Angewandte Geometrie

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Miriam Ziegler
vor 7 Jahren
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1 Technische Universität München SS 215 Zentrum Mathematik Blatt 4 Prof. Dr. J. Hartl Angewandte Geometrie 1. Ein Kind läuft einen geradlinigen Weg entlang und zieht an einer Schnur ein (seitlich des Weges befindliches Spielzeug hinter sich her. Man bestimme die Bahnkurve des Spielzeugs (Traktrix, Schleppkurve oder Hundekurve. Tafelskizze: x 1 x 2 -Koordinatensystem, Hund auf x 2 -Achse im Abstand a vom Ursprung O, Kind im Ursprung. Die Hundekurve näherungsweise konstruiert, wenige Konstruktionsschritte ausgeführt. Erreicht wird ein Punkt X(s mit Koordinaten (x 1 (s, x 2 (s. Die Tangente an die Hundekurve im Punkt X(s schneidet die x 1 -Achse unter einem Winkel α in einem Punkt, der von X(s den Abstand a hat. Länge a konstant. x 1 (s, x 2 (s >. x 1 (s + ax 1(s f(s, (1 x 2 (s + ax 2(s. (2 x x (3 Das KS ist so gewählt, dass gilt: x 1 >, x 2 <. f(s x 1 (s + a 2 x 2 2 (2 x 2 x 2 a x 1 (3 x x2 2 a x2 2 a 2 (4 (Das hätte man aber auch mit dem Pythagoras sehen können! (2 x 2 x 2 1 a ln x 2 s a + ln a

2 (4 Fertig! x 1 x 2 a e s a s 1 e 2σ a dσ Aber können wir noch mehr herausfinden? x 2 a sin α (α Winkel von x gegen eine feste Gerade α κ sin α e s a cos α α e s a ( 1 a Bem.: Das Integral κ α x 1 s 1 a e s a 1 e 2s a 1 e 2σ a dσ findet man im Bronstein nicht (zumindest nicht in der Auflage, in der ich nachgeschlagen habe. Aber nach Bronstein gilt für die Traktrix: x 1 a ln a ± a 2 x 2 2 x 2 a 2 x 2 2 Für x 2 a erhält man für das obere wie für das untere Vorzeichen x 1. Da x 2 > ist, gilt: Für x 2 erhält man für das obere Vorzeichen x 1, für das untere Vorzeichen x 1. (Der Zähler des Bruches unter dem ln geht beim oberen Vorzeichen gegen 2a > ; beim unteren Vorzeichen liefert die Regel von L Hôpital für den Bruch den Grenzwert. Für unsere Kurve ist also das obere Vorzeichen zu nehmen. Damit haben wir gefunden: s ein kleines Nebenergebnis. 1 e 2σ a dσ a ln a + a 2 x 2 2 a ln a + a 2 (a e s a 2 a e s a a [ln e 2s a e s a x 2 a [ln(e s a + e 2s a 1 a 2 x 2 2 a 2 (a e s a 2 1 e 2s a ] 1 e 2s a ],

3 2. Sei c die Kurve in E 2 mit der Parameterdarstellung x(t : ( x(t y(t : ( 2ρ cos(t ρ cos(2t 2ρ sin(t ρ sin(2t (t [, 2π] Die Kurve c heißt eine Kardioide. a Man gebe die Bogenlänge s von c als Funktion des Kurvenparameters t an und bestimme die Gesamtlänge L der Kurve c. ( x(t 2ρ ( cos 2t ρ sin 2t Die Kardioide ist offenbar eine spezielle Radlinie. Skizze! ( ( sin 2t 2 x(t 2ρ ρ cos 2t 2 ( ( + 2ρ ( + + ( ( + ( ( 2ρ + 2ρ(1 ( 2ρ (. x 2 4ρ 2 (sin 2 t + (1 2 4ρ 2 2 (1 2 (1 (1 2 sin 2 ( t 2 16ρ2 sin 2 ( t 2 s(t t x(τ 2 dτ 4ρ t sin( τ 2 dτ [cos τ 2 ]t ( 2 1 (1 2 Also: s(t (1 2 L s(2π (1 cos π 16ρ Bem.: Die Kurve c lässt sich explizit auf ihre Bogenlänge s beziehen: s (1 s 1 s t 2 arccos s

4 b Man errechne die Krümung κ von c in Abhängigkeit von der Bogenlänge s und von dem Parameter t und ermittle die Gesamtkrümmung K der Kardioide. Wie groß ist die Krümmung der Kurve c in ihrem Scheitelpunkt? Da die Ableitung nach der Bogenlänge s nicht einfach zu berechnen ist, ermitteln wir zuerst: det( x, x κ(t x 3 ( ( x 2ρ + 2ρ + ( ( 2ρ + 2ρ(1 ( ( 2ρ ( ρ det( x, x det(2ρ Damit ist 2ρ (2 1 ( ( + 2ρ(1 + 4ρ ( 2 sin 2 t + 4ρ 2 (1 (1 2 2 sin 2 t + 4ρ 2 12ρ cos 2 t 12ρ 2 (1 (, κ(t det( x, x x 3 12ρ2 (1 64ρ 3 sin 3 t 2 3(1 16ρ sin 3 t 2 Um κ(s angeben zu können, ermitteln wir zunächst und als 2 Funktionen von s. Bekanntlich ist cos arccos x x x. Zum Beispiel anhand einer einfachen Figur erkennt man: sin arccos x 1 x 2, zumindest wenn wie hier das Argument der Sinusfunktion [, π]. cos(2 arccos s cos2 arccos s sin 2 arccos s ( s 2 (1 ( s 2 2 ( s 2 1

5 damit ist 2 κ(s sin arccos s s 3 2(1 ( 16ρ 1 ( s ( s ( s 2 Die Gesamtkrümmung K der Kardioide berechnet man der Einfachheit halber nicht als L κ(sds. Man überlegt sich zum Beispiel anhand einer einfachen Skizze dass sich der Tangentenvektor der Kurve bei einem Umlauf um 3π linksherum dreht. Damit ist K 3π. Die Krümmung der Kardioide in ihrem Scheitel ist der Kehrwert des Krümmungsradius und dient zum Beispiel dazu, die Kurve realistischer skizzieren zu können. Es ist κ(π ρ 3. Hier muss dazugesagt werden, dass π ein Wert von t und nicht von s ist. Man kann auch in kaum missverständlicher Weise schreiben: κ(s 3. c Welchen Flächeninhalt F besitzt das von c eingeschlossene Gebiet? F 1 2 2π det( x, x dt Um die Determinante ( einfacher ( berechnen zu können, stellen wir auch x dar in der Basis,. ( ( cos 2t x(t 2ρ ρ sin 2t ( ( 2ρ ρ + ( ( ρ(2 ρ Damit ist ( det( x, x det(ρ(2 ( det(ρ(2 ( ρ ( ρ,, x

6 Damit ist ( 2ρ + 2ρ(1 ( ρ(2 2ρ(1 + ρ 2ρ 2ρ 2 (2 3 + cos 2 t + sin 2 t 6ρ 2 (1. F 1 2 2π da 2π dt. det( x, x dt 2π 3ρ 2 (1 dt 6πρ 2, 3. Für eine reguläre C 2 -Kurve c in E 3 mit der Parametrisierung x(t, (t I :]a, b[ mit I R, gelte x(t x(t o für alle t I. Zeigen Sie: c ist in einer Geraden enthalten. Aus 1. Semester Bachelor: v w o { v, w} l.a. ( linear abhängig c regulär x(t o. Aus x(t x(t o folgt also: x(t λ(t x(t mit einer auf I stetigen Funktion λ. Die Substitution p : x führt daher auf die lineare Differentialgleichung erster Ordnung p λ p. Das sind drei skalare Differentialgleichungen mit jeweils bekannter Lösung. Die drei Lösungen kann man zusammenfassen in dem Ausdruck: t t λ(τ p(t e dτ p : f(t p. Dabei ist t I beliebig gewählt, und in p stehen drei beliebige Integrationskonstanten, die aber nicht alle drei zugleich verschwinden. Aus x(t f(t p erhält man x(t : F (t p + x. Dabei ist F eine beliebige Stammfunktion von f, und in x stehen drei beliebige Integrationskonstanten. Folglich liegt c auf der Geraden mit der Parameterdarstellung x : v p + x, v R. 4. Für a n 2, c regulär, b n 2, c nicht notwendig regulär,

7 c n 3, c regulär beweise oder widerlege man die folgende Behauptung: Sind A, B zwei verschiedene Punkte der C 1 -Kurve c in E n, so besitzt c einen zwischen A und B gelegenen Punkt mit zur Sehne AB paralleler Tangente. a Aus dem 1. Semester Bachelor kennt man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Seien a, b R, a < b, f : [a, b] R differenzierbar auf ]a, b[ und stetig auf [a, b]. Dann gilt: Es gibt ein ξ ]a, b[ mit f (ξ f(b f(a. b a Ist also c der Graph einer Funktion, so gilt die Behauptung nach dem MWS der Differentialrechnung. Bew. der Behauptung: Ist c nicht notwendig Graph einer Funktion, so besitzt c eine Parameterdarstellung x(t, t I [a, b] mit X(a A, X(b B. Die Gerade AB besitzt eine Gleichung der Gestalt n x d mit n o. Die Funktion f(t : n x(t d besitzt die Eigenschaften (i f ist stetig differenzierbar auf [a, b]. (ii f(a f(b. Nach dem MWS der Diffentialrechnung gibt es also ein t ]a, b[ mit b a f(b f(a b a f(t n x(t. Da c regulär ist, ist x(t o, also die Tangente von c an der Stelle t parallel zu AB. b Gegenbeispiel: Ist ( t 3 c : x(t : t 2, t R, so ist kein Tangentenvektor ( 3t 2 x(t : 2t parallel zur x 1 -Achse, außer an der Stelle t, für die keine Tangente definiert ist. Die zwei Punkte X( t und X(t besitzen jedoch für t die horizontale Tangente x 2 2t.

8 c Gegenbeispiel: Die Schraublinie c : x(t, t R, t besitzt Tangentenvektoren x(t 1, die alle nicht parallel sind zur x 3 -Achse. Die beiden Punkt X(t und X(t + 2π besitzen jedoch eine Verbindungsgerade, die parallel ist zur x 3 -Achse. Das erste Kamel einer Karawane hält alle auf; das letzte bekommt die Prügel. Aus Äthiopien

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