Modellbildungen zum Kugelstoßen

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1 Bernhard Ubbenjans Hümmlin Gymnasium Mühlenber 7 Leistunskurs Mathematik 694 Börer Söel Facharbeit im Leistunsfach Mathematik zum Thema Modellbildunen zum Kuelstoßen Verfasser: Bernhard Ubbenjans

2 Gliederun. Ausanssituation im Kuelstoßsport Seite:. Erstellun des Bahnmodells bei Vernachlässiun des Luftwiderstandes 3. Der optimale Abstoßwinkel 3.. Erstellun der Zielfunktion für die Wurfweite in Abhänikeit om Abstoßwinkel Bildun der. Ableitun der Zielfunktion zur Bestimmun lokaler Extrema Bildun der. Ableitun zur Untersuchun der Zielfunktion auf ein absolutes Extremum 4. Interpretation der Erebnisse 4.. Verleich des errechneten, optimalen Winkels mit den tatsächlich eworfenen Winkeln Verleich der errechneten Werte für die Wurfweite mit den tatsächlichen Wurfweiten 4 5. Literaturnachweis 6

3 3. Ausanssituation im Kuelstoßsport In sehr ielen Sportarten, so auch im Kuelstoßsport zeit sich, dass die jeweilie Sportart nicht nur zum Spaß oder zur Körperertüchtiun auseübt wird, sondern dass es oft um die Karriere eines Sportlers oder um Geld eht. Dies ist Grund enu dazu, Versuche zu unternehmen, die die sportlichen Erebnisse auf ein Optimum brinen. Dazu ibt es natürlich die unterschiedlichsten Ansatzpunkte, wie z.b. das Aufbessern der eienen Kondition, allerdins auch das Ausfeilen der anewandten Technik. Hier kann man nun auch mit mathematischen Berechnunen ersuchen, die eienen Erebnisse zu steiern. Beim Thema Kuelstoßen heißt das konkret, den optimalen Abwurf der Kuel zu berechnen, damit diese mölichst weit fliet.. Erstellun der Kuelbahn-Gleichun Der erste Ansatz zur mathematischen Beschreibun wäre nun, die Wurfbahn der Kuel in einer mathematischen Gleichun zu erfassen: Man muß sich dabei denken, dass beim Wurf der Kuel, diese auf einer parabolischen Bahn fliet, deren Graph man errechnen kann, wenn man sich die Kuel als Punkt und die Bahn als Graph in einem Koordinatensystem orstellt (siehe Abbildun Abbildun (Flukure der Bahn, wobei h die Abwurfhöhe, W die Wurfweite, und H den Punkt darstellt, an dem die Kuel die Hand erlässt. markiert hier den Abfluwinkel und die Abwurfeschwindikeit Man kann sich die komplizierte Beweun der Kuel mit der Geschwindikeit als überlaerte Beweun einer einfachen waaerechten und senkrechten Beweun orstellen. Diese beiden Beweunen laufen scheinbar unestört und unabhäni oneinander ab und addieren sich ektoriell zur Gesamtbeweun.

4 4 Geometrisch lässt sich dieser Zusammenhan an einem Paralleloramm erdeutlichen (siehe Abbildun Abbildun Aufteilun der Anfanseschwindikeit in eine horizontale Komponente x und eine ertikale Komponente y. x y Weil sich die Geschwindikeiten ektoriell addieren, ilt: Da es sich allerdins nur sehr schwer mit Vektoren rechnen lässt, bilden wir bei unserer Berechnun den Betra der Geschwindikeit. Aus dem Paralleloramm lassen sich folende Zusammenhäne erkennen: ( ( x In x-richtun ilt das Gesetz für eine leichförmie Beweun, da die Geschwindikeit konstant ist. Also: s x x t x Aus ( folt: x ( ( Setzen wir dies nun in die Beweunsleichun für die x-richtun ein: s x ( t ( ( In y-richtun ilt das Gesetz des lotrechten Wurfs. Das heißt es erfolt zunächst eine leichförmie Beweun nach oben, also, s y y t y Aus ( folt: y ( ( Setzen wir dies nun in die Gleichun für die Beweun nach oben ein: s y ( t (3

5 5 In Fole der Schwerkraft erfolt aber auch eine beschleunite Beweun nach unten, also in enteenesetzte Richtun und daher mit Minuszeichen: sy t (4 Diese beiden Beweunen ( (3 und (4 addieren sich ektoriell und es eribt sich eine We Zeit-Gleichun für die y-richtun: s y ( t t Um nun die Gleichun der Bahnkure zu erhalten, die der Form x y sein soll, muß man die Zeit t aus den We-Zeit-Gleichunen ( und(5 elliminieren, indem man Formel ( nach t auflöst und in Formel (5 einsetzt. Aus ( folt: sx s x ( t t ( (6 (6 in (5 einsetzten und so weit wie mölich zusammenfassen: x s s y tan( s x ( (7 Man hat nun eine mathematische Gleichun eschaffen, die die Flukure der Kuel beschreibt. (5 3. Der optimale Abstoßwinkel 3.. Erstellun der Zielfunktion für die Wurfweite in Abhänikeit om Abstoßwinkel Bei der Optimierun beim Kuelstoßen kommt es allerdins darauf an, dass die Wurfweite mölichst roß wird. Deßhalb muß nun eine Gleichun für die Weite W erstellt werden. Zuerst ist die Zeit zu bestimmen, an der die Kuel den Boden berührt. Dies wird durch Gleichun (5 für den lotrechten Wurfs beschrieben: s y ( t t Wir setzen für s y den Wert h, also die Abwurfhöhe, ein, was aus Abbildun deutlich wird, denn hier berührt die Kuel den Boden: h ( t t

6 6 ( t t h Um die Gleichun nach t auflösen zu können, müssen wir diese quadratisch eränzen: ( ( ( t t h Jetzt können wir nach der zweiten binomischen Formel zusammenfassen: ( ( t h Es ibt nun zwei Lösunen: ( ( t h ( ( t h Die Gleichunen nach der Zeit t auflösen: ( ( ( ( h t h t Es kommt nur die Lösun on t in Frae, da bei der Lösun on t neatie Werte entstehen, wenn man für und realistische Werte einsetzt. Wir setzen nun den Therm für t in die We-Zeit-Gleichun ( für die x-richtun ein, um die Wurfweite zu erhalten. Es eribt sich: ( ( ( ( h W t W (8 Es bietet sich nun an, die beiden Größen und auszuklammern. Damit dies allerdins eht muß erst noch aus der herorehobenen Wurzel elöst werden: ( ( ( ( h h h h

7 7 Setzen wir das Erebnis nun in Gleichun (8 ein so eribt sich: ( ( h W ( Nun kann man und ausklammern und es eribt sich: ( h W ( ( Man sieht nun, dass die Größen, h, und der Winkel auf die Fluweite Einfluß nehmen. Die Größen und h d konstant und die Abstoßeschwindikeit hänt on der Kondition des Sportlers ab und ist somit ebenfalls nicht zu beeinflussen.die einzie Größe, die der Sportler erändern kann, ist der Abstoßwinkel. Es ist nun interessant, wie sich die Wurfweite in Abhänikeit om Winkel ändert, und bei welchem Winkel die Weite für eine Person mit festen Größen und h am rößten wird. Um das herauszufinden müssen wir die Ableitun der Funktion (9 bilden! Damit diese Ableitun nicht so schwer zu bilden ist, muß Formel (9 erst noch etwas ereinfacht werden. Wir klammern zunächst einfach aus: W ( ( ( ( h Den Therm (( lässt sich durch das Additionstheorem (l.[] ereinfachen. Es heißt allemein: ( α ( α ( ( α ( In unserem Fall ist α: ( ( ( ( ( ( (9 ( ( ( ( ( ( ( ( (

8 8 Den Wert /( können wir nun für (( in die Gleichun ( einfüen: W ( ( ( 3.. Bildun der. Ableitun h Nun können wir die Gleichun (3 für die Wurfweite, also die Zielfunktion ableiten, damit wir später nach lokalen Extrema suchen können. Nach der Summen- und der Produktreel ilt für die Ableitun: W ( â ( â ( â ( â h ( ( h Den letzten, etwas erorehobenen Therm kann man nach der Kettenreel ableiten: h ( â ( â h ( â Für die Ableitun on ( eribt sich widerum: â ( â ( â ( â ( â ( â ( â ( â (3 Fasst man nun alles zusammen, so erhält man die kommplette Ableitun: W h ( â ( â ( â ( â ( â Man kann nun und ausklammern: ( â ( â h ( â W ( ( ( ( ( h ( h (

9 9 Man kann nun den zweiten und den dritten Therm der Summe innerhalb der Klammer auf einen emeinsamen Nenner brinen, indem man den zweiten Therm im Nenner und im Zähler mit dem Wurzelausdruck aus dem Nenner des dritten Therms multipliziert: W W ( â ( â ( â ( â ( â h h h Man kann im Zähler nun -( ausklammern: W ( ( ( ( â ( â h ( â ( ( â â ( â ( â h h ( â ( ( ( ( â h Den im Zähler stehenden Ausdruck (- ( kann man wie folt ereinfachen: Allemein ilt das Additionstheorem (l. []: ( α ( α ( ( α ( Wenn ist, ilt: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( â ( ( ( Man kann nun (- ( durch ( ersetzen: W ( ( ( h h ( (

10 Man hat nun die.ableitun so weit wie mölich ereinfacht und kann sie nun mit null leichsetzen um nach lokalen Extrema zu suchen: ( â ( â ( ( h h h h ( ( ( â ( â ( h h ( ( h ( h ( h ( h h ( ( ( ( ( ( Quadrieren h h ( ( ( ( Auflösen der quadratischen Gleichun durch die zweite binomische Formel und ausklammern: ( ( ( ( ( 4 h 4 h ( ( ( ( ( 4h 4 ( ( ( ( h 4h ( ( ( ( h 4 Ausklammern on (: h h h ( ( ( (4

11 Den Ausdruck ( kann man umformen. Allemein ilt das Additionstheorem (l. [] : ( α ( α ( ( α ( Wenn α ist, ilt demnach: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Es ilt ebenfalls allemein (l. [] : ( ( (5 Formt man diese Gleichun nach ( um, so eribt sich: ( ( Setzt man nun diesen Wert für ( in Gleichun (5 ein, so erhält man: ( ( ( ( ( ( Nun haben wir unser Ziel erreicht, und einen Ausdruck für ( eschaffen. Wir setzen ihn leich in Formel (4 ein: h ( ( ( ( Ausmultiplizieren: ( ( ( ( ( h h h h h ( ( ( ( ( ( h h

12 Nun klammern wir ( aus: h ( ( h h h h h h h h Wir wollen nun die Gleichun nach auflösen: h arc h h arc h ( 9 (6 Nun ist die notwendie Bedinun für innere Extremstellen erfüllt, denn es ilt: f (x.3. Bildun der. Ableitun Um sicher zu ehen, dass es sich bei dem errechneten Winkel auch tatsächlich um ein Maximum handelt, muß neben der notwendien Bedinun auch die hinreichende Bedinun erfüllt sein, welche lautet: f ( x Wenn f ( x f ( x f ( x <, dann > ist f ( x ein Maximum lokales. Minimum Die erste Ableitun lautete: W ( ( ( h h ( ( Um nun die Arbeit etwas zu erleichtern, schreiben wir: ~ W ( W ( Diese Maßnahme hat den Vorteil, dass die. Ableitun etwas einfacher zu bilden ist, weil nun bei der. Ableitun die unhandliche Klammer mit dem Vorfaktor wefällt: ~ W ( ( ( h h ( (

13 3 Die Ableitun bildet man hier am besten in drei Schritten, da sie sonst zu unübersichtlich werden würde. Als erstes leitet man mit der Summenreel ab: h ( ~ W ( ( ( h ( Als zweites leitet man den Teil in der Klammer nach der Produktreel ab: < A > h ( h ( h ( ( ( h ( h h ( ( ( Drittens leitet man den Therm in der eckien Klammer nach der Quotientenreel ab: h h ( ( h ( ( ( h h ( ( ( h Der herorehobene Teil (( ist leich (, siehe dazu Formel (. Nun können wir im Zähler ( ausklammern: ( h h ( ( ( < Ω> h ( h h ( ( h (

14 4 Wir wollen nun auch h ( aus dem Zähler ausklammern, wobei man allerdins erst Ω im Zähler und im Nenner mit h h ( ( ( h ( h ( < A h h 4 h ( erweitern muß: > ( ( ( A h 3 ( Nun können wir die komplette.ableitun aus allen drei Einzelschritten bilden: ~ W ( ( ( A h ( ( ( A h 3 ( Wir ersetzen den Winkel durch den errechneten Wert aus Formel (6. Es eribt sich nun folendes Bild: Für A ilt: h A ( Wir setzen nun den errechneten Therm für ein: A h arc h h h h h Ausklammern on h: A h A h h A h ( h ( h ( h h h h ( h ( h Bruch auf einen Nenner brinen >

15 5 Für A ilt: A Ausklammern: A h ( h 4 ( h 4 h 6h ( ( 4 ( ( 8 Wir setzen nun den errechneten Therm für ein: A A 4 4 ( 6h h arc h 6h ( > h h Wir sehen nun, dass A und A beide rößer als null d. Dass bedeutet leichzeiti: ~ h W arc h Damit ilt auch: h W arc h < < Nun ist auch die hinreichende Bedinun für innere Extremstellen erfüllt. Die Fluweite W besitzt also an der Stelle h arc h ein lokoles Maximum. Dieses ist im Interall [ ;9 ] auch leichzeiti lobales Maximum, was man an Formel (7 leicht sehen kann, wenn man hier bzw. 9 einsetzt und diese Funktionswerte dann mit dem errechneten Maximum erleicht.

16 6 4. Interpretation der Erebnisse 4.. Verleich zwischen den optimalen - und den tatsächlichen Winkeln Wenn man sich das Erebnis on Formel (6 enauer anschaut, stellt man fest, dass der optimale Winkel relati roß ist. Rechnen wir dies einmal an einem Beispiel durch: Wenn die Abwurfeschwindikeit 3,7 m/s und die Wurfhöhe h,5m beträt, dann liet nach Formel (6 der beste Winkel bei 4, wobei tatsächlich nur Winkel zwischen 33 und 4 eworfen werden. Verleicht man andere errechnete Winkel mit den tatsächlich eworfenen Winkeln, so wird man fast immer feststellen, dass diese deutlich kleiner d. Der Grund hierfür ist einfach, dass man kleinere Winkel mit einer iel höheren Geschwindikeiten werfen kann. Diese Tatsache wurde in Formel (9 für die Fluweite nicht mitberechnet. Letztlich kann man saen, dass es wohl nicht unbedint noll ist, für jeden Sportler den indiiduellen Winkel zu errechnen. Man sollte aus dieser anzen Rechnun ielmehr ein anz allemeines Erebnis schließen: Jeder Sportler sollte ersuchen den Abfluwinkel so roß wie mölich zu halten, allerdins nur so roß, dass er bei der Geschwindikeit keine Einbußen erleidet. Das Problem, dass ein Sportler einen Winkel wirft, der über dem Optimalen liet, dürfte normalerweise nicht auftreten, was auch eientlich für jedermann einleuchtend ist, der selbst schon einmal eine 7,57k schwere Bleikuel eworfen hat. 4.. Verleich zwischen den errechneten - und den tatsächlichen Wurfweiten Es wäre nun interessant zu überprüfen, ob die Formel (9 für die Wurfweite auch funktioniert, dass heißt, ob die errechneten Werte mit den tatsächlichen Werten übereinstimmen. Nr. Name in m/s h(m in W(m(nach Formel W(m(emessen Tabelle Zusammenstellun Woods 3,9, 4,69,7 einier Daten on Stößen bei Woods 3,7, 35,7,74,5 den Olympischen Spielen on 3 Briesenick 4, 39,7,4, 97 der Männer nach Bardy [] 4 Woods 3,6,6 37,7,7,88 Die Weite wurde jeweils mit 5 Feuerbach 3,5, 38,3,38, Formel (9 errechnet Wenn man nun die mit Formel (9 errechneten Werte mit den tatsächlichen Werten erleicht, so sieht man teilweise anz ute Übereinstimmunen, wie z.b. bei Wurf Nr.4. Wenn man sich allerdins den Wurf Nr.3 anschaut, so ist das Erebnis etwas enttäuschend. Man muß sich nun überleen, woher diese Differenzen stammen könnten.

17 7 Als erstes sollte man die Meßfehler ansprechen, die bei der Messun der Geschwindikeit, der Höhe, des Winkels und natürlich der Wurfweite nicht auszuschließen d. Es kommt allerdins noch ein anderer Faktor dazu, der bisher noch überhaupt nicht überlet wurde, und zwar der Luftwiederstand. Schaut man sich die Formel für den Luftwiderstand an, so sieht man dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindikeit ist. Betrachtet man die Geschwindikeiten beim Kuelstoßen, stellt man fest, dass diese sehr erin d und man könnte jetzt meinen, dass der Luftwiderstand kaum einen Einfluß auf die Fluweite nimmt. Bardy[] kommt in seiner Arbeit aber zu der Erkenntnis, dass der Luftwiderstand doch einen Einfluß, wenn auch nur einen sehr kleinen, auf die Wurfweite hat. Man könnte nun, wie Bardy, ein Bahnmodell entwerfen bei dem der Luftwiderstand mitberücksichtit wird. Man kommt dann aber zu einem Punkt an dem man sich fraen muß, ob sich diese Betrachtun überhaupt lohnt. Am Anfan wollten wir ja durch mathematische Modellbildunen dem Sportler direkt Erebnisse liefern können, wie er seine Technik optimieren kann. Wenn wir jetzt auch noch ein Modell unter Berücksichtiun des Luftwiderstandes aufstellen würden, so wäre das zwar ein toller Beweis dafür, wie ielfälti Mathematik einsetzbar ist, aber es würde dem Sportler an sich keine Vorteile erbrinen. Was nützt es dem Sportler, wenn er weiß, dass er mit beispielsweise einer Geschwindikeit on 3,7 m/s und einer Höhe on,3m am besten einen Winkel on 4, wirft. Die Geschwindikeit ist ja eh keine konstante Größe und wäre beim nächsten Wurf ielleicht schon wieder kleiner oder rößer. Man sollte als Enderebnis der anzen Untersuchun das Erebnis festhalten, welches auch schon in 4.. beschrieben wurde, dass der Sportler ersuchen sollte, die Kuel erhältnismäßi steil mit einer hohen Geschwindikeit abzuwerfen. Ich denke einen enauen Winkel auszurechnen ist Quatsch, da man diese eh nicht enau einhalte bzw. beim Abstoß abmessen könnte. Ein weiteres, eientlich weitaus wichtieres Erebnis, ist, dass Mathematik sehr ielseiti einsetzbar ist. Wenn man sich umschaut, d überall Dine, die man mit Mathematik erklären kann.

18 8 5. Literatur [] Bardy, P.:Modellbildunen zum Kuelstoßen Auszu aus: Beispiele mathematischer Modellbildun im Sport. In: Der Mathematikunterricht (MU 34 (988, Seite -5 [] Mirow, Bernd: Physik Formeln / Sekundarstufe Dümmler Verla, Köln, Seite 63 Grehn (H., Joachim: Metzler Physik, Seite (l. [3]