Synergetik. Hermann Haken. Eine Einführung. Nichtgleichgewichts-Phasenübergänge und Selbstorganisation in Physik, Chemie und Biologie

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1 Hermann Haken Synergetik Eine Einführung Nichtgleichgewichts-Phasenübergänge und Selbstorganisation in Physik, Chemie und Biologie Übersetzt von A. Wunderlin Dritte, erweiterte Auflage Mit 168 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo HongKong

2 Inhaltsverzeichnis 1. Das Ziel 1.1 Ordnung und Unordnung: Typische Erscheinungen Einige charakteristische Problemstellungen Wie wir vorgehen Wahrscheinlichkeit 2.1 Das Objekt unserer Untersuchungen: die Ergebnismenge Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit Verteilungen Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichten Die Verbundwahrscheinlichkeit Erwartungswerte E(X), Momente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Unabhängige und abhängige Zufallsvariable * Erzeugende Funktionen und charakteristische Funktionen Eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung: die Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Die Stirlingsche Formel * Der zentrale Grenzwertsatz Information 3.1 Grundlegende Ideen * Informationsgewinn. Eine anschauliche Herleitung Informationsentropie und Nebenbedingungen Ein Beispiel der Physik: Die Thermodynamik * Ein Zugang zur irreversiblen Thermodynamik Die Entropie - Fluch der statistischen Mechanik? Der Zufall 4.1 Ein Modell für die Brownsche Bewegung Die Zufallsbewegung und ihre Master-Gleichung * Verbundwahrscheinlichkeit und Wege. Markov-Prozesse. Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung Ein Beispiel für die Verbund Wahrscheinlichkeit: das Wegintegral als Lösung der Diffusionsgleichung * Über den Gebrauch von Verbundwahrscheinlichkeiten. Momente. Die charakteristische Funktion. Gauß-Prozesse... 94

3 XII Inhaltsverzeichnis 4.5 Die Master-Gleichung Die exakte stationäre Lösung der Master-Gleichung für Systeme in detaillierter Bilanz i * Die Master-Gleichung bei detaillierter Bilanz. Symmetrisierung, Eigenwerte und Eigenzustände * Die Kirchhoffsche Methode zur Lösung der Master-Gleichung * Theoreme zu Lösungen der Master-Gleichung Die Bedeutung von Zufallsprozessen. Stationärer Zustand, Fluktuationen, Wiederkehrzeit * Master-Gleichung und Grenzen der irreversiblen Thermodynamik Notwendigkeit 5.1 Dynamische Prozesse Ein Beispiel: der überdämpfte anharmonische Oszillator Grenzzyklen Weiche und harte Moden, weiche und harte Anregungen * Kritische Punkte und Trajektorien in der Phasenebene. Grenzzyklen * Stabilität Lokales Kriterium Globale Stabilität (Ljapunov-Funktion) Beispiele und Aufgaben zu Bifurkation und Stabilität * Klassifikation von statischen Instabilitäten - ein elementarer Zugang zur Thomschen Katastrophentheorie Der eindimensionale Fall Der zweidimensionale Fall Der «-dimensionale Fall Zufall und Notwendigkeit 6.1 Langevin-Gleichungen: ein Beispiel * Reservoire und Zufallskräfte Die Fokker-Planck-Gleichung Die völlig deterministische Bewegung Ableitung der Fokker-Planck-Gleichung, eindimensionale Bewegung Einige Eigenschaften und stationäre Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung Die Fokker-Planck-Gleichung als Kontinuitätsgleichung Stationäre Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung Beispiele, ; Zeitabhängige Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung Ein wichtiger Spezialfall: ein eindimensionales Beispiel Die Reduktion der zeitabhängigen Fokker-Planck-Gleichung auf eine zeitunabhängige Gleichung * Eine formale Lösung * Ein Iterationsverfahren * Die Lösung der Fokker-Planck-Gleichung mittels Wegintegralen 190

4 Inhaltsverzeichnis XIII Der eindimensionale Fall Der «-dimensionale Fall Die Analogie zu Phasenübergängen Die Analogie zu Phasenübergängen in kontinuierlichen Medien: ortsabhängige Ordnungsparameter Selbstorganisation 7.1 Organisation Selbstorganisation Die Rolle der Fluktuationen: Zuverlässigkeit oder Anpassungsfähigkeit? Schaltung * Adiabatische Elimination der schnell relaxierenden Variablen aus der Fokker-Planck-Gleichung * Adiabatische Elimination der schnell relaxierenden Variablen aus der Master-Gleichung Selbstorganisation in räumlich ausgedehnten Medien. Eine Darstellung der mathematischen Methoden * Die verallgemeinerten Ginzburg-Landau-Gleichungen für Nichtgleichgewichtsphasenübergänge * Beiträge höherer Ordnung zu den verallgemeinerten Ginzburg-Landau-Gleichungen Systeme der Physik 8.1 Kooperative Effekte beim Laser: Selbstorganisation und Phasenübergang Die Lasergleichungen im Modenbild Feldgleichungen Materiegleichungen Das Ordnungsparameterkonzept Der Einmodenlaser Der Vielmodenlaser Laser mit kontinuierlich vielen Moden. Die Analogie zur Supraleitung Phasenübergänge erster Ordnung beim Einmodenlaser Der Einmodenlaser mit vorgegebenem äußeren Signal Der Einmodenlaser mit sättigbarem Absorber Höhere Instabilitäten Instabilitäten in der Flüssigkeitsdynamik: das Benard- und das Taylor-Problem Die Grundgleichungen Gedämpfte und neutrale Lösungen Die Lösung in der Umgebung R = R c (nichtlinearer Bereich). Die effektiven Langevin-Gleichungen Die Fokker-Planck-Gleichung und ihre stationäre Lösung Ein Modell für die statistische Dynamik der Gunn-Instabilität nahe der Schwelle Elastische Stabilität: Skizze einiger grundlegender Ideen 269

5 XIV Inhaltsverzeichnis 9. Systeme der Chemie und Biochemie 9.1 Chemische und biochemische Reaktionen Deterministische Prozesse ohne Diffusion in einer Variablen Reaktions- und Diffusionsgleichungen Ein Reaktions-Diffusions-Modell mit zwei oder drei Variablen: der Brusselator und der Oregonator Stochastisches Modell für eine chemische Reaktion ohne Diffusion. Geburts- und Todesprozesse. Eine Variable Stochastisches Modell für eine chemische Reaktion mit Diffusion. Eine Variable * Die stochastische Behandlung des Brusselators in der Umgebung seiner Instabilität, die mit einer weichen Mode verknüpft ist Chemische Netzwerke Anwendungen in der Biologie 10.1 Ökologie, Populationsdynamik Wettbewerb und Koexistenz Die Räuber-Beute-Beziehung Die Symbiose Einige allgemeine Bemerkungen Stochastisches Modell für ein Räuber-Beute-System Ein einfaches mathematisches Modell für evolutionäre Vorgänge sowie die Grundidee von Eigens Hyperzyklus Ein Modell zur Morphogenese Ordnungsparameter und Morphogenese Einige Bemerkungen zu den Modellen der Morphogenese Soziologie und Wirtschaftswissenschaften 11.1 Ein stochastisches Modell zur öffentlichen Meinungsbildung Ein Ratengleichungsmodell zur öffentlichen Meinungsbildung Phasenübergänge in der Wirtschaft Chaos 12.1 Was ist Chaos? Das Lorenz-Modell - seine Begründung und Realisierung Wie Chaos entsteht Chaos und das Versagen des Versklavungsprinzips Korrelationsfunktion und Frequenzverteilung Diskrete Abbildungen, Periodenverdopplung, Chaos, Intermittenz Mustererkennung durch synergetische Computer 13.1 Was ist Mustererkennung? Die Konstruktion der Dynamik der Mustererkennung Der allgemeine Fall mehrerer Muster : Historische Bemerkungen und Ausblick 369 Referenzen, weitere Literatur und Bemerkungen 373 Sachwortverzeichnis 389