Geometrische Mehrgitterverfahren. Annabell Schlüter

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1 Geometrisce Mergitterverfaren Annabell Sclüter

2 Inaltsverzeicnis 1 Einleitung 2 2 Das Mergitterverfaren für lineare Probleme Dämpfungseigenscaften des Jacobiverfarens Das Zweigitterverfaren Das Mergitterverfaren Das Mergitterverfaren für nict-lineare Probleme 9 4 Das vollständige Mergitterverfaren 11 1

3 Kapitel 1 Einleitung Um Gleicungssysteme mit iterativen Verfaren zu lösen, ist eine Disretisierung des Problems nötig. Je feiner diese Disretisierung ist, desto geringer ist der Informationsverlust und desto genauer die genäerte Lösung. Allerdings steigt der Recenaufwand mit der Anzal der Disretisierungspunte. Beim Mergitterverfaren werden Gitter (Disretisierungen) untersciedlicer Scrittweiten verwendet. Mit Hilfe eines Vorglätters, z.b. der Jacobiiteration oder dem Gauss-Seidel Verfaren, wird zunäcst auf einem feinen Gitter eine Näerungslösung berecnet. Deren Feler ist glatt genug, um in one großen Informationsverlust auf einem gröberem Gitter als Lösung eines Gleicungssystems darzustellen. Die Lösung dieses Grobgitterproblems wird zurüc auf das feine Gitter interpoliert um die ursprünglice Näerungslösung zu verbessern. Wir werden exemplarisc die Glättungseigenscaften des Jacobiverfarens untersucen und uns detaillierter mit dem Mergitterverfaren bescäftigen. 2

4 Kapitel 2 Das Mergitterverfaren für lineare Probleme 2.1 Dämpfungseigenscaften des Jacobiverfarens Zu lösen sei ein Gleicungssystem Au = f. Ein allgemeines Iterationsverfaren zur Lösung solcer Probleme at die Form u (ν+1) = Mu (ν) + Nf. (2.1) Hier sind die Matrizen M und N so zu wälen, dass die Folge u (ν), ν = 0, 1,..., bei gegebenem Startvetor u (0) gegen die Lösung u = A 1 f onvergiert. Sei der Feler nac der ν-ten Iteration definiert durc e (ν) = u u (ν). Dann ist Gleicung (2.1) äquivalent zu e (ν+1) = Me (ν) bzw. e (ν+1) = M ν+1 e (0). M eißt die Iterationsmatrix des Verfarens. Zur Erinnerung: Das Verfaren (2.1) onvergiert genau dann, wenn der Spetralradius der Iterationsmatrix leiner eins ist, also wenn gilt spr(m) < 1. Das gedämpfte Jacobiiterationsverfaren at die Form u (ν+1) = (I ωd ( 1) A)u (ν) + ωd ( 1) f (2.2) mit M = B 1 C und N = B 1, B = 1 D und C = 1 [(1 ω)d+ω(l+u)], wobei 0 < ω ω ω 1 und für eine n n-matrix A gilt: A = D L U mit D = diag(a 11,..., a nn ) und striten oberen bzw. unteren Dreiecsmatrizen L und U. Wir betracten nun ein Beispiel, um die Glättungseigenscaft des Jacobiverfarens zu untersucen: Das eindimensionale Diriclet-Randwertproblem (Poisson-Gleicung): u (x) = f(x), für x Ω = (0, 1) u(x) = g(x), für x {0, 1} 3

5 Zur Disretisierung des Problems verwenden wir ein Gitter Ω mit Scrittweite = 1 und Gitterpunten x n+1 j = j, j = 0, 1,..., n + 1. Eine Disretisierung der zweiten Ableitung am Punt x j ist dann gegeben durc 2 [u(x j 1 2u(x j ) + u(x j 1 )] = u (x j ) + O( 2 ). Lässt man den Disretisierungsparameter weg, erält man ein Gleicungssystem der Form Au = f. Das Eigenwertproblem der zugeörigen Iterationsmatrix M ist gegeben durc M(ω)v = µ v. Die Eigenvetoren sind und die Eigenwerte sind v = (sin(πj)), = 1,..., n µ = 1 ω(1 cos(π)), = 1,..., n. Für 0 < ω 1 gilt spr(m(ω)) < 1, d.. das Jacobiverfaren onvergiert. Allerdings gilt z.b. für ω = 1 wegen spr(m(1)) = π2 + O( 4 ), dass die Konvergenz mit leiner werdender Scrittweite sclecter wird. Wir verwenden ier das Jacobiverfaren aber zur Felerglättung und werden daer im Folgenden diese Eigenscaft untersucen. Dazu definieren wir zunäcst oc- bzw. niedrigfrequente Eigenvetoren, welce wiederum oc- bzw. niedrigfrequente Feleranteile definieren. Seien also niedrigfrequent (NF): v mit 1 < n 2, ocfrequent (HF): v mit n 2 n. Nun definieren wir den Glättungsfator µ als den größten Wert, bei dem HF Feleranteile durc Iteration noc verleinert werden. Hier gilt: µ = max{ µ, n 2 n} = max{1 ω, 1 ω(1 cos(π) } max{1 ω, 1 2ω }. D.. den optimalen Glättungsfator µ = 1 eralten wir für 3 ω = 2. 3 Wenden wir ν-mal das gedämpfte Jacobiverfaren mit ω = ω auf den Startfeler e (0) an, eralten wir e (ν) = M(ω ) ν e (0). Für die einzelnen Feleromponenten gilt e (ν) = µ (ω )e (0). Daer bewiren wenige Iterationsscritte eine stare Dämpfung der HF Anteile: e (ν) << e (0). Obwol also der globale Feler durc die Iteration größer wird, wird der Feler scnell geglättet und dies unabängig von der Scrittweite. Eine weitere Definition der Glättungseigenscaft eines iterativen Verfarens stammt von Hacbusc. Sei M die Iterationsmatrix eines Glättungsverfarens, s.d. e (ν) = 4

6 M ν e (0). Sei A der Disretisierungsoperator. Dann ist der Glättungsfator definiert durc µ(ν) = A M ν / A. Die Iterationsmatrix eißt dann glättend, falls es eine Funtion η(ν) gibt, s.d. für genügend großes ν gilt: A M ν η(ν)/ α, mit α > 0 und η(ν) 0 für ν. Bei unserem Beispiel ist α = 2 und η(ν) = ν ν / (ν + 1) (ν+1). 2.2 Das Zweigitterverfaren Nac einigen Iterationsscritten erält man eine Näerungslösung ũ, deren Feler ẽ = u ũ glatt ist. Wir önnen ẽ daer auf einem gröberen Gitter approximieren. Dazu müssen wir ẽ als Lösung eines Gleicungssystems auf dem groben Gitter Ω H ausdrücen. Dessen line und recte Seite werden wir nun definieren. Das Residuum r ist definiert durc r = f A ũ. Da ũ glatt ist, ist es auc das Residuum. Durc Umformungen erennt man, dass die ursprünglice Gleicung A u = f und die Residuumsgleicung A ẽ = r äquivalent sind. Da aber ẽ und r glatt sind, ann man die Residuumsgleicung auf einem gröberem Gitter mit Scrittweite H = 2 darstellen. Dazu definieren wir r H als die Übertragung des Feingitterresiduums auf das grobe Gitter durc einen geeigneten Restritionsoperator I H, s.d. r H = I H r. Wir eralten A H ẽ H = r H, wobei A H den gleicen Disretisierungsoperator darstellt wie A, nur bezüglic des groben Gitters Ω H. Haben wir ẽ H auf dem groben Gitter berecnet, önnen wir ẽ H mit einem Prologationsoperator IH auf das feine Gitter übertragen. I HẽH stellt eine Näerung des Felers ẽ dar. Mit dieser Näerung verbessern wir nun die ursprünglice Approximation ũ : ũ neu = ũ + I Hẽ H. Diese Verbesserung wird Grobgitterorretur genannt. Sie verringert, im Gegensatz zur Glättungsiteration, die niedrigfrequenten Feleranteile. Da die Interpolation von ẽ H HF Komponenten auf das feine Gitter übertragen ann, wird in der Praxis noc eine Nacglättung mit ν 2 Iterationsscritten vorgenommen. Eine Zusammenfassung des Zweigitterverfarens (ZGV) liefert der folgende Algoritmus. Die Iteration u (l) = Mu (l 1) + Nf wird ier abgeürzt zu u (l) = 5

7 S (u (l 1), f ). Algoritmus 1 (ZGV) Zu lösen: A u = f 1. Vorglättung auf dem feinem Gitter: u (l) 2. Berecnung des Residuums: r = f A u (ν 1) 3. Restrition des Residuums: r H = I H r 4. Lösen des Grobgitterproblems e H = (A H ) 1 r H 5. Grobgitterorretur: u (ν 1+1) = u (ν 1) + IH e H 6. Nacglättung auf dem feinem Gitter: u (l) ν = S (u (l 1), f ), l = 1,..., ν 1 = S(u(l 1), f ), l = ν 1 + 2,..., ν 1 + Um eine vorgegebene Felertoleranz zu erreicen, wird das Zweigitterverfaren iterativ angewendet. Die Iterationmatrix des Verfaren ist dann M ZGV = S ν 2 (I I H(A H ) 1 I H A )S ν 1, mit der identiscen Abbildung I und den Iterationmatrizen der Glättung S. Eine Herleitung der Iterationsmatrix des Mergitterverfarens findet sic im näcsten Abscnitt. Wir werden nun die Approximationseigenscaft definieren, die angibt, wie gut die Grobgitterlösung die Feingitterlösung annäert. Eine Abscätzung liefert A 1 I HA 1 H IH c A α. D.. die Differenz zwiscen u = A 1 f und IH u H = IH A 1 H IH f wird gemessen. Die Konstante c A ist ein Maß für die Scwacbesetzteit der Matrix A. Zusammen mit der oben definierten Glättungseigenscaft önnen wir nun die Konvergenz des Zweigitterverfarens beweisen. Wir setzen dazu ν 2 = 0. Dann gilt M ZGV = (I I HA 1 H IH A )S ν 1 = (A 1 (A 1 I HA 1 H IH )A S ν 1 I HA 1 H IH A )S ν 1 c A η(ν 1 ), wobei c A η(ν 1 ) < 1 für genügend großes ν 1. 6

8 2.3 Das Mergitterverfaren Da beim Zweigitterverfaren die Grobgittergleicung A H e H = f H die gleice Strutur at wie die Ausgangsgleicung A u = f, liegt es nae, e H selbst durc Näerung auf einem gröberem Gitter zu berecnen. Wendet man ierzu das Zweigitterverfaren reursiv an und löst die entsprecende Residuumsgleicung nur auf dem gröbsten Gitter, sprict man vom Mergitterverfaren. Man get dabei wie folgt vor. Zunäcst füren wir eine Gitterfolge Ω mit Scrittweite und Stufenindex = 1, 2,..., L ein, s.d. 1 = 2. Sei n die Anzal der inneren Gitterpunte. Zu jedem Stufenindex definieren wir ein Gleicungssystem A u = f mit einer n n Matrix A und Vetoren u und f. Der Übergang zwiscen zwei Stufen gesciet durc zwei lineare Abbildungen, dem Restritionsoperator I 1 und dem, f ). Algo- Prolongationsoperator I 1. Eine Glättungsiteration sei u = S (u l 1 ritmus 2 stellt das Mergitterverfaren (MGV) dar. Algoritmus 2 (MGV) Zu lösen: A u = f 1. Falls = 1, löse A u = f 2. Vorglättung auf dem feinem Gitter: u (l) 3. Berecnung des Residuums: r = f A u (ν 1) 4. Restrition des Residuums: r 1 = I 1 r 5. Setze u 1 = 0 = S (u (l 1), f ), l = 1,..., ν 1 6. Rufe das Verfaren γ mal auf, um A 1 u 1 = f 1 zu lösen 7. Grobgitterorretur: u (ν 1+1) = u (ν 1) + I 1 u 1 8. Nacglättung auf dem feinem Gitter: u (l) ν = S(u(l 1), f ), l = ν 1 + 2,..., ν 1 + Der Wert γ gibt ier an, wie viele Iterationsscritte des Mergitterverfarens angewendet werden, um die Grobgittergleicung zu lösen. Da das Verfaren scnell onvergiert, wird in der Praxis γ = 1 oder γ = 2 verwendet. Im Fall γ = 1 sprict man von einem V-Zylus, für γ = 2 von einem W-Zylus (siee Abbildung). Die Konvergenzrate entsprict in etwa der des verwendeten Zweigitterverfarens. Der Aufwand ist aber geringer, da die Inverse A 1 auf dem gröbsten Gitter berecnet wird. 7

9 Die Iterationmatrix des Mergitterverfarens ist gegeben durc M 1 = 0, für = 2,..., L : M = S ν 2 (I I 1(I 1 M γ 1 )A 1 1 I 1 A )S ν 2. Herleitung: Sei e (0) der Feler zu Beginn der -ten Iteration. Nac ν 1 Vorglättungsscritten eralten wir e = S ν 1 e(0) und das Residuum r = A e. Auf dem groben Gitter wird der Feler dargestellt durc die Gleicung e 1 = A 1 1 I 1 r. Die Näerung an e 1 nac γ Mergitterzylen M 1 sei v (γ) 1. Dann gilt e 1 v (γ) 1 = M γ 1 (e 1 v (0) 1. Nac Algoritmus 2 setzten wir v (0) 1 = 0 und eralten e 1 v (γ) 1 = M γ 1 e 1 bzw. v (γ) 1 = (I 1 M γ 1 )e 1. Daraus folgt v (γ) 1 = (I 1 M γ 1 )e 1 = (I 1 M γ 1 )A 1 1 I 1 r = (I 1 M γ 1 )A 1 1 I 1 Die Grobgitterorretur lautet dann u ν 1+1 = u ν 1 + I 1 v(γ) 1 bzw. eν 1+1 I 1 v(γ) 1. Ersetzen wir v(γ) 1 durc obige Gleicung, eralten wir e ν 1+1 = (I (I 1 M γ 1 )A 1 1 I 1 A )e. A e. = e Mit den Iterationsmatrizen der Vor- und Nacglättung erält man die Matrix M. 8

10 Kapitel 3 Das Mergitterverfaren für nict-lineare Probleme Gegeben sei das nict-lineare Problem A(u) = f und eine Disretisierung A (u ) = f. Nac Vorglättung eralten wir eine Näerungslösung ũ. Der Feler e ist definiert durc A (ũ + e ) = f. Die Residuumsgleicung A (e ) = f mact ier einen Sinn. Stattdessen screiben wir die Definition des Felers um zu A (ũ + e ) A (ũ ) = r (3.1) für r := f A (ũ ). Um Gleicung (3.1) auf dem näcst gröberen Gitter auszudrücen definieren wir û 1 := Î 1 ũ + e 1 und ersetzen A (.) durc A 1 (.), ũ durc Î 1 ũ und r durc I 1 r = I 1 (f A (ũ )). Wir eralten Oder mit τ 1 A 1 (û 1 ) = I 1 (f A (ũ )) + A 1 (Î 1 ũ ). (3.2) = A 1 (Î 1 ũ ) I 1 A (ũ ) A 1 (û 1 ) = I 1 f + τ 1. (3.3) Gleicung (3.3) one τ 1 entsprict der ursprünglice Gleicung, dargestellt auf dem groben Gitter. τ 1 wird als Residuumsorretur bezeicnet. û 1 ann nict diret auf das feinere Gitter interpoliert werden, da wegen û 1 := Î 1 ũ + e 1 nict nur Feler der Korretur e 1, sondern Feler der ganzen Lösung übertragen würden. Desalb wird folgende Form der Grobgitterorretur verwendet: u = ũ + I 1(û 1 Î 1 ũ ) Algoritmus 3 fasst das Mergitterverfaren für nict-lineare Probleme zusammmen. Algoritmus 3 Zu lösen: A (u ) = f 9

11 1. Falls = 1, löse A (u ) = f 2. Vorglättung auf dem feinem Gitter: u (l) 3. Berecnung des Residuums: r = f A u (ν 1) 4. Restrition des Residuums: r 1 = I 1 r 5. Setze u 1 = Î 1 u ν 1 6. Setze f 1 = r 1 + A 1 (u 1 ) = S (u (l 1), f ), l = 1,..., ν 1 7. Rufe das Verfaren γ mal auf, um A 1 (u 1 ) = f 1 zu lösen 8. Grobgitterorretur: u (ν 1+1) = u (ν 1) + I 1 (u 1 Î 1 u (ν 1) ) 9. Nacglättung auf dem feinem Gitter: u (l) ν = S(u(l 1), f ), l = ν 1 + 2,..., ν

12 Kapitel 4 Das vollständige Mergitterverfaren Verwendet man das Mergitterverfaren bereits, um einen geeigneten Startwert für das Problem auf dem feinsten Gitter zu finden, sprict man vom vollständigen Mergitterverfaren (VMGV). Dabei wird folgender Maßen vorgegangen: Zunäcst wird auf einem groben Gitter Ω l die Gleicung A l u l = f l bzw. A l (u l ) = f l gelöst und die Lösung auf das näcst feinere Gitter prolongiert. Dort wird das Mergitterverfaren zum lösen der Gleicung A l+1 u l+1 = f l+1 bzw. A l+1 (u l+1 ) = f l+1 angewendet und wieder prolongiert. Dies wird wiederolt, bis das feinste Gitter Ω L erreict ist und mit der gewonnenen Näerung u L wird das Mergitterverfaren begonnen. Algoritmus 4 (VMGV) Zu lösen: A L (u L ) = f L 1. Berecne u l 2. Falls l < L interpoliere auf das näcst feinere Gitter: u l+1 = Ĩl+1 l u l 3. Wende das MGV auf A l+1 (u l+1 ) = f l+1 an 4. Falls l + 1 < L setze l = l + 1 und gee zu 2. 11

13 Quellenangaben 1. A. Borzi: Introduction to multigrid metods 2. W. Hacbusc: Iterative Lösung großer scwacbesetzter Gleicungssysteme, Teubner-Verlag, A. Sommer: Einfürung in Mergitterverfaren 12

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