zeittrends) schließt die Identifikation des Effektes erklärender Variablen aus, die sich bei allen Querschnittseinheiten i mit dem gleichen Betrag über die Zeit verändern (z.b. Alter) 5

6 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (I) Für die Analyse des Effektes von Beihilfen im Rahmen eines Weiterbildungsprogramms in Michigan auf den Logarithmus der Ausschussraten (logscrap) in 54 Unternehmen liegen Paneldaten für die Jahre 1987, 1988 und 1989 vor. Vor 1988 hat kein Unternehmen eine entsprechende Beihilfe erhalten. In 1988 haben 19 Unternehmen und in 1989 haben 10 andere Unternehmen eine Weiterbildungsbeihilfe bekommen. Als erklärende Variablen werden folgende Faktoren betrachtet: Beihilfe in einem Jahr t (grant) Um ein Jahr verzögerte Beihilfe (grantlagged) zur Überprüfung, ob eine Beihilfe in 1988 einen Effekt auf die Ausschussraten 1989 hat Dummy-Variablen für 1988 (d88) und für 1989 (d89) Bei der fixed effects Schätzung zeigen sich mit STATA folgende Ergebnisse:

7 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (II) xtreg logscrap grant grantlagged d88 d89, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 162 Group variable: fcode Number of groups = 54 R-sq: within = Obs per group: min = 3 between = avg = 3.0 overall = max = 3 F(4,104) = 6.54 corr(u_i, Xb) = Prob > F = logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged d d _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(53, 104) = Prob > F =

8 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (III) Interpretation der Ergebnisse: Die Interpretation der Schätzergebnisse bezieht sich meist auf das zugrundeliegende lineare fixed effects Modell und nicht auf die Gleichung mit Differenzenbildung Der geschätzte Effekt der um ein Jahr verzögerten Beihilfe ist stärker als der kontemporäre Effekt und impliziert näherungsweise einen durchschnittlichen Rückgang der Ausschussrate von 42,2%. Zudem ist der geschätzte Parameter für die verzögerte Beihilfe im Vergleich zum geschätzten Parameter für die kontemporäre Beihilfe bei einem geringeren Signifikanzniveau von 5% von null verschieden. Falls die verzögerte Beihilfe nicht als erklärende Variable einbezogen wird, ergibt sich für die kontemporäre Beihilfe ein geschätzter Parameterwert von -0,082 bei einem t-wert von -0,65 Der geschätzte Parameter für d89 impliziert, dass die Ausschussraten unabhängig von den Weiterbildungsbeihilfen im Jahr 1989 geringer waren als im Jahr

9 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (IV) Falls diese beiden Dummy-Variablen nicht einbezogen werden, schlägt sich der zeitliche Rückgang der Ausschussraten im Effekt der Beihilfe nieder: xtreg logscrap grant grantlagged, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 162 Group variable: fcode Number of groups = 54 R-sq: within = Obs per group: min = 3 between = avg = 3.0 overall = max = 3 F(2,106) = corr(u_i, Xb) = Prob > F = logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(53, 106) = Prob > F =

10 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (V) Zum Vergleich zeigen sich in einem linearen gepoolten Regressionsmodell unter Einbeziehung der beiden Dummy-Variablen für 1988 und 1989 mit STATA folgende OLS-Schätzergebnisse: reg logscrap grant grantlagged d88 d89 Source SS df MS Number of obs = F( 4, 157) = 0.69 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged d d _cons

11 Beispiel 1: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (VI) Darüber hinaus zeigen sich in einem linearen first-differenced Modell unter Einbeziehung der Dummy-Variablen für 1989 (und damit der maximal möglichen Anzahl an Dummy-Variablen für die drei Jahre 1987, 1988, 1989) mit STATA folgende OLS-Schätzergebnisse: reg d.(logscrap grant grantlagged) d89 Source SS df MS Number of obs = F( 3, 104) = 1.31 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant D grantlagged D d _cons

12 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (I) Bei der Analyse der Determinanten des Logarithmus von Löhnen (logwage) liegen Paneldaten für 545 dauerhaft berufstätige Männer für die Jahre von 1980 bis 1987 vor. Einige Variablen im Datensatz variieren dabei über die Zeit, während andere zeitinvariant sind. Für within Schätzer (oder auch first-differenced Schätzer) kann z.b. Hautfarbe nicht alleine, aber als Interaktionsterm mit Dummy-Variablen für die Jahre 1981 bis 1987 einbezogen werden. Als erklärende Variablen werden deshalb jetzt folgende Faktoren betrachtet: Familienstand (married) Gewerkschaftszugehörigkeit (union) Dummy-Variablen für die Jahre 1981 (d81) bis 1987 (d87) Interaktionsterme des Bildungsstands mit den Dummy-Variablen d81 bis d87 (d81educ,, d87educ) Bei der entsprechenden fixed effects Schätzung ergeben sich für alle Interaktionsterme positive Schätzwerte. Der größte Schätzwert von 0,030 zeigt sich beim Interaktionsterm von Bildungsstand und der Dummy-Variable für 1987 bei einem t-wert von 2,48. Dies impliziert einen um drei Prozentpunkte (!) höheren (partiellen) Effekt (!) des Bildungsstandes in 1987 im Vergleich zu Es zeigen sich mit STATA folgende Schätzergebnisse:

13 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (II) xtreg logwage married union d81 d82 d83 d84 d85 d86 d87 d81educ d82educ d83educ d84educ d85educ d86educ d87educ, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 4360 Group variable: nr Number of groups = 545 R-sq: within = Obs per group: min = 8 between = avg = 8.0 overall = max = 8 F(16,3799) = corr(u_i, Xb) = Prob > F = logwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] married union d d d81educ d87educ _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i)

14 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (III) Die Hypothese, dass alle sieben Parameter der Interaktionsterme gemeinsam den Wert null aufweisen, kann bei üblichen Signifikanzniveaus nicht verworfen werden. Dabei lautet die Anzahl der Freiheitsgrade für diesen F-Test 7 und n(t-1)-k = = Mit STATA zeigen sich folgende Testergebnisse: test d81educ d82educ d83educ d84educ d85educ d86educ d87educ ( 1) d81educ = 0 ( 2) d82educ = 0 ( 3) d83educ = 0 ( 4) d84educ = 0 ( 5) d85educ = 0 ( 6) d86educ = 0 ( 7) d87educ = 0 F( 7, 3799) = 1.24 Prob > F = Dagegen sind die Parameter von married und union gemeinsam hochsignifikant von null verschieden. Mit STATA zeigen sich folgende Ergebnisse des entsprechenden F-Tests: test married union ( 1) married = 0 ( 2) union = 0 F( 2, 3799) = Prob > F =

15 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (IV) Obwohl die Parameter von d81 und d81educ jeweils nicht signifikant von null verschieden sind, sind sie gemeinsam (ebenso wie die anderen Paare der Dummy-Variablen für die einzelnen Jahre und der jeweiligen Interaktionsterme) hochsignifikant von null verschieden. Mit STATA zeigen sich z.b. folgende Ergebnisse von entsprechenden F-Tests: test d81 d81educ ( 1) d81 = 0 ( 2) d81educ = 0 F( 2, 3799) = Prob > F = test d87 d87educ ( 1) d87 = 0 ( 2) d87educ = 0 F( 2, 3799) = Prob > F = Diese Testergebnisse weisen auf stark unterschiedliche Löhne über die Zeit (im Vergleich zu 1980) hin. Der signifikante Anstieg lässt sich durch eine fixed effects Schätzung ohne Einbeziehung der Interaktionsterme erkennen. Dabei zeigen sich mit STATA folgende Schätzergebnisse:

16 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (V) xtreg logwage married union d81 d82 d83 d84 d85 d86 d87, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 4360 Group variable: nr Number of groups = 545 R-sq: within = Obs per group: min = 8 between = avg = 8.0 overall = max = 8 F(9,3806) = corr(u_i, Xb) = Prob > F = logwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] married union d d d d d d d _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(544, 3806) = 9.14 Prob > F =

17 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (VI) Die alternative Einbeziehung einer linearen Zeittrendvariablen (year) ist auch möglich. Es zeigen sich mit STATA folgende Schätzergebnisse: xtreg logwage married union year, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 4360 Group variable: nr Number of groups = 545 R-sq: within = Obs per group: min = 8 between = avg = 8.0 overall = max = 8 F(3,3812) = corr(u_i, Xb) = Prob > F = logwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] married union year _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(544, 3812) = Prob > F =

18 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (VII) Zum Vergleich zeigen sich in einem linearen first-differenced Modell unter Einbeziehung der Dummy-Variablen d82 bis d87 mit STATA folgende OLS-Schätzergebnisse: reg d.(logwage married union) d82 d83 d84 d85 d86 d87 Source SS df MS Number of obs = F( 8, 3806) = 2.19 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.logwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] married D union D d d d d d d _cons

19 Beispiel 2: Erklärung von Löhnen (VIII) Mit der Einbeziehung einer linearen Zeittrendvariablen (year) anstatt d82 bis d87 zeigen sich mit STATA folgende Schätzergebnisse: reg d.(logwage married union) year Source SS df MS Number of obs = F( 3, 3811) = 3.43 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.logwage Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] married D union D year _cons

20 Dummy-Variablen Schätzung in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität: Bei einer traditionellen Sichtweise der fixed effects Schätzung wird der unbeobachtete Effekt α i für Querschnittseinheit i, also z.b. für eine Person, einen Haushalt, ein Unternehmen oder eine Region zusammen mit den Regressionsparametern geschätzt. Das heißt, für alle n-1 Querschnittseinheiten (eine Einheit stellt die Basisgruppe dar) wird eine Konstante geschätzt. Hierzu werden neben der Betrachtung einer generellen Konstanten zusätzlich für n-1 Querschnittseinheiten Dummy-Variablen konstruiert, deren Parameter zusammen mit den anderen Regressionsparametern mit OLS geschätzt werden. Ein solches Vorgehen wird als Dummy-Variablen Schätzung bezeichnet, die bei einer Querschnittsanalyse nicht möglich ist, da bei n Beobachtungen nicht n+k Parameter geschätzt werden können. Somit müssen bei Dummy-Variablen Schätzungen mindestens zwei Perioden vorliegen, wenngleich auch bei einer moderaten Anzahl n die Anzahl der erklärenden Variablen und damit der zu schätzenden Regressionsparameter oft zu hoch ist. Dies schränkt die Praktikabilität der Anwendung dieser Schätzmethode ein. Ein wichtiges Kennzeichen von Dummy-Variablen Schätzungen ist, dass die geschätzten Regressionsparameter sowie geschätzten Standardabweichungen der Schätzwerte und Teststatistiken identisch sind mit den entsprechenden Ergebnissen bei der fixed effects Schätzung 20

21 Ein Vorzug von Dummy-Variablen Schätzungen ist, dass die korrekte Anzahl an Freiheitsgraden automatisch berechnet wird, wenngleich die korrekte Anzahl bei fixed effects Schätzungen mittlerweile meist auch von Programmpaketen (z.b. STATA) ausgewiesen wird Bei Dummy-Variablen Schätzungen ergeben sich durch die hohe Anzahl einbezogener Dummy-Variablen üblicherweise hohe Werte für R 2 Mit Hilfe von F-Tests kann überprüft werden, ob alle n-1 Dummy-Variablen den Wert null annehmen. Sehr häufig wird diese Nullhypothese bei geringen Signifikanzniveaus verworfen. In seltenen Fällen können die geschätzten Konstanten α i von Interesse sein, z.b. zur Überprüfung, ob diese für ein spezifisches i vom durchschnittlichen Wert für die anderen Querschnittseinheiten abweicht. Diese Schätzwerte können aber auch sehr einfach auf Basis von fixed effects Schätzungen mit entsprechenden Durchschnittswerten über die Zeit berechnet werden: ˆα = y - βˆ x - - βˆ x i i 1 i1 k ik Viele ökonometrische Programmpakete (wie z.b. STATA) weisen bei fixed effects Schätzungen eine geschätzte Konstante aus, die meist den Durchschnitt der α i über alle Querschnittseinheiten i darstellt In den meisten Fällen stehen aber die geschätzten Regressionsparameter der erklärenden Variablen im Blickpunkt, so dass die unbeobachteten Effekte üblicherweise als vernachlässigbare Variablen angesehen werden, für die bei within Schätzungen kontrolliert wird 21

22 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (I) Wie zuvor wird wieder mit Paneldaten für die Jahre 1987, 1988 und 1989 der Effekt von Beihilfen im Rahmen eines Weiterbildungsprogramms in Michigan auf den Logarithmus der Ausschussraten (logscrap) in 54 Unternehmen untersucht. Als erklärende Variablen werden erneut die Beihilfe in einem Jahr t (grant), die um ein Jahr verzögerte Beihilfe (grantlagged) sowie Dummy-Variablen für 1988 (d88) und für 1989 (d89) betrachtet. Allerdings wird jetzt keine traditionelle fixed effects Schätzung betrachtet: Stattdessen sollen für die n Querschnittseinheiten (also hier 54 Unternehmen) n-1 (also hier 53) Dummy-Variablen einbezogen werden Dazu muss die Variable betrachtet werden, die die unterschiedlichen Querschnittseinheiten (also hier Unternehmen) identifiziert Durch das Voranstellen von i. wird STATA klargemacht, dass die zugrundeliegende stetige Variable als diskrete Variable mit der maximalen Anzahl an Dummy-Variablen betrachtet werden soll In diesem Fall wird somit i.fcode als zusätzliche erklärende Variable in das lineare Panelmodell mit unbeobachteter Heterogenität einbezogen Bei der entsprechenden OLS-Schätzung zeigen sich mit STATA folgende Ergebnisse:

23 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (II) reg logscrap grant grantlagged d88 d89 i.fcode Source SS df MS Number of obs = F( 57, 104) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged d d fcode _cons

24 Die unbekannten Regressionsparameter in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität können (neben der Betrachtung einer konventionellen gepoolten OLS-Schätzung) über within oder first-differenced Transformationen geschätzt werden, so dass sich die Frage stellt, welcher Ansatz gewählt werden sollte: Für den Fall von T = 2 stimmen fixed effects und first-differenced Schätzungen sowie alle darauf bezogenen Teststatistiken in identisch spezifizierten Modellen völlig überein, so dass es egal ist, welcher der beiden Ansätze gewählt wird Entsprechend Abschnitt 1.2 wird bei der Gleichung erster Differenzen üblicherweise eine Konstante einbezogen, die den Parameter der Dummy-Variable für die zweite Periode darstellt (die Konstante für die Gleichungen in den beiden Jahren wird herausdifferenziert) Deshalb muss in diesem Fall bei der within Schätzung im Hinblick auf die Identität der linearen Panelmodelle mit unbeobachteter Heterogenität eine Dummy-Variable für die zweite Zeitperiode einbezogen werden. Für diesen Fall von T = 2 hat die first-differenced Schätzung den Vorteil, dass diese sehr einfach mit ökonometrischen Programmpaketen selbst implementiert werden kann 24

25 Beispiel: Erklärung von Kriminalitätsraten (I) Mit Paneldaten für n = 46 Städte in den USA für die beiden Jahre 1982 und 1987 wird der Effekt von Arbeitslosenraten (unem) und der Bevölkerungsdichte (popden) auf die Anzahl der Straftaten auf 1000 Personen (crmrte) untersucht. Bei der OLS-Schätzung in den ersten Differenzen zeigen sich mit STATA folgende Ergebnisse: reg d.(crmrte unem popden) Source SS df MS Number of obs = F( 2, 43) = 4.21 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.crmrte Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] unem D popden D _cons

26 Beispiel: Erklärung von Kriminalitätsraten (II) Bei der fixed effects Schätzung zeigen sich mit STATA folgende Ergebnisse: xtreg crmrte unem popden d87, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 92 Group variable: area Number of groups = 46 R-sq: within = Obs per group: min = 2 between = avg = 2.0 overall = max = 2 F(3,43) = 4.29 corr(u_i, Xb) = Prob > F = crmrte Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] unem popden d _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(45, 43) = 8.18 Prob > F =

27 Für T 3 sind die fixed effects und first-differenced Schätzungen in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität nicht mehr identisch: Da beide Schätzer mit den Annahmen D1 bis D4 sowohl erwartungstreu als auch konsistent (für festes T mit n ) sind, ergibt sich hieraus kein Kriterium für die Vorteilhaftigkeit eines der beiden Schätzer Für große n und kleine T ergeben sich bei beiden Schätzern jedoch Effizienzunterschiede, die durch Autokorrelationen in den idiosynkratischen Fehlern v it bestimmt werden (unter der Annahme der Homoskedastizität in v it, da nur in diesem Fall Effizienzunterschiede analysiert werden können) Falls die v it nicht autokorreliert sind (falls unbeobachtete Heterogenität vorliegt, ist der gesamte Störterm α i + v it definitionsgemäß immer autokorreliert), ist der fixed effects Schätzer effizienter als der first-differenced Schätzer. Da nun bei linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität oft unterstellt wird, dass die idiosynkratischen Fehler nicht autokorreliert sind, werden bei empirischen Studien fixed effects Schätzungen grundsätzlich häufiger angewendet. Häufig liegt allerdings eine entsprechende Autokorrelation vor. Falls die v it einem random walk folgen (und damit eine sehr starke positive Autokorrelation vorliegt), sind die ersten Differenzen v it nicht autokorreliert, so dass dann first-differenced Schätzungen vorteilhafter sind. Allerdings liegen in vielen Fällen schwache positive Autokorrelationen in v it vor, wodurch die Effizienz der beiden Schätzer nicht einfach abzuleiten ist 27

28 Generell ist nach einer fixed effects Schätzung die Überprüfung der Hypothese, dass keine Autokorrelation in v it vorliegt, (genauso wie die Überprüfung von Homoskedastizität) nicht einfach, da lediglich Schätzungen für v it nicht aber für v it abgeleitet werden können. Dagegen kann diese Hypothese in Bezug auf v it nach einer first-differenced Schätzung mit einem t-test einfach untersucht werden. Für den Fall, dass es dabei keinen Hinweis auf eine entsprechende Autokorrelation in v it gibt, ist es oft sinnvoll, first-differenced Schätzungen durchzuführen. Wenn dagegen eine negative Autokorrelation in v it nachgewiesen wird, bietet sich eher eine fixed effects Schätzung an. Falls alle erklärenden Variablen x ith zwar mit den v it unkorreliert sind, gegen die Annahme der strikten Exogenität aber verstoßen wird (z.b. bei verzögerten abhängigen Variablen), weisen fixed effects Schätzungen für große T meistens geringere Verzerrungen auf. Andererseits ist der first-differenced Schätzer bereits bei schwacher Exogenität der erklärenden Variablen mit E(v it x i1,, x it, α i ) = 0 konsistent. Insgesamt ist die Wahl zwischen beiden Schätzungen nicht einfach, so dass grundsätzlich, vor allem aber bei stark unterschiedlichen Ergebnissen, beide ausgewiesen werden sollten. Bei sehr ähnlichen Schätzergebnissen ist dagegen deren Robustheit umso größer. 28

29 Beispiel: Erklärung von Löhnen Wie zuvor werden wieder mit Paneldaten für 545 dauerhaft berufstätige Männer für die Jahre von 1980 bis 1987 die Determinanten des Logarithmus von Löhnen (logwage) untersucht. Als erklärende Variablen werden erneut lediglich der Familienstand (married) und die Gewerkschaftszugehörigkeit (union) betrachtet. Auf Basis der zuvor betrachteten OLS-Schätzung im linearen first-differenced Modell zeigen sich beim t-test auf AR(1) Autokorrelation in Bezug auf v it folgende Ergebnisse (alternativ können auch Konstante und erklärende Variablen in den t-test einbezogen werden mit ähnlichen Ergebnissen): reg d.(logwage married union) d82 d83 d84 d85 d86 d87 predict u, resid reg u l.u, noconstant Source SS df MS Number of obs = F( 1, 3269) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = u Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] u L

30 Cluster-robuste Konfidenzintervalle und t- und F-Tests: Fixed effects und first-differenced Schätzungen in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität sind (unter den Annahmen D1 bis D4 sowie C1 bis C4) auch bei Heteroskedastizität und Autokorrelation in den idiosynkratischen Fehlern v it erwartungstreu und konsistent Allerdings erfordert die korrekte Konstruktion von Konfidenzintervallen sowie t- und F-Werten, dass Homoskedastizität und keine Autokorrelation vorliegt Für den Fall, dass N deutlich größer als T ist, können die geschätzten Standardabweichungen der geschätzten Parameter über ein clustering für jegliche Formen von Heteroskedastizität und Autokorrelation korrigiert werden Die Idee dabei ist, dass jede Querschnittseinheit i als ein Cluster von Beobachtungen über die Zeit definiert ist und für jedes Cluster beliebige Varianzen und Autokorrelationen in den Störtermen über die Zeit erlaubt sind Die cluster-robuste Schätzung der Standardabweichungen der geschätzten Parameter für die Ableitung von cluster-robusten Konfidenzintervallen und t- und F-Tests bezieht sich aufgrund der unterschiedlichen Ansätze bei fixed effects und first-differenced Schätzungen auf unterschiedliche Gleichungen Die cluster-robuste Schätzung mit STATA erfolgt durch die zusätzliche Anweisung cluster(id), wobei id sich auf die Variable bezieht, die die Querschnittseinheiten identifiziert (bei fixed und auch random effects Schätzern, siehe später, nicht aber bei first-differenced Schätzern ergeben sich durch die Anweisungen robust oder vce(robust) dieselben Resultate) 30

31 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (I) Wie zuvor wird wieder mit Paneldaten für die Jahre 1987, 1988 und 1989 der Effekt von Beihilfen im Rahmen eines Weiterbildungsprogramms in Michigan auf den Logarithmus der Ausschussraten (logscrap) in 54 Unternehmen untersucht. Als erklärende Variablen werden erneut die Beihilfe in einem Jahr t (grant) und die um ein Jahr verzögerte Beihilfe (grantlagged) betrachtet. Es zeigen sich in einem linearen first-differenced Modell unter Einbeziehung der Dummy-Variablen für 1989 mit STATA folgende OLS-Schätzergebnisse: reg d.(logscrap grant grantlagged) d89, cluster(fcode) Linear regression Number of obs = 108 F( 3, 53) = 1.98 Prob > F = R-squared = Root MSE = (Std. Err. adjusted for 54 clusters in fcode) Robust D.logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant D grantlagged D d _cons

32 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (II) Bei der entsprechenden fixed effects Schätzung zeigen sich unter Einbeziehung der Dummy-Variablen für 1988 und 1989 mit STATA folgende Ergebnisse: xtreg logscrap grant grantlagged d88 d89, fe cluster(fcode) Fixed-effects (within) regression Number of obs = 162 Group variable: fcode Number of groups = 54 R-sq: within = Obs per group: min = 3 between = avg = 3.0 overall = max = 3 F(4,53) = 7.07 corr(u_i, Xb) = Prob > F = (Std. Err. adjusted for 54 clusters in fcode) Robust logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged d d _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i)

33 Fixed effects Schätzung mit unbalanced panels: Zumindest implizit wurden bisher balanced panels betrachtet, bei denen für jede Untersuchungseinheit i Daten für alle T Zeitperioden vorliegen. Allerdings fehlen bei vielen empirischen Anwendungen für einige i Daten für einzelne Perioden, so dass ein unbalanced panel gegeben ist. Auch mit unbalanced panels können grundsätzlich fixed effects Schätzungen durchgeführt werden. Wenn T i die Anzahl der Perioden darstellt, für die bei einer Querschnittseinheit i Daten vorliegen, beträgt hier die Anzahl der Beobachtungen N = T 1 + T T n. Durch die within Transformation bleiben diejenigen Querschnittseinheiten unberücksichtigt, bei denen nur für eine Periode Daten vorliegen. Zudem geht hier erneut bei jedem i ein Freiheitsgrad verloren. Allerdings kann der Verlust von Beobachtungen in einzelnen Perioden problematisch sein. Lediglich wenn der Grund für die fehlenden Daten ( attrition ) nicht mit den idiosynkratischen Fehlern v it korreliert ist, ergeben sich bei der fixed effects Schätzung keinerlei Probleme. Wenn allerdings dieser Grund mit den v it korreliert ist, ergeben sich durch die entstehenden Selektionsprobleme ( sample selection problems ) verzerrte fixed effects Schätzer. Demgegenüber erlauben fixed effects Schätzungen, dass attrition mit den unbeobachteten Effekten α i korreliert ist. Attrition Probleme sind eine wichtige Fragestellung in der Paneldatenanalyse. 33

34 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (I) Wie zuvor wird wieder mit Paneldaten für die Jahre 1987, 1988 und 1989 der Effekt von Beihilfen im Rahmen eines Weiterbildungsprogramms in Michigan auf den Logarithmus der Ausschussraten (logscrap) in 54 Unternehmen untersucht. Als erklärende Variablen werden erneut die Beihilfe in einem Jahr t (grant), die um ein Jahr verzögerte Beihilfe (grantlagged) sowie Dummy-Variablen für 1988 (d88) und für 1989 (d89) betrachtet. Allerdings werden jetzt zwei zusätzliche erklärende Variablen einbezogen: Logarithmus der Umsätze (logsales) Logarithmus der Anzahl der Beschäftigten (logemploy) Dadurch fallen jetzt aber drei der 54 Unternehmen aufgrund fehlender Daten zu Umsätzen oder der Anzahl an Beschäftigten völlig heraus. Zudem gehen fünf weitere Beobachtungen wegen fehlender Daten für einzelne Jahre verloren. Damit reduziert sich die Gesamtzahl der Beobachtungen auf N = 148. Die Ergebnisse für den Effekt der kontemporären und der um ein Jahr verzögerten Weiterbildungsbeihilfe bleiben aber auf Basis der fixed effects Schätzung mit diesem unbalanced panel qualitativ sehr ähnlich. Es zeigen sich mit STATA folgende Schätzergebnisse:

35 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (II) xtreg logscrap grant grantlagged logsales logemploy d88 d89, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 148 Group variable: fcode Number of groups = 51 R-sq: within = Obs per group: min = 1 between = avg = 2.9 overall = max = 3 F(6,91) = 4.11 corr(u_i, Xb) = Prob > F = logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant grantlagged logsales logemploy d d _cons sigma_u sigma_e rho (fraction of variance due to u_i) F test that all u_i=0: F(50, 91) = Prob > F =

36 Beispiel: Weiterbildungsprogramme und Ausschussraten (III) Zum Vergleich zeigen sich im entsprechenden linearen first-differenced Modell mit STATA folgende OLS-Schätzergebnisse: reg d.(logscrap grant grantlagged logsales logemploy) d89 Source SS df MS Number of obs = F( 5, 91) = 0.87 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.logscrap Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] grant D grantlagged D logsales D logemploy D d _cons

37 2.2 Random effects Schätzung Ausgangspunkt ist erneut ein lineares Panelmodell mit unbeobachteter Heterogenität, bei dem jetzt explizit eine Konstante einbezogen wird, wodurch (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) die Annahme getroffen werden kann, dass α i im Durchschnitt null ist: y = β + β x + β x + + β x + α + v für i = 1,..., n; t = 1,..., T it 0 1 it1 2 it2 k itk i it Dabei werden üblicherweise wiederum Dummy-Variablen für Zeitperioden einbezogen. Falls α i mit einer oder mehreren erklärenden Variablen korreliert ist, besteht das wesentliche Ziel zunächst darin, diesen unbeobachteten Effekt durch within Transformationen oder die Bildung erster Differenzen zu beseitigen. Allerdings stellt sich die Frage, ob diese Transformationen auch sinnvoll sind, wenn α i mit allen erklärenden Variablen unkorreliert ist: Cov(x ith, α ) = 0 für t = 1,2,..., T; h = 1, 2,..., k i In diesem Fall könnten die Regressionsparameter grundsätzlich in einer Querschnittsanalyse für eine Zeitperiode (also ohne eine Paneldatenanalyse) oder in einem gepoolten linearen Regressionsmodell mit OLS konsistent geschätzt werden. Bei einer Querschnittsanalyse würden allerdings nützliche Informationen aus den anderen Zeitperioden unberücksichtigt bleiben. Bei einem gepoolten linearen Regressionsmodell würde zudem eine wichtige Modelleigenschaft ignoriert werden. Mit ε it = α i + v it ergibt sich: 37

38 y it = β 0+ β1x it1+ β2x it2+ + βkx itk+ ε it für i = 1,..., n; t = 1,..., T Da die α i in ε it in jeder Zeitperiode enthalten sind, ergibt sich notwendigerweise, dass die ε it eine positive Autokorrelation aufweisen. Mit den Annahmen, dass die α i und die v it unkorreliert sind sowie in den v it keine Autokorrelation vorliegt, ergibt sich mit σ α 2 = Var(α i ) = Cov(ε it, ε is ) = Cov(α i +v it, α i +v is ) (für t s) sowie σ v 2 = Var(v it ): 2 Cov(ε it, ε is) σα Corr(ε it, ε is) = = Var(ε )Var(ε ) Var(α +v )Var(α +v ) it is i it i is σ σ = = für t s (σ +σ )(σ +σ ) 2 2 α α σ α v α v α+σv Auf Grund dieser Autokorrelation sind die konventionellen Schätzer der Standardabweichungen (bei Vernachlässigung der Autokorrelation) der mit OLS geschätzten Steigungsparameter verzerrt, so dass auch die Konfidenzintervalle nicht mehr korrekt sowie die t- und F-Statistiken nicht einmal asymptotisch t- und F-verteilt sind. Allerdings kann hier eine Schätzung mit der Verallgemeinerten Methode der kleinsten Quadrate (GLS) durchgeführt werden, bei der zunächst folgende Transformation betrachtet wird: yit- λy i = β 0(1 - λ) + β 1(xit1- λx i1) + + β k(xitk- λx ik) + εit- λεi 38

39 Dabei bedeuten die Überstriche für jede Querschnittseinheit i erneut das arithmetische Mittel über die Zeit und für 0 λ 1 gilt: λ = 1 - σ σ +Tσ 2 v 2 2 v α Es kann gezeigt werden, dass die Störterme (ε it -λε i ) in diesem Ansatz keine Autokorrelation aufweisen. Im Gegensatz zur within Transformation wird hier lediglich ein Teil der arithmetischen Mittel über die Zeit subtrahiert, der von den beiden Varianzen σ α 2 und σ v 2 sowie von der Anzahl der Perioden abhängt. Diese Transformation erlaubt deshalb im Gegensatz zur within Transformation oder der Bildung erster Differenzen auch die Einbeziehung von erklärenden Variablen, die über die Zeit konstant sind (z.b. Geschlecht). Ein GLS-Schätzer ergibt sich nun durch eine gepoolte OLS-Schätzung in obiger Gleichung. Dazu würde man den Wert des Parameters λ benötigen, der allerdings in der Praxis nicht bekannt ist. Er kann jedoch immer mit Hilfe konsistenter Schätzer von σ α 2 und σ v 2 geschätzt werden. Diese geschätzten Varianzen können mit Hilfe von Residuen bei OLS-Schätzungen in gepoolten linearen Regressionsmodellen oder bei fixed effects Schätzungen abgeleitet werden. Mit den Residuen ε it der gepoolten OLS-Schätzung ergibt sich eine Möglichkeit der Schätzung von σ α2 : 39

40 1 n T-1 T 2 α εˆˆ itεis i=1 t=1 s=t+1 ˆσ = nt(t-1) - (k+1) 2 Da σ ε 2 = σ α 2 + σ v 2 kann auf dieser Basis die Varianz σ v 2 mit dem Schätzer σ ε 2 der Varianz des Fehlerterms ε it bei der gepoolten OLS-Schätzung mit Hilfe von σ v 2 = σ ε 2 - σ α 2 geschätzt werden. Damit kann dann λ folgendermaßen geschätzt werden: 2 ˆσv 1 ˆλ = 1 - = σ ˆ ˆ σˆ v +Tσα 1+T ˆσ 2 α 2 v Eine durchführbare ( feasible ) GLS-Schätzung, bei der λ anstatt λ einbezogen ist, wird als random effects Schätzung bezeichnet. Der random effects Schätzer ist nicht erwartungstreu. Im Hinblick auf die Konsistenz und asymptotische Normalverteilung von Funktionen des Schätzers liegen idealerweise die zuvor diskutierten Annahmen D1 bis D4 beim within Schätzer vor. Da die random effects Transformation die Einbeziehung von erklärenden Variablen erlaubt, die über die Zeit konstant sind, kann Annahme D3 durch die schwächere Annahme E3 ersetzt werden. 40

41 Gleichzeitig muss aber zusätzlich zu D4 die Annahme getroffen werden, dass der unbeobachtete Effekt α i und die erklärenden Variablen unkorreliert sind. Es ergibt sich: Annahme E3: Keine perfekte Kollinearität Annahme E4: Bedingter Erwartungswert von α i ist konstant Zusätzlich zu D4 gilt, dass der bedingte Erwartungswert von α i, gegeben die erklärenden Variablen, konstant ist und bei der Einbeziehung einer Konstante deren Wert aufweist, d.h. E(α i x i ) = β 0. Diese Annahme ist der Hauptunterschied zwischen fixed effects und random effects Schätzungen. Mit den Annahmen D1, D2, E3 und E4 sind die random effects Schätzer der Regressionsparameter für festes T mit n konsistent und Funktionen des Schätzers asymptotisch normalverteilt. Für die Ableitung weiterer Eigenschaften der random effects Schätzer sowie von Konfidenzintervallen und t- und F-Statistiken muss neben Annahme D6 zum Fehlen von Autokorrelation in v it bei fixed effects Schätzern zusätzlich folgende Annahme gelten: Annahme E5: Homoskedastizität Zusätzlich zu Annahme D5 gilt, dass die bedingte Varianz von α i, gegeben alle erklärenden Variablen, konstant ist, d.h. Var(α i x i ) = σ α 2 41

42 Mit den Annahmen D1, D2, E3, E4, E5 und D6 sind die üblich geschätzten Standardabweichungen der random effects Schätzungen korrekt und damit die t- und F-Statistiken asymptotisch t- und F-verteilt. Vor allem aber sind die random effects Schätzer asymptotisch effizient. Folgerungen: Random effects Schätzer weisen damit in diesem Fall bei großen n geringere Varianzen auf als übliche gepoolte OLS-Schätzer (wenn bei den gepoolten OLS-Schätzern korrekterweise cluster-robuste Standardabweichungen der geschätzten Parameter geschätzt werden) Bei zeitvarianten erklärenden Variablen sind in diesem Fall die random effects Schätzer insbesondere effizienter als fixed effects Schätzer (zeitinvariante erklärende Variablen können ja ohnehin nicht in fixed effects Schätzungen einbezogen werden) Allerdings ist nicht die Effizienzeigenschaft, sondern die Robustheit bei Korrelationen zwischen dem unbeobachteten Effekt α i und den erklärenden Variablen bei fixed effects Schätzungen die eigentliche Stoßrichtung Insofern muss bei der Wahl zwischen fixed und random effects Schätzungen (siehe später) häufig eine Abwägung zwischen Robustheit und Effizienz vorgenommen werden 42

43 Zusammenhang zwischen verschiedenen Schätzungen in linearen Panelmodellen mit unbeobachteter Heterogenität: Falls λ = 0, ergibt sich eine gepoolte OLS-Schätzung und falls λ = 1, ergibt sich eine fixed effects Schätzung. Allerdings zeigt sich für den Schätzwert λ niemals der Wert null oder der Wert eins. Falls λ klein ist, liegt der random effects Schätzer nahe beim gepoolten OLS-Schätzer. In diesem Fall ist der unbeobachtete Effekt α i (aufgrund der relativ geringen Varianz σ α 2 im Vergleich zu σ v2 ) relativ unbedeutend. Dagegen nimmt λ mit hohem T sowie falls σ α 2 im Vergleich zu σ v 2 groß ist, hohe Werte an. In diesem Fall nähern sich die random effects und fixed effects Schätzer an. Falls α i mit einer erklärenden Variablen korreliert ist, ergibt sich ein inkonsistenter random effects Schätzer. Die entsprechende asymptotische Verzerrung wird durch den Faktor 1 - λ bestimmt, so dass diese für große λ, d.h. für λ 1, immer kleiner wird. In empirischen Anwendungen ist es häufig sinnvoll, auch die üblichen gepoolten OLS-Schätzungen auszuweisen. Dabei ist zu beachten, dass die Teststatistiken selbst für den Fall der Unkorreliertheit der α i mit den erklärenden Variablen wegen der Autokorrelation in den Fehlertermen nicht gültig sind. Allerdings können natürlich cluster-robuste Schätzungen der Standardabweichungen der geschätzten Parameter betrachtet werden. 43

44 Beispiel: Erklärung von Löhnen (I) Für die Analyse der Determinanten des Logarithmus von Löhnen (logwage) werden erneut die Paneldaten für 545 dauerhaft berufstätige Männer für die Jahre von 1980 bis 1987 betrachtet. Dabei werden jetzt neben den fixed effects Schätzungen zusätzlich auch gepoolte OLS-Schätzungen sowie random effects Schätzungen untersucht. In den beiden letzteren Ansätzen (nicht aber im fixed effects Ansatz) können nun die zeitinvarianten Variablen für Bildungsstand (educ) und schwarze Hautfarbe (black) einbezogen werden. Als zeitvariante erklärende Variablen werden Erfahrung (exper), quadrierte Erfahrung (expersq), Familienstand (married) und Gewerkschaftszugehörigkeit (union) betrachtet. Zusätzlich wird die maximale Anzahl von Dummy-Variablen für die Jahre 1981 bis 1987 einbezogen. Dadurch kann der Effekt von exper in der fixed effects Schätzung nicht identifiziert werden, da sich der Wert dieser Variable bei allen untersuchten Personen jeweils um ein Jahr über die Zeit erhöht. Dagegen kann die quadrierte Erfahrung auch im fixed effects Ansatz einbezogen werden. Dabei haben sich mit STATA bei den drei (cluster-robusten) Schätzungen folgende Ergebnisse gezeigt (cluster-robuste Schätzungen der Standardabweichungen der geschätzten Parameter sind somit auch bei der random effects Schätzung möglich):