3. Übungsblatt zur Analysis II

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 9/ Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Majorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale: Es seien f : [, ) [, ) und g : [, ) [, ) Funktionen, welche über [, b ] Riemannintegrierbar sind, für alle < b. Gilt f() g() für alle genügend große und konvergiert das uneigentliche Riemann-Integral g() d, so konvergiert auch f() d. Aufgabe G Konvergiert das uneigentliche Integral? Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) b) c) 3 + sin() ln() d d d) d e) a) Wir brauchen nur die Konvergenz von 3 + über dem Intervall [, ] Riemann-integrierbar ist. Es gilt das uneigentliche Riemann-Integral d e d d für α R. (ln()) α 3 + d zu zeigen, da die stetige Funktion 3 + = für alle, wobei 3 konvergiert ( 8.., Beispiel ). Nach dem Majorantenkriterium (das natürlich etwas allgemeiner als angegeben gültig bleibt, wenn die Integration an einer anderen Stelle als beginnt) konvergiert also auch 3 + d. b) Es gilt (k+) π k π daher sin() d (k+)π kπ nπ π sin sin (k+) π d = π (k+) π sin d = (k+) π d n k= für N n. Das uneigentliche Riemann-Integral (k + ) π sin d konvergiert also nicht. für k N und

2 c) Zu gegebenem < < erhalten wir vermöge der partiellen Integration u() = ln(), v () =, u () = :, v() = ln d = [ ln() ] d = ln() [ 4 ] = ln() für, weil lim ln() = lim ln(e ) e = lim e / =. d) Zu gegebenen < < erhalten wir d = [ ] = +. Wenn, so strebt [ + ]. Somit konvergiert e) Die Substitution y = ln liefert für r > e: r e d (ln ) α = ln r ln e dy y α. d nicht. Hier ln r für r. Wegen 8.. Beispiel konvergieren die Integrale auf der rechten Seite für r falls α >, während sie für α bestimmt gegen divergieren. Die zu untersuchenden uneigentlichen Riemann-Integrale konvergieren also genau für α >. Aufgabe G Wir betrachten die Folge (f n ) n N der durch n falls n f n () := n n ( n ) falls n < n falls > n definierten Zackenfunktionen f n : [, ] R. (a) Skizzieren Sie f und f. (b) Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge (f n ) n N für n punktweise konvergiert. Bestimmen Sie die durch f() := lim n f n () definierte Grenzfunktion f. Ist die Konvergenz gleichmäßig? (a) (b) Da f n () = für alle n, gilt lim n f n () =. Für ], ] gibt es ein N N mit N <. Dann gilt n < für alle n N und somit f n() = per Definition von f n. Also lim n f n () =. Wir haben gezeigt, daß die Funktionenfolge (f n ) n N punktweise gegen die Nullfunktion f : [, ] R, f() = konvergiert. Für jedes n N ist f n ( n ) = n ; wir finden also kein n N derart, daß f n () < für alle n n und alle [, ]. Daher liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.

3 Aufgabe G3 Eine Folge (f n ) n N von Polynomfunktionen konvergiere auf R gleichmäßig gegen eine Funktion f : R R. Zeigen Sie, daß auch f eine Polynomfunktion ist. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz finden wir ein N N derart, daß f() f n () für alle n N und R. Dann ist f n () f N () für alle n N und R. Es ist also p n := f n f N eine beschränkte Polynomfunktion für n N und somit vom Grade oder das Nullpolynom; mit anderen Worten, es ist p n () = p n () für alle. Also f() f N () = lim p n() = lim p n() = f() f N (). n n Folglich ist f = f N + f() f N (), mithin f eine Polynomfunktion. Hausübung Die Hausaufgaben Hb), H und H3 sind als Präsentationsaufgaben geeignet! Aufgabe H Durch (9 Punkte) = a cos 3 (t), y = a sin 3 (t) mit a >, t π wird eine Astroide in Parameterdarstellung gegeben. a) Machen Sie eine Skizze. b) Leiten Sie mit Hilfe von partieller Integration eine Rekursionsformel für V n = sin n () d her. c) Berechnen Sie den Inhalt der durch die Astroide begrenzten Fläche. (a) (b) V n = sin n () d = sin n () sin() d p.i. = sin n () cos() + (n ) sin n () cos () d = sin n () cos() + (n ) sin n () d (n ) sin n () d V n = n sinn () cos() + n n V n. (c) Die Astroide ist symmetrisch bzgl. der -Achse und der y-achse. (Denn ang. t = t entspricht dem Punkt (, y ), dann entspricht t = t dem Punkt (, y ) und t = π t entspricht 3

4 (, y ).) - hier ist auch möglich über eine!!gute!! Skizze zu argumentieren. Für t π erhalten wir den Teil im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Die Fläche dieses Teils sei F. Für die gesamte Fläche gilt: F = 4 F. π F = = 3a π a sin 3 (t) ( 3a cos (t) sin(t) ) π dt = 3a cos (t) sin 4 (t) dt ( sin (t) ) [ π ] π sin 4 (t) dt = 3a sin 4 (t) dt sin 6 (t) dt =... Teil (b) = [ = 3a 4 sin3 (t) cos(t) + 6 sin5 (t) cos(t) cos(t) sin(t) t Somit folgt: F = 3 8 π a. ] π = 3 3 πa Aufgabe H (6 Punkte) Die gegebenen Folgen (f n ) n N von Funktionen f n : [, ) R konvergieren punktweise. Berechnen Sie die Grenzfunktion f und entscheiden Sie, ob die Folge f n gleichmäßig gegen f konvergiert. (a) f n () := + n, (b) f n () := (c) f n () := + n, n + n. a) Es ist f n () = für alle n und somit f() = lim n f n () =. Für > gilt +n n = n, unabhängig von. Ist > gegeben, so finden wir n N mit n <. Für alle n n und alle [, [ gilt dann +n n n <. Wir haben gezeigt, daß +n gleichmäßig. b) Es gilt f n () = für alle n, somit f() := lim n f n () =. Für > hingegen habe wir f() := lim n +n =. Es gibt zwei Argumentationsmöglichkeiten:.) Für jedes n N ist f n ( n ) =. Somit finden wir kein n : f n () < für alle n n und alle [, ). Es liegt also keine gleichmäßige Konvergenz vor..) Da die Grenzfunktion f der punktweise konvergenten Folge (f n ) n N nicht stetig ist, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein (Satz 9.9). n c) Wie zuvor schließen wir f() := lim n f n () =, für > weiter f() := lim n +n = lim n =. Für festes n ist f n() = n n +n +n = n für >, mithin f +n n eine monoton wachsende Funktion mit f n () =. Wir schließen, daß f n () f() = f n () = f n () lim y f n(y) = n, unabhängig von [, ). Folglich f n gleichmäßig. Aufgabe H3 Beweisen Sie das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale. (4 Punkte) 4

5 Da f nicht-negativ ist, ist F : [, ) [, ), F (r) := r f() d eine monoton wachsende Funktion. Diese ist nach oben beschränkt: Per Voraussetzung gibt es nämlich ein r [, ) mit f() g() für alle r ; wir erhalten F (r) = r r r r f() d + f() d + f() d + r f() d r r g() d g() d für alle r > r. Also ist F monoton wachsend und beschränkt. Folglich strebt F () für gegen sup{f (): [, )} (klar?) 5