Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

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1 Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung Diskrete Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Erwartungswert Erwartungswert einer Zufallsvariablen Erwartungswert einer Funktion einer Zufallsvariablen Momente Die Varianz einer Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Normalverteilung Gammaverteilung Chiquadratverteilung Exponentialverteilung Betaverteilung Diskrete Verteilungen Bernoulli-Verteilung Binomialverteilung Geometrische Verteilung Die negative Binomialverteilung Poissonverteilung Beziehungen zwischen Verteilungen Diskrete Verteilungen Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung I

3 II Inhaltsverzeichnis Bernoulli-Verteilung, Geometrische Verteilung Bernoulli-Verteilung, Negative Binomialverteilung Geometrische Verteilung, Negative Binomialverteilung Binomialverteilung, Poissonverteilung Binomialverteilung, Normalverteilung Negative Binomialverteilung, Normalverteilung Summen poissonverteilter Zufallsvariablen Poissonverteilung, Normalverteilung Stetige Verteilungen Exponentialverteilung, Gammaverteilung, Normalverteilung Summe von gammaverteilten Zufallsvariablen Gammaverteilung, ¾ -Verteilung, Normalverteilung Summen normalverteilter Zufallsvariablen Normalverteilung, ¾ -Verteilung Normalverteilung, t-verteilung Normalverteilung, F-Verteilung Normalverteilung, Lognormalverteilung Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Gemeinsame Verteilungen zweier Zufallsvariablen Gemeinsame Verteilung zweier diskreter Zufallsvariablen Gemeinsame Verteilung zweier stetiger Zufallsvariablen Die gemeinsame Verteilungsfunktion Gemeinsame Momente Bedingte Verteilungen, Unabhängigkeit Bedingte Verteilungen Unabhängigkeit Die bivariate Normalverteilung p-dimensionale Zufallsvariablen Definitionen, Eigenschaften Die p-dimensionale Normalverteilung Summen und Linearkombinationen von Zufallsvariablen Weiteres zur multivariaten Normalverteilung Schätzung von Parametern Schätzmethoden

4 Inhaltsverzeichnis III Die Methode der Momente Die Maximum-Likelihood-Methode Einige Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue, Bias Standardfehler Mittlerer quadratischer Fehler Konsistenz Effizienz Mischverteilungen Diskrete Mischung diskreter Verteilungen Diskrete Mischung stetiger Verteilungen Stetige Mischungen diskreter Verteilungen Die Beta-Binomialverteilung Die negative Binomialverteilung ML Schätzung bei Mischverteilungen Einführung Die Likelihoodfunktion für Mischverteilungen Parameterschätzung mit C.A.MAN Bayes sche Verfahren Einführung Das Theorem von Bayes Bayes sche Verfahren Bemerkungen zu konjugierten Verteilungen Literatur 208 Index 210 Formeln 216

5 Kapitel 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1.1 Diskrete Zufallsvariablen Definition 1.1 Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder höchstens abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann. Beispiel 1.1 Wir betrachten drei Situationen, die sich in den Bereichen der möglichen Werte unterscheiden. a) Eine Münze wird zweimal geworfen. Sei die Anzahl der dabei geworfenen,,köpfe. Die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen sind: ¼ ½ ¾ b) Eine Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten mal,,zahl erscheint. sei die Anzahl der bis dahin geworfenen,,köpfe. Die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen sind: ¼ ½ ¾ c) Sei die Anzahl der Autos, die eine Firma im nächsten Jahr verkauft. Die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen sind: ¼ ½ Æ (Dabei sei Æ die Anzahl der maximal produzierbaren Autos.) Definition 1.2 Sei eine diskrete Zufallsvariable. Die Funktion È mit È Üµ È Üµ heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von. Wir wollen die Wahrscheinlichkeitsfunktionen für die drei Situationen aus Beispiel 1.1 bestimmen. Beispiel 1.1 a: Wir gehen von der Annahme aus, dass die Münze fair ist, d.h. beide Seiten der Münze, die wir mit à für,,kopf und für,,zahl bezeichnen, haben die gleiche Chance aufzutreffen. Möglichkeiten: (ZZ) (ZK) (KZ) (KK) Werte von : Wahrscheinlichkeit: ½ ½ ½ ½ 1

6 2 KAPITEL 1. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG Fasst man gleiche Werte von zusammen, so ergibt sich: Ü È Üµ 0 ½ 1 ½¾ 2 ½ Dafür schreibt man auch È Üµ ½ ½¾ ½ ¼ Ü ¼ Ü ½ Ü ¾ sonst Abbildung 1.1 zeigt eine graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Höhe der Stäbe entspricht den Wahrscheinlichkeiten. 0.8 P(x) x (Anzahl der Koepfe) Abbildung 1.1: Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Köpfe beim zweifachen Münzwurf Beispiel 1.1 b: Die folgende Tabelle gibt die möglichen Wurffolgen bis zur ersten,,zahl und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an. Wurffolge Wahrscheinlichkeit Anzahl,,Köpfe ½¾ Ü ¼ à ½ Ü ½ Ãà ½ Ü ¾ Ãà ½¾µ ½ Ü Damit ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von gegeben durch È Üµ ½¾µ Ü ½ für Ü ¼ ½ ¾ ¼ sonst Abbildung 1.2 zeigt den Graphen der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

7 1.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN P(x) x (Anzahl der Koepfe vor Zahl) Abbildung 1.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Köpfe vor der ersten Zahl Beispiel 1.1 c: In diesem Beispiel können wir ohne zusätzliche Information keine Wahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen. Satz 1.1 Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion hat die Eigenschaften: a) È Üµ ¼ für alle Ü b) È Üµ ¼ für höchstens abzählbar unendlich viele Ü c) È Ü È Üµ ½ Bei diskreten Zufallsvariablen gibt es Lücken zwischen den einzelnen Werten, d.h. Werte, die die Zufallsvariable nicht annehmen kann. 1.2 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariablen, die im Prinzip jeden Zwischenwert annehmen können, z.b. Temperatur am Mittag Marktanteil Umsatz Solche Zufallsvariablen heißen stetig. Man verwendet eine Dichtefunktion, um Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben.

8 4 KAPITEL 1. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG Definition 1.3 Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen hat die Eigenschaften a) ܵ ¼ für alle Ü, b) ½Ê ½ ÜµÜ ½, c) È µ Ê ÜµÜ für alle und mit. Die in Definition 1.3 erwähnte Wahrscheinlichkeit kann aufgefasst werden als Fläche unterhalb der Dichtefunktion zwischen den Punkten und (siehe Abbildung 1.3) f(x) a P({a<X<b}) b Abbildung 1.3: Wahrscheinlichkeit als Fläche unter der Dichtefunktion Eine stetige Zufallsvariable kann jeden möglichen Wert in dem Bereich annehmen, in dem ܵ ¼ ist. Wichtig ist jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Zufallsvariablen. Sei eine stetige Zufallsvariable und Ü ¼ ein beliebiger Wert. Dann ist x È Ü ¼ µ ¼ Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen ganz bestimmten Wert Ü ¼ annimmt, ist gleich Null. Man erinnere sich daran, dass eine diskrete Zufallsvariable jeden ihrer möglichen Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann. Für stetige Zufallsvariablen gilt damit für alle und mit È µ È µ È µ È µ Überzeugen Sie sich, dass diese Eigenschaft für diskrete Zufallsvariablen nicht gilt, indem Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten für Beispiel 1.1 a mit ¼ und ¾ ausrechnen. Eine Dichtefunktion beschreibt das Verhalten einer stetigen Zufallsvariablen. Man kann sie auch als die Antwort auf Fragen folgender Art ansehen:

9 1.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN 5 Wie groß wird unser Marktanteil im nächsten Jahr sein (wenn wir, wie bis jetzt, weitermachen)? Solche Fragen haben keine einfachen Antworten, wie z.b. 23.4% f(x) x (Marktanteil in %) Abbildung 1.4: Mögliche Dichtefunktion für den Marktanteil im nächsten Jahr Der genaue Anteil wird von vielen und komplexen Faktoren abhängen, z.b. politischen Faktoren, dem Klima und anderen zufälligen Einflüssen, die man nicht im voraus wissen kann. Man ist höchstens in der Lage, die möglichen Werte zu bestimmen und anhand statistischer Methoden ihr wahrscheinliches Verhalten zu schätzen. Die Antwort auf solche Fragen beschreibt man mit Hilfe einer Dichtefunktion. So könnte der Marktanteil im nächsten Jahr durch die Dichtefunktion in Abbildung 1.4 gegeben sein f(x) P({X<20}) x (Marktanteil in %) Abbildung 1.5: È ¾¼µ als Fläche unterhalb der Dichtefunktion Um Entscheidungen zu treffen, muss man mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten. Solch eine Entscheidung könnte z.b. sein: Soll man jetzt etwas dagegen unternehmen, dass der Marktanteil im nächsten Jahr nicht unter ¾¼± sinkt oder sollen wir jetzt nichts unternehmen. Dazu muss man wissen, wie groß diese Wahrscheinlichkeit ist. Kennt man die zugehörige Dichtefunktion, so ist diese Wahrscheinlichkeit gegeben durch È ¾¼µ ¾¼ ½ ܵÜ

10 6 KAPITEL 1. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unterhalb der Dichtefunktion links von ¾¼ (siehe Abbildung 1.5). 1.3 Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Definition 1.4 Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist definiert durch ص È Øµ Ø ¾ ÁÊ Diese Definition gilt für eine beliebige Zufallsvariable, egal ob diese stetig oder diskret ist f(x) F(t) t x Abbildung 1.6: Verteilungsfunktion ص als Fläche unterhalb der Dichtefunktion Satz 1.2 a) Für eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion ܵ gilt ص Ø ½ ÜµÜ b) Für eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion È Üµ gilt ص ÜØ È Üµ

11 1.3. DIE VERTEILUNGSFUNKTION EINER ZUFALLSVARIABLEN 7 Bei einer stetigen Zufallsvariablen kann man sich unter der Verteilungsfunktion die Fläche unterhalb der Dichtefunktion von ½ bis Ø vorstellen (siehe Abbildung 1.6). Beispiel 1.2 (Exponentialverteilung mit Parameter ½) Die Dichtefunktion der Zufallsvariablen sei gegeben durch ܵ ¼ Ü für Ü ¼ sonst 1.5 f(x) Abbildung 1.7: Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter ½ x 0.8 F(t) Abbildung 1.8: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit dem Parameter ½ Dann ist die Verteilungsfunktion ص Dieses Integral ist ¼ für Ø ¼. Für Ø ¼ erhält man Ø ¼ Ø ½ t ÜµÜ Ü Ü Ü Ø ¼ Ø µ ¼ µ Ø ½ ½ Ø

12 8 KAPITEL 1. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG Damit gilt für die Verteilungsfunktion (siehe Abbildung 1.8) ص ¼ für Ø ¼ ½ Ø für Ø ¼ Beispiel 1.3 (Anzahl der,,köpfe beim zweifachen Münzwurf) In Beispiel 1.1a hatten wir die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der,,köpfe beim zweifachen Werfen einer Münze bestimmt. Die Verteilungsfunktion ist dann È Üµ ص ½ für Ü ¼ ½¾ für Ü ½ ½ für Ü ¾ ¼ sonst ¼ für Ø ¼ ½ für ¼ Ø ½ für ½ Ø ¾ ½ für ¾ Ø Diese Verteilungsfunktion ist in Abbildung 1.9 zusammen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion dargestellt. Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) x (Anzahl der Koepfe) Verteilungsfunktion F(t) t (Anzahl der Koepfe) Abbildung 1.9: Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion für die Anzahl der Köpfe beim zweifachen Münzwurf

13 1.3. DIE VERTEILUNGSFUNKTION EINER ZUFALLSVARIABLEN 9 Anschaulich ist die Verteilungsfunktion also die Summe der Höhen der Stäbe bis einschließlich Ø. Beachten Sie, dass die Verteilungsfunktion an den Sprungstellen den oberen Wert annimmt. Die Verteilungsfunktion ist also stetig von rechts. Satz 1.3 (Eigenschaften einer Verteilungsfunktion) Eine Verteilungsfunktion die Eigenschaften: hat a) ¼ ص ½ b) Ø ½ µ Ø ¾ µ, falls Ø ½ Ø ¾ c) ÐÑ Ø ½ ص ¼ d) ÐÑ Ø½ ص ½ e) ist stetig von rechts. Jetzt sei die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen gegeben, und wir wollen die Dichteoder Wahrscheinlichkeitsfunktion von bestimmen. Satz 1.4 Sei eine stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion. Dann ist die Dichtefunktion von gegeben durch ܵ ¼ ܵ Beispiel 1.4 (Exponentialverteilung mit dem Parameter ½) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen sei (vergleiche Beispiel 1.2) ܵ ¼ für Ü ¼ ½ Ü für Ü ¼ Dann gilt ܵ ܵ Ü ¼ für Ü ¼ ¼ Ü µ Ü für Ü ¼ Für diskrete Zufallsvariablen erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion, indem man an den Sprungstellen der Verteilungsfunktion die Differenz berechnet.

14 10 KAPITEL 1. ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG Beispiel 1.5 Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen sei gegeben durch ܵ ¼ Ü ½ ½ ½ Ü ¾ ¾ Ü Ü ½ Ü kann die Werte ½ ¾ und annehmen. Da an der Stelle ½ von ¼ auf ½ springt, wird der Wert ½ mit der Wahrscheinlichkeit ½ angenommen, der Wert ¾ mit der Wahrscheinlichkeit ¾µ ½µ ½ ½. Die vollständige Wahrscheinlichkeitsfunktion ist È Üµ ½ Ü ½ ½ Ü ¾ ½¾ Ü ½ Ü ¼ sonst Abbildung 1.10 zeigt die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsfunktion. P(x) F(x) Verteilungsfunktion x Wahrscheinlichkeitsfunktion x Abbildung 1.10: Verteilungs- und Wahrscheinlichkeitsfunktion für Beispiel 1.5 Allgemein gilt:

15 1.3. DIE VERTEILUNGSFUNKTION EINER ZUFALLSVARIABLEN 11 Satz 1.5 Sei eine diskrete Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von gegeben durch È Üµ ܵ ÐÑ ¼ Ü µ ¼ Mit Hilfe der Verteilungsfunktion ist es besonders einfach, Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, dass eine Zufallsvariable Werte in einem Intervall annimmt. Denn es gilt: Satz 1.6 Sei eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion. Dann gilt È µ µ µ (1.1) Dieser Satz gilt sowohl für stetige als auch für diskrete Zufallsvariablen. Wie wir schon gesehen haben (siehe S. 4), kommt es bei stetigen Zufallsvariablen nicht darauf an, ob es in der Gleichung (1.1) oder heißt. Für diskrete Zufallsvariablen gilt dieser Satz jedoch nur in dieser Form, wenn und mögliche Werte der Zufallsvariablen sind! Beispiel 1.6 (Exponentialverteilung mit dem Parameter ½) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen sei (vergleiche Beispiel 1.2 und 1.4) Dann gilt ܵ ¼ für Ü ¼ ½ Ü für Ü ¼ È ½ ¾µ ¾µ ½µ ½ ¾ µ ½ ½ µ ½ ¾ ¼ ¼½ ¼¾ ¾ Beispiel 1.7 Die Zufallsvariable besitze die Verteilungsfunktion aus Beispiel 1.5. Dann gilt È ½ µ µ ½µ ½ È ½ µ ¾µ ½µ ½ ½ È ½ µ µ und È ½ µ ¾µ

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