Beweis durch vollständige Induktion

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1 Skriptteil zur Vorlesung: Proinformatik - Funktionale Programmierung Dr. Marco Block-Berlitz 4.Juli 009 Beweis durch vollständige Induktion Die fünf Peano-Axiome Grundlage für die vollständige Induktion sind die natürlichen Zahlen. Es folgt eine Denition der Menge der natürlichen Zahlen N durch die fünf Peano-Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurden: 1) 0 ist eine natürliche Zahl. ) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger S(n), der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. 3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist. 4) Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl. 5) Von allen Mengen X, welche die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger S(n) enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste. Beweiskonzept Um für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, dass eine Aussage P gilt, genügt es zwei Dinge zu zeigen (1) (Induktionsanker) Zeige, dass P (0) gilt () (Induktionsschritt) Zeige, dass die Aussage P gilt, n N : P (n) P (n + 1) Schritt läÿt sich noch verallgemeinern zu () n N : (P (0) P (1)... P (n) P (n + 1) Um den zweiten Schritt P (n + 1) anwenden zu können, setzen wir voraus, dass P (n) gelten muss (Induktionsvoraussetzung). Wird eine korrekte Reduktion von n + 1 nach n vorgenommen, muss nur noch gezeigt werden, dass n auf n 1 usw. reduzierbar ist. Es lässt sich aber zeigen, dass es genügt, den Induktionanker und den Induktionsschritt zu beweisen, damit es für alle natürlichen Zahlen gilt. Dieses Prinzip wollen wir zunächst einmal mit Beispielen untersuchen und anwenden. Beispiele zur vollständigen Induktion 1) A(n) : n = n (n+1) IA(n = 1): 1 (1+1) = 1 = 1 IS(n n + 1): wenn für ein beliebiges aber festes n A(n) gälte: (n+1) i=1 i = n + (n + 1) = IV n (n+1) + (n + 1) = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+) 1

2 ) B(n) : n = n+1 1 IA(n = 1): = 3 = 1 IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n B(n) gälte: n + n+1 = IV n 1 + n+1 = n+ 1 3) C(n) : n 1 n IA(n = 1): (trivial) IA(n = ): ( ) = (nicht notwendig) IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n C(n) gälte: n + ( 1 n n+1 ) IV 1 + n 1 + ( 1 n + n n 1 + n 1 n + n = 1 + n = 1 + (n + 1) 1 n + n ) = 4) D(n) : (n 1) = n IA(n = 1): 1 = 1 IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n D(n) gälte: (n 1) + ((n + 1) 1) = IV n + ((n + 1) 1) = n + n + 1 = (n + 1) 5) E(n) : (5 + 3n) = 5(n + 1) + 3 n (n+1) IA(n = 1): = 13 = = = (1+1) IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n E(n) gälte: (5 + 3n) + (5 + 3(n + 1)) = IV 5(n + 1) + 3 n (n+1) + (5 + 3(n + 1)) = 5(n + ) + 3 n (n+1) + 3(n + 1) = 3( n (n+1) + (n + 1)) = 3( n (n+1) + (n+1) ) = 5(n + ) + 3 (n+1) (n+) 6) F (n) : n < n (n+1) (ACHTUNG! nur Schritt zeigen) IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n F (n) gälte: (n+1) i=1 i = n + (n + 1) < IV n (n+1) + (n + 1) = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+) Schritt funktioniert, obwohl die Aussage (siehe A(n)) falsch ist. 7) G(n) : n n + 1 ab einem bestimmten n IA(n = 3): 3 = 9 7 = IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n (n 3) E(n) gälte: (n + 1) = n + n + 1 IV n n + 1 = (n + ) + n (n + 1) + 1

3 8) H(n) : n Pferde haben die gleiche Farbe IA(n = 1): trivialerweise richtig IS(n n + 1) wenn für ein beliebiges aber festes n H(n) gälte: Man nehme aus einer Herde von n + 1 Pferden ein beliebiges heraus. Nach Induktionsvoraussetzung haben die verbliebenen n Pferde die gleiche Farbe. Man tue das weggenommene Pferd wieder zur Herde und nehme ein anderes weg. Die nun verbliebenen n Pferde haben wieder nach Induktionsvoraussetzung die gleiche Farbe. Insgesamt haben also alle n + 1 Pferde die gleiche Farbe. FRAGE: Wo liegt der Fehler? Beispiel: Bezug zu Programmen Satz: Für jedes n N mit n > 0 berechnet die Funktion fakultaet n den Wert n n = 0 den Wert 1. Die Funktion facultaet ist dabei wie folgt deniert i=1 i und für fakultaet :: Int -> Int fakultaet n n <0 = error " n. d. " -- ( fac.0) n ==0 = 1 -- ( fac.1) otherwise = n * fakultaet (n -1) -- ( fac.) Die Bezeichnungen der Zeilen werden uns helfen, die Beweisschritte anzugeben. Per Denition sei 0 = 1. Beweis: Induktionsanker(n=0): Zunächst wollen wir den Induktionsanker mit n = 0 zeigen fakultaet 0 = 1 (faku.1) Der Induktionsanker ist erfüllt. Induktionsvoraussetzung(n): Wir setzen voraus, dass für ein beliebiges aber festes n erfüllt ist. fakultaet n = n Induktionsschritt(n+1): Die Aussage für n + 1, mit fakultaet n+1 = n+1 gilt unter der Induktionsvoraussetzung. fakultaet (n+1) = (n+1) fakultaet((n+1)-1) Damit ist der Satz bewiesen. (faku.) = (n+1) fakultaet n Ind.Vor. = (n+1) n = n+1 Häuge Fehler beim Induktionsbeweis Der Induktionsschritt funktioniert zwar, die Behauptung gilt für die Anfangsbedingung aber nicht. Der Induktionsschritt ist nicht für alle n gültig, d. h., es gibt mindestens ein n n 0 (der Verankerung), für das er nicht anwendbar ist. 3

4 Vollständige Induktion über Listen Bei Listen können wir uns die Tatsache zu Nutze machen, dass die Länge einer Liste eine natürliche Zahl ist. Um nun die vollständige Induktion auf Listen anwenden zu können, ändern wir das Konzept in der Art, dass die Induktion über die Struktur vorgenommen wird. In diesem Fall reden wir auch von einer strukturellen Induktion. Beispiel 1 Satz: Für alle Listen xs (endliche Länge) und ys von ganzen Zahlen gilt elem z (xs ++ ys) = elem z xs elem z ys Dabei sind (++) und elem wie folgt deniert (++) :: [ a ] -> [ a ] -> [ a ] [] ++ vs = vs -- (++.1) ( u : us ) ++ vs = u :( us ++ vs ) -- (++.) elem :: Eq a = > a -> [ a ] -> Bool elem u [] = False -- ( elem.1) elem u ( v : vs ) = ( u==v ) elem u vs -- ( elem.) Auch an dieser Stelle sind die Bezeichnungen der Zeilen für die Beweisführung nützlich. Beweis: An dieser Stelle soll die strukturelle Induktion über die Länge der Liste xs vorgenommen werden. Allgemein soll n die Länge der Liste xs sein. Induktionsanker(n=0, xs=[]): Wir setzen xs=[] und zeigen, dass der Anker gilt (1) elem z ([] ++ ys) = elem z ys (++.1) () elem z [] elem z ys = False elem z ys (elem.1), = elem z ys False x=x Der Induktionsanker ist erfüllt, (1) und () liefern das gleiche Ergebnis. Induktionsvoraussetzung(n, xs): Wir setzen voraus, dass für eine beliebige aber feste Liste xs mit der Länge n die Aussage erfüllt ist. elem z (xs ++ ys) = elem z xs elem z ys Induktionsschritt(n+1, (x:xs)): Für (x:xs) mit der Listenlänge n + 1 gilt die Aussage elem z ((x:xs) ++ ys) = elem z (x:xs) elem z ys unter der Induktionsvoraussetzung. elem z ((x:xs) ++ ys) = elem z (x:(xs++ys)) (++.) = (z==x) elem z (xs++ys) (elem.) = (z==x) (elem z xs elem z ys) I.V. = (z==x) elem z xs elem z ys Assoz. = elem z (x:xs) elem z ys Damit ist der Satz bewiesen. 4

5 Beispiel Satz: Für alle Listen xs (endliche Länge) und ys von ganzen Zahlen gilt summe (xs ++ ys) = summe xs + summe ys Dabei ist summe deniert über summe=frechts (+) 0 nitionen für (++) und frechts -- (summe). Gegeben seien folgende De- (++) :: [ a ] -> [ a ] -> [ a ] [] ++ vs = vs -- (++.1) ( u : us ) ++ vs = u :( us ++ vs ) -- (++.) frechts :: ( b -> a -> a ) -> a -> [ b ] -> a frechts _ s [] = s -- ( fr.1) frechts f s ( x : xs ) = f x ( faltenrechts f s xs ) -- ( fr.) Beweis: An dieser Stelle soll die strukturelle Induktion über die Länge der Liste xs vorgenommen werden. Allgemein soll n die Länge der Liste xs sein. Induktionsanker(n=0, xs=[]): Wir setzen xs=[] und zeigen, dass der Anker gilt (1) summe ([] ++ ys) = summe ys (++.1) () summe [] + summe ys = frechts (+) 0 [] + summe ys (summe) = 0 + summe ys (fr.1) = summe ys neut.ele.add. Der Induktionsanker ist erfüllt, (1) und () führen zum gleichen Ergebnis. Induktionsvoraussetzung(n, xs): Wir setzen voraus, dass für eine beliebige aber feste Liste xs mit der Länge n die Aussage erfüllt ist. summe (xs ++ ys) = summe xs + summe ys Induktionsschritt(n+1, (x:xs)): Für (x:xs) mit der Listenlänge n + 1 gilt die Aussage summe((x:xs)++ys) = summe (x:xs) + summe ys unter der Induktionsvoraussetzung. summe((x:xs)++ys) = frechts (+) 0 ((x:xs)++ys) (summe) = x + (frechts (+) 0 (xs ++ ys)) (fr.) = x + (summe (xs ++ ys)) (summe) = x + (summe xs + summe ys) I.V. = (x + summe xs) + summe ys Ass. Add. = (x + frechts (+) 0 xs) + summe ys (summe) = (frechts (+) 0 (x:xs)) + summe ys (fr.) = summe (x:xs) + summe ys Damit ist der Satz bewiesen. 5

6 Literatur [1] O'Neill M.E.: The Genuine Sieve of Eratosthenes, unpublished draft, siehe: [] Block M.: Java Intensivkurs - In 14 Tagen lernen Projekte erfolgreich zu realisieren, Springer-Verlag 007 [3] Dankmeier D.: Grundkurs Codierung: Verschlüsselung, Kompression, Fehlerbeseitigung., 3.Auage, Vieweg-Verlag, 006 [4] Schulz R.-H.: Codierungstheorie: Eine Einführung,.Auage, Vieweg+Teubner, 003 [5] Schöning U.: Algorithmik, ISBN-13: , Spektrum Akademischer Verlag, 001 [6] Pope B.: A tour of the Haskell Prelude, unpublished ( ), 001 [7] Hudak P., Peterson J., Fasel J.: A gentle introduction to Haskell Version 98, unpublished ( ), 000 [8] Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L.: Introduction to Algorithms, MIT-Press, 000 [9] Gibbons J., Jones G.: The Under-Appreciated Unfold, Proceedings of the third ACM SIG- PLAN international conference on Functional programming, pp , United States, 1998 [10] Haskell-Onlinereport 98: [11] Data.Char: [1] Webseite der Helium-IDE: [13] Wikibook zur Datenkompression: Datenkompression [14] Haskell-Funktionen: index.html [15] Webseite des Euler-Projekts: [16] Webseite Haskellprojekte: pkg-list.html [17] Projektwebseite Frag: [18] Projektwebseite Monadius: monadius_en.html [19] Haskell-Suchmaschine Hoogle: [0] Wikipedia: 6