Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (1)

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (1)"

Johanna Lehmann
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () Grafische Darstellungen dienen... - Einführung - der Unterstützung des Lesens und Interpretierens von Daten. der Veranschaulichung mathematischer Begriffe und Zusammenhänge. Effektive Visualisierungen "Für eine erfolgreiche Visualisierung bedarf es der Beschäftigung mit und eines tiefen Verständnisses um das Wesen, die Qualität, die Relevanz und die Vollständigkeit der Inhalts." (Tufte, 00 * ) Lerne deine Daten kennen! Fünf Prinzipien der Theorie grafischer Darstellungen (nach Tufte, 00 * ): Zeige in erster Linie Daten. Maximiere das Daten-Tinte-Verhältnis (innerhalb vernünftiger Grenzen). Lösche Nicht-Daten-Tinte (innerhalb vernünftiger Grenzen). Lösche redundante Daten-Tinte. Editiere und revidiere die Grafik. * Tufte, E. R. (00). The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire, CT (nd ed.): Graphics Press. Siehe: (7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Darstellung von Häufigkeiten - Häufigkeitsverteilung Die Menge der Paare von Merkmalsausprägungen und Besetzungshäufigkeiten wird als Häufigkeitsverteilung bezeichnet. Absolute und relative Häufigkeitsverteilungen werden dargestellt durch: Kreisdiagramm (oft benutzt, aber ungünstig) Säulen- oder Stabdiagramm Histogramm (mit Polygon) Kumulative Häufigkeitsverteilungen werden dargestellt durch: Treppenkurve Summenpolygon (7)

2 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (3) - Kreisdiagramm - Kreisdiagramm Das Kreisdiagramm wird häufig als eine geeignete Form der Darstellung für kategoriale Variablen angesehen. Aus wahrnehmungspsychologischen Gründen ist das Kreisdiagramm allerdings ungünstig. Noch problematischer sind dreidimensionale Darstellungen (s.u.). Im Kreisdiagramm wird jeder Ausprägung des Merkmals wird Kreissegment zugewiesen. Die Fläche jedes Segments spiegelt die relative bzw. prozentuale Häufigkeit seiner Ausprägung wider. Beispieldaten: Erstsemesterbefragung WS99/00 Psychologie: Merkmal: Leistungskursbereich des. LK (n = 0) künstlerischmusisch 3% gesellschaftswissenschaftlich 8% sprachlichliterarisch 3% sonstiges 8% mathematischnaturwissenschaftlich 8% künstlerischmusisch 3% gesellschaftswissenschaftlich 8% sprachlichliterarisch 3% sonstiges 8% mathematischnaturwissenschaftlich 8% 3(7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Säulendiagramm I - Säulen- oder Stabdiagramm In einem Koordinatensystem werden die Messwerte (oder Klassen) auf der x-achse (Abszisse) und die Häufigkeiten der Messwerte (absolut oder relativ) auf der y-achse (Ordinate) abgetragen. In einem Säulendiagramm lassen sich die Häufigkeiten der Klassen oder Kategorien besser vergleichen als in einem Kreisdiagramm. Die Höhe des Rechteckes oder Stabes auf der Ordinatenachse entspricht der Häufigkeit des Auftretens der Merkmalsausprägung. f (k) 6 Absolute Häufigkeiten f k Säulen berühren sich nicht! ALTER (7)

3 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Säulendiagramm II - P (k) 30 Prozentuale Häufigkeiten P k Säulen berühren sich nicht! ALTER (7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (6) - Histogramm I - Histogramm Liegen Daten mit einer Ordnungsstruktur vor, kann das Histogramm angewendet werden. f (k) 6 Absolute Häufigkeiten f k Säulen grenzen direkt aneinander Auch nicht besetzte Klassen werden berücksichtigt ALTER 6(7)

4 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (7) - Histogramm II - Histogramm Das Histogramm ist insbesondere für kategorisierte Daten Histogram die geeignete of Alter Darstellungsform. Merkmal: Alter in Jahren kategorisiert Absolute Häufigkeiten f k f(k) [8,0) [0,) [,) [,6) [6,8) [8,30) 7(7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (8) - Histogramm III - Histogramm Der Anteil der Fläche unter dem Histogramm bis zu einem bestimmten Skalenpunkt an der Gesamtfläche entspricht der relativen (prozentualen) Histogram kumulativen of AlterHäufigkeit dieses Skalenpunktes. kategorisiert Prozentuale Häufigkeit P k P(k) [8,0) [0,) [,) [,6) [6,8) [8,30) 8(7)

5 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (9) - Histogramm IV - Histogramm Wird die relative Häufigkeit durch die Klassenbreite dividiert, erhält man die Dichte; dieses Maß ist auch für ungleich breite Klassen geeignet; Histogram die Gesamtfläche of Alter ist. kategorisiert Dichte = p(k)/kl.breite Dichte [8,0) [0,) [,) [,6) [6,8) [8,30) 9(7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (9) - Histogramm V - Histogramm und Kerndichtekurve Eine moderne Alternative zum Histogramm ist die Kerndichtekurve. Zwar ist auch ihre Form von der Wahl einer Bandbreite abhängig, Histogram die of Verteilungsform with kernel ist aber density wesentlich curve besser erkennbar. kategorisiert Dichte = p(k)/kl.breite Dichte [8,0) [0,) [,) [,6) [6,8) [8,30) 0(7)

6 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Histogramm VI - Histogramm und Kerndichtekurve Demgegenüber kann die Form des Histogramms sich schon bei einer Änderung der Klassengrenzen (rechter vs. linker Einschluss) Histogram drastisch of ändern; with die kernel Dichtekurve density curve hat dies Problem nicht: kategorisiert Dichte = p(k)/kl.breite Dichte (8,0] (0,] (,] (,6] (6,8] (8,30] (7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Histogramm VII - Histogramm mit Polygon Ist das Merkmal künstlich diskret können die Intervallmitten mit einem Linienzug verbunden werden. Hierbei wird angenommen, dass sich die Werte über die Intervallklassen gleich verteilen. f (k) Merkmal: Alter in Jahren kategorisiert Histogramm mit Polygon ALTER (7)

7 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (3) - Kumulative Häufigkeitsverteilungen I - Summenhäufigkeit Die Kumulation der absoluten Häufigkeiten gibt an, wie viele Merkmalsträger die Merkmalsausprägung x i oder eine geringere besitzen. Relative Summenhäufigkeit Die Kumulation der relativen Häufigkeiten gibt den relativen Anteil der Merkmalsträger an, die die Merkmalsausprägung x i oder eine geringere besitzen. Empirische Verteilungsfunktion Eine Funktion F(x) heißt empirische Verteilungsfunktion oder Summenhäufigkeitskurve des Merkmals X, wenn sie jeder reellen Zahl x den Anteil derjenigen Merkmalsträger zuordnet, deren Merkmalsausprägungen diese Zahl nicht überschreiten. Sie ist nur dann sinnvoll anwendbar, wenn eine Ordnungsrelation der Merkmalsausprägungen vorliegt. F (x) ist monoton wachsend. Ogive Graphische Darstellungen kumulierter Häufigkeiten nennt man Ogiven (sowohl das Summenpolygon als auch die Treppenkurve). 3(7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Kumulative Häufigkeitsverteilungen II - Treppenkurve Ist das Merkmal natürlich diskret (z.b. Kinderanzahl), so kann die kumulierte Häufigkeitsverteilung in Form einer Treppenkurve dargestellt werden. Zwischen den einzelnen Ausprägungen sind stufenartige Sprünge, da kein kontinuierliches Merkmal zugrunde liegt. In der Treppenkurve der kumulativen Verteilung entspricht die Sprunghöhe der Besetzungshäufigkeit. Pcum (k) 00% 90% 80% 60% 0% 0% 0% 0% 0% 00% 9% 90% 90% (7)

8 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen () - Kumulative Häufigkeitsverteilungen III - Summenpolygon Ist das Merkmal künstlich diskret (z.b. Alter), so kann die kumulierte Häufigkeitsverteilung in Form eines Summenpolygon dargestellt werden. Die kumulierten Häufigkeiten am Intervallanfang und -ende einer Klasse werden mit einer geraden Linie verbunden. Dem liegt die Annahme einer gleichmäßigen Verteilung der Messwerte über das Intervall zugrunde. Der Anstieg des Summenpolygons von Intervallanfang bis -ende einer Klasse ist proportional der Besetzungshäufigkeit dieser Klasse. Pcum (k) 00% 90% 80% 60% 0% 0% 0% 0% 0% 9% 00% 90% 90% (7) Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (6) - Kumulative Häufigkeitsverteilungen IV - Summenpolygon Grafische Bestimmung des PR () und C 0. Beispiel: Altersverteilung der StudienanfängerInnen WS 99/00 (N=8) PR ()=80.9% Pcum (k) 00% 90% 80% 76,3% 8,6% 89,0% 9,% 97,% 98,3% 99,% 00,0% 60% 0% 0%,% 0% 0% 0% C 0= (7)

9 Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen (7) - Zusammenfassung - Grafische Darstellung absoluter und relativer Häufigkeitsverteilungen: kategoriale Daten _ (Kreisdiagramm,) Säulendiagramm natürlich diskrete Daten _ Säulendiagramm, Histogramm künstlich diskrete Daten _ Histogramm (mit Polygon) Grafische Darstellung kumulativer Häufigkeitsverteilungen: natürlich diskrete Daten _ Treppenkurve künstlich diskrete Daten _ Summenpolygon 7(7)

Ähnliche Dokumente

3 Häufigkeitsverteilungen

3 Häufigkeitsverteilungen 3.1 Absolute und relative Häufigkeiten 3.2 Klassierung von Daten 3.3 Verteilungsverläufe 3.1 Absolute und relative Häufigkeiten Datenaggregation: Bildung von Häufigkeiten X nominal