Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

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1 Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent, flls es zu ε>eine Konstnte C>gibt mit y2 <ε für lle x I und für lle y 1,y 2 C. y Kpitel 9: Integrtion Ds Mjorntenkriterium. Bemerkung: Es gilt ds Mjorntenkriterium, wonch ds uneigentliche Integrl gleichmäßig und bsolut konvergiert, flls es eine (gleichmäßige) Mjornte g(y) von f(x, y) gibt mit f(x, y) g(y) und g(y) dy < für lle x, y I. Beweis: f(x, y) dy g(y) dy <. 114

2 Kpitel 9: Integrtion Differenzierbrkeit und gleichmäßige Konvergenz. Stz: Sei f(x, y) stetig und nch x stetig (prtiell) differenzierbr. Weiterhin seien die uneigentlichen Integrle F(x) := und f (x, y) dy x uf (llen) kompkten Teilmengen von I gleichmäßig konvergent. Dnn ist F(x) stetig differenzierbr, und die Ableitung F (x) von F(x) läßt sich durch Differentition unter dem Integrlzeichen gewinnen, d.h. es gilt F (x) = f (x, y) dy. x Beweis: Anlog wie im Fll von eigentlichen Integrlen. Beispiel: Die Ableitung der Gmm-Funktion: Γ(x) = e t t x 1 dt Γ (x) = 115 e t t x 1 log(t) dt. Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung 1 Anwendungen der Integrlrechnung 1.1 Rottionskörper Betrchte für eine Funktion f(x) die Rottion des Funktionsgrphen y = f(x) um die x-achse über dem Intervll [, b]. Dnn gilt für die Querschnittsfläche Q(x) =π(f(x)) 2 für x [, b]. Dmit ergibt sich für den entstehendenrottionskörper die Volumenformel V rot = π (f(x)) 2 dx. Prinzip von Cvlieri: Hben zwei Körper die jeweils gleiche Querschnittsfläche, so stimmen ihre Volumin überein. 116

3 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Beispiel. Durch die Rottion der Ellipse x y2 = 1 mit, b > b2 um die x-achse erhält mn ein Rottionsellipsoid mit dem Volumen [ ] ( x ) 2 2 V rot = π b 1 dx ) = πb (1 2 x2 2 dx = 4 3 πb2. Speziell bekommt mn für = b = r ds Volumen V rot = 4 3 πr3 der Kugel um Null mit Rdius r>. 117 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Die Oberfläche eines Rottionskörpers. Für die Oberfläche (Mntelfläche) eines Rottionskörpers gilt die Formel O rot = 2π y(x) 1 +(y (x)) 2 dx Beispiel: Für die Oberfläche der Kugel um Null mit Rdiusr >gilt mit y = f(x) = r 2 x 2 die Formel r O rot = 2π r r2 x 2 r r r2 x dx = 2πr 2 r dx = 4πr

4 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung 1.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c =(c 1,...,c n ):[, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene Kurve, flls c() =c(b). Flls c :[, b] R n eine C 1 -Funktion, d.h. jede Koordintenfunktion c j (t) ist stetig differenzierbr, so heißt c(t) eine C 1 -Kurve. c(t) heißt stückweise C 1 -Kurve, flls es eine Zerlegung = t <t 1 <...<t m = b gibt, so dss c(t) uf jedem Teilintervll [t j,t j+1 ] eine C 1 -Funktion ist. Die Kurve c heißt gltt, flls d dt c(t) :=ċ(t) =(c 1(t),...,c n(t)) T für lle t [, b]. 119 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Beispiele: Die Kurve c(t) :=(cos(t), sin(t)) T t [, 2π] beschreibt einen Kreis im R 2. Die Kurve c(t) =(r(t sin(t)),r(1 cos(t)) T beschreibt eine Zykloide. Wegen ċ(t) =(r(1 cos(t)),rsin(t)) T ist die Kurve n den Stellen t = 2πk, k Z, nicht gltt. Die Kurve c(t) =(r cos(2πt),rsin(2πt),ht) T für t R beschreibt eine Schrubenlinie (Helix) mit Rdius r und Gnghöhe h. 12

5 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Umprmetrisierung von Kurven. Ist c :[, b] R n eine Kurve und h :[α, β] [, b] eine stetige, bijektive und monoton wchsende Abbildung, so ht die Kurve (c h)(τ) =c(h(τ)) für α τ β die gleiche Gestlt und den gleichen Durchlufsinn wie die Kurve c. Bemerkungen: Mn nennt t = h(τ) eine Umprmetrisierung (Prmeterwechsel). Die Kurven c und c h werden ls gleich ngesehen. Im Fll einer C 1 -Kurve werden nur C 1 -Prmeterwechsel zugelssen. Jede stetige Funktion y = f(x), x b beschreibt eine Kurve mit c(x) :=(x, f(x)) T für x b bzw. c(t) :=( + t(b ),f( + t(b ))) T für t Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Die Bogenlänge einer Kurve. Sei Z = { = t <t 1...<t m = b} eine Zerlegung von [, b], soist L(Z) := m 1 j= c(t j+1 ) c(t j ) eine untere Schrnke für die Bogenlänge der Kurve c(t). Definition: Ist die Menge {L(Z) :Z Z[, b]} nch oben beschränkt, so heißt die Kurve c rektifizierbr, und in diesem Fll ist L(c) :=sup{l(z) :Z Z[, b]} = lim L(Z) Z die Länge der Kurve c. 122

6 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Berechnung der Bogenlänge einer C 1 -Kurve. Stz: Jede C 1 -Kurve ist rektifizierbr, und es gilt L(c) = Beweisidee: Zunächst gilt die Drstellung L(Z) = m 1 j= ċ(t) dt n (c k (t j+1 ) c k (t j )) 2 k=1 und nch dem Mittelwertstz gibt es Zhlen τ kj mit t j τ kj t j+1, so dss c k (t j+1 ) c k (t j )=c k(τ kj ) (t j+1 t j ), somit L(Z) = m 1 j= n (c k (τ k j )) 2 (t j+1 t j ). k=1 123 Kpitel 1: Anwendungen der Integrlrechnung Beispiel. Berechnen die Länge eines Zykloidenbogens c(t) =(r(t sin(t)),r(1 cos(t))) T für t 2π mit ċ(t) = (r(1 cos(t)),rsin(t)) T ċ(t) = r (1 cos(t)) 2 + sin 2 (t) =2r sin(t/2) L(c) = 2r 2π sin(t/2) dt = 8r Bemerkung: Die Bogenlänge einer C 1 Kurve ist unbhängig von der Prmetrisierung, denn es gilt L(c h) = β α ċ(h(τ))h (τ) dτ = β α ċ(h(τ)) h (τ) dτ = 124 ċ(t) dt = L(c)

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