Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik =
|
|
- Steffen Kirchner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 H 6. Die Matrizen A, B, C und D seien gegeben durch 5 A =, B =, C = 4 5 4, D = Berechnen Sie (sofern möglich) alle Matrizenprodukte X Y mit X, Y {A, B, C, D}. Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik = n a ij b jk A C = 5; B A = ; B B = 6 ; C A = ; C B = ; D C = ; Beachte insbesondere: A C C A! H 6. Gegeben seien die linearen Gleichungssysteme x a) x x 5 4 = x j=, b) ( + i i i ) y ( = ) mit x,..., x 5 R und y,..., y C. Geben Sie die Lösungsmengen der obigen Gleichungssysteme an. Zu gegebenem linearen Gleichungssystem der Gestalt A x = b mit A K n m und b K n finden wir alle Lösungen x K m z.b. durch elementare Zeilenumformungen der zusamengesetzten Matrix (A b) auf Zeilenstufenform. a) Wir geben alternativ zwei Lösungswege an: Der erste Lösungsweg entspricht dem üblichen Weg, eine Matrix auf Zeilenstufenform (und zusätzlich in echte Diagonalform) zu bringen. Dazu werden 9 Matrizenumformungen benötigt. Dass dies auch mit weniger Umformungen möglich ist, zeigt der zweite Lösungsweg. Da aber der kürzeste (was heißt das überhaupt?) Lösungsweg alles andere als offensichtlich ist,, haben wir an dieser Stelle beide Lösungswege aufgeführt. Bemerkung: m ersten Lösungsweg schreiben wir die Angabe der vorgenommenen Umformung jeweils hinter die Zeile, in der sie tatsächlich vorgenommen wird. m zweiten Lösungsweg schreiben wir die im nächsten Schritt vorzunehmende Umformung bereits hinter die aktuelle Matrix. Beides sind Möglichkeiten zur Kennzeichnung von Matrizenumformungen. Entscheiden Sie, welche hnen besser gefällt, aber bitte kennzeichnen Sie hre Umformungen jeweils in hrem eigenen nteresse. y y
2 . Weg: Es ist K = R, A R 4 5. Vorwärtsschritt: (A b) = V V + V V 5 V V + Rückwärtsschritt 4 V V + V + V V V + V x = x x x 5 = λ, λ R.
3 . Weg: Es ist K = R, A R 4 5 und (A b) = V + V + V V V V Vertauschen wir in letzter Matrix die Zeilen zyklisch, so erhalten wir die Zeilenstufenform, und daraus x =, =, x = λ R, = und x 5 =, also x x = λ = + λ, λ R. x 5 Beachte: Die Zeilenstufenform liefert 4 (wesentliche) Gleichungen für 5 Unbekannte. Daher ist Rg(A) = 4 und Dim(R 5 ) Rg(A) = also eine Unbekannte (hier x ) als freier Parameter wählbar.
4 ( + i i b) Hier ist K = C, A C und (A b) = i Wegen a = ist es sinnvoll (und zulässig!), die beiden Zeilen zu vertauschen: i (A b) + i i ( + i) i i i + i ( i) i + i Daraus lesen wir x + ( i) x = und + x = + i, also x = + ix und = + i x mit frei wählbarem Parameter x = µ C ab. Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b lautet dann x = x x = + iµ + i µ µ = + i ) + µ i, µ C. Beachte: Die Zeilenstufenform liefert (wesentliche) Gleichungen für Unbekannte. Daher ist Rg(A) = und Dim(C ) Rg(A) = also eine Unbekannte (hier x ) als freier Parameter wählbar. H 6. Berechnen Sie abhängig von α R den Rang rg(a) und die Dimension dim(kern(a)) sowie je eine Basis von A(R 4 ) und Kern(A) für die Matrix A := α α α α R4 4 α Bestimmung von Kern(A) = {x R 4 Ax = } Mittels elementarer Zeilentransformationen gelangt man auf Zeilenstufenform von: A = α α α α α α α + 4 α α V α 4 α α α α V 4 α α α =: B. 4
5 Fall α = : Zur Bestimmung von Kern(A) bleiben (wesentliche) Gleichungen für 4 Unbekannte von x R 4 übrig, d.h. der Zeilenrang ist (= Spaltenrang) also rg(a) = rg(b) = und wir können o.e. x und als freie Parameter wählen: x Kern(A) = Kern(B) = {x R 4 Bx = } 4 x = = {x R 4 x = λ, = µ, λ, µ R = x = λ} x = λ + µ λ, µ R {, } ist eine Basis von Kern(A) und dim(kern(a)) =. Beachte: dim(kern(a)) + dim(a(r 4 )) = dim(r 4 ) dim(a(r 4 )) = rg(a) = und die beiden ersten Spalten von A bilden eine Basis von A(R 4 ). Beachte: Ax = ist eine Linearkombination des Nullvektors mit den Spaltenvektoren von A. Wählt man x = =, so erhält man eine Linearkombination der ersten beiden Spaltenvektoren und aus der Berechnung des Kerns, dass diese linear unabhängig sind. Fall α : Zur Bestimmung von Kern(A) bleiben (wesentliche) Gleichungen für 4 Unbekannte von x R 4 übrig, d.h. der Zeilenrang ist (= Spaltenrang) also rg(a) = rg(b) = und wir können o.e. als freien Parameter wählen: x Kern(A) = Kern(B) = {x R 4 Bx = } 4 α α α x = = { x R 4 x4 = λ R x = λ = α = λ α = x = λ( α )} α x = λ α α 4 α 4 λ R x = λ α 4 λ R { α 4 } ist eine Basis von Kern(A) und dim(kern(a)) =. Beachte: dim(kern(a)) + dim(a(r 4 )) = dim(r 4 ) dim(a(r 4 )) = rg(a) = und die ersten drei Spalten von A bilden eine Basis von A(R 4 ); Begründung anlaog zum obigem Fall. 5
A = α α 0 2α α
Aufgabe 8. Berechnen Sie abhängig von α R die Dimension dim(f(r 4 )) und die Dimension dim(kern(f)) sowie je eine Basis von f(r 4 ) und Kern(f) der linearen Abbildung f : R 4 R 4, x Ax mit der Matrix A
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNSCHE UNVERSTÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF DRDR JÜRGEN RCHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MCHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für nformatiker Wintersemester 23/24 Aufgabenblatt 2 23 Januar 24 Präsenzaufgaben
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1 Probeklausur Musterlösung: Aufgabe A
Musterlösung: Aufgabe A Wir betrachten die Matrix A = 1 4 1 1 3 1 4 5 2 M(3 3, Q) und die dazugehörige Abbildung f : Q 3 Q 3 ; v A v. Für j = 1, 2, 3 bezeichne v j Q 3 die j-te Spalte von A. Teilaufgabe
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
Mehr1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen
Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix
Mehr3 Systeme linearer Gleichungen
3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +
Mehrβ 1 x :=., und b :=. K n β m
44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 2 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Mittsemesterprüfung HS, Typ A Name a a Note Vorname Leginummer Datum 29..2 2 4 6 Total
MehrKapitel 16. Invertierbare Matrizen
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,
MehrLineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 18.10.2012 Alexander Lytchak 1 / 12 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der
Mehr3 Lineare Algebra Vektorräume
3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +
Mehr6 Lineare Gleichungssysteme
6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α
Mehra 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
Mehr3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
Mehr3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 17.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 9 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche
Mehr[5], [0] v 4 = + λ 3
Aufgabe 9. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i + 0. K = Z/7Z und U Z/7Z = span
MehrLineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung
Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Ein lineares Gleichungssystem, bei dem alle Einträge auf der rechten Seite gleich sind heiÿt homogenes lineares Gleichungssystem: a x + a 2 x 2 +... + a n x n
Mehr9 Lineare Gleichungssysteme
9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik
Übungen zum Vorkurs Mathematik Blatt 1 W.S.2009/2010 - Ernst Bönecke Aufgaben zur Aussagenlogik 1.) Seien A, B, C Aussagen. Beweisen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass folgende Aussagen stets wahr
Mehr6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 2/ 25..-.2. Aufgabe G (Lineare Gleichungssysteme)
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns anschließend mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren einmal den begrifflichen Aspekt, d.h.
MehrMathematik IT 2 (Lineare Algebra)
Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof Dr L Cromme Mathematik IT (Lineare Algebra für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Sommersemester 3 Lineare Gleichungssysteme
MehrLineare Gleichungssysteme - Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente
Mehr1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa
Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 5 Aufgabe 5.1 Kommutierende Matrizen In der Vorlesung und vergangenen
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eine Familie von Gleichungen der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2............ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m
MehrKapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen
Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Matrixform des Rangsatzes Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. A habe den Rang r. Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2. x n x
MehrMatrizen und Determinanten, Aufgaben
Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen
Mehr3.9 Elementarmatrizen
90 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen 3.9 Elementarmatrizen Definition 9.1 Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare
MehrProseminar Lineare Algebra WS 08/09 Prof. Dr. O. Bogopolski 1. Vortrag: Lineare Gleichungen. am 11. März von Maximilian Wahner
Proseminar Lineare Algebra WS 08/09 Prof. Dr. O. Bogopolski 1 Vortrag: Lineare Gleichungen am 11. März 2009 von Maximilian Wahner Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Proseminar Lineare
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrZeilenstufenform eines Gleichungssystems
Zeilenstufenform eines Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem mit einer m n-koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren: Ax = b...
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrLineare Gleichungssysteme
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 5. Dezember 2007 Definition : Tomographie (Fortsetzung) : Tomographie Definition: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von n
MehrZeilenstufenform. Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz.
Zeilenstufenform Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz. Satz. Jede m n-matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und analog durch elementare Spaltenumformungen
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
MehrVektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
MehrDer Rangsatz für lineare Abbildungen
Der Rangsatz für lineare Abbildungen Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f), also gleichbedeutend dim Kern(f) = dim V rg(f) Da uns in der Regel bei gegebenem
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:
MehrAufgaben zu Kapitel 14
Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Definition. Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n und b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......
MehrLösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Mehr1 Zum Aufwärmen. 1.1 Notationen. 1.2 Lineare Abbildungen und Matrizen. 1.3 Darstellungsmatrizen
1 Zum Aufwärmen 1.1 Notationen In diesem Teil der Vorlesung bezeichnen wir Körper mit K, Matrizen mit Buchstaben A,B,..., Vektoren mit u,v,w,... und Skalare mit λ,µ,... Die Menge der m n Matrizen bezeichnen
Mehra 1 a 1 A = a n . det = λ det a i
49 Determinanten Für gegebene Vektoren a 1,,a n K n, betrachte die Matrix deren Zeilenvektoren a 1,,a n sind, also A = Ab sofort benutzen wir diese bequeme Schreibweise Definition Sei M : K n K }{{ n K
MehrAllgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
Mehr3.4 Der Gaußsche Algorithmus
94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,
MehrKapitel 1. Matrizen und lineare Gleichungssysteme. 1.1 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m); Matrixmultiplikation;
Kapitel 1 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 11 Matrizenkalkül (Vektorraum M(n,m; Matrixmultiplikation; Transposition; Spalten- und Zeilenvektoren Matrizen sind im Prinzip schon bei der schematischen
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 2013/14 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 203/4 Lösungen zu den Übungsaufgaben (Vortragsübung) Blatt 7 Aufgabe 27 Sei eine lineare Abbildung f : R 4 R 3 gegeben durch f(x, x 2, x 3 ) = (2 x 3 x 2
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
MehrKlausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I)
Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Mathematik Prof. Dr. Anusch Taraz Sommersemester 215 Klausur zur Mathematik I (Modul: Lineare Algebra I) 28.8.215 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten
MehrMATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER Inhaltsverzeichnis
MATHEMATIK II FÜR STUDIERENDE DER INFORMATIK UND WIRTSCHAFTSINFORMATIK (ANALYSIS UND LINEARE ALGEBRA) IM SOMMERSEMESTER 206 STEFAN GESCHKE Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Literatur 3. Lineare Gleichungssysteme
MehrLösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I
Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv?
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr2.2 Kern und Bild; Basiswechsel
22 Kern und Bild; Basiswechsel 22 Kern und Bild; Basiswechsel 35 Jede lineare Abbildung definiert charakteristische Unterräume, sowohl im Ausgangsraum als auch im Bildraum 22 Satz Sei L: V W eine lineare
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 74 Lineare Gleichungssysteme Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 74 Lin Glsyst 1 / 83 1 Allgemeine Vorbetrachtungen
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.4 Lineare Gleichungssysteme
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 84 Lineare Gleichungssysteme wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrDas inhomogene System. A x = b
Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrLösung Test 2 (Nachprüfung)
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für ngenieure Herbstsemester Dr Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Aufgabe : Lösung Test (Nachprüfung a Wir verwenden den Gauss-Jordan-Algorithmus, um die erweiterte Koeffizientenmatrix
Mehr4 Der Gauß Algorithmus
4 Der Gauß Algorithmus Rechenverfahren zur Lösung homogener linearer Gleichungssysteme Wir betrachten ein GLS (1) a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = a 1 x 1 + a x + + a n x n = a m1 x 1 + a m x + + a mn x
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
Mehr4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
MehrKlausurähnliche Aufgaben
Sommersemester 2007/08 Lineare Algebra Klausurähnliche Aufgaben Aufgabe 1 Seien v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 die Vektoren in R 5 mit v 1 = (1, 2, 3, 1, 2), v 2 = (2, 4, 6, 2, 4), v 3 = ( 1, 1, 3, 0, 3),
MehrIV.3. RANG VON MATRIZEN 81
IV3 RANG VON MATRIZEN 8 Ist b,,b n eine Basis des reellen Vektorraums V, dann bildet b,,b n auch eine Basis des komplexen Vektorraums V C Mit V ist daher auch V C endlichdimensional und es gilt dim C V
MehrMathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 55 22 Lineare Gleichungssysteme Das Lösen von Gleichungen (ganz unterschiedlichen Typs und unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades) gehört zu den Grundproblemen
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
MehrMatrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das
MehrLineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...
MehrR 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte
Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 13. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum
Mehr5 Die Allgemeine Lineare Gruppe
5 Die Allgemeine Lineare Gruppe Gegeben sei eine nicht leere Menge G und eine Abbildung (Verknüpfung) : G G G, (a, b) a b( a mal b ) Das Bild a b von (a, b) heißt Produkt von a und b. Andere gebräuchliche
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.
Mehr3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
3 Matrizen und LGS Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 38 3 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme 3.1 Definitionen Sei K ein Körper, und seien m,n,l natürliche Zahlen. Definition: Eine Matrix mit m Zeilen
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrLineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen
Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir
Mehr