Fourierreihen periodischer Funktionen
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- Waldemar Buchholz
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1 Fourierreihen periodischer Funktionen periodische Funktion: (3.1) Fourierkoeffizienten und (3.2) (3.3)
2 Fourier-Reihenentwicklungen Cosinus-Reihe: (3.4) (3.5) Exponentialreihe: (3.6) ( )
3 Bestimmung der Koeffizienten der Fourier-Reihe (3.6) (3.9) (3.10) (3.9) + (3.10) (3.11) (3.12)
4 Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (3.6) (3.13) (3.12) (3.14)
5 Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.) Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen ( ) : (= Fourier-Transformierte) (3.15) Fourier-Rücktransformation: (3.13) (3.16)
6 Von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation (cont.) Nomenklatur: (3.17) (3.18) Bedingung für Fourier-Transformierbarkeit: (3.19)
7 Beispiel 1 zur Fourier-Transformation Abb (3.20) (3.21)
8 Beispiel 2 zur Fourier-Transformation Abb (3.22) (3.23)
9 Beispiel 3 zur Fourier-Transformation (3.24) (3.25)
10 Beispiel 3 zur Fourier-Transformation Abb. 3.3.
11 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzwerken Abb ( ) (3.26) (Kondensatorgleichung) (3.27) (DGL 1. Ordnung) (3.28)
12 (homogene DGL) (3.29) (partkuläre Lösung) (3.30) (homogene Lösung) (3.31) Gesamtlösung: (3.32) Anfangswert (3.33)
13 Gesamtlösung: (3.34) Abb. 3.5.
14 Die Laplace-Transformation (einseitige Fouriertransformation) (3.35) (Fourier-Rücktransformation = inverse Fouriertransformation) (3.36) Definition einer komplexen Frequenz: (Laplace-Variable = komplexe Frequenz) (3.37) (3.38) (3.39)
15 (Fourier-Transformierbarkeit) (3.40) (Laplace-Transformierbarkeit) (3.41) (3.41) (3.42) (3.41) (3.43)
16 Die Umkehrung der Laplace-Transformation Gl. (3.36) liefert mit (3.44) (3.45) (3.46)
17 Laplace-Ebene (s-ebene) Abb. 3.6.
18 Symbolische Darstellungen der Laplace-Transformation (3.47) (3.48) (3.49)
19 Darstellung der exponentiell anwachsender bzw. abfallender Sinusschwingungen (3.50) (3.51) (3.52) ( )
20 3.4 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Sprungfunktion (3.55) (3.56) (3.57)
21 Rampenfunktion (3.58) (3.59) (3.60)
22 Parabelfunktion (3.61) (3.62)
23 Exponentialfunktion (3.63) (3.64) (3.65)
24 Hyperbelfunktionen (3.66) (3.67) (3.68) (3.69)
25 sin- und cos-funktionen Mit folgt aus (3.66) und (3.67) (3.70) (3.71) (3.72) (3.73)
26 Delta-Impuls (3.74) Abb (3.75) (3.76)
27 Überlagerung (3.77) (3.78) (3.79)
28 Integration (3.80) (3.81)
29 Differentiation (3.82) (3.83) (3.84)
30 Produkt zweier Laplace-Funktionen - Faltung (3.85) (3.86) (3.87) Variablensubstitution und (3.88)
31 Faltung (cont.) (3.90) (3.91) (Faltung ist kommutativ) (3.92)
32 Faltung (cont.) Abb. 3.8.
33 Faltung (cont.) (3.93) (3.94) (3.95)
34 Multiplikationssatz Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39) (3.96) durch Differenzieren nach (3.97)
35 Multiplikationssatz (cont.) n-malige Ableitung ergibt Multiplikationssatz (3.98) bzw. (3.99)
36 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) (3.100) Abb. 3.9.
37 Verschiebung im Zeitbereich (cont.) (3.101) Variablensubstitution (3.102) (3.103) (3.104)
38 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) (3.105) (3.106) (3.107) (3.108)
39 Dehnung bzw. Stauchung (3.109)
40 Anfangswert-Theorem (3.110)
41 Endwert-Theorem (3.111)
42 Tabelle 3.1: Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen
43 Tabelle 3.1: Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen (cont.)
44 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Abb (3.112) (3.113) wobei gilt (3.114)
45 Auflösen von (3.110) nach (3.115) (3.116) (Anfangswert) (3.117) (Anregung) (3.118) (3.120)
46 Die Rücktransformation der Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Rücktransformationsintegral (3.46): (3.121) (3.122) (3.123)
47 Laplace-Rücktransformation (cont.) Strategie: geschickte Zerlegung (3.124) (3.125)
48 Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Gleichung (3.109): (3.126) = (3.112) Laplace-Transformation ( ) (3.127) (3.128)
49 (Anregung) (3.129) Mit folgt aus (3.125) (3.130) Partialbruchzerlegung: (3.131) Koeffizientenvergleich (3.132)
50 Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen
51 Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen (cont.)
52 Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen (cont.)
53 (3.133) Tabelle 3.2. (3.134) Abb. 3.5.
54 Lösung für eingeschaltete Sinusspannung Tiefpaß aus Abb (3.135) Tabelle 3.2. (3.136) Einsetzen in (3.125): (3.137) Partialbruchzerlegung: (3.138)
55 Rücktransformation nach Tab (3.139) (3.140) (3.141) (3.142)
56 (3.143) (3.144) Abb
57 Analyse von elektrischen Netzwerken mittels Laplace-Transformation Abb
58 Berechnung von Einschwingvorgängen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen Kirchhoffschen Gleichungen (3.145) Spannungs-Strom-Beziehungen der Netzwerkelemente (3.146)
59 Transformation der Kirchhoffschen Gleichungen (3.147)
60 Widerstandsgleichung (3.148) Abb
61 Kondensatorgleichung Abb (3.149) (3.150)
62 Kondensatorgleichung (cont.) (3.149) (3.150) (3.151) (3.152)
63 Kondensatorgleichung (cont.) Abb (3.152)
64 Spulengleichung (3.153) (3.154) (3.155) (3.156)
65 Spulengleichung (cont.) Abb (3.156)
66 Laplace-Transformation der elektrischen Impedanzen (3.154) (3.155) (3.156) (3.157)
67 Beispiel: Analyse eines Serienschwingkreises Abb
68 Ersatzschaltbild des Serienschwingkreises im Laplace-Bereich Abb (3.161)
69 Serienschwingkreis im Laplace-Bereich (cont.) (3.161) (3.162) Anregung mit eingeschalteter Gleichspannung (Sprunganregung): (3.163) (Anfangswerte) (3.164)
70 Serienschwingkreis im Laplace-Bereich (cont.) Einsetzen in (3.159): (3.165) (3.166)
71 Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (3.167) Polstellen s und s 1 2 (3.168) (3.169)
72 Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (cont.) (3.170) ( : Kreisfrequenz bei Dämpfung) (3.171) (3.172)
73 Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (cont.) (3.172) Tabelle 3.1.: (3.173) (3.174)
74 Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (cont.) Anwendung des Verschiebungssatzes auf (3.170) und (3.171) liefert für (komplexwertige Pole) (3.175) (3.176) (3.177)
75 Laplace-Rücktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades (cont.) Pole im Reellen : (3.178) (3.179) (3.180) (3.181)
76 Äquivalenz der beiden Lösungen (3.182) (3.183)
77 Aperiodischer Grenzfall (3.184) (3.185) (keine Schwingungen mehr!) (3.186) Grenzübergang von (3.177) für (3.187) (3.188)
78 Laplace-Rücktransformation - Serienschwingkreis (3.166) (3.189) (3.190) (3.191) (3.192) (3.193)
79 Laplace-Rücktransformation - Serienschwingkreis komplexwertige Pole: (3.194) reellwertige Pole: (3.195) (3.196)
80 Serienschwingkreis - Sprungantwort Kreisfrequenz des gedämpften Schwingkreises: (3.197) aperiodischer Grenzfall: (3.198)
81 Strom im Serienschwingkreis nach Spannungssprung Pole im Komplexen: Abb
82 Strom im Serienschwingkreis nach Spannungssprung Pole im Reellen: Abb
83 Heaviside-Entwicklungssatz (3.199) (3.200) (3.201)
84 Beispiel für die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes Abb (3.202) (3.203)
85 Pol-/Nullstellen-Verteilung eines Allpasses x: Polstellen o: Nullstellen : Abb
86 Heaviside-Beispiel (cont.) Pole: (3.204) Fallunterscheidung: (3.205) (3.206) (3.207)
87 (3.208) (3.209) (3.210) (3.211) (3.212)
88 Heaviside-Beispiel (cont.) (3.213) (3.214) (3.215) (3.216) (3.217)
89 Heaviside-Beispiel (cont.) a) für folgt reelle Werte für, und b) für folgt konjugiert komplexe Werte, und rein imaginär (3.218) (3.219) c) aperiodischer Grenzfall (3.220)
90 Impulsantwort des Allpasses für verschiedene Werte von Abb
91 3.11. Vierpol-Übertragungsfunktion in Zeit- u. Frequenzbereich Berechnung der Systemantwort mittels Faltung (3.221) Abb (3.222)
92 Impulsantwort eines linearen Übertragungssystems (3.223) Abb
93 Übertragungsfunktion (3.224) (3.225) (3.226) Beispiel: (Abb. 3.25) (3.227)
94 (3.228) (3.229) (3.230) Amplitudengang: (3.231) Phasengang: (3.232)
95 Pol-Nullstellen-Diagramm Übertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x) Abb
96 Bestimmung von Betrag und Phase einer Übertragungsfunktion anhand der Einzelbeiträge aller Nullstellen und Pole Abb
97 Beschreibung von linearen Netzwerken durch Sprungantwort (3.233) Abb (3.234)
98 Bode-Diagramme (3.235) (3.236) (3.238)
99 Amplitudengang (linear) Abb
100 Amplitudengang (logarithmisch) Abb
101 Phasengang (3.239) Abb
102 Tabelle 3.3. Analyse der Übertragungsfunktion
103 Bode-Diagramme (cont.) Abb
104 Bode-Diagramme (cont.) Abb
105 Bode-Diagramme (cont.) Abb
106 Bode-Diagramme (cont.) Abb
107 Amplitudengang
108 Phasengang
109 Bode-Diagramme für Beispielfunktionen Mit reeller Pol-/Nullstellenverteilung a) (3.241) Für komplexe Polpaare b) (3.243) c) (3.244)
110 Bode-Diagramm für Beispielfunktion a) Abb
111 Bode-Diagramm für Beispielfunktion a) Abb
112 Konjugiert-komplexe Polstellen für schwach gedämpftes sowie stark gedämpftes System Abb
113 Systeme mit mittlerer Dämpfung (3.242)
114 Bode-Diagramm für Beispielfunktion b) Abb
115 Bode-Diagramm für Beispielfunktion b) Abb
116 Pol-Nullstellen-Diagramm: Beispiel c) (3.244) Abb
117 Bode-Diagramm für Beispielfunktion c) Abb
118 Bode-Diagramm für Beispielfunktion c) Abb
119
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