ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2

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1 II. Basis und Dimension ================================================================= 2.1 Linearkombination und Basis d = λ a a Ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. d = λ 1 + λ 2 Sind und zwei nicht kollineare und vom Nullvektor verschiedene Vektoren der Ebene, dann lässt sich jeder zu dieser Ebene parallele (zu und komplanare) Vektor d als Summe von Vielfachen dieser beiden Vektoren darstellen. d = λ 1 + λ 2 + λ 3 Sind, und drei nicht komplanare und vom Nullvektor verschiedene Vektoren des Raumes, dann lässt sich Vektor d als Summe von Vielfachen dieser drei Vektoren darstellen.

2 Deshalb definiert man Definition : Sind,,..., a n Vektoren eines Vektorraums, dann heißt der Vektor d = λ 1 + λ λ n a n eine Linearkombination dieser Vektoren. Gilt speziell d = o, dann heißt λ 1 + λ λ n a n = o eine Nullsumme von,,..., a n. Ist dabei λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0, dann spricht man von einer andernfalls heißt die Nullsumme nichttrivial. trivialen Nullsumme, Bemerkungen : a) Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren,..., a n bildet einen Untervektor- raum des Vektorraumes V, den von,.., a n aufgespannten Raum. b) Eine nichttriviale Nullsumme im geometrischen Vektorraum bedeutet, dass sich aus den Vektoren λ i a i, (1 i n), eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. c) Lässt sich aus den Vektoren,.., a n eine nichttriviale Nullsumme bilden, dann lässt sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkomination der anderen darstellen. Definition : Eine Menge von Vektoren eines Vektorraumes V heißt eine Basis dieses Vektorraumes, wenn sich jeder Vektor v aus V auf genau eine Weise als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben lässt.

3 Satz : Genau dann ist eine Menge raumes V, wenn gilt B1 Jeder Vektor schreiben. von Vektoren eine Basis eines Vektor- v V lässt sich als Linearkombination der Vektoren b 1,..., b n B2 ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Beweis : Sei eine Basis von V. Daher gilt trivialerweise B1. Da sich der Nullvektor nur auf eine Art als Linearkombination der b i, 1 i n, lässt und dies daher nur die triviale Nullsumme sein kann, gilt auch B2. schreiben Sei umgekehrt Damit Vektors als Linearkombination der Beweis durch Widerspruch : Annahme : so, dass B1 und B2 erfüllt sind. eine Basis ist, muss gezeigt werden, dass die Darstellung eines b i, 1 i n, eindeutig ist. Es gibt einen Vektor v, der sich auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination der b i, 1 i n, schreiben lässt, etwa v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n = µ 1 b 1 + µ 2 b µ n b n mit λ i µ i für mindestens ein i, 1 i n.

4 Dann wäre aber (λ 1 µ 1 ) b 1 + (λ 2 µ 2 ) b (λ n µ n ) b n = o eine nichttriviale Nullsumme. Widerspruch zu B2! Definition : Ist b 1, b 2,..., b n eine Basis eines Vektorraumes V und gilt für einen Vektor n a = a i b i ; i = 1 a dann heißen die a i, 1 i n, die Koordinaten von a bezüglich dieser Basis. Man schreibt dafür a = a 1 bzw. a = bzw. a = a n und nennt diese Darstellung die Koordinatenschreibweise des Vektors de gelegten Basis. bzgl. der zugruna Der Vektor a i b i heißt die i-te Komponente des Vektors bzgl. dieser Basis. Speziell für die Basisvektoren gilt : b 1 = Ferner lässt sich zeigen : b 2 = und b 3 = Sind a = b 1 und b = b 2 die Koordinatendarstellung der Vektoren a und b, dann gilt für b 3

5 die Koordinatendarstellungen von a + b bzw. λ a a + b = + b 1 b 2 b 3 = + b 1 + b 2 und λ a = λ + b 3 = λ λa 2 λ Kennt man die Koordinatendarstellung von Vektoren bzgl. einer Basis, dann kann die lineare Unabhängigkeit dieser Vektoren bzw. die Darstellung eines Vektors als Linearkombination dieser Vektoren algebraisch untersucht werden. Beispiel : Die Vektoren u, v und w haben bzgl. der Basis b 1, b 2, b 3 eines Vektorraums die Koordinatendarstellungen 1 u = 2, v = und w = a) Untersuche u, v und w auf lineare Unabhängigkeit. 1 b) Stelle den Vektor a = 3 als Linearkombination von u, v und w dar. 4 Lösung : a) Ansatz : λ u + µ v + ν w = o 1 In Koordinatendarstellung : λ µ ν 1 1 = 0. Das ergibt die Koordinatengleichungen : λ + µ + 2ν = 0 2λ + 2µ + ν = 0 3λ + ν = 0 (1) (2) (3) 2 (1) (2) 4λ + 3ν = 0 (4)

6 3 (3) (4) 5λ = 0 λ = 0 λ = 0 in (4) ν = 0 λ = 0 und ν = 0 in (1) µ = 0 Also sind u, v und w linear unabhängig, da sich nur die triviale Nullsumme bilden lässt. b) Der Ansatz : λ u + µ v + ν w = a führt auf die Koordinatengleichungen : λ + µ + 2ν = 1 2λ + 2µ + ν = 5 3λ + ν = 4 (1) (2) (3) 2 (1) (2) 4λ + 3ν = 7 (4) 3 (3) (4) 5λ = 5 λ = 1 λ = 1 in (4) ν = 1 λ = 1 und ν = 1 in (1) µ = 2 Also ist u + 2 v + w = a

7 2.2 Die Basen der geometrischen Vektorräume Der Vektorraum der Vektoren parallel zu einer Geraden Alle kollinearen Vektoren, d.h. Vektoren, deren Repräsentanten parallel (kollinear) zu einer Geraden sind, bilden einen Vektorraum. Jeder Vektor, der vom Nullvektor verschieden ist, bildet eine Basis dieses Vektorraumes.. 2. Der Vektorraum der Pfeilklassen einer Ebene Alle Vektoren, deren Repräsentanten parallel zu einer Ebene sind, bilden einen Vektorraum. Jedes Paar vom Nullvektor verschiedener und nicht paralleler Vektoren bildet eine Basis dieses Vektorraumes. 3. Der Vektorraum der Pfeilklassen des Raumes Jedes Tripel vom Nullvektor verschiedener und paarweise nicht kollinearer Vektoren, die nicht parallel zu einer Ebene (komplanar) sind, bildet eine Basis dieses Vektorraums. Folgerung : 3 geometrische Vektoren in der Ebene sind stets linear abhängig. 4 geometrische Vektoren des Raumes unserer Anschauung sind stets linear abhängig.

8 2.3 Anwendung Beispiel : Das Dreieck OAB sei festgelegt durch die Vektoren OA = a und OB = b, A a A 1 S b B der Punkt durch und der Punkt durch A 1 OA 1 = 3 4 a B 1 OB 1 = 1 2 b. O B 1 In welchem Verhältnis teilen sich die Strecken [AB 1 ] und [BA 1 ]? 1. Geschlossene Vektorkette, die den Schnittpunkt S der beiden Strecken enthält : BA + AS + SB = o 2. Ansatz : AS = λab 1 SB = µa 1 B 3. Durch a und b ausgedrückt BA = a b AB b + a = o AB 1 = 1 2 b a A 1 B b a = o A 1 B = b 3 4 a 4. Einsetzen und Ordnen a b + λ ( 1 2 b a ) + µ ( b 3 4 a ) = o ( λ 3 4 µ + 1) a + ( 1 2 λ + µ 1) b = o 5. Lineare Unabhängigkeit (1) λ 3 4 µ + 1 = 0 ergibt (2) 1 λ = 2 2 λ + µ 1 = 0 5 und µ = Teilverhältnis AS SB 1 = 2 5 AB AB 1 = 2 3 A 1 S SB = 1 5 A 1 B 4 5 A 1 B = 1 4

9 2.4 Dimension Satz : Besitzt ein Vektorraum V eine Basis mit einer endlichen Anzahl n von Basisvektoren, dann besteht jede andere Basis ebenfalls aus n Vektoren. Man nennt die Zahl n die Dimension des Vektorraumes und schreibt dim V = n Folgerung : Für einen Vektorraum V der Dimension n bilden n linear unabhängige Vektoren stets eine Basis von V. Beispiele : a) Der Vektorraum der Pfeilklassen einer Geraden bzw. einer Ebene bzw. des Raumes ist einzwei- oder dreidimensional. b) Der Vektorraum der n-tupel ist n-dimensional. Begründung : Die Menge ( ), ( ),..., ( ) ist, wie man sofort einsieht, eine Basis (sog. Standardbasis).