Vektorräume und Lineare Abbildungen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vektorräume und Lineare Abbildungen"

Transkript

1 Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) Grundoperationen Um den Vektorraum zu verstehen müssen wir erst die Grundoperationen die angewendet werden beschreiben (hier am Beispiel der geometrischen Vektoren, für andere mögliche Elemente eines Vektorraumes müssen sie sinnvoll definiert werden): 1. Addition zweier Vektoren Vektoren werden gemäss dem altbekannten Parallelogramm addiert. Abbildung 1: Vektoraddition 1

2 2. Multiplikation mit einem Skalar: Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar a (d.h. einer eindimensionalen Zahl) bleibt die Richtung des Vektors erhalten. Nur die Länge wird gestreckt wobei a der Streckungsfaktor ist. Dabei gelten immer folgende Rechenregeln: ( a, b, c sind Vektoren, α, β Skalare Zahlen) i) a + b = b + a ii) a + ( b + c) = ( a + b) + c iii) a + 0 = 0 iv) a + ( a) = 0 v) α(β a) = (αβ) a vi) (α + β) a = α a + β a vii) 1 a = a α( a + b) = α a + β b Definition Vektorraum Ein Vektorraum ist eine Menge von Elementen (Vektoren), die bezüglich der definierten Grundoperationen abgeschlossen ist. Das heisst, Elemente eines Vektorraumes untereinander oder mit einem Skalar verknüpft ergeben wieder ein Element desselben VR. Somit sind Vektorräume bezüglich der Grundoperationen Abelsche Gruppen. Bemerkung: Elemente eines Vektorraums können nicht nur geometrische Vektoren sein. Es kann sich beispielsweise auch um Matrizen oder Funktionen handeln. Es müssen nur die Grundoperationen neu definiert werden. Für Funktionen zum Beispiel ist es nahe liegend unter der Multiplikation mit einem Skalar die Streckung der Funktionswerte zu verstehen. Auch die Addition zweier Funktionen wird wohl jeder intuitiv richtig definieren. Prüfen wir nach, kommen wir schnell zum Schluss, dass die Bedingungen für einen Vektorraum der aus Funktionen besteht, erfüllbar sind. 1.2 Eigenschaften von Vektorräumen Der Untervektorraum (UVR) Nehmen wir uns einen grossen Vektorraum, mit vielen Elementen, wie R 2. Die in ihm enthaltenen Vektoren sind von der Form (x, y). Nehmen wir daraus nur die Teilmenge U der Vektoren deren y-wert gleich 0 ist. Sie sind von der Form (x, 0). Ohne nachzuprüfen ist uns klar dass die erlaubten Grundoperationen für R 2 auch für U gelten. Kurz darüber nachgedacht, ist es auch offensichtlich das jede Anwendung der Grundoperationen auf einen Vektor der Form (x, 0), nur einen Vektor derselben Form erzeugen kann. 2

3 Offensichtlich erfüllt die Menge U alle Kriterien für einen Vektorraum. Gleichzeitig ist U komplett enthalten in R 2. U ist damit ein Untervektorraum des Vektorraumes R Linearkombination Ein Vektor b ist dann linear abhängig von einer Menge Vektoren A = ( a 1, a 2,..., a n ) wenn folgende Gleichung erfüllbar ist ohne dass alle c i gleich 0 sind: a 1 c 1 + a 2 c a n c n = b (1) b ist linear abhängig von der Menge A. er lässt sich komplett durch Elemente von A ausdrücken und ist auch definitiv in einem Vektorraum mit der Menge A Erzeugungssystem Sind alle Vektoren b eines Vektorraumes V linear abhängig von einer Teilmenge A des Vektorraumes V, so ist A ein Erzeugungssystem des Vektorraumes V. (Die triviale Lösung A = V ist offensichtlich und sinnlos. Ein Erzeugungssystem macht erst dann Sinn wenn es weniger Elemente hat als der Vektorraum den es erzeugt.) Basis Eine Basis eines Vektorraumes V, ist ein Erzeugungssystem für V dessen Elemente alle linear unabhängig voneinander sind. Es hat die minimal nötige Anzahl von Elementen. Daraus folgt auch, dass ein Erzeugungssystem das keine Basis ist, überflüssige Elemente enthält. Bemerkung: Ein Erzeugungssystem kann von linear abhängigen Vektoren befreit werden, wenn alle Elemente a i (nach Gleichung 1) durch Linearkombination den Nullvektor erzeugen können. Durch subtrahieren von a n und dividieren durch c n, zeigt die Gleichung nun, dass a n eine Linearkombination der Vektoren a 1 bis a n 1 ist. a n kann eindeutig erzeugt werden und kann somit aus dem Erzeugungssystem gestrichen werden. Kann die Gleichung nicht mehr erfüllt werden ohne, dass alle c i = 0 sind, so ist aus dem Erzeugungssystem eine Basis geworden (durch Elimination der linear abhängigen Elemente). Grösse einer Basis (für V n ): i) Mehr als n Vektoren sind linear abhängig. ii) Weniger als n Vektoren sind nie ein Erzeugungssystem. 3

4 iii) n Vektoren sind dann ein Erzeugungssystem, wenn sie linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden. Glaubt man obigen drei Annahmen haben alle Basen für V n n Elemente. Auf einen Beweis der obigen Annahmen wird verzichtet. Es sollte aber möglich sein durch Vertiefung der Bedeutung jeder einzelnen Aussage intuitiv deren Richtigkeit zu glauben. 1.3 Normierte Vektorräume Die Norm eines Vektors wird auch als Länge oder Betrag bezeichnet. Bei der Vorstellung eines Vektors als Pfeil, d.h. als gerichtete Strecke, stellt diese die Länge dar. Beim Lösen von der Idee des Vektors als Pfeil muss eine andere Art gefunden werden, wie der Längenbegriff zu definieren ist. Deshalb werden die Eigenschaften in den Vordergrund gesetzt. Die Norm eines Vektors a wird a geschrieben. Def. 1 Wenn V ein Vektorraum ist und eine Vorschrift einem Vektor a V eine reelle Zahl a zuordnet, heisst diese Norm, wenn die folgenden Regeln erfüllt sind. 1. i) Für jeden Vektor a Vgilt a 0, ii) aus a = 0 folgt a = Für jeden Vektor a V und für jede Zahl α gilt: αa = α a Für komplexe Zahlen: α = u 2 + v 2, falls α = u + iv ist. 3. Für alle Vektoren a, b V gilt: a + b a + b (Dreiecksgleichung). Die folgenden Normen sind bei Vektorräumen anzuwenden, welche aus Vektoren bestehen. L p -Normen: x p := p x 1 p + x 2 p + x 3 p (=Klasse von Normen) Euklidische Norm: x 2 := x1 2 + x2 2 + x3 2 (gehört zu den L p -Normen) Maximumnorm: x := max( x 1, x 2, x 3 ) 4

5 Abbildung 2: Einheitskreisscheibe mit verschiedenen L p -Normen Vektorräume aus Funktionen bestehend benötigen eine andere Norm. Diese Norm f ist z.b. der maximale mögliche Wert einer Funktion f(x) I = [a, b], anstelle von f(x) wird jedoch f(x) eingesetzt, da auch die negativen Ausschläge berücksichtigt werden (2). In diese Norm kann auch noch die zweite Ableitung hinein genommen werden (3). Diese Norm kann damit mehr über die Funktion aussagen. f 0 := max f(x) (2) x I 1.4 Skalarprodukt f 1 := max f(x) + max f (x) (3) x I x I So wie der Längenbegriff über die Norm definiert werden kann, wird der Begriff des Winkels über das Skalarprodukt definiert. cos ϕ = <a,b>, falls a 0, b 0 a b Wenn (a, b) = 0 stehen a und b senkrecht aufeinander, sind sie orthogonal. Def. 2 Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Vorschrift, welche jedem Paar x, y von Vektoren eine reelle Zahl (x, y) zuordnet, heisst Skalarprodukt im Vektorraum V, wenn die folgenden Regeln erfüllt sind: 1. Das Skalarprodukt ist linear im zweiten Faktor, d.h. es gilt: i) (x, y (1) + y (2) ) = (x, y (1) ) + (x, y (2) ) x, y (1), y (2) V ii) (x, αy) = α(x, y) x, y V, α R 5

6 2. Das Skalarprodukt ist symmetrisch, d.h. es gilt: (x, y) = (y, x) x, y V 3. Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h. es gilt: i) (x, x) 0 x, y V; ii) aus (x, x) = 0 folgt x = 0 Folgend sind Beispiele von Skalarprodukten eines Vektorraums mit Vektoren und anschliessend Funktionen. Standardskalarprodukt in R n : Skalarprodukt in C[a, b] : (x, y) := x T y (f, g) := b a f(t)g(t)dt f, g Fkt C[a, b] Def. 3 Zwei Vektoren x, y V heissen orthogonal, wenn (x, y) = 0. Da cos ϕ = 0 falls x 0, y 0, wobei ϕ = 90 Satz 1 Sei V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt. i) Die orthogonale Projektion eines Vektors x auf den Vektor y 0 ist gegeben durch den Vektor (x,y) (y,y) y ii) Für alle x, y V gilt:(x, y) 2 (x, x)(y, y) (Schwarzsche Ungleichung) iii) Die Vorschrift, die jedem x V die Zahl x := (x, x) zuordnet, ist eine Norm in V. iv) Stehen zwei Vektoren x, y V senkrecht aufeinander, d.h. ist (x, y) = 0, so gilt x + y 2 = x y 2 = x 2 + y 2 (Satz von Pythagoras). Dabei bezeichnet x, x V die in iii) eingeführte Norm. 6

7 2 Lineare Abbildungen Def. 4 Eine Abbildung F : x V y = F (x) W ist eine lineare Abbildung von V W, falls: i) F (x, y) = F (x) + F (y) x, y V ii) F (αy) = αf (x) α, x V 2.1 Lineare Abbildungen und Matrizen Es gilt V = R n, W = R m und die lineare Abbildung F : x V y W ist gegeben durch eine m n-matrix A, d.h. y = Ax. Sowie V n bzw V m für den Vektorraum der n x 1-Matrizen. Def. 5 Sei F : x V n y V m eine lineare Abbildung. i) Die Menge aller Vektoren, welche auf null abgebildet werden, heisst Kern der Matrix A. Kern A := {x V n Ax = 0} ii) Die Menge aller Bildvektoren y V m heisst Bild der Matrix A. Bild A := {y V m Es gibt ein x V n, so dass y = Ax} Eigenschaften von Kern A und Bild A (im Zusammenhang mit Ax = b und Ax = 0) i) b Bild A es gibt ein x womit b = Ax lösbar, d.h., dass b Bild A mindestens eine Lösung besitzt. ii) x Kern A falls x das homogene Gleichungssystem löst. iii) Kern A ist ein Unterraum von V n. Bild A ist ein Unterraum von V m. iv) Es gilt: dim(kerna) + dim(bilda) = n = dimv n da (n r) + r = n = V n v) Es gilt: dim(bilda) = (dim(bilda T ) Zusammensetzen von Abbildungen H(x) = G(F (x)) G F und liest sich als: G verknüpft mit F Es gilt: Das Zusammensetzen von linearen Abbildungen ist wiederum linear. 7

8 2.2 Abbildungen und Skalarprodukt Wird der n-dimensionale Vektorraum V zu R n, dann wird das Skalarprodukt zum Standardskalarprodukt. Eine lineare Abbildung F ist gegeben durch F : x R n Standardskalarprodukt ist enthalten in R n und R m y = Ax R m. Das Es gilt: i) Die Unterräume Bild A und Kern A T von R m spannen R m auf: Bild A+Kern A T = R m ii) die Unterräume Bild A und Kern A T von R m stehen senkrecht aufeinander: Aus y Bild A und v Kern A T folgt (y, v) = 0 iii) dim(bilda) + dim(kerna T ) = dimr m = m Das Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b senkrecht auf allen Lösungen des so genannten adjungierten Gleichungssystem A T y = 0 steht. Denn aus ii) wissen wir, dass Bild A genau aus denjenigen Vektoren besteht, die senkrecht auf dem Kern von A T stehen. Beispiel:Fibonacci-Folge F 0, F 1, F 2,... 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Die Fibonacci-Folge ist wie folgt definiert: F 0 = 0, F 1 = 1 ) F n+1 = F n + F n 1 n = 1, 2, 3,... x n sei ( Fn F n+1, gesucht ist die lineare Abbildungsmatrix A, die x n nach x n+1 überführt (Also x n A = x n+1 ) Lösung: ( ) 0 1 A = 1 1 x 3 = ( 2 3 ) A = ( 3 5 ) 8

9 2.3 Lineare Selbstabbildungen von Vektorräumen Untersucht werden lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraumes V n = R n. Die linearen Abbildungen sind also quadratische Matrizen. Def. 6 i) Eine Abbildung F : x V n x V n heisst umkehrbar oder invertierbar, falls es zu jedem x V n ein eindeutig bestimmtes x V n gibt mit x = F (x). ii) Ist F invertierbar, so heisst die Abbildung, die jedem x = F (x) das eindeutig bestimmte Urbild x zuordnet, die Umkehrabbildung von F. Diese wird mit F 1 bezeichnet. Eigenschaften umkehrbarer linearen Abbildungen: i) Eine lineare Abbildung F : x V n x = Ax V n ist genau dann umkehrbar, wenn A regulär ist. ii) Ist F : x x = Ax umkehrbar, so ist F 1 linear und F 1 wird durch die Matrix A 1 beschrieben. F 1 : x x = A 1 x. iii) Ist F umkehrbar, so gilt F 1 F = F F 1 = I. Dabei ist I die Identität, d.h. I : x V n x V n Koordinatentransformation Koordinatentransformation = Im Vektorraum wird eine neue Basis gewählt. Def. 7 Eine Koordinatentransformation ist eine umkehrbare lineare Abbildung T : y W n x = T y V n. Ein Punkt x = (x 1, x 2,..., x n ) T V n hat mit der Standardbasis des Vektorraums als Komponenten genau die Koordinaten von x. Nimmt man nun eine neue Basis t (1),..., t (n) V n, kann Punkt x als Linearkombination dieser neuen Vektoren dargestellt werden: x = y 1 t (1) + y 2 t (2) + y 3 t (3) y n t (n) y i sind die neuen Koordinaten des Punktes x bezüglich der neuen Basis. Satz 2 Seien eine lineare Abbildung F : x V n x = Ax V n und eine Koordinatentransformation T : y W n x = T y V n gegeben. Dann lässt sich die lineare Abbildung in den neuen Koordinaten darstellen als: G = T 1 F T : y W n y = T 1 AT y W n 9

10 2.3.2 Norm einer Matrix Die Grösse oder Norm einer Matrix soll angeben, um welchen Faktor sich die Norm eines Vektors x maximal verändert, wenn man auf ihn die Abbildung F : x x = Ax anwendet. Def. 8 Sei A eine n n-matrix, und sei in V n eine Norm x, x V n gegeben. Dann heisst die Zahl { } Ax A := sup x V n,x 0 x Norm von A. Durch Umformen: ( x V n, x 0, der Vektor 1 x x hat die Norm 1): Eigenschaften: A := sup { Ax } x =1 i) A 0, aus A = 0 folgt A = 0 ii) αa = α A. iii) A + B a + B iv) Ax A x v) AB A B Orthogonale Abbildungen Ausgehend von folgenden Annahmen: Orthonormale Basis V, die Vektoren x V werden mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert. V = R n ; F : x x = Ax. Skalarprodukt: (x, y) = x T y. Norm euklidisch x := x 2, x R n Def. 9 i) Die Abbildung F : x R n x = Ax R n heisst orthogonal, falls (x, y ) = (Ax, Ay) = (x, y) x, y R n gilt. ii) Die Abbildung F : x R n x = Ax R n heisst längentreu, falls x = Ax = x x R n gilt. 10

11 Eigenschaften: (F : x R n x = Ax R n, (x, y ) = (Ax, Ay) = (x, y)) i) F ist orthogonal. ii) F ist längentreu. iii) Die Spalten von A bilden eine orthonormale Basis in R n. iv) Die Matrix A ist orthogonal, d.h. es gilt AA T = I, bzw. A T = A 1. 11

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

1 Euklidische und unitäre Vektorräume

1 Euklidische und unitäre Vektorräume 1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen

Mehr

Lineare Algebra. 9. Übungsstunde. Steven Battilana.

Lineare Algebra. 9. Übungsstunde. Steven Battilana. Lineare Algebra 9. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch November 2, 26 Erinnerung Sei x, y 2 E n, 2 E, danngilt: hx, yi = kxkkyk cos( ). Ist m eine beliebige natürliche Zahl, apple i,

Mehr

Mathematik für Anwender II

Mathematik für Anwender II Prof Dr H Brenner Osnabrück SS 22 Mathematik für Anwender II Vorlesung Euklidische Vektorräume Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge,

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }. 154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =

Mehr

Serie 5. ETH Zürich - D-MAVT Lineare Algebra II. Prof. Norbert Hungerbühler

Serie 5. ETH Zürich - D-MAVT Lineare Algebra II. Prof. Norbert Hungerbühler Prof. Norbert Hungerbühler Serie 5 ETH Zürich - D-MAVT Lineare Algebra II. a) Die Abbildung V n R n, v [v] B, die jedem Vektor seinen Koordinatenvektor bezüglich einer Basis B zuordnet, ist linear. Sei

Mehr

Grundlegende Definitionen aus HM I

Grundlegende Definitionen aus HM I Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen

Mehr

12. R n als EUKLIDISCHER VEKTORRAUM

12. R n als EUKLIDISCHER VEKTORRAUM 12. R n als EUKLIDISCHER VEKTORRAUM 1 Orthogonalität in der Ebene. Die Vektoren in der Ebene, die (im üblichen Sinne) senkrecht zu einem Vektor x = (x 1, x 2 ) T stehen, lassen sich leicht angeben. Sie

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof Dr H Brenner Osnabrück SS 26 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 2 Orthogonalität Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen,

Mehr

9. Übung zur Linearen Algebra II -

9. Übung zur Linearen Algebra II - 9. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 00. Aufgabe 33 (i) Beweise oder widerlege: In einem euklidischen VR gilt x + y = x + y x y (Satz von Pythagoras).

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Kapitel 3 Lineare Algebra

Kapitel 3 Lineare Algebra Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND

Mehr

1 Linearkombinationen

1 Linearkombinationen Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch

Mehr

9 Vektorräume mit Skalarprodukt

9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden

Mehr

3 Vektorräume abstrakt

3 Vektorräume abstrakt Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare

Mehr

L2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:

L2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele: L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Übliche

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

3 Lineare Algebra Vektorräume

3 Lineare Algebra Vektorräume 3 Lineare Algebra Vektorräume (31) Sei K ein Körper Eine kommutative Gruppe V bzgl der Operation + ist ein Vektorraum über K, wenn eine Operation : K V V (λ, v) λv existiert mit i) v,w V λ,µ K: λ (v +

Mehr

= ( n x j x j ) 1 / 2

= ( n x j x j ) 1 / 2 15 Skalarprodukte 77 15 Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors

Mehr

3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153

3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153 3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische

Mehr

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume

Übersicht Kapitel 9. Vektorräume Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9

Mehr

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete

Mehr

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie

Mehr

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,

Mehr

6. Normale Abbildungen

6. Normale Abbildungen SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische

Mehr

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro:

Mehr

Ergänzung zum HM Tutorium

Ergänzung zum HM Tutorium Ergänzung zum HM Tutorium Patrik Hlobil Niko Kainaris Dieses Dokument erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Es stellt keine Vorlesungszusammenfassung dar, sondern soll euch lediglich

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Unter einem reellen inneren Produktraum verstehen wir einen Vektorraum V über

Unter einem reellen inneren Produktraum verstehen wir einen Vektorraum V über 9 Innere Produkte In diesem Kapitel betrachten wir immer Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen R oder dem Körper der komplexen Zahlen C. Definition 9.1: Sei V ein Vektorraum über R. Ein inneres

Mehr

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November, 7 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E,

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2) Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:

Mehr

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif 14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte

Mehr

1 Matrizenrechnung zweiter Teil

1 Matrizenrechnung zweiter Teil MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten

Mehr

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen

4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen 4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme

Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme KAPITEL Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme. Lineare Abbildungen und Koordinatendarstellungen.. Lineare Abbildungen und ihre Basisdarstellung. Seien V, W Vektorraume uber R. Mit einer Abbildung

Mehr

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.

Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18. 18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen

Mehr

Prüfung Lineare Algebra 2

Prüfung Lineare Algebra 2 1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,

Mehr

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09 4 Einführung Vektoren und Translationen

Mehr

Skalarprodukt, Norm & Metrik

Skalarprodukt, Norm & Metrik Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

Kapitel II. Vektoren und Matrizen

Kapitel II. Vektoren und Matrizen Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft

Mehr

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im

Mehr

Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April 2016 1 / 20 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung:

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo

4. Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI), AngGeo Fachbereich Mathematik Prof. J. Lehn Hasan Gündoğan, Nicole Nowak Sommersemester 8 4./5./8. April 4. Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI, AngGeo Gruppenübung Aufgabe G9 (Multiple Choice Bei

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt

Mehr

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es

Mehr

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß

Lineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Lineare Algebra I - 26. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Donnerstag 8.12.: 8:30 Uhr - Vorlesung 10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde Klausur: Mittwoch, 14.12. 14:15 Uhr, A3 001 Cauchy-Schwarz

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren

Mehr

Der n-dimensionale Raum

Der n-dimensionale Raum Der n-dimensionale Raum Mittels R kann nur eine Größe beschrieben werden. Um den Ort eines Teilchens im Raum festzulegen, werden schon drei Größen benötigt. Interessiert man sich für den Bewegungszustand

Mehr

Lineare Algebra II 11. Übungsblatt

Lineare Algebra II 11. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross 9 / Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest (Bearbeitung innerhalb von Minuten und ohne Benutzung des

Mehr

Prüfung EM1 28. Jänner 2008 A :=

Prüfung EM1 28. Jänner 2008 A := 1. Die Menge der Eigenwerte der Matrix ist Prüfung EM1 28. Jänner 2008 A := ( 0 1 ) 0 1 A. {1, 0} B. { 1} C. {0} D. {0, 1, 1} E. {0, 1} 2. Es seien V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum, ein Skalarprodukt

Mehr

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? 1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2

Mehr

Kapitel 5. Vektorräume mit Skalarprodukt

Kapitel 5. Vektorräume mit Skalarprodukt Kapitel 5 Vektorräume mit Skalarprodukt 119 120 Kapitel V: Vektorräume mit Skalarprodukt 5.1 Elementare Eigenschaften des Skalarprodukts Dienstag, 20. April 04 Wollen wir in einem Vektorraum wie in der

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Lernunterlagen Vektoren in R 2

Lernunterlagen Vektoren in R 2 Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/.. Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel

42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel 4 Orthogonalität 4. Motivation Im euklidischen Raum ist das euklidische Produkt zweier Vektoren u, v IR n gleich, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind. Für beliebige Vektoren lässt sich sogar der

Mehr

Einführung in die Grundlagen der Numerik

Einführung in die Grundlagen der Numerik Einführung in die Grundlagen der Numerik Institut für Numerische Simulation Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Wintersemester 2014/2015 Normierter Vektorraum Sei X ein R-Vektorraum. Dann heißt

Mehr

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.

Gegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen. 1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild

Mehr

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn

Mehr

Lineare Algebra - Zusammenfassung

Lineare Algebra - Zusammenfassung Lineare Algebra - Zusammenfassung Xiaojing George Zhang 15. Februar 2008 Zusammenfassung Eine Zusammenfassung basierend auf dem Skript Lineare Algebra für Ingenieure von Prof. H. Knörer und Lineare Algebra

Mehr

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana.

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. Lineare Algebra 5. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch November, 6 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen +: E E! E, (x, y) 7! x + y (Addition) : E E! E, (x, y) 7! x

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht

Mehr

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n

Mehr

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen

Mehr

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009 I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe

Mehr

3 Lineare Abbildungen und Matrizen

3 Lineare Abbildungen und Matrizen 3 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 3.1. Es seien V und W zwei Vektorräume über demselben Zahlkörper k. Eine Abbildung heisst linear, falls gilt i) [ λ k ] [ v V ] [ f (λ v) = λ f ( v) ] ii)

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen

Mathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,

Mehr

Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat. allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von. ist ein Unterraum von V.

Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat. allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von. ist ein Unterraum von V. L2.3 Basis und Dimension Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat Formaler: was ist die 'Dimension' von Sei Definition: 'Span' 'lineare Hülle' = alle möglichen Linearkombination der

Mehr

12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen

12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen 12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u

Mehr

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12

Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Die Lösungshinweise dienen

Mehr

Skalarprodukt. Das gewöhnliche Skalarprodukt ist für reelle n-tupel folgendermaßen erklärt: Sind. und v := reelle n-tupel, dann ist

Skalarprodukt. Das gewöhnliche Skalarprodukt ist für reelle n-tupel folgendermaßen erklärt: Sind. und v := reelle n-tupel, dann ist Orthogonalität p. 1 Skalarprodukt Das gewöhnliche Skalarprodukt ist für reelle n-tupel folgendermaßen erklärt: Sind u := u 1 u 2. u n reelle n-tupel, dann ist und v := v 1 v 2. v n u v := u 1 v 1 + u 2

Mehr

Einführung in die Mathematik für Informatiker

Einführung in die Mathematik für Informatiker Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden

Mehr

9 Aus der linearen Algebra. Themen: Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen

9 Aus der linearen Algebra. Themen: Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen 9 Aus der linearen Algebra Themen: Der à n Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen Der à n besteht aus den n-tupeln mit x i Ã. x 1 x 2 x = (x 1, x 2,...,x n ) oder x =. x n Der à n besteht aus den

Mehr

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53

Mehr

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5 Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn

Mehr

Kapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49

Kapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49 Kapitel 2 Matrixalgebra Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS.

Mehr